4.1线性微分方程的一般理论
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
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t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
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d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
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线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
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函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
线性微分方程的一般理论
一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法
一、解的存在唯一性定理
二、齐线性方程的解的 结构与性质
三、非齐线性方程与常数变易法 一、解的存在唯一性定理 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 一、解的存在唯一性定理 二、齐线常数变易法 一、解的存在唯一性定理 一、解的存在唯一性定理 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的 结构与性质 二、齐线性方程的解的结构与性质 一、解的存在唯一性定理 1 线性微分方程的一般理论 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 一、解的存在唯一性定理 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的 结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的结构与性质 二、齐线性方程的解的 结构与性质 一、解的存在唯一性定理
三、非齐线性方程与常数变 易法
习题: p112 1;2;4;6;8
4.1线性微分方程的一般理论
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, a t b,
因为c1 , c 2 , , c n不全为 ，这就与x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t )线性无关的假 0 设矛盾，定理得证．
根据定理 和定理4可知，由n阶齐次线性微分方程4.2) 3 ( 注： 的n个解构成的朗斯基行列 式或者恒等于零，或者 在方程的系数 为连续的区间内处处不 等于零．
任意常数我们指出，这些常数是 . 相互独立的 .事实上
x c1 x c1 ( n 1 ) x c1 x c 2 x c 2 ( n 1 ) x c 2 x c n x c n ( n 1 ) x c n
x1 (t ) x1 x1 (t )
根据定理 ，方程(4.2)的满足初值条件 1
x1 (t 0 ) 1, x1 (t 0 ) 0, , x1 ( n 1) (t 0 ) 0, ( n 1) (t 0 ) 1, , x 2 (t 0 ) 0, x 2 (t 0 ) 0, x 2 x (t ) 0, x (t ) 0, , x ( n 1) (t ) 1, n 0 n 0 n 0
n个线性无关的解，则方 (4.2)的通解可表示为 程 x c1 x1 (t ) c 2 x 2 (t ) c n x n (t ), (4.11)
其中c1 , c 2 , , c n 是任意常数 且通解(4.11)包括了方程 4.2)的所有解 , ( .
( n 证明 首先由叠加原理知4.11)是(4.2)的解，它含有 个
c1 x1 (t 0 ) c 2 x 2 (t 0 ) c n x n (t 0 ) 0, c1 x1 (t 0 ) c 2 x 2 (t 0 ) c n x n (t 0 ) 0, (4.9) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0 0 2 2 0 n n 0 1 1
3第三章 线性微分方程
第三章 线性微分方程线性微分方程是常微分方程理论的重要组成部分，它在自然科学和工程技术方面有着极其广泛的应用，很多实际问题都可以用线性微分方程来处理.在第一章中，我们学习了一阶线性微分方程的处理方法，本章介绍高阶线性微分方程的概念以及常系数线性微分方程的解法.3.1 线性微分方程的一般理论在第一章，我们介绍了一阶线性微分方程)()(x q y x p y =+'的解法，这里介绍n 阶线性微分方程的概念，以及解的存在唯一性定理.首先来研究下面一个实际的例子.例1 弹簧振动设一质量为m 的物体A 悬挂在一上端固定的弹簧的末端（假设弹簧的质量相对于物体A 的质量可以忽略）试求该物体在外力)(t f 作用下的所满足的微分方程.当物体A 不受外力时，重力与弹簧的拉力平衡时的位置选为坐标轴x 的原点O ，向下的方向取为x 轴的正向.设t 时刻，物体A 的位移为)(t x ，速度为)(t v ，加速度为)(t a ，则22)(,)(dtx d t a dt dx t v ==. 由牛顿第二定律知，ma F =，其中m 是物体A 的质量，a 是加速度，F 是合外力.下面对物体A 所受到的力进行分析，由以下几个部分构成.（1）弹簧的拉力1f ，设弹簧的弹性系数为k ，在t 时刻，物体的位移为)(t x ，依据胡克定律知kx f -=1（2）空气的阻力2f ，当速度不太大时，空气的阻力与物体的速度成正比，设比例常数为)0(>μ，因为阻力的方向与速度的方向相反，所以dtdx v f μμ-=-=2 （3）外力)(t f因此，我们得到合外力)(t f dtdx kx F +--=μ 代入ma F =得物体A 所满足的微分方程为)(22t f kx dt dx dtx d m =++μ （3.1） 那么物体A 的运动规律方程)(t x 就是上述微分方程（3.1）的解，如何解该方程是我们本章学习的重点.方程（3.1）和我们第一章中所学的一阶线性微分方程一样，都是线性微分方程，因为方程（3.1）中的导数的最高阶数为2，所以（3.1）是二阶线性微分方程.一般的n 阶线性微分方程具有如下的形式：)0)((),()()()()(01)1(1)(0≠=+'+++--x a x y x a y x a y x a y x a n n n n ϕ因为0)(0≠x a ，所以上式可化为)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2） 其中)()()();,,2,1(,)()()(00x a x x f n i x a x a x p i i ϕ=== 方程（3.2）的初值条件为)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y （3.3） 方程（3.2）在什么条件下存在满足初值条件（3.3）的解呢？有解的话，其解是否唯一？存在区间又是什么呢？为了解决这些问题，我们先给出一般的n 阶方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y满足初值条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 的解的存在唯一性定理.定理3.1 如果函数),,,,()1(-'n y y y x f 在闭区域1)1(0)1(100001,,,,:---+≤-≤'-'≤-≤-n n n n b y y b y y b y y a x x R上满足（1）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上连续；（2）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上关于变量)1(,,,-'n y y y 满足李普希兹条件，即存在正数N ，使得对于任何一对点1)1(222)1(111),,,,(),,,,,(+--∈''n n n R y y y x y y y x ，总有)(),,,,(),,,,()1(2)1(12121)1(222)1(111-----++'-'+-≤'-'n n n n y y y y y y N y y y x f y y y x f 则初值问题⎩⎨⎧='='='=---)1(00)1(0000)1()()(,,)(,)(),,,,(n n n n y x y y x y y x y y y y x f y 在0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解)(x y ϕ=. 这里),,,,(max },,,,,min{)1(),,,,(11001)1(-∈'-'==+-n R y y y x n y y y x f M Mb M b M b a h n n . 定理3.1的证明和第二章中的解的存在唯一性定理的证明是相仿的，读者可以模仿定理2.1的证明，完成定理3.1的证明.n 阶线性微分方程（3.2）只是一般的n 解微分方程的一种特殊形式，和一阶线性微分方程类似，有如下的解的存在唯一性定理.定理3.2 如果方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，则初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)()()()()(n n n n n n y x yy x y y x y x f y x p y x p y x p y 在],[b a 上存在唯一解)(x y ϕ=.该定理的证明可以利用定理3.1，只要),,2,1)((n i x p i =以及)(x f 在区间],[b a 上连续，则该初值问题就满足了定理3.1的两个条件，从而定理3.2是成立的.如无特别声明，在本章的讨论中，总假定方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，从而，方程（3.2）满足初值条件（3.3）的解在闭区间],[b a 上存在且唯一.特别地，如果0)(=x f ，则方程（3.2）变为0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n （3.4）方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程；如果0)(≠x f ，则称方程（3.2）为n 阶线性非齐次微分方程.这时，称方程（3.4）为方程（3.2）所对应的n 阶线性齐次微分方程.3.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程，对于这类方程应该如何处理呢？我们先研究方程（3.4）的解的性质（1）如果1y 是方程（3.4）的解，则对任意常数C ，1Cy 也是方程（3.4）的解.证明 因为1y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(111)1(11)(1Cy x p Cy x p Cy x p Cy n n n n +'+++--00))()()((111)1(11)(1=⨯=+'+++=--C y x p y x p y x p y C n n n n 因此，1Cy 也是方程（3.4）的解.（2）如果21,y y 是方程（3.4）的解，则21y y +也是方程（3.4）的解.证明 因为21,y y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 0)()()(221)1(21)(2=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(21211)1(211)(21y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--))(())((])())[(()()(21211)1(2)1(11)(2)(1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- ))()()(())()()((221)1(21)(2111)1(11)(1y x p y x p y x p y y x p y x p y x p y n n n n n n n n +'+++++'+++=---- 000=+=因此，21y y +也是方程（3.4）的解.推论 如果n y y y ,,,21 是方程（3.4）的解，则对任意n 个常数n C C C ,,,21 ，线性组合n n y C y C y C +++ 2211也是方程（3.4）的解.该推论可由性质（1）和性质（2）直接推出.并且根据性质（1）和性质（2），我们可以得出，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的解构成一个线性空间，称为解的线性空间.例1 易于验证函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，因此，函数x x e C e C x y -+=21)(也是原方程的解.反过来，方程0=-''y y 的通解是不是x x e C e C x y -+=21)(呢？同样地，给出了方程（3.4）的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 后，含有n 个任意常数n C C C ,,,21 的函数)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是否就是线性齐次微分方程的通解呢？为了解决这个问题，我们首先给出函数组的线性相关和线性无关的概念.定义3.1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果其中的某个函数可由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性相关的.如果任何一个函数都不能由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性无关的.定理3.3（判定定理）函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.如果只有n k k k ,,,21 全为零时，0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n 才成立，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性无关.证明 如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n不妨假定01≠k ，则)()()(12121x y k k x y k k x y n n ---= 即)(1x y 可由)(,),(2x y x y n 线性表出，因此函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.由线性相关与线性无关的定义，我们可以很容易的得出下面的结论：（1）在函数组)(,),(),(21x y x y x y n 中，如果含有一个零函数，比如0)(=x y i ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关.事实上，)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即)(0)(0)(0)(0)(00)(1121x y x y x y x y x y x y n i i i ⨯++⨯+⨯++⨯+⨯=+-（2）如果函数组只含有两个函数)(),(21x y x y ，则它们线性相关等价于它们之比)()(21x y x y 为常数. 证明 如果)(),(21x y x y 线性相关，则其中的一个可以由另一个线性表出，不妨设)()(21x y x y →，则存在常数k ，使得)()(21x ky x y =，所以k x y x y =)()(21为常数. 反过来，如果)()(21x y x y 为常数，设k x y x y =)()(21，则)()(21x ky x y =， 即)()(21x y x y →，所以)(),(21x y x y 线性相关.例2 函数组x x e x y e x y -==)(,)(21在任意区间是线性无关的.证明 因为x e x y x y 221)()(=不是常数，所以x x e x y e x y -==)(,)(21线性无关. 例3 函数组x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===在任意区间上是线性相关的.证明 因为x x x 22sin cos 2cos -=，即)()()(321x y x y x y -=，所以函数组 x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===线性相关.对于一般的函数组，直接用线性相关和线性无关的定义，或者用定理3.3去判定是非常困难的.比如函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性相关的，还是线性无关的呢？为了解决这个问题，我们下面给出朗斯基（Wronski ）行列式的定义.定义3.2 设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，我们称行列式)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式.函数组的朗斯基行列式有如下的性质：定理3.4 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义而且线性相关，又对每个),,2,1)((n k x y k =存在1-n 阶导数，则它们的朗斯基行列式恒等于零.证明 因为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，所以其中的一个函数可由其余1-n 个函数线性表出，不妨设)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即存在1-n 个常数n i i k k k k k ,,,,,,1121 +-，使得)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i ++++++=++--而且有)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i '++'+'++'+'='++-- …………………………………………………………………………………………)()()()()()()1()1(11)1(11)1(22)1(11)1(x y k x y k x y k x y k x y k x y n nn n i i n i i n n n i --++------++++++= 则在朗斯基行列式)()()()()()()()()()()()()()1()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n i n n i i ----''''=的计算中，第一列乘以1k -，第二列乘以2k -，…，第1-i 列乘以1--i k ，第1+i 列乘以1+-i k ，…，第n 列乘以n k -后，全加至第i 列，则第i 列中的每个元素全为零，所以0)()()(0)()(0)()(0)()()()1()1(2)1(12121='''=---x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n nn n n n推论1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，如果存在某一点I x ∈0，使得0)(0≠x W ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关.该推论是定理3.4的逆否命题，所以显然是成立的.例4 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 在任意区间上是线性无关的.证明 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 的朗斯基行列式为01cos sin sin cos 0cos sin 0sin cos 1cos sin )(≠-=---=---=x x x x x x x x x x x W 所以函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性无关的.例5 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 （其中n λλλ ,,21两两互异）在任意区间上是线性无关的.证明 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 的朗斯基行列式为1121121)(1121121111)(21212121---+++---==nnn n nx x nn x n x n x n x x x x xn n n n e e e e e e e e e e x W λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∏≤<≤+++-=n j i i j xn e 1)()(21λλλλλ因为n λλλ ,,21两两互异，所以0)()(1)(21≠-=∏≤<≤+++n j i i j xn e x W λλλλλ ，因此，函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 线性无关.由定理3.4知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，则它们的朗斯基行列式恒为零；反过来，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式恒为零，能不能得出函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关呢？即朗斯基行列式恒为零是不是线性相关的充分必要条件呢？下面的例子给出了答案.例6 函数组,0,0)(21<≥⎩⎨⎧=x x x x y 0,0,0)(,22<≥⎩⎨⎧=x x x x y 显然是线性无关的，因为)()(21x y x y 不是常数.但是，它们的朗斯基行列式为 当0≥x 时，0020)(2==x x x W ，当0<x 时，0200)(2==xx x W . 即，对所有的R x ∈，朗斯基行列式恒为零.通过这个例子，我们可以看出即使函数组的朗斯基行列式恒为零，该函数组也有可能是线性无关的，所以函数组的朗斯基行列式恒为零是判定函数组线性相关的必要条件，而不是充分条件.我们只能用朗斯基行列式在某点处不为零，判定该函数组线性无关.但是，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解，这时它们的朗斯基行列式恒为零是判定该函数组线性相关的充分必要条件.这可由下面的定理得到.定理3.5 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，则它们的朗斯基行列式0)(≠x W在区间),(b a 上恒成立.证明 假设0)(≠x W 在区间),(b a 上不恒成立，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x W .构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='++'+'=+++---0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C n n n n n n n n n因为方程组的系数行列式0)(0=x W ，所以方程组有非零解，设为)0()0(2)0(1,,,n C C C （)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零） 以)0()0(2)0(1,,,nC C C 为系数，构造)(,),(),(21x y x y x y n 的线性组合)()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++=根据齐次线性微分方程解的性质知，它是方程（3.4）的解.而且满足初始条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=='++'+'='=+++=----0)()()()(0)()()()(0)()()()(0)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10)1(0)0(02)0(201)0(100)0(02)0(201)0(10x y C x y C x y C x yx y C x y C x y C x y x y C x y C x y C x y n n n n n n n n n n 而0)(≡x y 也是方程（3.4）的解，也满足0)(,,0)(,0)(0)1(00=='=-x y x y x y n .因为初值问题⎩⎨⎧=='==+'+++---0)(,,0)(,0)(0)()()(0)1(001)1(1)(x yx y x y y x p y x p y x p y n n n n n 的解是唯一的，所以0)()()()()0(2)0(21)0(1≡+++=x y C x y C x y C x y n n又)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零，由定理3.3知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关，这与函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关矛盾. 所以，假设不成立，因此，0)(≠x W 在区间),(b a 上恒成立. 推论2如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个解，如果存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0=x W则该解组在),(b a 上线性相关.该推论是定理3.5的逆否命题，所以显然是成立的. 推论3方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 在其定义区间),(b a 上线性无关的充要条件是，存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0≠x W . 这样，我们就可以得出下面的结论：设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠.这样，我们判定方程的n 个解是线性相关还是线性无关就可以看),,(0b a x ∈∀ )(0x W 是否为零.解决了线性相关与线性无关的判定问题后，我们继续解决线性齐次微分方程的通解问题，首先给出基本解组的概念.定义3.3 方程（3.4）的定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，称为方程（3.4）的基本解组.例7 在例1中，我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，而且x x e x y e x y -==)(,)(21是线性无关的两个解，即)(),(21x y x y 是方程0=-''y y的基本解组，那么x x e C e C x y -+=21)(是否为方程的通解呢？我们需要证明，方程的任一解是否可由基本解组线性表出？定理 3.6 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则对于（3.4）的任一解)(x y ，均可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，存在一组数)0()0(2)0(1,,,nC C C ，使得 )()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++= .证明 设)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++'='++'+'=+++----)1(00)1(0)1(220)1(110002201100022011)()()()()()()()()(n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C因为)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的基本解组，即)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，所以它们的朗斯基行列式在0x x =的值不为零，即方程组的系数行列式0)(0≠x W ，因此方程组存在唯一的解，设其解为)0()0(2)0(1,,,n C C C ，这样，我们可以用)0()0(2)0(1,,,nC C C 构造函数 )()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y n n +++=根据线性齐次微分方程解的性质知，)(~x y 是方程（3.4）的解，而且)(~x y 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='='++'+'='=+++=-----)1(00)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10~)1(00)0(02)0(201)0(10~00)0(02)0(201)0(10~)()()()()()()()()()()()(n n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C x yy x y C x y C x y C x y y x y C x y C x y C x y 又)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 因为初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)(0)()()(n n n n n n y x y y x y y x y y x p y x p y x p y 的解是唯一的，所以)()()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y x y n n +++==即，)(x y 可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出. 由定理3.6，可以得出下面的基本定理.定理3.7（基本定理）如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的通解，其中n C C C ,,,21 是n 个任意常数.证明 首先由线性齐次微分方程解的性质知，对任意的n C C C ,,,21)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的解.其次，由定理3.6知，方程（3.4）的任一解均可由)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，任一解都可以表示成)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 的形式. 因此，)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是方程（3.4）的通解. 由基本定理可知，方程（3.4）的求解，关键是找到方程（3.4）的一个基本解组，即，方程（3.4）的n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n ，这样就可以很容易的写出方程（3.4）的通解：)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= .例8 求方程0=-''y y的通解.解 我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的两个线性无关的两个解，因此方程的通解为：x x e C e C x y -+=21)(.根据基本定理，我们可以得到下面的推论.推论4 n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个. 证明 设)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是方程（3.4）的任意1+n 个解.如果前n个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关的，则上述1+n 个解是线性相关的. 如果前n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，由定理3.6知，)(,),(),()(211x y x y x y x y n n →+所以)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是线性相关的. 因此，方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个.由推论4知，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个，那么方程（3.4）的线性无关解的个数是不是有且只有n 个呢？其基本解组存在吗？下面的定理可以回答这个问题.定理3.8 方程（3.4）总存在定义在),(b a 上的基本解组，即，总存在n 个线性无关的解.证明 在),(b a 上任取一点0x x =，由解的存在唯一性定理，方程（3.4）在),(b a 上必存在n 个解)(,),(),(),(321x y x y x y x y n ，它们分别满足下列初始条件：0)(,,0)(,0)(,1)(0)1(1010101==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,0)(,1)(,0)(0)1(2020202==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,1)(,0)(,0)(0)1(3030303==''='=-x y x y x y x y n………………………………………………………1)(,,0)(,0)(,0)(0)1(000==''='=-x y x y x y x y n n n n n由于这n 个解在0x x =点的朗斯基行列式的值011000010100001)(0≠==x W所以)(,),(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的解，从而它们是方程（3.4）定义在),(b a 上的基本解组.由定理3.8知，线性齐次微分方程（3.4）的基本解组一定存在，且含有n 个线性无关的解.而且方程（3.4）的解与它的系数之间满足如下的刘维尔（Liouville ）公式.定理3.9 设)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的任意n 个解，)(x W 是这n 个解的朗斯基行列式，则对),(b a 上的任一点0x x =，总有⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在给出定理3.9的证明之前，先给出行列式函数求导法则 设n 阶行列式函数为)()()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D nn n n n n n =则+'''+'''=)()()()()()()()()()()()()()()()()()())((212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a dxx D d nn n n n n nn n n n n n)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''+证明 当2=n 时，这时)()()()()()()()()(21122211222112112x a x a x a x a x a x a x a x a x D -===dxx D d ))((2)]()()()([)]()()()([2112221121122211x a x a x a x a x a x a x a x a '-'+'-' )()()()()()()()(2221121122211211x a x a x a x a x a x a x a x a ''+''= 当3=n 时，)()()()()()()()()()()()()()()()(3231222113333123211233322322113x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D +-==dx x D d ))((3)()()()()()()()()()()()()()()(323122211333312321123332232211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '+'-' ))()()()()(())()()()()(())()()()()((323122211333312321123332232211'+'-'+x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(333231232221131211333231232221131211333231232221131211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '''+'''+'''= 假设对1-n 阶方阵成立，则对于n 的情形有：)()()()()()()(1112121111x A x a x A x a x A x a x D n n n +++==dxx D d n ))(()]()()()()()([1112121111x A x a x A x a x A x a n n '++'+' )()([1111x A x a '+ )]()()()(111212x A x a x A x a n n '++'+ )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a nnn nn n nn n n n n nn n n n n '''++'''+'''=下面，我们给出定理3.9的证明.证明 因为)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=对朗斯基行列式求导得：)()()()()()()()()()()()()()()(2)(1)2()2(2)2(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n---'''=分别用)(,),(),(21x p x p x p n n -乘以上述行列式的第一行，第二行，…，第1-n 行后，全部加至第n 行，这时第n 行元素为：),,2,1(,)()()(1)2(2)(n i y x p y x p y x p y i n i n n i n i =+'+++--因为)(,),(),(21x y x y x y n 均是方程（3.4）的解，即),,2,1(,0)()()()(1)2(2)1(1)(n i y x p y x p y x p y x p y i n i n n i n i n i ==+'++++--- 所以),,2,1(,)()()()()1(11)2(2)(n i y x p y x p y x p y x p y n i i n i n n i n i =-=+'+++--- 所以第n 行元素可以换为：),,2,1(,)()1(1n i y x p n i =--因此)()()()()()()()()()()()()()()()()()(1)1(1)1(21)1(11)2()2(2)2(12121x W x p x y x p x y x p x y x p x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n -=---'''=------即)()()(1x W x p dxx dW -= 即dx x p x W x dW )()()(1-= 从0x 到x 积分得：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在前面我们已经得出：如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠. 现在刘维尔公式直接给出了n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式的值与它在某一点0x x =处的值之间的关系：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，则由刘维尔公式可以求得与)(1x y 线性无关的另一个解，从而可求得方程的通解.设)(x y 是二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的与)(1x y 线性无关的解，则由刘维尔公式得：)0()()(11≠⎰=''=-C Ce y y y y x W dxx p即⎰='-'-dxx p Ce y y y y )(11两边同时乘以211y 得： ⎰='-'-dx x p ey C y y y y y )(212111 积分得：⎰⎰⎰=⎰=--dx e y C dx e y C y y dxx p dx x p )(21)(2111 即⎰⎰=-dx e y Cy y dxx p )(2111 因此方程的通解为：⎰⎰+=-dx e y Cy y C x y dxx p )(2111*1)(. 例9 已知方程011)ln 1(2=-'+''-y xy x y x的一个解x y ln 1=，试求其通解.解 这里)1(ln 1)(--=x x x p ，由公式可得通解为：]ln 1[ln ]1[)1(ln 1ln 12*)1(ln 121*1⎰⎰⎰+=⎰+=---dx e xC C x dx e y C C y y x d x dx x x)]ln 1ln 1([ln ]ln 1ln [ln 2*2*⎰⎰⎰-+=-+=dx x dx x C C x dx xx C C x Cx x C xCx C x dx x x xd x x C C x +=+=--+=⎰⎰ln )ln (ln )]ln 1ln 1ln ([ln **2*. 上述例子表明，一个二阶的线性齐次微分方程，如果能得到其一个非零解，利用刘维尔公式可求得该线性齐次微分方程的通解.我们也可以采用换元法，将二阶线性齐次微分方程降阶为一阶微分方程，从而求得该方程的通解，下面介绍一下换元法.对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，下面做变量代换，令z y y 1=则z y z y z y y z y z y y ''+''+''='''+'='111112,，代入原方程得： 0)())((2111111=+'+'+''+''+''z y x q z y z y x p z y z y z y 即0))(2())()((111111=''+'+'++'+''z y z y x p y z y x q y x p y 因为)(1x y 是原方程的解，所以0)()(111=+'+''y x q y x p y ，从而上式可化为： 0))(2(111=''+'+'z y z y x p y 令u z ='，则u z '=''，代入得：0))(2(111='++'u y u y x p y 降为了一阶微分方程，而且是变量可分离的方程，整理得：dx y y x p y u du111)(2+'-=102积分得：⎰=+'-dxy y x p y Ceu 111)(2.从而得到⎰⎰⎰=⎰=+'-+'-dx Cey y dx Cez dxy y x p y dxy y x p y 111111)(21)(2,.因此方程的通解为：⎰⎰+=+'-dx eCy y C x y dx y y x p y 111)(211*)(.例10 求方程066323=-'+''-'''y y x y x y x的通解，已知它的两个特解221,x y x y ==.解 令xz y =，则z z x y z z x y z z x y ''+'''=''''+''=''+'='3,2, 代入066323=-'+''-'''y y x y x y x 得：06)(6)2(3)3(23=-+'+'+''-''+'''xz z z x x z z x x z z x x即04='''z x ，所以,,,12321x z x z z ===因此33x y =故原方程的通解为：33221x C x C x C y ++=.习 题 3.21.试讨论下列各函数组在它们的定义区间上是线性相关的还是线性无关的？（1）;sin ,cos ,2sin t t t （2）;tan ,cos ,sin x x x （3）;42,2,322+++-x x x x x （4）.,,2t t t e t te e2.设在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(x p 在某区间I 上连续且恒不为零，103试证它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I 上的严格单调函数.3.试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数.4.已知方程022)1(2=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.5.已知方程0)1(=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.6.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.7.设)(1x y 是n 阶线性齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x a y x a y x a y n n n n的一个非零解.试证明：利用线性变换z x y y )(1=可将已知方程化为1-n 阶的齐次方程.3.3 n 阶线性非齐次微分方程的一般理论对于线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2）而言，我们首先研究其解与对应的线性齐次微分方程解之间的关系.（1）如果)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解，)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.证明 因为)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解， 所以0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n因为)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解， 所以)()())(())(()(**1)1(*1)(*x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(**1)1(*1)(*y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--104))(())()(())()(()(**1)1(*)1(1)(*)(y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- )1(*1)(*1)1(1)())(()(())()()((---+++'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y )()(0))())((**1x f x f y x p y x p n n =+=+'++- . 即，)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.（2）如果)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.证明 因为)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，所以)()())(())(()(*1*11)1(*11)(*1x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- )()())(())(()(*2*21)1(*21)(*2x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(*2*1*2*11)1(*2*11)(*2*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n -+'-++-+---))(())())((())())((()()(*2*1*2*11)1(*2)1(*11)(*2)(*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n -+'-'++-+-=--- )1(*21)(*2*1*11)1(*11)(*1))(()(())())(())(()((---+-+'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y 0)()())())((*2*21=-=+'++-x f x f y x p y x p n n . 即，)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.根据上述两条性质，我们可以得到下面的定理. 定理3.10 n 阶线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--的通解等于它对应的齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的通解与它本身的一个特解之和.即)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=证明 因为)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ 是齐次方程（3.4）的解，)(*x y 是105非齐次方程（3.2）的解，由性质（1）知，)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=是非齐次方程（3.2）的解.下面证明非齐次方程（3.2）的任一解)(x y 都可以表示成)()()()(*2211x y x y C x y C x y C n n ++++事实上，因为)(x y 和)(*x y 都是非齐次方程（3.2）的解，由性质（2）知，)()(*x y x y -是齐次方程（3.4）的解，所以可表示成方程（3.4）的通解形式，即)()()()()(2211*x y C x y C x y C x y x y n n +++=-因此)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++= .故非齐次方程（3.2）的通解可以表示为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和.由定理3.10知，求解一个线性非齐次方程（3.2）的关键是先找到对应的线性齐次方程（3.4）的通解，再找到一个非齐次方程的特解就可以了，这时有非齐通解=齐通解+非齐特解.假定我们已经求得了线性齐次微分方程（3.4）的齐通解)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=这时，可以采用常数变易法求非齐次方程的特解)(*x y .下面来看一下n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法.已知)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是齐次方程（3.4）的通解，设)()()()()()()(2211*x y x C x y x C x y x C x y n n +++=是线性非齐次方程（3.2）的一个特解，为了将)(*x y 代入方程（3.2），我们需要首先计算)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数.则)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n '+'+'++'+'='106)]()(x y x C nn '++ 在求二阶导数之前，我们先研究一下特解)(*x y ，要想得到)(*x y ，必须求得)(,),(),(21x C x C x C n ，但是代入方程（3.2）只能得到一个等式，所以我们必须构造)(,),(),(21x C x C x C n 满足的另外1-n 个等式，因此在))((*'x y 中，令0)()()()()()(2211='++'+'x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n '++'+'=' 这时，再求))((*''x y ，有)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n ''+''+''++''+''='' )]()(x y x C n n ''++ 再令0)()()()()()(2211=''++''+''x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n ''++''+''='' 序行此法，可得)()([)]()()()()()([))(()1(11)2()2(22)2(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n -----+'++'+'= )]()()()()1()1(22x y x C x y x C n n n n --+++令0)()()()()()()2()2(22)2(11='++'+'---x y x C x y x C x y x C n n n n n则)()()()()()())(()1()1(22)1(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n ----++++=这时，再求)(*))((n x y ，有)()([)]()()()()()([))(()(11)1()1(22)1(11)(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n +'++'+'=--- )]()()()()()(22x y x C x y x C n n n n +++107最后将求得的)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数代入方程（3.2）得：)()()()([)]()()()()()({[)(22)(11)1()1(22)1(11x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n n ++'++'+'--- )]()()()()()()[()]}()()1()1(22)1(111)(x y x C x y x C x y x C x p x y x C n n n n n n n n ---++++++)()()[()]()()()()()()[(1122111x y x C x p x y x C x y x C x y x C x p n n n n +'++'+'++- )()]()()()(22x f x y x C x y x C n n =+++ 即)]()()()()()()()[(111)1(11)(11x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n +'+++-- ++'++++--)]()()()()()()()[(221)1(21)(22x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n )]()()()()()()()[(1)1(1)(x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n n n n n n +'++++-- )()]()()()()()([)1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'+---因为),,2,1(,0)()()()()()()(1)1(1)(n i x y x p x y x p x y x p x y i n i n n i n i ==+'+++-- 所以)()()()()()()()1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'---这样，就得到了)(,),(),(21x C x C x C n ''' 的n 个方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()()1()1(22)1(11)2()2(22)2(1122112211x f x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n nn n n n n n n 该方程组的系数行列式为)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式)(x W ，因为这n 个解是线性无关的，所以0)(≠x W ，因此，该方程组存在唯一解，这样就可以求得)(,),(),(21x C x C x C n ''' ，再逐个积分，求得)(,),(),(21x C x C x C n ，从而得到特解)(*x y .例1 求方程10812-=-''x xe e y y的通解.解 齐次方程0=-''y y的通解为：x x e C e C y -+=21.设xxe x C e x C x y -+=)()()(21*为方程12-=-''x xe e y y 的一个特解，则⎪⎩⎪⎨⎧-='-'='+'--12)()(0)()(2121x x xx x x e e e x C e x C e x C e x C ， 解方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-='-='x xx e e x C e x C 1)(11)(221，所以x e de ee de e e dx e x C xx x x x x x x --=--=-=-=⎰⎰⎰1ln )111()1(111)(1 )1(ln )111(11)(22xx x x x x x x x e e de e de e e dx e e x C +--=+--=-=-=⎰⎰⎰ 因此非齐特解为)11ln (1ln )(*+----=-x x x x x e e xe e e x y故方程的通解为)11ln (1ln )(21+----++=--x x x x x x x e e xe e e e C e C x y .例2 求方程)(2t f x x =+∙∙ω的通解. 解 对应的齐次方程020=+∙∙x x ω的通解为t C t C t x 0201sin cos )(ωω+=.。
第三章 微分方程方法
第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。
针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。
一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题。
3.1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dtdx(3.1) 其中),(x t f 是t 和x 的已知函数，00)(x t x =为初始条件，又称定解条件。
一阶微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧====),2,1( )(),2,1( ),,,,()0(021n i x t x n i n x x t f dtdx i i i i（3.2） 又称为一阶正规方程组。
如果引入向量T n x x x x ),,,(21 =，Tn x x x x ),,,()0()0(2)0(10 =，Tn f f f f ),,,(21 =，Tn dt dx dt dx dt dx dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,21 。
则方程组（3.2）可以写为简单的形式⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dtdx（3.3） 即与方程（3.1）的形式相同，当1=n 时为方程（3.1）。
对于任一高阶的微分方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11,,,,n n n n dt x d dt dx x t f dt x d ， 如果记),,2,1,0(n i y dtxd i i i ==，则方程为),,,;(1101--=n n y y y t f dt dy 即可化为一阶方程组的形式。
因此，下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论。
3.1.2微分方程解的存在惟一性正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理。
定理3.1（Cauchy-Peano ）如果函数),(x t f 在区域b x x a t t R ≤-≤-00;:上连续，则方程组（3.3）在h t t ≤-0上有解)(t x φ=满足初值条件)(00t x φ=，此处),(max ,,min ),(x t f M M b a h R x t ∈=⎪⎭⎫⎝⎛=。
第四章N阶线性微分方程
第四章 n阶线性微分方程§4.1 n阶线性微分方程的一般理论一、教学目的与要求：（1）了解n阶线性微分方程与生产实践的关系；（2）掌握n阶线性微分方程的有关基本概念.（3）理解函数组在区间I上线性相关和线性无关的概念, 函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义.（4）掌握n阶线性齐次微分方程和n阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明.（5）掌握刘维尔(Liouvill e)公式及其应用.二、教学重点，难点：（1）分析应用实例，建立满足相应问题的n阶线性微分方程.（2）掌握n阶线性微分方程的有关基本概念.（3）函数组在区间I上线性相关和线性无关的概念, 函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义, 以及它们之间的关系.（4）n阶线性齐次微分方程和n阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明.（5）刘维尔(Liouvill e)公式及其应用.4.1.1 线性微分方程的一般概念n阶线性微分方程在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用．在介绍线性方程的一般理论之前，先让我们来研究一个实际例子.例1弹簧振动.图 4-1设一质量为m的物体B被系于挂在顶板上一弹簧的末端，(我们将假设弹簧的质量与这一物体的质量比较起来是小的可以忽略不计的)，现在来求该物体在外力扰动时的运动微分方程式．当物体B不受外力扰动时，重力被作用于物体B上的弹簧的弹力所平衡而处于静止位置，把物体B的静止位置取为坐标轴x的原点0，向下方向取为正向，如图4-1的(a).若有一外力f (t )沿垂直方向作用在物体B 上，那么物体B 将离开静止位置0，如图4-1的(b )，记()x x t =表物体B 在t 时刻关于静止位置0的位移，于是22,dx d x dt dt 分别表示物体B 的速度和加速度．由牛顿第二定律F = ma , m 是物体B 的质量，22d xa dt=是物体B 位移的加速度，而F 是作用于物体B 上的合外力．这时，合外力F 由如下几部分构成．(1)弹簧的恢复力f 1，依虎克定律，弹簧恢复力f 1与物体B 的位移x 成正比，即1f cx =-式中比例常数c (>0)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力f 1的方向与位移x 的方向相反，所以上式右端添一负号．(2)空气的阻力f 2，当速度不太大时，空气阻力f 2可取为与物体B 位移的速度成正比，亦即2dx f dtμ=-式中比例常数(0)μ>叫作阻尼系数，式中右边的负号，是由于阻力f 2的方向与物体B 的速度dxdt的方向相反． (3) 外力()f t 因此，我们得到()dxF cx f t dtμ=--+ 从而我们得物体B 在外力()f t 作用下的运动微分方程式22()d x dxm cx f t dt dtμ++= (4.1) 我们将在本章第4节，详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动的性质．由于方程(4.1)是描述物体B 在外力f (t )经常作用下的运动，所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动． 例2 电振荡在很多无线电设备(如收音机和电视机)中,我们经常见到如图(4.2)的回路. 它由四个元件组成,即电源(设其电动势为E). 电阻R , 电感L 以及电容器C . 为了简单起见, 电容器的电容量我们也用C 表示.它所储藏的电荷量为q .这时电容器的两个极板分别带着等量但符号相反的电荷,极板间的电位差等于1c E q C=此外, 当电路中流过交流电时, 电容器极板上的电量以及它们的正负符号均随时间发生变化. 根据电流定义, 这时有dq i dt=. 根据基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律,在闭合回路中全部元件的电压的代数和等于零,即0di qE Ri Ldt C---= 整理后可得di qLRi E dt C+-= (4.2) 考虑到dqi dt=,上式可写成 22d q dq qL RE dt dt C+-= (4.3) 于是,得到了关于电荷量q 的方程.如果在式(4.2)两端对t 求导数,并假设E 是常量(直流电压),则可得关于电流的方程220d i di iL R dt dt C+-= (4.4)实验表明,在一定条件下,上述回路中的电流会产生周期振荡,因此我们把上述回路称为电振荡回路.不难看出,方程(4.1),(4.3)和(4.4)都具有一个明显的特点,就是在这些方程中,未知函数及其导数是一次式,因此这些方程称为线性微分方程.又由于出现在上述方程中的导数的最高阶数为2,故我们称上述方程为二阶线性微分方程.一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形状： ()(1)11()()()()n n n n yp x y p x y p x y f x --'++++= (4.5)方程(4.5)的初始条件记为(1)(1)000000(),(),,()n n y x y y x y y x y --''=== (4.6)n 阶线性微分方程与第三章讲过的一阶线性微分方程组有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者是等价的，这样就可以把前者作为后者的特例加以处理.在方程(4.5)中，令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===,(4.5)就可以化成一阶方程组1122111111()()()()n n n n n n dy y dx dy ydx dyy dx dy p x y p x y p x y f x dx-----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪=----+⎪⎩ (4.7)(4.7)可以写成向量形式 ()()dYA x F x dx=+ (4.8) 其中12101000010()()()()()n n n A x p x p x p x p x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦12100(),0()n y y F x Y y y f x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦方程组(4.8)的初始条件可记为00()Y x Y =其中001000(1)100()()()n n y x y y x y Y y x y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦引理4.1 方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解，则1111(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--===,是方程组(4.7)在区间I 上的解；反之，若(1)11(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--'===是方程组(4.7)在区间I 上的解，则()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.证明 设()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.令(1)121()(),()(),,()()n n x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ--'''=== (4.9)则有11211111()()()()()()()()()()()n n n n d x x dx d x x dx d x p x x p x x p x f x dxϕϕϕϕϕϕϕϕ---⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=----+⎪⎩ (4.10)在区间I 上恒成立. 这表明，1111(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--===是方程组(4.7)在区间I 上的解.反之，设1111(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--===是方程组(4.7)在区间I 上的解.于是(4.10)式在区间I 上恒成立.由(4.10)的前n-1个等式.可以看出，函数11(),(),,()n x x x ϕϕϕ-满足关系式(4.9)，将它们代入到(4.10)的最后一个等式，就有()(1)11()()()()()()()()n n n n x p x x p x x p x x f x ϕϕϕϕ--'++++=在区间I 上恒成立，这就表明()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.证毕. 由引理4.1和第三章的定理3.1′,我们立即可以得到下面的定理． 定理4.1 如果方程(4.5)的系数()(1,2,,)k p x k n =及其右端函数f(x)在区间I 上有定义且连续，则对于I 上的任一0x 及任意给定的(1)000,,,n y y y -'，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在I 上存在且唯一.在下面的讨论中，总假设(4.5)的系数()(1,2,,)k p x k n =及其右端函数f(x)在区间I 上连续，从而，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在整个区间I 上总存在且唯一.如果在(4.5)中，()f x 在区间I 上恒等于零, (4.5)变成 ()(1)11()()()0n n n n yp x y p x y p x y --'++++= (4.11)方程(4.11)称为n 阶线性齐次微分方程 (或简称n 阶齐次方程)，与此相应，(4.5)称为n 阶线性非齐次微分方程(或简称n 阶非齐次方程).有时，为了叙述上的方便，还称(4.11)为(4.5)的对应的齐次方程.4.1.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论由引理4.1，齐次方程(4.11)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组()dYA x Y dx= (4.12)这里()A x 和Y 与(4.8)中的相同.于是由第三章的定理3.2可知，齐次方程(4.11)的所有解也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质，进而搞清楚(4.11)的解的结构，我们需要下面的定义和引理.定义4.1 函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ称为在区间I 上线性相关，如果存在一组不全为零的常数12,,,n a a a ,使得1122()()()0n n a x a x a x ϕϕϕ+++= (4.13)在区间I 上恒成立. 反之，如果只当120n a a a ====时，才能使(4.13)在I 上成立，则称函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性无关.引理4.2 一组n -1阶可微的数值函数12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性相关的充要条件是向量函数组122(1)(1)(1)12()()()()()(),,,()()()n nn n n n x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4.14) 在I 上线性相关.证明 若12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性相关，则存在一组不全为零的常数12,,,n a a a ，使得1122()()()0n n a x a x a x ϕϕϕ+++= (4.15)0在I 上恒成立.将(4.15)0式对x 逐次微分n -1次，得1122()()()0n na x a x a x ϕϕϕ'''+++= (4.15)1 … … … … … … … … … … …(1)(1)(1)1122()()()0n n n n n a x a x a x ϕϕϕ---+++= (4.15)n -1联合(4.15)0，(4.15)1，…，(4.15)n -1，就得到向量函数组(4.14)是线性相关的. 反之，若向量函数组(4.14)在I 上线性相关， 则存在不全为零的常数12,,,n a a a ，使得(4.15)０，(4.15)１，…，(4.15)n-1各式在I 上恒成立，由(4.15)０表明12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I上线性相关. 证毕.由引理4.2，为了建立函数组线性相关与线性无关的判别法则，自然需要引入下面的定义.定义4.2 设函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ中每一个函数()(1,2,,)k x k n ϕ=均有n -1阶导数，我们称行列式1212(1)(1)(1)12()()()()()()()()()()n n n n n n x x x x x x W x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---'''=为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式. 有了以上的准备工作，我们现在可以清楚地看到，齐次方程(4.11)的一般理论完全可以归结为第三章中一阶线性齐次微分方程组的一般理论来加以处理.由§3.3中关于齐次方程组的有关定理，可以自然地得到下面的关于齐次方程(4.11)的一系列定理.定理4.2 齐次方程(4.11)的n 个解 12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在其定义区间I 上线性无关(相关)的充要条件是在I 上存在点x 0，使得它们的朗斯基行列式W(x ０)≠0 (W (x ０)＝0).定理4.3 如果12(),(),,()n x x x ϕϕϕ是方程(4.11)的n 个线性无关解，则1122()()()n n y C x C x C x ϕϕϕ=+++ (4.16)是方程(4.11)的通解，其中12,,,n C C C 为n 个任意常数.通常称定理4.3为方程(4.11)的基本定理.定义4.3 方程(4.11)的定义在区间I 上的n 个线性无关解称为(4.11)的基本解组.由定义4.3，方程(4.11)的基本定理又可叙述为：方程(4.11)的通解为它的基本解组的线性组合.例3 易于验证函数12cos ,sin y x y x ==是方程0y y ''+=的解.并且由它们构成的朗斯基行列式1212cos sin 10sin cos y y x xx xy y ==≠''-在（－∞，＋∞）上恒成立，因此，这两个函数是已知方程的两个线性无关解，即是一基本解组，故该方程的通解可写为 12()cos sin y x C x C x =+其中, 12,C C 是任意常数. 不难看出，对于任意的非零常数12,k k ， 函数组1122cos ,sin y k x y k x ==都是已知方程的基本解组.基本定理表明，齐次方程(4.11)的所有解的集合是一个n 维线性空间.进一步，我们还有定理4.4 n 阶齐次方程(4.11)的线性无关解的个数不超过n 个.定理4.5 n 阶齐次方程(4.11)总存在定义在区间I 上的基本解组. 最后，齐次方程(4.11)的解与它的系数之间有如下关系.定理4.6 设12(),(),,()n x x x ϕϕϕ是方程(4.11)的任意n 个解，W (x )是它们朗斯基行列式，则对区间I 上的任一0x 有10()0()()xx p t dtW x W x e-⎰= （4.17）上述关系式称为刘维尔(Liouvill e )公式.由公式(4.17)可以再次看出齐次方程(4.11)的朗斯基行列式的两个重要性质： １．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I 上某一点为零，则在整个区间I 上恒等于零.２．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I 上某一点不等于零，则在整个区间I 上恒不为零下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程y ″+p(x)y ′+q(x)y=0 如果已知它的一个非零特解y １，依刘维尔公式(4.17),可用积分的方法求出与y 1线性无关的另一特解，从而可求出它的通解.设y 是已知二阶齐次方程一个解，根据公式(4.17)有1()1p x dsy y Ce y y -⎰=''或 ()11p x dxy y yy Ce -⎰''-=为了积分上面这个一阶线性方程，用211y 乘上式两端，整理后可得 ()211p x dxd y C edx y y -⎛⎫⎰= ⎪⎝⎭ 由此可得 ()*211p x dxy Ce dx C y y -⎰=+⎰ 易见()1211p x dx y y e dx y -⎰=⎰是已知方程的另一个解，即*0,1C C ==所对应的解.此外，由于1()10p x dsy y Ce y y -⎰=≠''所以，所求得的解y 与已知解y １是线性无关解.从而，可得已知方程的通解()*11211p x dx y C y Cy e dx y -⎰=+⎰（4.18） 其中C*和C 是任意常数.例4 求方程 2(1)220x y xy y '''--+= 的通解. 解 容易看出，已知方程有特解1y x =.此处22()1xp x x=--, 根据公式(4.18)，立刻可以求得通解22*11211xdx x y y C C e dx y -⎡⎤⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰*22(1)dxx C C x x ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰ *2111112121x C C dx x x x ⎡⎤⎛⎫=+++⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦⎰ *111ln 21x C Cx x x +⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭*1ln 121x x C C x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭4.1.3 n 阶线性非齐次微分方程的一般理论由于n 阶非齐次方程(4.5)等价于一阶非齐次方程组(4.7)，于是由第三章的定理3.10，我们有下面的 定理4.7 n 阶线性非齐次方程(4.5)的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.由此可见，求(4.5)的通解问题，就归结为求(4.5)的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了.和一阶非齐次线性微分方程组一样，对于非齐次方程(4.5)，也能够由对应齐次方程的一个基本解组求出它本身的一个特解，即常数变易法.具体作法如下.设12,,,n y y y 是(4.5)的对应齐次方程的n 个线性无关解，则函数1122n n y C y C y C y =+++是(4.5)的对应齐次方程的通解，其中12,,,n C C C 是任意常数.现在设一组函数12(),(),,()n C x C x C x ，使1122()()()n n y C x y C x y C x y =+++ (4.19)成为非齐次方程(4.5)的解由非齐次方程(4.5)与一阶非齐次方程组(4.7)的等价关系和第三章的(3.18)式，可知，12(),(),,()n C x C x C x '''，满足下面的非齐次方程组121212(1)(1)(1)12()()()()0()0()()()()()()()()n n n n n n n y x y x y x C x C x y x y x y x C x f x y x y x y x ---⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (4.20)它是关于变量()(1,2,,)i C x i n '=的线性代数方程组，由于它的系数行列式恰是齐次方程的n 个线性无关解的朗斯基行列式W(x)，故它恒不为零，因此，上述方程组关于()i C x '有唯一解.解出后再积分，并代入到(4.19)中，便得到(4.5)的一个特解.例5 求非齐次方程 1cos y y x''+=的通解. 解 由例3知12cos ,sin y x y x ==是对应齐次方程的线性无关解，故它的通解为112cos sin y C x C x =+现在求已知方程形如 112()cos ()sin y C x x C x x =+的一个特解.由关系式(4.20),12(),()C x C x ''满足方程组120()cos sin 1sin cos ()cos C x x x x x C x x ⎡⎤⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦或写成纯量方程组 1212()cos ()sin 01()sin ()cos cos C x x C x x C x x C x x x ⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩解上述方程组，得 12sin (),()1cos xC x C x x''=-= 积分得 12()ln cos ,()C x x C x x ==故已知方程的通解为 12cos sin cos ln cos sin y C x C x x x x x =+++思考题：1. 如何才能做到正确分析应用实例，建立满足相应问题的n 阶线性微分方程?2. 何为函数组在区间I 上线性相关和线性无关？ 何为函数组的朗斯基(Wronski)行列式？它们之间有何关系？3. 什么是n 阶线性齐次微分方程和n 阶线性非齐次微分方程的通解结构定理？如何证明？4. 什么是刘维尔(Liouvill e )公式如何用它求二阶线性齐次微分方程的通解？5. 如何用常数变易法求n 阶线性非齐次微分方程的一个特解？§4.2 n 阶常系数线性齐次方程解法一、教学目的与要求：（1）掌握n 阶常系数线性齐次方程当特征根为单根时的求解方法； （2）掌握n 阶常系数线性齐次方程当特征根有重根时的求解方法. 二、教学重点，难点：待定指数函数法, 求n 阶常系数线性齐次方程当特征根为单根、重根时的基本解组.本节只讨论常系数线性齐次方程()(1)110n n n n y a y a y a y --'++++= （4.21）的求解问题，这里12,,,n a a a 为实常数.由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可.虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决.其中，一个自然的作法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组.但是这样的推导过程并不十分简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用下面的待定指数函数法求解. 首先，研究一个简单的一阶方程y ′+ ay = 0 （4.22） 其中a 是常数，不难求出它有特解axy e-=比较(4.21)与(4.22)，我们可以猜想方程(4.21)也有形如x y e λ= （4.23）的解，其中λ是待定常数.将(4.23)代入(4.21)中得到111()0n n x n n a a a e λλλλ--++++= （4.24）因为0xeλ≠，所以有111()0n n n n P a a a λλλλ--=++++= （4.25）我们称(4.25)为方程(4.21)的特征方程，它的根称为特征根.这样，xy e λ=是方程(4.21)的解，当且仅当λ是特征方程(4.25)的根. 下面分两种情形讨论. 4.2.1 特征根都是单根.定理4.8 若特征方程(4.25)有n 个互异根12,,,n λλλ，则1212,,,n x x x n y e y e y e λλλ=== （4.26）是方程(4.21)的一个基本解组. 证明 显然，(1,2,,)i xi y ei n λ==分别是(4.21)的解.它们的朗斯基行列式1212121211112()n nnxxx xxxn xx xn n n n e e e e e e W x e e e λλλλλλλλλλλλλλλ---=1212()11112111n n xn n n n eλλλλλλλλλ+++---=12()1()0,(,)n xi j j i ne x λλλλλ+++≤<≤=-≠∈-∞+∞∏.从而(4.26)是方程(4.21)的一个基本解组.上述行列式为著名的范德蒙(Vandermond)行列式．例1 求方程y ″－5y ′= 0 的通解.解 特征方程为250λλ-=特征根为120,5λλ==，故所求通解为512x y C C e =+其中12,C C 为任意常数. 例2 求方程y ″－5y ′+ 6y ＝0 的通解及满足初始条件：当x = 0时，y = 1, y ′＝2 的特解.解 特征方程为2560λλ-+=特征根为122,3λλ==，故所求通解为2312x x y C e C e =+其中12,C C 为任意常数.将初始条件代入方程组2312231223x xx xy C e C e y C e C e ⎧=+⎨'=+⎩ 得12121223C C C C =+⎧⎨=+⎩ 由此解得210,1C C ==. 因而所求特解为2x y e =特征方程(4.25)可能有复根，由于其系数是实的，它的复根一定是共轭成对地出现.即此时在相异特征根12,,,n λλλ中有复数，比如(,)k a ib a b λ=+为实数，则1k a ib λ+=-也是(4.25)的根.由定理4.8，这两个特征根所对应的解是实变量复值函数()cos sin a ib x ax ax k y e e bx ie bx +==+ ()1cos sin a ib x ax ax k y e e bx ie bx -+==-我们可以按照3.5节中对常数线性方程组的同样处理方法，把这两个复值解实值化，即取其实部cos axe bx 和虚部sin axe bx 作为这两个根所对应的解，并且它们与其余的特征根所对应的解仍然是线性无关的.例3 求方程39130y y y y ''''''-++=的通解.解 特征方程为3239130λλλ-++=或2(1)(413)0λλλ+-+=由此得1231,23,23i i λλλ=-=+=-因此，基本解组为22,cos3,sin 3x x x e e x e x -通解为2123(cos3sin 3)x x y C e e C x C x -=++例4 求方程440y y y y ''''''-+-=的通解.解 特征方程为32440λλλ-+-=由于322244(1)4(1)(1)(4)λλλλλλλλ-+-=-+-=-+故特征根为1231,2,2i i λλλ===-基本解组为,cos 2,sin 2x e x x故所求通解为123cos 2sin 2x y C e C x C x =++4.2.2 特征根有重根设1λ是(4.25)的(1)k k n <≤重根(实的或复的)，由定理4.8知1xe λ是(4.21)的一个解，如何求出其余的k -1个解呢?先看一下最简单的二阶常系数方程0y py qy '''++=并设24p q =.特征方程为20p q λλ++=由于24p q =，易见12pλ=-是二重特征根, 它对应的解为 21p x y e -=.现求已知方程和1y 线性无关的另一特解. 由公式(4.18)，这一特解可取为()22121p x dx p p pxx x px e e y dx e dx xe y e-----⎰==⎰⎰ 这样，二重特征根12pλ=-所对应的两个线性无关解是22,p p x x exe--进一步，可以证明，若1λ是(4.25)的k 重根，则(4.21)有形如1111,,,x x x k e xe x e λλλ-的k 个特解. 为此，只需证明：对m = 0,1，…，k －1，总有 1[]0xm L x eλ≡这里L 是由方程(4.21)左端所定义的线性微分算子，即[]L y =()(1)11n n n n y a y a y a y --'++++ (4.27)首先，我们知道，若1λ是(4.25)的k 重根，则有(1)()1111()()()0,()0k k p p p p λλλλ-'====≠ (4.28)其次，易见[](),m x xxm x mL e p e e x e λλλλλλ∂==∂ 又由于[][](())m m m m xx x xm m mL x e L e L e p e λλλλλλλλ⎡⎤∂∂∂===⎢⎥∂∂∂⎣⎦()(1)(2)2(1){()()()()}2!m m m m x m m pmp x p x p x e λλλλλ---=++++ (4.29)于是由(4.28)立刻得到1[]0xm L x e λ≡, m = 0,1，…，k －1，即函数1111,,,xx x k exe x e λλλ-都是(4.21)的解.一般地，当特征方程有多个重根时，如何确定该方程的基本解组，我们有下面的 定理4.9 如果方程(4.21)有互异的特征根12,,,,p λλλ 它们的重数分别为12,,,,p m m m 1,i m ≥ 且12,p m m m n +++= 则与它们对应的(4.21)的特解是11112222111,,,,,,,,,p p p p x x m x x x m x xxm xe xe x e e xe x e exexeλλλλλλλλλ--- (4.30)且(4.30)构成(4.21)在区间(－∞，＋∞)上的基本解组.在(4.30)中可能出现复解，比如1a ib λ=+是(4.21)的1m 重特征根，则其共轭a －ib 也是(4.21)的1m 重特征根. 因此，此时(4.30)中含有如下的12m 个解 11()()(),,,m a ib xa ib x a ib x e xe x e -+++ 11()()(),,,m a ib xa ib x a ib x exe x e ----与单特征根处理复值解的同样作法，我们可在(4.30)中用下面的12m 个实值解替换这12m 个复值解.11cos ,cos ,,cos m axax ax e bx xe bx x e bx - 11sin ,sin ,,sin m ax ax ax e bx xe bx x e bx -对于其它复根也同样处理，最后就得到方程(4.21)的n 个线性无关的实解. 例5 求方程y ″＋4y ′+ 4y ＝0的通解.解 特征方程为 2440λλ++=12λ=-是二重特征根，故所求通解是212()xy eC C x -=+例6 求方程 (4)45440y y y y y ''''''-+-+=的通解.解 特征方程是43245440λλλλ-+-+= 由于432224544(2)(1)λλλλλλ-+-+=-+ 故特征根是 1,2342,,i i λλλ===- 它们对应的实解为22,,cos ,sin x x e xe x x所求通解为221234cos sin x x y c e c xe c x c x =+++例7 求方程330y y y y ''''''-+-=的通解.解 特征方程是323310λλλ-+-=由于323331(1)λλλλ-+-=-故特征根为1,2,31λ=所对应的解为2,,x x x e xe x e故所求通解为2123()x y e C C x C x =++本节所介绍的求解方程(4.21)的方法，不仅可以求出其通解和初值问题解，而且还能求出边值问题解，初值问题和边值问题都是常微分方程的定解问题．常微分方程的边值问题与求解某些偏分微方程密切相关，例如弦振动方程的求解问题就归结为下面的二阶常系数线性方程边值问题是否存在非零解． 例8 试讨论λ为何值时，方程0y y λ''+=满足(0)(1)0y y ==的非零解．解 (1) 当0λ=时，方程的通解是12y C C x =+ 要使(0)(1)0y y ==，必须120C C ==，于是()0y x ≡.(2) 当0λ<时，方程的通解是12y C C e =+要使(0)0y =，必须120C C +=，即21C C =-，因此，要使(1)0y =，即120C C e =+将21C C =-代入上式，有1(0C e -=必须有10C =,从而20C =，于是()0y x ≡.(3) 当0λ>时，方程的通解是12y C C =+要使(0)0y =，必须有10C =，于是2y C =要使(1)0y =，只要0=即可．要使sin 0=, 当且仅当22n λπ=, 从而22n n λπ=,方程有非零解22()sin (0,1,2,)n y x C n x C n π=≠=±±.思考题：1. 何为待定指数函数法?2. 如何求n 阶常系数线性齐次方程()(1)110n n n n ya y a y a y --'++++=当特征根为单根、复根、重根时的一个基本解组?§4.3 n 阶常系数线性非齐次方程解法一、教学目的与要求：（1） 掌握求n 阶常系数线性非齐次方程的一个特解的方法.（2）理解并掌握当非齐次项()()xm f x p x e α=，(1)(2)()()cos ()sin x m m f x e P x x P x x αββ⎡⎤=+⎣⎦时，如何用待定系数法求非齐次方程()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++= 的一个特解.（3）理解并掌握 n 阶常系数线性非齐次方程的一个重要性质——叠加原理.二、教学重点，难点：（1）求n 阶常系数线性非齐次方程 ()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++=的一个特解的方法.（2）非齐次项()()x m f x p x e α=，(1)(2)()()cos ()sin x m m f x e P x x P x x αββ⎡⎤=+⎣⎦时，如何用待定系数法求非齐次方程()(1)11()n n n n ya y a y a y f x --'++++= 的一个特解.（3）n 阶常系数线性非齐次方程 ()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++=的一个重要性质——叠加原理及其证明.本节研究n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++= (4.33)的解法.我们已知道，(4.33)的通解等于它的对应齐次方程通解和它本身一个特解之和.我们在上一节已经掌握了齐次方程通解的求法，现在问题归结到如何求(4.33)的一个特解，其方法主要有两种，一种是常数变易法，这在§4.1己介绍过，它是求非齐次方程特解的一般方法，但计算比较麻烦.下面介绍第二种方法，即待定系数法，其计算较为简便，但是主要适用于非齐次项的某些情形.这里，我们考虑如下两种类型的非齐次项(1)(2)()()()()cos ()sin xm xmmf x p x e f x e P x x P x x ααββ=⎡⎤=+⎣⎦其中(1)(2)(),(),()m m m P x P x P x 都是已知多项式，,αβ是常数．我们称前者为第一类型非齐次项，后者为第二类型齐次项．4.3.1 第一类型非齐次项特解的待定系数解法现在，考虑()()xm f x p x e α=时，非齐次方程(4.33)的非齐次特解的求法，先从最简单的二阶方程x y py qy e α'''++= （4.34）开始.因为xeα经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到(4.34)有形如x y Ae α= （4.35）的特解，其中A 为待定常数. 将(4.35)代入(4.34)得到2()x x A p q e e αααα++=则21A p qαα=++ (4.36) 这样，当α不是特征方程20p q λλ++= （4.37）的根时，则用(4.36)所确定的A 便得到(4.34)的特解.当α是(4.37)的单根时，即20p q αα++=，这时(4.36)无法确定A .此时，可设特解为x y Axe α= (4.38)并将它作为形式解代入(4.34)式，得2()(2)x x x A p q xe A p e e αααααα++++=因α是单特征根，故可解出12A pα=+ (4.39)这时(4.34)便有形如(4.38)的特解，其中A 由(4.39)确定. 如果α是(4.37)的重根，则2pα=-，这时(4.38)的形式已不可用.此时，可设特解为2x y Ax e α=将它作为形式解，代入(4.34)得到22()2(2)2x x x x A p q x e A p xe Ae e ααααααα+++++=由于α是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到12A =综上所述，可以得到如下结论：如果α不是(4.37)的根，则(4.34)有形如xAeα的特解；如果α是(4.37)的单根，则(4.34)有形如xAxe α的特解；如果α是(4.37)的重根，则(4.34)有形如2xAx e α的特解.例1 求方程53x y y e '''-=的通解.解 先求齐次通解，特征方程为230λλ-=特征根为120,3λλ==故齐次方程的通解为312x y C C e =+由于5α=不是特征根，故已知方程有形如51x y Ae =的解.将它代入原方程，得到5552515x x x Ae Ae e -=于是110A =，已知方程有特解，从而得通解 3512110x xy C C e e =++例2 求方程12x y y e ''-=的通解.解 对应齐次方程的特征方程为210λ-=特征根是1λ=±，对应齐次通解为12x x y C e C e -=+由于1α=是特征方程的根，故已知方程有形如1x y Axe =的特解. 将它代入原方程，得122x x x x Ae Axe Axe e +-=从而14A =，故114x y xe =, 由此得通解1214x x x y C e C e xe -=++上述关于二阶方程的结果，可以推广到n 阶常系数线性非齐次方程(4.33)．设()m P x 是m 次实或复系数的多项式，即()1011()()(1)x x m m m m m f x e p x e p x p x p x p m αα--==++++≥ (4.40) 则有(1)当α不是特征根时，(4.33)有形如1()()x m y x Q x e α=的特解，其中1011()m m m m m q x q x q x q x q --=++++(2)当α是k (≥1)重特征根时，(4.33)有形如1()()k x m y x x Q x e α=的特解，其中()m Q x 也是上述的m 次多项式.例3 求方程2566102y y y x x '''=+=-+的通解.解 先求对应齐次方程560y y y '''=+=的通解.特征方程是2560λλ-+=由于256(2)(3)λλλλ-+=--，故特征根122,3λλ==，从而，对应齐次方程通解为2312x x y C e C e =+因为0α=不是特征根，因而已知方程有形如21y Ax Bx C =++的特解.为确定出系数A ，B ，C ，将它代入原方程中.由于112,2y Ax B y A '''=+= 故2225(2)6()6102A Ax B Ax Bx C x x -++++=-+或226(610)2566102Ax B A x A B C x x +-+-+=-+比较上式等号两端x 的同次幂系数，可得66610102562A B A A B C =⎧⎪-=-⎨⎪-+=⎩解上述方程组，得 A =1, B = 0, C = 0 故已知方程特解为21y x =已知方程的通解为22312x x y x C e C e =++例4 求方程y ″－5y ′＝－5x ２＋2x的通解.解 对应齐次方程的特征方程为250,(5)0λλλλ-=-=特征根为120,5λλ==，齐次方程的通解为512x y C C e =+由于0α=是单特征根，故已知非齐次方程有形如21()y x Ax Bx C =++的特解.将它代入已知方程，并比较x 的同次幂系数，得1,0,03A B C ===故3113y x =，最后可得所求通解351213xy x C C e =++例5 求方程2442xy y y e '''-+=的通解. 解 由于21,2440,2λλλ-+==故齐次方程通解为212()xy e C C x =+由于2α=是二重特征根，故已知非齐次方程有形如221xy Ax e =的特解．将它代入已知方程，比较x 的同次幂系数，得 A ＝1所求通解为22212()x xy x e e C C x =++4.3.2 第二类型非齐次项特解的待定系数解法现在, 考虑(1)(2)()()cos ()sin x m m f x e P x x P x x αββ⎡⎤=+⎣⎦时，非齐次方程(4.33)的特解的求法．设上式中的(1)(2)()m m P x P 与是x 的次数不高于m 的多项式，但二者至少有一个的次数为m .根据欧拉公式，有cos ,sin 22i x i x i x i xe e e e x x iββββββ--+-==这样一来f (x )可改写成(1)(2)()()()22i x i x i xi x xx mm e e e e f x P x eP x e iββββαα--+-=+(1)()(2)()()()i x i x m m P x e P x e αβαβ+-=+ (4.4.1)其中，(1)(2)(),()m m P x P x 是m 次多项式.因此，(4.41)式相当于两个(4.40)形状的函数相加.再由非齐次方程的一个性质——叠加原理，情形(4.41)可化为情形(4.40).下面就来介绍叠加原理.叠加原理 设有非齐次方程12[]()()L y f x f x =+ （4.42）且12(),()y x y x 分别是方程12[](),[]()L y f x L y f x ==的解，则函数12()()y x y x +是方程(4.42)的解.证明 由于 1122[()](),[()]()L y x f x L y x f x == 故有121212[()()][()][()]()()L y x y x L y x L y x f x f x +=+≡+证毕.根据叠加原理，就可以把情形(4.41)化为(4.40)了.再根据对于(4.40)讨论的结果，我们有如下的结论：(1) 如果i αβ±不是特征根，则(4.33)有形如(1)()(2)()1()()i x i x m m y Q x e Q x e αβαβ+-=+ (4.43)的特解，其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是m 次多项式；(2) 如果i αβ±是k 重特征根，则(4.33)有形如(1)()(2)()1()()k i x i xm m y x Q x e Q x e αβαβ+-⎡⎤=+⎣⎦ (4.44) 的特解，其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是m 次多项式.为了求得对于(4.41)的情形方程(4.33)的实特解，可以由()i xeαβ±的定义，将(4.43)与(4.44)化成三角函数的形式.于是，对应于上述两种情形，有： (3) 如果i αβ±不是特征根，则特解具有形状(1)(2)1()cos ()sin x mm y e Q x x Q x x αββ⎡⎤=+⎣⎦ 其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是系数待定的m 次多项式.(4)如果i αβ±是k 重特征根，则特解应具形状(1)(2)1()cos ()sin k x mm y x e Q x x Q x x αββ⎡⎤=+⎣⎦ 其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是系数待定的m 次多项式.(1)(2))()m m Q x Q x (, 的系数的求法和上面类似，即把y 1代入原方程，再比较x 的同次幂系数即可求得.值得注意的是，即使在(1)(2))()m m P x P x (,中有一个恒为零，这时方程(4.33)的特解仍具有形状(4.43)，(4.44).即不能当(1))0m P x ≡(时在(4.43)或(4.44)中就令(1))0m Q x ≡(，而(2))0m P x ≡(时，就令(2))0m Q x ≡(.例6 求方程y ″＋y ′－2y = e x (cos x －7sin x )的通解.解 先求解对应的齐次方程：y ″＋y ′－2y = 0我们有21220,1,2λλλλ+-===-212x x y C e C e -=+因为数i αβ±=1±i 不是特征根，故原方程具有形如1(cos sin )x y e A x b x =+的特解.将上式代入原方程，由于1y ＝e x (A cos x +B sin x )1y '＝e x [(A ＋B )cos x +(B －A )sin x ] 1y ''＝e x [2B cos x －2A sin x ] 故2[2cos 2sin ][()cos ()sin ]2[cos sin ](cos 7sin )x x x x y y y e x A x e A B xB A x e A x B x e x x '''+-=-+++--+=- 或(3)cos (3)sin cos 7sin B A x B A x x x --+=-比较上述等式两端的cos x ,sin x 的系数，可得－A +3B = 1, －3A －B = －7 因此，A = 2，B = 1. 故1y (2cos sin )x e x x =+所求通解为 y (2cos sin )xe x x =+212x x C e C e -++例7 求方程 y ″+ y ′= 2sin x 的通解.解 齐次方程是y ″+ y ′= 0，我们有 21,210,i λλ+==± 12cos sin y C x C x =+由于i αβ±=±i 是特征方程的单根，故所求特解应具形式 1(cos sin )y x A x B x =+ 现将上式代入原方程，确定系数A ，B . 由于1(cos sin )y x A x B x =+1(cos sin )(cos sin )()cos ()sin y A x B x x A x B x A Bx x B Ax x'=++-+=++-1cos ()sin sin ()cos (2)cos (2)sin y B x A Bx x A x B Ax x B A x A Bx x''=-+-+-=--+11(2)cos (2)sin (cos sin )2cos 2sin 2sin y y B Ax x A Bx x x A x B x B x A x x''+=--+++=-=可求得 A ＝－1，B ＝0, 1cos y x x =-因而，所求通解为 12cos cos sin y x x C x C x =-++ 例8 求方程 y ″－6y ′＋5y ＝－3e x＋5x 2的通解.解 对应的齐次方程是y ″－6 y ′＋5y ＝0. 我们有λ2－6λ＋5＝0， 121,5λλ==故它的通解是 512x xy C e C e =+因为原方程右端由两项组成，根据迭加原理，可先分别求下述二方程 y ″－6y ′＋5y ＝－3e x y ″－6y ′＋5y ＝5x 2 的特解，这二特解之和即为原方程的一个特解.对于其中第一个方程，有1133,,44xx y Axe A y xe === 对于第二个方程，有22221262,1,,5251262525y Ax Bx C A B C y x x =++====++因而，212312624525x y y xe x x +=+++为原方程的一个特解，其通解为2512312624525x x x y xe x x C e C e =+++++.思考题：1. 求n 阶常系数线性非齐次方程 ()(1)11()n n n n ya y a y a y f x --'++++=的一个特解主要有几种方法? 分别是什么方法? 每一种方法的求解过程是怎样的?。
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d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
方程（4.1）的解的存在唯一性定理:
at b (1) ( n 1) 上的连续函数, 则对于任一 t0 [a, b] 及任意的 x0 , x0 , x0 ,
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
0 0
0 x 2 (t ) 2 t
0 1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
t2 0 2t
2 c t 1 c2 0 0 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 2 c 0 c t 0 2 1
at b
a t 0 b ，使得 W (t 0 ) 0
考虑关于 c1 , c 2 , , c n 的齐次线性代数方程组
c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0 c x (t ) c x (t ) c x (t ) 0 1 1 0 2 2 0 n n 0 （4.9） c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0 0 2 2 0 n n 0 1 1
(4.3)
7
4.1.2 齐次线性微分方程解的性质与结构
例 有解
d2y 2 w y0 2 dx ( w 0为常数)
y cos wx
y sin wx
y C1 cos wx y C2 sin wx y C1 cos wx C2 sin wx
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理） 如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
方程（4.1）存在 唯一解 x (t )，定义于区间 a t b 上，且满足初值条件：
n 1 d (t0 ) d (t0 ) (1) ( n 1) (t0 ) x0 , x0 , , x 0 n 1 dt dt
定理1 如果 ai (t ) (i 1,2, , n) 及 f (t ) 都是区间
F (t , x, x, , x ( n ) ) 0
n 阶线性微分方程一般形式：
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2, , n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
12
称为这些函数的朗斯基行列式。
定理3 若函数 x (t ), x (t ), , x (t ) 在区间 a t b 上线性相关， 1 2 n 上它们的朗斯基行列式 则在 [ a, b] 证明
W (t ) 0。
由假设，即知存在一组不全为零的常数 c1 , c2 ,, cn , （4.6）
1 t 0 0 t 1
c1 c2 0
故 x1 (t ), x2 (t ) t [ 1,1] 是线性无关的。
15
定理3 若函数 x (t ), x (t ), , x (t ) 在区间 a t b 上线性相关， 1 2 n
上它们的朗斯基行列式 则在 [ a, b] 其逆定理不一定成立？ 即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性
(4.2)
ck xk (t )]( n )
a1 (t )[c1 x1 (t ) c2 x2 (t )
ck xk (t )]
( n 1)
an (t )[c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )]
d n x1 d n 1 x1 dx1 c1[ n a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x1 ] dt dt dt d n x2 d n 1 x2 dx2 c2 [ n a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x2 ] dt dt dt d n xk d n 1 xk dxk ck [ n a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) xk ] 0 dt dt dt
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非 齐次线性微分方程。 方程（4.2）叫做对应于方程（4.1） 的齐次线性微分方程。
掌握高阶微分方程的一般解法
3
§ 4.1 线性微分方程的一般理论
General Theory of Linear ODE
4
本节要求/Requirements/ 理解高阶齐次线性微分方程解的性质和解的结构 理解高阶非齐次线性微分方程解的性质和解的结 构
5
4.1.1 引言
n 阶微分方程一般形式：
W (t ) 0。
无关的。
16
定理4 如果方程(4.2)的解 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在区间 a t b 上线性无关，则 W x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在这个区间的
任何点上都不等于零，即 W (t ) 0
证明 反证法 设有某个 t0 ,
9
问题： 当 k n 时，若 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 是齐次线性微分方程的解，
x c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
能否成为方程（4.2）的通解？ 如在上例中 不一定
y1 cos wx
y2 5 cos wx
的假设矛盾。 证毕
18
定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在区间 a t b 上线性相关， 则在 [ a , b ] 上它们的朗斯基行列式 W (t ) 0 。 其逆定理不一定成立？ 即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性 无关的。 定理4 如果方程(4.2)的解 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在区间 a t b 上线性无关，则 W x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在这个区间的 任何点上都不等于零，即 W (t ) 0 a t b
17
~ ,c ~ ,, c ~ 其系数行列式 W (t 0 ) 0 ，故（4.9）有非零解 c 1 2 n
构造函数
~ x (t ) c ~ x (t ) c ~ x (t ) x(t ) c 1 1 2 2 n n
at b
根据叠加原理， x(t ) 是方程（4.2）的解，且满足初始条件
把（4.6）和（4.7）看成关于 c1 , c 2 ,, c n 的齐次线性代数方程组，
13
它的系数行列式 W x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ), 由线性代数理论
方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即
W (t ) 0
其逆定理是否成立பைடு நூலகம் 不一定
无关的。 例如：
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0 对所有 t a, b 成立，
c1 , c2 , , ck
使得恒等式
称这些函数是线性相关的， 否则称这些函数在所给区间上线性无关。
如
cos x,
sin x
在任何区间上都线性无关 在任何区间上都线性相关
cos 2 x, sin 2 x, 1
1, t , t 2 , , t n
则
在区间 (, ) 上线性无关
t (,)
11
2 n c c t c t c t 0 要使得 0 1 2 n
c0 c1 c2 cn 0
朗斯基（Wronsky）行列式 定义在 a t b 区间上的 k个可微 k-1次的函数 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t )
x (t0 ) x(t0 ) x ( n 1) (t0 ) 0
由解的唯一性知 x(t ) 0 a t b，即
（4.10）
另 x 0 也是方程(4.2)的解， 也满足初始条件（4.10）
~ x (t ) c ~ x (t ) c ~ x (t ) 0 at b c 1 1 2 2 n n ~ ~ ~ 因为 c1 , c2 , , cn不全为0，与 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 线性无关
at b
证毕
即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x 2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
14
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
使得 c1 x 1 (t ) c 2 x 2 (t ) c n x n (t ) 0 a t b 依次对 t 微分此恒等式，得到
(t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0 c1 x1 c x(t ) c x(t ) c x (t ) 0 1 1 2 2 n n （4.7） c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0 2 2 n n 1 1
第四章 高阶微分方程