(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《抛物线》理 新人教B版
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《圆锥曲线的热点问题》理 新人教B版
[第53讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1162．在椭圆x 216＋y 24＝1中，以点(1，1)为中点的弦的斜率是( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－143．[2013·济宁模拟] 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交于不同两点，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 4．已知椭圆x 29＋y 24＝1的焦点分别为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标x 0的取值范围是________________．能力提升5．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)6．[2013·德化一中模拟] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上，下，左，右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(1，3)D ．(1，5)7．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C ．(0，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，128．[2013·哈尔滨第六中学三模] 过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23 C ．1 D.439．[2013·黄冈模拟] 若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 10．[2013·荆州中学三模] 抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0上，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PQ |的最小值为________．11．[2013·江西六校联考] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．12．[2013·咸阳三模] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心，右焦点，右顶点依次分别为O ，F ，G ，且直线x ＝a 2c 与x 轴相交于点H ，则|FG ||OH |最大时椭圆的离心率为________．13．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，m 交抛物线于A ，B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA |的取值范围是________．14．(10分)[2013·西城二模] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．15．(13分)[2013·海淀二模] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA →·QB →＝－716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．难点突破16．(12分)[2013·东北四校一模] 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t ，0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．课时作业(五十三)【基础热身】1．D [解析] 抛物线的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋18，代入抛物线方程得2x 2－kx －18＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－116.2．D [解析] 设弦的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，作差得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14.3．C [解析] 圆心到准线的距离为4，由题意只要|FM |>4即可，而|FM |＝y 0＋2，∴y 0>2.4．－355<x 0<355[解析] 方法一：以c ＝5为半径，O 为圆心的圆为x 2＋y 2＝5，求得该圆与椭圆的交点横坐标为x ＝±35，易知当∠F 1PF 2为钝角时，对应点的横坐标满足条件－355<x 0<355.方法二：已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，|PF 1|＝a ＋ex ＝3＋53x ，|PF 2|＝3－53x ，由余弦定理，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝59x 20－1⎝ ⎛⎭⎪⎫9－59x 20，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos∠F 1PF 2＜0，即－1<59x 20－1⎝ ⎛⎭⎪⎫9－59x 20<0，解得－355<x 0<35 5.【能力提升】5．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.6．D [解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于点(1，2)在上区域，故2>b a，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2< 5.又e >1，所以所求的范围是(1，5)． 7．A [解析] 根据已知，只能m >0，n >0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，即n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2.由于m >0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e <1.8．B [解析] 设M (x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y＝2，由此得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 0＝2|x 0y 0|.点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，等号当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时成立．9．B [解析] 因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，选B.10.41－2 [解析] 由抛物线的定义得，点P 到直线l 的距离为m 即为点P 到抛物线的焦点F (2，0)的距离．设线段FC 与圆交于点E ，则|FE |即为m ＋|PQ |的最小值．圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0化为标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，其半径r ＝2，故|FE |＝|FC |－r ＝（－3－2）2＋（－4－0）2－2＝41－2.11.263 [解析] 由已知得b a ＝3，此时b ＝3a 且双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以a 2＋e b ＝a 2＋23a ≥22a 3a＝263，等号当且仅当a ＝2时成立．12.12 [解析] 根据已知O (0，0)，F (c ，0)，G (a ，0)，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0，所以|FG ||OH |＝a －c a 2c＝ac －c 2a 2＝e －e 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＋14≤14，所以当|FG ||OH |最大时e ＝12.13.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p 2＝14，右端点是当直线的倾斜角等于π4时，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，根据题意点A 的横坐标是x ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－142＝34＋22，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.14．解：(1)依题意F (1，0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →， 所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|，＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4. 15．解：(1)由题意知，c ＝1.根据椭圆的定义得，2a ＝（－1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋22，即a ＝ 2.所以b 2＝2－1＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设在x 轴上存在点Q (m ，0)，使得QA →·QB →＝－716恒成立．当直线l 的斜率为0时，A (2，0)，B (－2，0)．则(2－m ，0)·(－2－m ，0)＝－716.解得m ＝±54.当直线l 的斜率不存在时，A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22. 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，－22≠－716，所以m ≠－54.下面证明m ＝54时，QA →·QB →＝－716恒成立．显然直线l 的斜率为0时，QA →·QB →＝－716.当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋1可得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0，显然Δ>0. ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2.因为x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫ty 1－14ty 2－14＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2－14t (y 1＋y 2)＋116＝－(t 2＋1)1t 2＋2＋14t 2t t 2＋2＋116＝－2t 2－2＋t 22（t 2＋2）＋116＝－716. 综上所述，在x 轴上存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得QA →·QB →＝－716恒成立． 【难点突破】16．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．抛物线焦点坐标(2，0)，所以a ＝2，ca＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.由韦达定理得y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4.① (NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA |＝|NB |⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得，(y 1－y 2)[(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0.由y 1≠y 2知(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4，所以实数t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。
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[第68讲 数学证明](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．下列符合三段论推理形式的为( ) A ．如果p ⇒q ，p 真，则q 真 B ．如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c C ．如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c D ．如果a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc2．[2013·郑州检测] 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A ．①B ．②C ．①②③D ．③3．[2013·太原检测] 已知p 是q 的充分不必要条件，则綈q 是綈p 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．[2013·石家庄模拟] 已知a i ，b i ∈R (i ＝1，2，3，…，n )，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．2C ．n 2D ．2n能力提升5．[2013·泰州模拟] 设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中正确判断的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小关系不定7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A <B <C C ．A ≥B ≥CD ．A >B >C8．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数9．观察数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则数26将出现在此数列的第( )A ．21项B ．22项C ．23项D ．24项10．[2013·河南示范性高中检测] 如图K68－1，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：－1仿此，52的“分裂”中最大的数是________，53的“分裂”中最小的数是________．11．[2013·哈尔滨模拟] 已知等比数列{a n }中，a 2＞a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1an≥0成立的最大自然数n 是________．12．如图K68－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 010a 2 011＝________．13．[2013·开封模拟] 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n.若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14．(10分)已知a ＞0，b ＞0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .15．(13分)[2013·湖北卷] (1)已知函数f(x)＝rx－x r＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且0<r<1.求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)′＝αxα－1.难点突破16．(12分)[2013·湖南卷] 已知数列{a n}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋a n＋2，n＝1，2，….(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．课时作业(六十八)【基础热身】1．B [解析] 由三段论的推理规则可以得到B 为三段论． 2．C [解析] 由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的．3．A [解析] 反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若p ⇒q ，则綈q ⇒綈p .4．A [解析] 此结论为“a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝1”的推广，类比可得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋b 212＋a 22＋b 222＋…＋a 2n ＋b 2n2＝1.【能力提升】5．B [解析] ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．6．B [解析] 假设a ≥b ，即c ＋1－c ≥c －c －1， ∴c ＋1＋c －1≥2c ，平方得2c ＋2c 2－1≥4c ，2c ≤2c 2－1，c ≤c 2－1，即c 2≤c 2－1， 0≤－1，这不可能，∴假设不成立，故a <b . 7．A [解析] a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .8．B [解析] 至少有一个的否定是一个也没有，即假设a ，b ，c 都不是偶数．9．C [解析] 数列中各项的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，…的规律呈现的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，…的规律呈现的，显然前五组不可能出现26，我们不妨再写几个对应的数组(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以发现第六组也不可，故只能是第七组的第二个．故这个数是第(1＋2＋…＋6＋2)项，即第23项．10．9 21 [解析] 由已知中“分裂”可得，故“52”的“分裂”21.11．5 [解析] ∵a 2＞a 3＝1，∴0＜q ＝a 3a 2＜1，a 1＝1q2＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝a 1（1－q n ）1－q－1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q＝a 1（1－q n ）1－q－q （1－q n ）a 1（1－q ）q ≥0，∴a 1（1－q n ）1－q ≥q （1－q n ）a 1（1－q ）q n.因为0＜q ＜1，所以，化简得a 21≥1qn －1，即q 4≤qn －1，∴4≥n －1，n ≤5，所以n 的最大值为5.12.2 0092 010 [解析] a n ＝3(n －1)，a n a n ＋1＝9n (n －1)，裂项求和即可． 13.332 [解析] sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.14．证明：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b －b＝（b ＋a ）（b －a ）a ＋（a ＋b ）（a －b ）b＝(a －b )(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝1ab(a －b )2(a ＋b )，∵a ＞0，b ＞0，∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .15．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k )1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立． 说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．【难点突破】16．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列． 于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝错误!＝q . 故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《变化率与导数、导数的运算》理 新人教B版
[第13讲 变化率与导数、导数的运算](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·江西卷] 若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x －23．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－14．y ＝cos x 1－x的导数是( ) A ．y ′＝cos x ＋sin x ＋x sin x （1－x ）2 B ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2 C ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x 1－xD ．y ′＝cos x ＋sin x －x sin x （1－x ）2能力提升5．[2013·沈阳模拟] 若函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π46．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2158．若曲线y ＝x －12在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．89．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 10．[2013·深圳模拟] 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________． 12．[2013·豫北六校联考] 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．13．已知f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x ，则f ′(0)＝________． 14．(10分)求下列函数的导数：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； (2)y ＝e 1－2x ＋ln(3－x )；(3)y ＝ln 1－x 1＋x.15．(13分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．难点突破16．(12分)用导数方法求和：1＋2x＋3x2＋…＋nx n－1(x≠0，1，n∈N*)．课时作业(十三)【基础热身】1．C [解析] f ′(x )＝2x －2－4x >0，即x 2－x －2x>0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2. 2．A [解析] ∵y ′＝ ⎪⎪⎪2（x ＋2）2x ＝－1＝2，∴切线方程为y ＝2x ＋1. 3．A [解析] ∵y ′＝2x ＋a⎪⎪⎪ )x ＝0＝a ，∴a ＝1，(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1. 4．B [解析] y ′＝－（1－x ）sin x －（－1）cos x （1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2. 【能力提升】5．D [解析] y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，故3π4≤α<π，α的最小值为3π4. 6．D [解析] f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×1＝－1，解得a ＝2. 7．C [解析] f ′(x )＝[x ·(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.8．A [解析] y ′＝－12x －32，所以k ＝－12a －32，切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0，得x ＝3a .所以三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.9．D [解析] 由于y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4e x ＋1′＝－4e x （e x ＋1）2，而α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则k ＝tan α＝－4e x （e ＋1）<0.又(e x ＋1)2≥(2e x )2＝4e x ，当且仅当e x ＝1，即x ＝0时，取等号，那么k ＝tan α＝－4e x （e x ＋1）2≥－1，即－1≤k <0，那么对应的α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．0或－23 [解析] 由题意2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23. 11．ln2－1 [解析] y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点(2，l n2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1. 12．2 [解析] 函数y ＝ln(x ＋a )的导数为y ′＝1x ＋a，设切点(x 0，y 0)，则切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，ln （x 0＋a ）－x 0x 0＋a＝1，解得a ＝2. 13．1 [解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －e －x e x ＋e －x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x －1e 2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e 2x ＋1′＝2(e 2x ＋1)－2·e 2x ·2＝4e 2x （e 2x ＋1）2，∴f ′(0)＝44＝1. 14．解：(1)y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ′－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ′＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (2)y ′＝e 1－2x ·(1－2x )′＋13－x ·(3－x )′＝－2e 1－2x ＋1x －3. (3)∵y ＝ln(1－x )－ln(1＋x )，∴y ′＝11－x ·(1－x )′＋11＋x (1＋x )′＝1x －1＋1x ＋1＝2x x 2－1. 15．解：(1)f ′(x )＝a －1（x ＋b ）2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1（2＋b ）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83. 因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数． 所以函数g (x )＝x ＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1，可知函数g (x )的图象按向量a ＝(1，1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1. 由f ′(x 0)＝1－1（x 0－1）2知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（x 0－1）2(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1，2x 0－1)．直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1，1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以，所围三角形的面积为定值2.【难点突破】16．解：逆用导数公式，把1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1转化为等比数列{x n }的前n 项和的导数，求解和式的导数即可．1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝x ′＋(x 2)′＋(x 3)′＋…＋(x n )′＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x （1－x n ）1－x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x ′ ＝[1－（n ＋1）x n ]（1－x ）＋（x －x n ＋1）（1－x ）21－（n＋1）x n＋nx n＋1＝（1－x）2。
2014届高三文科数学一轮复习讲义——抛物线
抛物线一.知识回顾:(一.)抛物线的定义:平面内到一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线(二 ) 抛物线几何性质:(三).二.例题分析抛物线定义应用【例1】设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆变式1:设点F(2,0)，动点P 到y 轴的距离为d ，求满足条件|PF|－d ＝2的点P 的轨迹方程变式2:顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点()3,M m -到焦点的距离等于5；【例2】已知AB 是过抛物线px y 22=(p>0)的焦点的弦,F 为抛物线的焦点, ),(),,(2211y x B y x A ,证明: （1）12||;AB x x p =++（2）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
抛物线的标准方程与性质【例3】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：⑴准线方程是x ＝－14； ⑵焦点在直线240x y --=上； ⑶过点P ()3,2-【例4】⑴已知抛物线的标准方程为0522=+x y ，则它的焦点坐标为________，准线方程为________⑵已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知抛物线上一点A (4，m )到准线距离为6，则m ＝_______. ⑶抛物线221x y -=的焦点坐标为________ 直线与抛物线的位置关系【例5】 ⑴已知正方形的一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，顶点C 、D 在抛物线x y =2上，求该正方形的边长． ⑵已知抛物线方程为)0(22>=p px y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值与抛物线有关的最值问题【例6】⑴已知抛物线x y 22=的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PF PA +的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标⑵已知抛物线x y 22=的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (2,3)，求PF PA +的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标⑶已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值⑷已知1l :4x －3y ＋6＝0和2l :x ＝－1,求抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值【习题】1. 抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ).A 2 .B 3 .C 4 .D 52. 抛物线2x y -=的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是( ).A 43 .B 73 .C 85 .D 33. 设抛物线px y 22= (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________4. 已知过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________ 5. 抛物线x y 42=的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为34，则焦点到AB 的距离是______6. 已知椭圆191622=+y x 的右焦点为2F ，在y 轴正半轴上的顶点为2B ，求分别以2F ，2B 为焦点的抛物线标准方程及其准线方程7. 设抛物线mx y =2的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线方程． 8.px y 22=(p ＞0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,一直角边的方程是y ＝2x ,斜边长是5,求此抛物线方程9. 顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线y ＝2x ＋1交于P 、Q 两点，已知PQ ＝15,求抛物线的方程 10. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P(2,2)为AB 的中点，求抛物线C 的方程 11. 已知△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为A(0,0)，B(6,0)，顶点C 在曲线32+=x y 上运动，求△ABC 重心的轨迹方程12. 抛物线x2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程⑸顶点在原点，对称轴为x 轴且截直线210x y -+=求抛物线的方程⑹过抛物线px y 22=的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝6. 求抛物线的方程。
2014高考数学(理)一轮复习学案课件 第8编 抛物线
考纲解读 考向预测 课前热身
考点突破
即时巩固 课后拔高
考点 四 考点 三 考点 二 考点 一
真题再现 误区警示 规律探究
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(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《函数与方程》理 新人教B版
[第11讲 函数与方程](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)2．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．[2013·东北名校二模] 若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >0），3x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，＋∞)能力提升5．[2013·海口一模] 函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2) 6．[2013·厦门模拟] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在(－1，0)上恰有一个零点B ．f (x )在(0，1)上恰有一个零点C ．f (x )在(－1，0)上恰有两个零点D ．f (x )在(0，1)上恰有两个零点7．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．58．[2013·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 9．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．若方程f (x )＝0有2 013个实数解，则这2 013个实数解之和为________．10．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．11．[2013·温州质检] 对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．难点突破13．(1)(6分)已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)(2)(6分)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 因为f (－1)f (0)<0，所以区间(－1，0)是函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间，故选B.2．B [解析] 根据函数的零点存在定理得到f (1)f (2)＝(－1)×12<0，故函数的一个零点在区间(1，2)内．3．C [解析] f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0，2)恒为负，即f (x )在(0，2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，∴f (x )在(0，2)内只有一个零点．故选C.4．D [解析] 在同一坐标系内分别作出y 1＝f (x )，y 2＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴的截距，结合图形可知当a >1时，直线y 2＝－x ＋a 与y 1＝log 2x 只有一个交点，即a ∈(1，＋∞)．【能力提升】5．C [解析] ∵f (－1)＝e －1－1－2<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝e ＋1－2>0，∴函数的零点所在区间为(0，1)．6．A [解析] 因为f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 010>0，x ∈(－1，0)，所以函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011在(－1，0)单调增，f (0)＝1>0，f (－1)<0，选A.7．D [解析] 定义在R 上的函数f (x )是奇函数，f (0)＝0，又是周期函数，T 是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0，则n 可能为5.8．B [解析] f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图．∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.9．0 [解析] 由奇函数的性质得f (0)＝0，其余2 012个实数解互为相反数，则这2 013个实数解之和为0.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 [解析] 计算函数f (x )＝x 3－2x －1在x ＝1，32，2处的函数值，根据函数零点的存在定理进行判断．f (1)<0，f (2)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32f (2)<0，故下一步断定该根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2内． 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [解析] 因为f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln a ＋a ＝ka ，ln b ＋b ＝kb ，则g (x )＝ln x ＋(1－k )x 在(0，＋∞)上有两个零点，即y ＝ln x 与y＝(k －1)x 相交于两点，所以k －1>0.当k ＝1＋1e 时相切，所以1<k <1＋1e.12．解：(1)若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.(2)若a ≠0，①令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.当a ＝－3－72时，y ＝f (x )恰有一个零点在[－1，1]上；②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时， y ＝f (x )在[－1，1]上也恰有一个零点．③当y ＝f (x )在[－1，1]上有两个零点时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1≤－12a ≤1，af （1）≥0，af （－1）≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上，所求实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >1或a ≤－3－72. 【难点突破】13．(1)C (2)A [解析] (1)①当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．②当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，(i)有且只有一根在[0，1]上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；(ii)有两根在[0，1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<m －12<1，f （0）>0，f （1）>0，此时无解； (iii)当f (0)＝0时，m ＝0，方程可化为x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；(iv)当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，0]．(2)f (0)＝4sin1>0，f (2)＝4sin5－2，由于π<5<2π，所以sin5<0，故f (2)<0，故函数在[0，2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1，－π2<－1<－π6，所以sin(－1)<－12，故f (－1)<0，故函数在[－1，0]上存在零点，也在[－2，0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2，4]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－24＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0，而f (2)<0，所以函数在[2，4]上存在零点．排除法知函数在[－4，－2]上不存在零点．。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》理 新人教B版
[第64讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1设Y ＝2X ＋A.73B ．4C ．－1D ．12．[2013·潍坊模拟] 设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.802433．[2013·蚌埠质检] 若ξ～N (－2，σ2)，且P (－4<ξ<－2)＝0.3，则P (ξ>0)的值为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．[2013·郑州检测的概率分布列如下表：3请小牛同学计算ξ糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E ξ＝________．能力提升 5．[2013·西安远东一中月考] 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4006．某个数学兴趣小组有女同学3名，男同学2名，现从这个数学兴趣小组中任选3名同学参加数学竞赛，记X 为参加数学竞赛的男同学与女同学的人数之差，则X 的数学期望为( )A ．－35 B.25C.35 D ．－25 7．[2013·临沂二模] 某校在模块考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )A ．200B ．300C ．400D ．600 8．[2013·赣州质检] 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.169．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8B ．8C ．16D ．15.610．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率都为23，则该学生在面试时得分的期望值为________分．11．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X ，则X 的方差D (X )＝________．12．[2013·宁波一模] 已知某随机变量ξ的概率分布列如下表，其中x >0，y >0，随机变量ξ的方差D ξ＝12，则x ＋y ＝________.1若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内事件E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．14．(10分)[2013·武汉武昌区调研] 某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全(2)若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二(1)班的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )．15．(13分)[2013·北京海淀区二模] 某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择．(i)投资A且X1的数学期望E(X1)＝(ii)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0<p<1)和1－p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)<E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围．难点突破16．(12分)[2013·江苏卷] 设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ.课时作业(六十四)【基础热身】1．A [解析] E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73，故选A.2．D [解析] ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，∴E (X )＝n 3＝2，即n ＝6， ∴P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243，故选D. 3．A [解析] 由随机变量ξ～N (－2，σ2)，则其正态密度曲线关于直线x ＝－2对称． ∵P (－4<ξ<－2)＝0.3，∴P (－2<ξ<0)＝P (－4<ξ<－2)＝0.3，∴P (ξ>0)＝12[1－P (－2<ξ<0)－P (－4<ξ<－2)]＝0.2，故选A.4．2 [解析] 设“？”处数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以E ξ＝t ＋2(1－2t )＋3t ＝2.【能力提升】5．B [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)， 所以E ξ＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ， 则E (X )＝E (2ξ)＝2E ξ＝200，故选B.6．A [解析] X 的可能取值为－3，－1，1，P (X ＝－3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝－1)＝C 23C 12C 35＝610，P (X ＝1)＝C 13C 35＝310，所以E (X )＝(－3)×110＋(－1)×610＋1×310＝－35，故选A.7．A [解析] 由数学考试成绩ξ～N (90，a 2)，则其正态曲线关于直线x ＝90对称．又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，∴由对称性知，成绩在110分以上的人数约为总人数的121－35＝15，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有1 000×15＝200(人)，故选A.8．D [解析] 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤6，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，故选D.9．A [解析] X 的取值为6，9，12，相应的概率P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．15 [解析] 设面试时得分为随机变量ξ，由题意，ξ的取值可以是－15，0，15，30，则P (ξ＝－15)＝1－233＝127，P (ξ＝0)＝C 131－232·23＝29，P (ξ＝15)＝C 231－23·232＝49，P (ξ＝30)＝233＝827，∴E ξ＝－15×127＋0×29＋15×49＋30×827＝15.11．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看作8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，故D (X )＝8×12×12＝2. 12.34[解析] 由分布列性质，得2x ＋y ＝1，E ξ＝4x ＋2y ＝2. 又D ξ＝12，即D ξ＝(－1)2x ＋12·x ＝12，解得x ＝14，∴y ＝1－12＝12，故x ＋y ＝34.13．(0.1＋p )a [解析] 设要求投保人交x 元，公司的收益额ξ作为随机变量，则 P (ξ＝x )＝1－p ，P (ξ＝x －a )＝p ， ∴E ξ＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ， 即x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .14．解：(1)“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A ，则P (A )＝C 24＋C 26＋C 23＋C 25C 218＝29. (2)X 的所有可能取值为0，1，2.∵P (X ＝0)＝C 214C 218＝91153，P (X ＝1)＝C 14C 114C 218＝56153，P (X ＝2)＝C 24C 218＝6153，∴X 的分布列为∴E (X )＝0×153＋1×153＋2×153＝9.15．解：(1)由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0.4＋b ＝1，11a ＋12×0.4＋17b ＝12， 解得a ＝0.5，b ＝0.1，(2)X 2的可能取值为4.12，11.76，20.40.P (X 2＝4.12)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (X 2＝11.76)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (X 2＝20.40)＝p (1－p )． 所以X 2的分布列为(3)由(2)E (X 2)＝4.12p (1－p )＋11.76[p 2＋(1－p )2]＋20.40p (1－p )＝－p 2＋p ＋11.76. 因为E (X 1)<E (X 2)，所以12<－p 2＋p ＋11.76，解得0.4<p <0.6.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6)． 【难点突破】16．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E ξ。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《几何概型》理 新人教B版
[第61讲几何概型](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[2013·武汉武昌区调研] 在区间[—1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相交的概率为( )A.12B.13C.33D.322．[2013·衡水一中调研] 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )图K61－3．[2013·石家庄质检] 已知函数y＝sin x，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M，若随机向圆O：x2＋y2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是( )A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3图K61－24．为了测算如图K61－2所示阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是________________________________________________________________________．能力提升5．[2013·邯郸一模] 某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为( )A.12B.14C.23D.346．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为( )A.π4B．1－π4C.π8D．1－π87．[2013·临沂模拟] 扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图K61－3中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A.310B.15C.25D.128．[2013·汕头质检] 已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( ) A.316 B.38 C.34 D.129．[2013·武汉调研] 有一根长为1 m 的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于18m 的概率为________．K61－410．图K61－4(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积为________．11．如图K61－5，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ，x ∈(0，π)及直线x＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则a 的值是________．12．(13分)[2013·吉林一模] 记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0表示的平面区域为M .(1)画出平面区域M ，并求平面区域M 的面积；(2)若点(a ，b )为平面区域M 中任意一点，求直线y ＝ax ＋b 的图象经过第一、二、四象限的概率．图K61－6难点突破13．(12分)[2013·青岛一模] 已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，记A ＝{y ＝f (x )有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A 发生的概率．课时作业(六十一)【基础热身】1．C [解析] 由于试验的全部结果构成的区域长度为1－(－1)＝2，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，要使直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线y ＝k (x ＋2)的距离d ＝|2k |k 2＋1≤1，解得－33≤k ≤33，根据几何概型的概率公式，可得所求的概率P ＝2332＝33，故选C. 2．A [解析] 利用几何概型的概率公式，得P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )，故选A.3．B [解析] 构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y ＝sin x (x ∈[－π，π])与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性，得区域M 的面积为S ＝2⎠⎛0πsin x d x＝－2cos x⎪⎪⎪ )π0＝4，所以由几何概型的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3，故选B .4．9 [解析] 点落在阴影部分的频率是200800＝14，由于是随机的投掷点，点落在正方形内各点是随机的，因此我们就有理由相信阴影部分的面积就是整个正方形面积的14，故阴影部分的面积约为14×36＝9.【能力提升】5．B [解析] 由题意知问题与时间长度有关，可作为几何概型求解，因为电台整点报时，则事件总数包含的时间长度是60，设事件A 表示“他等待的时间不多于15分钟”，事件A 包含的时间长度是15，由几何概型的概率公式得到P(A)＝1560＝14，故选B .6．C [解析] 构成试验的全部区域为长方形ABCD 的内部，长方形ABCD 的面积为S ＝4×1＝4；以M 点为圆心，以1为半径在长方形ABCD 中作半圆，则该半圆内的任一点与M的距离小于1，半圆的面积S 1＝12π·12＝12π，因此P 与M 的距离小于1的概率为π24＝π8，故选C .7．A [解析] 依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB ，AOC ，AOD ，A OE ，EOB ，EOC ，EOD ，DOC ，DOB ，COB ，其中面积恰为π8的扇形即相应圆心角恰为π4的扇形共有3个(即扇形AOD ，EOC ，BOD)，因此所求的概率等于310，故选A .8.B [解析] 所求概率为图中阴影部分的面积与正方形面积的比值．正方形的面积为4，阴影部分的面积为正方形面积减去三个小直角三角形面积所得的差，其值为4－1－1－12＝32，所以所求概率为P ＝32÷4＝38，故选B . 9.34[解析] 选择长度为相应测度，试验的全部结果构成的区域长度为1，用A 表示事件“两截的长度都大于18 m ”，则从中间将细绳剪断，剪得两段的长都大于18m ，临界处为1－18×2＝34 m ，故使两截的长度都大于18 m 的概率P(A)＝341＝34. 10．3 [解析] 设长方体的高为h ，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h ，宽为1＋2h ，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h.由几何概型的概率公式知2＋4h （2＋2h ）（1＋2h ）＝14，得h ＝3，所以长方体的体积是V ＝1×3＝3.11.2π3[解析] 构成试验的全部区域为长方形OABC 的内部，长方形OABC 的面积为S＝a×8a ＝8；阴影部分的面积S 1＝⎠⎛0asin x d x ＝－cos x⎪⎪⎪ )a 0＝1－cos a ，由几何概型的概率公式，得 S 1S ＝316，即1－cos a 8＝316，解得cos a ＝－12，则a 的值是2π3. 12．解：(1)如图，△ABC 的内部及其各条边就表示平面区域M ，其中A －32，12，B(1，3)，C(1，－2)，∴平面区域M 的面积为12×52×5＝254.(2)要使直线y ＝ax ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，又点(a ，b)的区域为M ，故使直线y ＝ax ＋b 的图象经过第一、二、四象限的点(a ，b)的区域为第二象限的阴影部分，故所求的概率为P ＝2－12×12×1254＝725.【难点突破】13．解：(1)∵函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a.当a ＝1时，b ＝－1；当a ＝2时，b ＝－1，1；当a ＝3时，b ＝－1，1. 记B ＝{函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数}， 则事件B 包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，∴P(B)＝515＝13.(2)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a>0，b>0，其面积S Ω＝12×8×8＝32，事件A 构成的区域A ＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a>0，b>0，f （1）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a>0，b>0，a －4b ＋1<0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，a －4b ＋1＝0，得交点坐标为315，95，∴S A ＝12×8－14×315＝96140，∴事件A 发生的概率为P(A)＝S A S Ω＝9611 280.。
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[第51讲 抛物线](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2，0) B ．(－2，0) C ．(4，0) D ．(－4，0)2．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(4，0)D ．(0，4)3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2，4)，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x4．[2013·西安质检] 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8能力提升5．[2013·石家庄质检] 已知抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，P 为抛物线的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．20B ．25C ．30D ．506．[2013·黄冈模拟] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．[2013·厦门质检] 抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2，22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1 B.32C ．2 D.528．[2013·四川卷] 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 59．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－210．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为11．[2013·陕西卷] 图K51－1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝12，则p 的值为________．13．[2013·重庆卷] 过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________． 14．(10分)[2013·广州调研] 设双曲线C 1的渐近线为y ＝±3x ，焦点在x 轴上且实轴长为1.若曲线C 2上的点到双曲线C 1的两个焦点的距离之和等于22，并且曲线C 3：x 2＝2py (p >0是常数)的焦点F 在曲线C 2上．(1)求满足条件的曲线C 2和曲线C 3的方程；(2)过点F 的直线l 交曲线C 3于点A ，B (A 在y 轴左侧)，若AF →＝13F ·B →，求直线l 的倾斜角．15．(13分)[2013·泉州质检] 已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离．(1)试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；(2)是否存在过N (4，2)的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？难点突破16．(12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(五十一)【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，故选B.2．B [解析] 根据抛物线定义，圆心到焦点的距离等于其到准线的距离．3．A [解析] 设所求抛物线方程为y 2＝ax ，依题意42＝2a ⇒a ＝8，故所求为y 2＝8x .4．C [解析] 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，对称轴为x 轴，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且垂直于对称轴的直线为x ＝p 2，交抛物线于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p 两点，线段AB 的长为8，故2p ＝8⇒p ＝4.【能力提升】5．B [解析] 抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A ，B两点，则|AB |＝2p ，|AB |＝10，所以抛物线方程为y 2＝10x ，P 为抛物线的准线上一点，P到直线AB 的距离为p ＝5，则△ABP 的面积为12×10×5＝25.6．D [解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5，所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．7．D [解析] 由点P (2，22)在此抛物线y 2＝mx 上，得m ＝4， ∴抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1，0)．又M 为线段PF 的中点，∴M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2， ∴M 到抛物线的准线x ＝－1的距离为52.8．B [解析] 设方程为y 2＝2px ，准线为x ＝－p 2，而M 点到准线距离为3，可知－p2＝－1，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，当x ＝2时，可得y 0＝±22，∴|OM |＝22＋（22）2＝2 3.9．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.10.324 [解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点F ，A 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝324. 11．2 6 [解析] 本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1 m 时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝6，所以此时水面宽为2 6 m.12．1 [解析] 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由AF →＝FB →得，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－t 22p ，－t ＝(－p ，y B )，由此得t 2＝3p 2，y B ＝－t .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，t ，则BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ＋p 2，2t ，BC →＝(0，2t )，所以BA →·BC→＝12得4t 2＝12，故p ＝1.13.56 [解析] 由抛物线方程可知p ＝1，焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，所以x 1＋x 2＝1312.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋14＝2x ，即k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2＝1312，所以k 2＝24，将k 2＝24代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，因为|AF |＜|BF |，所以解方程得x 1＝13，所以|AF |＝x 1＋p 2＝56.14．解：(1)双曲线C 1满足：⎩⎪⎨⎪⎧b 1a 1＝3，2a 1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，b 1＝32.则c 1＝a 21＋b 21＝1，于是曲线C 1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，曲线C 2是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2>b 2>0)，由题意⎩⎨⎧2a 2＝22，a 22－b 22＝1，得⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1，即C 2：x 22＋y 2＝1.依题意，曲线C 3：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，于是p 2＝1，所以p ＝2，曲线C 3：x 2＝4y .(2)由条件可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1.得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由AF →＝13FB →得－3x 1＝x 2，代入x 1＋x 2＝4k ，得x 1＝－2k ，x 2＝6k ，代入x 1x 2＝－4得k 2＝13，由于点A 在y 轴左侧，所以x 1＝－2k <0，即k >0，所以k ＝33，直线l 的倾斜角为π6. 15．解：(1)因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)方法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.①当直线m 的斜率不存在时，不合题意．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y －2＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(8k 2－4k ＋4)x ＋(2－4k )2＝0，(*)∴x 1＋x 2＝8k 2－4k ＋4k2＝8，解得k ＝1. 此时，方程(*)为x 2－8x ＋4＝0，其判别式大于零， ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.易判断直线m 不可能垂直y 轴，∴设直线m 的方程为x －4＝a (y －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝a （y －2），y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ay ＋8a －16＝0，∵Δ＝16(a －1)2＋48>0， ∴直线与轨迹C 必相交． 又y 1＋y 2＝4a ＝4，∴a ＝1. ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在轨迹C 上，∴有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，（1）y 22＝4x 2，（2）将(1)－(2)，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)．当x 1＝x 2时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，即直线AB 的斜率k ＝1， 注意到点N 在曲线C 的张口内(或：经检验，直线m 与轨迹C 相交)， ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0. 【难点突破】16．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：（x －1）2＋y 2－x ＝1(x >0)．化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m ，0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0⇔（y 1y 2）216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。