相似三角形的性质和判定(2)
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。
在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。
本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。
一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。
1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。
例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。
2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。
具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。
3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
相似三角形的性质在数学中应用广泛。
例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。
第四讲 三角形相似的性质及判定(2)
第四讲 相似 性质及判定（2）【知识点】1、三角形相似的性质：对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方2、三角形相似的判断：一边平行、两角相等、两边对应成比例及夹角相等、三边对应成比例3、全等是相似比为1的特殊情况、中位线构成的两个三角形相似比为1:2 【典型例题】例1如图，AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠C ，试说明△BCE ∽△EBD 。
例2 如图五，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 相交于K ，已知S △AGF ︰S △ABC ＝9︰64，EF ＝10，求AH 的长．例3如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．例4如图(3)，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与四边形DECB 的面积之比为 。
A BD CE12（图五）BCA DEG FKH ABCDE 图(3)例5如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C(1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°， 求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长. (计算结果含根号).变式：1、已知：如图七，点O 为四边形ABCD 内一点，连接OA 、OB 、OC 、OD ，点E 、F 、G 、H 分别在OA 、OB 、OC 、OD 上，且有OA ＝OB ，EH ∥AD ，HG ∥CD ，FG ∥BC ，求证：EA ＝FB ．2、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在对角线BD 上，且DCE ADB ∠=∠，如果9BC =，CD ∶BD = 2∶3，求CE 的长．【课堂练习】1、如图,在△ABC 中,DE ∥BC, AD ：AC=2：1，则△ADE ∽△ ，∠C=∠ △ABC 的面积：△ADE 的面积= .C A A ED 1E D G EA DB BC B F C(第1题图) (第2题图) (第3题图) 2、已知:如图,直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E,且∠1=∠B 则)()()()()()(==. 3、如图,DE ∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF ⊥BC,交DE 于 G,则AG:AF= ： , △AGE ∽△AFC,且它们的相似比为 . 4、如图,平行四边形ABCD 中,P 是CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边形ABCDOBAD C FE H G （图七）EBDCAF A BC DE的面积= ,S △BCP ：S △APD ：S △APB = ： ：5、已知：如图,梯形ABCD 的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M 为腰AD 、BC 的交点,则点M 到上底CD 的距离为 cm,点M 到下底AB 的距离为 cm. D P C MD CA B A B（第4题图） （第5题图） 6、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ∥AB ，且BD=3，CD=2，则下底AB 的长是 . 7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= ______A AD E (第7题图) （第8题图） DB C C B 8、如图，在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为AB 上一点，且AD=AB 32，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE 等于 .9、若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB=3，A 1B 1=4.5，且S △ABC +S △111C B A =78，则S △111C B A = . 10、如图，CD 是直角三角形ABC 斜边上的高，已知AB=25cm ，BC=15cm ，则BD= .CA D B11、下列命题中，不正确的是 （ ）A 、如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；B 、等腰直角三角形都是相似三角形；C 、有一个角为600的两个等腰三角形相似； D 、有一个锐角相等的两个等腰三角形相似。
相似三角形的性质及判定方法
相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
记为AA相似性质。
2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SSS相似性质。
3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SAS相似性质。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。
三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。
已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。
根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。
根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。
由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。
相似三角形的性质和判定(2)
思考：相似三角形对应角的角平分线之比等于什么？相似三角形对应边的中线之比等于什么？（做完以下题目再回答上面思考）
如图，△A‘B‘C’∽△ABC，相似比为k，分别作BC,B‘C‘上的中线AE,A’E’。
求证： =k
如图，△A‘B‘C’∽△ABC，相似比为k，分别作BC,B‘C‘上的中线AF,A‘F’。
使用者：使用日期：组内编号：
课题
相似三角形的性质和判应相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似。
2.能通过例题归纳相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形面积比等于相似比的平方。
学习内容
自主预习书本P74及P75例2
归纳相似三角形的判定二：____________________________________________________
试一试：在△ABC与△DEF中，∠A=39°，∠B=61°，∠E=39°，∠F=80°，
则△________∽△ABC(理由：_____________________________________)
求证： =k
学习内容
预习P76例6，归纳相似三角形的周长之比等于什么？面积之比等于什么？A
交流提升
1.如图，△ABC中，∠A=90°，ED⊥BC，则：
（1）△ABC与△BDE是否相似？为什么？
（2） 已知AC=6，AB=8，BE=5，则BC,DE分别为多少？
2.已知△ABC∽△ABC，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B‘C’=24cm，求BC,AC,A‘B’,A‘C’的长。
相似三角形的性质及判定(2)-教师版
相似三角形的性质及判定（2）一、相似三角形的性质及判定【例1】 在直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：44AB FB FDAC EC ED⋅=⋅. F EDCBA【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】面积法 【解析】【答案】由90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，可得ABD CAD ∆∆∽，∴22ABD CAD S AB S AC ∆∆=， 又∵ABD CAD S BDS CD∆∆=∴22AB BD AC CD= 由BDF DCE ∆∆∽， ∴22BDF DCE S BF FD BD S DE EC DC ∆∆⋅==⋅ ∴4242AB BD BF FD AC CD DE EC⋅==⋅【例2】 设O 为ABC ∆内任一点，连接AO 、BO 、CO 并延长交三边于点'A 、'B 、'C ，求证：2'''AO BO COAA BB CC ++=C'B'A'OCBA【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】面积法例题精讲【解析】 【答案】∵'''''AOB AOCAOB AOC AOB AOC AA B AA C AA B AA C ABCS S S S S S AO AA S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++====+， 同理可证：'BOC BOAABC S S BO BB S ∆∆∆+=， 'COA COBABCS S CO CC S ∆∆∆+=， 将上面三式相加，得：22'''ABCABCS AO BO CO AA BB CC S ∆∆⋅++==.【例3】 P 为ABC ∆内任一点，射线AP 、BP 、CP 分别交对边于D 、E 、F ，求证：1PD PE PFAD BE CF++=. PFEDCBAA'P'PF ED CB A【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】分别过A 、P 作'AA BC ⊥、'PP BC ⊥，'A 、'P 为垂足，容易证得：''ADA PDP ∆∆∽ ∴''PBC ABCS PD PP AD AA S ∆∆==， 同理可证：PAC ABC S PE BE S ∆∆=，PBAABCS PF CF S ∆∆=， ∴1PBC PAC PAB ABCABC ABCS S S S PD PE PF AD BE CF S S ∆∆∆∆∆∆++++===.【例4】 已知P 为平行四边形ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：1BC ABBP BQ-= QPDCB A【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】∵ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∴BC AD AQBP BP BQ==， ∴1BC AB AQ AB AQ AB BQ BP BQ BQ BQ BQ BQ--=-===.【例5】 如图所示．平行四边形ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若A B a =，BC b =，BF c =，求BE ．OF EDCBAGOFEDCBA【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】过O 作OG BC ∥，交AB 于G ．显然，OG 是ABC ∆的中位线，所以112222b aOG BC GB AB ====，在FOG ∆中，由于GO EB ∥，所以BE FBFOG FEB OG FG ∆∆=∽，， 则222FB c b bcBE OG a FG a c c =⋅=⋅=++【例6】 已知：如图①，②，在矩形ABCD 中，48AB BC ==，，P ，Q 分别是边BC ，CD 上的点．⑴ 如图①，若AP PQ ⊥，BP =2，求CQ 的长；（6分）⑵ 如图②，若2BPCQ=，且E ，F ，G 分别为AP ，PQ ，PC 的中点，求四边形EPGF 的面积． （6分）图①QP D C ABG FE图②QP D C AB H G FE图②QPD CAB【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2007年，三明市中考 【解析】【答案】⑴ ∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C ∠=∠=︒．∴90CPQ PQC ∠+∠=︒．∵AP PQ ⊥ ，∴90CPQ APB ∠+∠=︒． ∴APB PQC ∠=∠． ∴ABP ∆∽PCQ ∆． ···························· 3分 ∴BP CQ AB PC =，即2482CQ =- ． ∴3CQ =． ····································· 6分⑵ 解法一：取BP 的中点H ，连结EH ，由2BPCQ=，设CQ a =，则2BP a = ， ∵E ，F ，G ，H 分别为AP ，PQ ，PC ，BP 的中点，∴EH ∥AB ，FG ∥CD ，又∵AB ∥CD ，90B C ∠=∠=， ∴EH ∥FG ，EH BC FG BC ⊥⊥，． ∴四边形EHGF 是直角梯形．∴1112222EH AB FG CQ a ====，，12HP BP a ==， 142HG HP PG BC =+==． ································· 9分 ∴12EHGF S EH FG HG =+梯形（）=1124422a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，11222EHP S HP EH a a ===△．∴44EHP EPGF EHGF S S S a a =-=+-=△四边形梯形． ································ 12分 解法二： 连结AQ ，由2BPCQ=，设CQ a =，则2BP a =， 4DQ a =-，82PC a =-， APQ ABPPCQ ADQ ABCD S S S S S =---△△△△矩形=1114824(82)8(4)222a a a a ⨯----⨯- =2416a a -+． ··················································· 9分 ∵E ，F ，G 分别是AP ，PQ ，PC 的中点，∴12EF AQ EF AQ =∥，． ∴PEF PAQ △∽△．∴14PEF APQ S S =△△，211(416)44PEF APQ S S a a ==-+△△． 同理：11(82)48PFG PCQ S S a a ==-△△．∴PEF PFG EPGF S S S =+△△四边形=211416)(82)48a a a a -++-（=4． ················ 12分【例7】 如图1，已知ABC ∆的高405453AE BC ABC ==∠=︒，，，F 是AE 上的点，G 是点E 关于F 的对称点，过点G 作BC 的平行线与AB 交于H 、与AC 交于I ，连接IF 并延长交BC 于J ，连接HF 并延长交BC 于K ．⑴ 请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明； ⑵ 当点F 在AE 上运动并使点H I K J ，，，都在ABC ∆的三条边上时，求线段AF 长的取值范围【考点】平行四边形的性质及判定，相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2005年，湖北宜昌 【解析】【答案】⑴ ∵点G 与点E 关于点F 对称，∴GF FE = …………1分∵HI BC ∥，∴GIF EJF ∠=∠，又∵GFI EFJ ∠=∠， ∴GFI EFJ ∆∆≌，∴GI JE = ………2分同理可得HG EK = ，∴HI JK =， ∴四边形HIKJ 是平行四边形 ………3分 (注：说明四边形HIJK 是平行四边形评1分，利用三角形全等说明结论的正确性评2分) ⑵ 当F 是AE 的中点时，A G ，重合，所以 2.5AF = …………4分如图，∵AE 过平行四边形HIJK 的中心∴HG EK GI JE ==，.∴HG GIBE EC=. ∵CE BE >，∴GI HG >， ∴CK GJ >.∴当点F 在AE 上运动时， 点K J ，随之在BC 上运动，如图，当点F 的位置使得B J ，重合时，这时点K 仍为CE 上的某一点（不与C E ，重合），而且点H I ，也分别在AB AC ，上.……6分（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分） 设EF x =，∵45AHG ABC ∠=∠=︒，5AE =，∴5BE GI ==，52AG HG x ==-，4053CE =-.……7分∵AGI AEC ∆∆∽，∴AG GIAE CE=. ∴52540553x -=- ……………9分 ∴1x =，∴54AF x =-= ∴542AF <≤.……………10分 C G IEKH F BA【例8】 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB BD BC ，，分别相交于点E P F ，，，且60BPF ∠=︒．E CB A图2图1图3图2图1lP FEDCBAlFP EDCBA lF PEDCBA⑴ 如图1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明； ⑵ 若直线l 向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；⑶ 探究：如图1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），12PF PE =？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008年，泰安市中考 【解析】【答案】⑴ BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△ 2分以BPF EBF △∽△为例，证明如下： 60BPF EBF ∠=∠= BFP BFE ∠=∠ ∴BPF EBF ∆∆∽ ·········································································· 4分 ⑵ 均成立，均为BPF EBF ∆∆∽，BPF BCD ∆∆∽ ··································· 6分⑶ BD 平分ABC ∠时，12PF PE =． ····················································· 7分证明：∵BD 平分ABC ∠ ∴30ABP PBF ∠=∠= ∵60BPF ∠= ∴90BFP ∠=∴12PF PB = ················································································ 8分又603030BEF ABP ∠=-==∠ ∴BP EP =∴12PF PE = ··············································································· 10分【例9】 把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．⑴ 如图9，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△． 此时，AP CQ =·_____．⑵ 将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<<，问AP CQ ⋅的值是否改变？说明你的理由．⑶ 在⑵的条件下，设24x <<，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．图3图2图1FED O ()MQ PCBAEF PQD O ()CBAFED O ()CB Q ()A【考点】相似三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2006年，湖南常德 【解析】【答案】⑴ 8⑵ AP CQ ·的值不会改变．理由如下：在APD △与CDQ △中，45A C ∠=∠=18045(45)90APD a a ∠=--+=- 90CDQ a ∠=-即APD CDQ ∠=∠ APD CDQ ∴△∽△AP CDAD CQ=∴22182AP CQ AD CD AD AC ⎛⎫==== ⎪⎝⎭∴⑶ 情形1：当045a <<时，24CQ <<，即24x <<，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ ，过D 作DG AP ⊥于G ，DN BC ⊥于N ， 2DG DN ==∴由（2）知：8AP CQ =得8AP x=于是111222y AB AC CQ DN AP DG =--88(24)x x x=--<<情形2：当4590a <≤时，02CQ <≤时，即02x <≤， 此时两三角板重叠部分为DMQ △，由于8AP x=，84PB x =-，易证：PBM DNM △∽△，BM PB MN DN =∴即22BM PB BM =-解得28424PB xBM PB x-==+- 84444xMQ BM CQ x x-=--=---∴ 于是1844(02)24xy MQ DN x x x-==--<-≤综上所述，当24x <<时，88y x x=--当02x <≤时，8444x y x x -=---2484y x x x =⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭或法二：连结BD ，并过D 作DN BC ⊥于点N ，在DBQ △与MCD △中，45DBQ MCD ∠=∠=45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC ∠=∠+∠=+∠=∠+∠=∠ DBQ MCD ∴△∽△ MC D B C D B Q =∴84MC x=-∴ 284844x x MQ MC CD x x x -+=-=-=--∴ 2148(02)24x x y DN MQ x x -+==<-∴≤法三：过D 作DN BC ⊥于点N ，在Rt DNQ △中，222DQ DN NQ =+24(2)x =+-248x x =-+ 于是在BDQ △与DMQ △中45DBQ MDQ ∠=∠= DMQ DBM BDM ∠=∠+∠45BDM =+∠BDQ =∠ BDQ DMQ ∴△∽△BQ DQDQ MQ=∴，即4x DQ DQ MQ -= 224844DQ x x MQ x x -+==--∴ 2148(02)24x x y DN MQ x x -+==<-∴≤N G FED O ()MQ PCBA EFP QD O ()CBA点评：本题就是例中两三角形相似的模型，对本题来说，两三角形有一组相等的边AD CD =，且AD CD ，为两个相似三角形的非对应边．故有22AD CD AD CD AP CQ ⋅===⋅．【例10】 已知：在∆ABC 中，AD 为BAC ∠的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且:4:3B CAE FE FD ∠=∠=，． ⑴ 求证：AF DF = ⑵ 求∠AED 的余弦值；⑶ 如果10BD =，求∆ABC 的面积．E MFDCBANE MFDC BANEMFD C B A【考点】公共边型相似问题，，等腰三角形的性质及判定 【难度】4星【题型】解答【关键词】2003年，北京中考 【解析】【答案】⑴ ∵AD 平分∠BAC∴BAD DAC ∠=∠，∵B CAE ∠=∠，∴BAD B DAC CAE ∠+∠=∠+∠ ∵ADE BAD B ∠=∠+∠，∴ADE DAE ∠=∠，∴EA ED = ∵DE 是半圆C 的直径 ∴90DFE ∠=︒ ∴AF DF = 2分 ⑵ 过A 点作AN BE ⊥于N在Rt DFE ∆中，∵:4:3FE FD =，∴可设4FE x =，则3FD x = 由勾股定理，得DE x =5∴53AE DE x AF FD x ====，∵1122ADE S AD EF DE AN ∆=⋅=⋅，∴AD EF DE AN ⋅=⋅，∴(33)45x x x x AN +⋅=⋅，∴245AN x =∴由勾股定理，得EN x =75∴775cos 525xEN AED AE x ∠===5分⑶ 解法一：过A 点作AN BE ⊥于N由cos ∠=AED 725 得sin ∠=AED 2425，∴2424255AN AE x ==在CAE ∆和ABE ∆中∵CAE B AEC BEA ∠=∠∠=∠，∴CAE ABE ∆∆∽，∴AE CEBE AE=∴2AE BE CE =⋅，∴25(5)(105)2x x x =+⋅解得x =2 7分∴244855AN x ==，∴5102152BC BD DC =+=+⨯= ∴11481572225ABC S BC AN ∆=⋅=⨯⨯= 8分解法二：在CAE ∆和BE ∆A 中∵CAE B AEC BEA ∠=∠∠=∠，，∴CAE ABE ∆∆∽，∴AE CEBE AE=∴2AE BE CE =⋅，∴25(5)(105)2x x x =+⋅解得x =2∴244855AN x ==BC BD DC =+=+⨯=1052215∴11481572225ABC S BC AN ∆=⋅=⨯⨯= .【例11】 已知，如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．⑴ 求证：212AD DE DB =⋅⑵ 过点E 作EG AF ⊥交AB 于点G ，若线段BE DE ，(BE DE <)的长是方程22320x ax a -+=(0)a >的两根，且菱形ABCD的面积为EG 的长．G FEDCBA【考点】公共边型相似问题，，菱形的性质及判定，一元二次方程的解法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】⑴ 方法一：取DE 中点M ，连接AM ， ∵AF AD ⊥，M 为DE 中点∴12MA MD DE ==，∴12∠=∠，321MG F EDCBA又∵AB AC =，∴23∠=∠，∴13∠=∠， ∴DAM DBA ∆∆∽， ∴2DA DM DB =⋅，∴212AD DE DB =⋅ 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵90EAD ∠=︒，∴AND EAD ∆∆∽，∴2AD DN DE =⋅，又∵12DN BD =，∴212AD DE BD =⋅⑵ ∵线段BE DE ，(BE DE <)的长是方程22320x ax a -+= (0)a >的两根，∴2BE a DE a ==，，由ADE FBE ∆∆∽可知22AD DE aBF BE a===，∴2ABBF=，∴AF =，∵菱形ABCD 的面积为∴BC =∴BC =由BEG BDA ∆∆∽可得133GE BE a AD BD a ===∴13GE AD ==【例12】 ABC ∆中，AB AC CD =，平分ACB ∠． ⑴ 若A x BDC y ∠=︒∠=︒，，则y 与x 之间的函数关系是_________； ⑵ 若BDC ∆三边长是三个连续正整数，求sin A ； ⑶ 在⑵的条件下求ADC ∆的面积．【考点】公共边型相似问题，等腰三角形的性质及判定 【难度】4星 【题型】解答【关键词】人大附2008-2009学年度第一学期初三年级数学练习2 【解析】【答案】⑴ 3454x +⑵ 经过分析可知，BD 必为BCD ∆的最小边，设BD n =，则12BC n DC n =+=+，，或12CD n BC n =+=+，． 方法一：延长CB 至E ，使得BD BE =，易证得12E EDB DBC ∠=∠=∠，∵CD 平分ACB ∠，ABC ACB ∠=∠，∴12BCD DBC ∠=∠∴E BDE BCD ∠=∠=∠，∴DC DE =，EDB ECD ∆∆∽， ∴2DE EB EC =⋅．∴2(2)(1)n n n n +=++ ① 或2(1)(2)n n n n +=++ ②， 解①得4n =，方程②无解． 则1526n n +=+=，．即456BD BC CD ===，，． 设AD x =，则4AC AB x ==+，由角平分线定理可知BC ACBD AD=，NFE DCBA(也可以过B 作BM CD ∥交AC 的延长线于M ．易得BC CM =．∵AC CM AD DB =，∴AC BCAD BD=) 即454x x +=，解得16x =， ∴1620AD AC ==，．设AN x =，则20CN x =-，由勾股定理可得：2222166(20)x x -=--，解得15.5x =由勾股定理可得DN∴sin A ． 方法二：作DBC ∠的角平分线BF 交CD 于F ．易证得DBF DCB ∆∆∽， 设BD n =，当1BC n =+，2CD n =+时，则2BD DF DC =⋅，∴22n DF n =+，∴244222n n FC n n n +=+-=++，则442n BF FC n +==+， 由DBF DCB ∆∆∽，∴BF BDBC CD=，即44212n n n n n ++=++，解得4n =． 当21BC n CD n =+=+，时，仿照上述方法无解． ∴1526n n +=+=，．即456BD BC CD ===，，． 接下来⑶1102ADC S AC DN ∆=⋅==．【点评】以上例题及变式都是构造如下基本图形利用2a bc =，从而达到求解的目的．DCBA 2112∠=∠，则ABD CBA ∆∆∽，∴2AB BD BC =⋅。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形在几何学中是一个重要的概念，它们具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形的性质有以下几个方面：1. 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。
具体来说，如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。
2. 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定是相似的。
具体来说，如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。
3. 高度比例相等：如果两个相似三角形之间的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。
换句话说，如果两个三角形的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。
二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么它们是相似的。
这是相似三角形的基本判定法。
2. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。
这是相似三角形的充要条件，也是最常用的判定法。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。
这是相似三角形的另一种判定法。
4. SAS判定法：如果两个三角形的两个对应边成比例，且夹角也相等，那么它们是相似的。
三、应用示例下面通过一个具体的示例来说明相似三角形的性质和判定方法。
假设有两个三角形ABC和XYZ，已知∠A = ∠X，∠B = ∠Y，且AB/XY = BC/YZ。
根据AA判定法可知，∠A = ∠X 和∠B = ∠Y，所以三角形ABC 与三角形XYZ相似。
根据对应边成比例可知，AB/XY = BC/YZ，所以三角形ABC与三角形XYZ相似。
因此，根据相似三角形的性质和判定方法，可以得出三角形ABC 与三角形XYZ是相似的。
结论：相似三角形具有相同形状但可能不同大小的特点。
判定两个三角形是否相似可以使用AA判定法、AAA判定法、SSS判定法和SAS判定法。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。
在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。
本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。
2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。
也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。
3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
也就是说，相似三角形的对应角度相等。
4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。
也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。
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3.3相似三角形的性质和判定（2）
学习重点：相似三角形的判定定理2，并能运用此定理判断相似三角形。
学习难点：相似三角形内的对应线段、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
预习与交流：
通过预习教材P74-P-76内容，试着完成下列各题。
1.三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两角和另一个三角形的两角_______，那么这两个三角形_______。
2.相似三角形的周长比等于_______，面积之比等于______________。
3.平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）所得的三角形与原三角形_______。
4.等边三角形相似吗？等腰三角形呢？
5.有一个锐角相等的两个直角三角形相似吗？
合作与探究
教学点1 相似三角形的判定定理2
归纳：两个角对应相等的两个三角形相似
例1 如图所示，在 △ABC 中，EF ∥BC 。
教学点 2 相似三角形的性质
归纳：相似三角形对应高的比、对应周长的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方。
例2 如图所示，△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，分别作BC ，B ’C ’的高AD ，A ’D ’。
学点训练
1.在△DEF 与△ABC 中，∠A=39°，∠B=61°，∠E=39°，∠F=80°，则________∽△ABC 。
2.任意两个等边三角形相似吗？________，理由________________________。
A B C
E
F
’ D ’
3.证明：顶角相等的两个等腰三角形相似。
4.如果两个三角形的相似比是1：3，那么这两个相似三角形的面积之比是________。
5.相似三角形面积之比等于对应高比的平方吗？为什么？
当堂检测
1.如图所示，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则
DO AO 等于（ ） A.
352 B. 31 C. 32 D. 21
2.△DEF 与△ABC 的相似比为2：1,△DEF 的面积为23cm ，△ABC 中，AB 的长为4cm ，
则AB 边上的高为（ ）
A.3cm
B.6cm
C.12cm
D.4cm
3.如图所示，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上的一点，连接AE ，交边CD 于点F ，在不添加任何互助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：________________。
4.已知△ABC ∽△DEF ，并且面积之比为4：25，求△ABC 与△DEF 的相似比________。
5.如图所示，在锐角△ABC 中，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高。
求证：
BC
AC BE AD
6. △A ’B ’C ’ ∽ △ABC ，他们的周长分别为13cm ，15.6cm ，AB=3cm ，求A ’B ’的长度。
F
E
教学反思：。