不等式(组)及其应用
不等式(组)的应用
不等式（组）的应用知识点1 利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.列不等式（组）解应用题的步骤:(1)审题,找出量与量之间的不等关系;(2)设未知数;(3)列出不等式;(4)解不等式（组）;(5)根据实际情况,写出答案.知识点2 利用不等式组解决实际问题列不等式组解决实际问题的关键在于对不等关系的符号表达，学生在解决问题的过程中，可以结合等量关系的符号表达来进行例1.水果店以每千克4.5元进了一批香蕉,销售中估计有10％的香蕉正常损耗.水果店老板把售价至少定为多少,才能避免亏本?例2.某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5种和B种商品4件需300元，购进A 种商品6件和B种商品8件需440元．（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利超过344元，则至少购进多少件A商品？例3.在实施防污减排战略之际，我市计划对A、B两类化工厂的排污设备进行改造，经预算，改造一个A类工厂和两个B类工厂共需320万元，改造两个A类工厂和一个B类化工厂黄需220万元．（1）改造一个A类化工厂和一个B类化工厂各需多少万元；（2）我市计划改造A、B两类化工厂共10个，改造资金一部分由工厂承担，一部分由市政府补贴，每个A类化工厂可投入自身改造资金20万元，每个B类化工厂可投入自身改造资金30万元，若市财政补贴的资金不超过600万元，那么至少改造几个A类化工厂？例4.某班50名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系．例5.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号 B种型号销售收入第一周 3台 5台 1800元第二周 4台 10台 3100元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？例6.（2019秋•呼兰区月考）某自行车行销售甲、乙两种品牌的自行车，若购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元，若购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆需要进货款4500元．（1）求甲、乙两种品牌自行车每辆进货价分别为多少元？（2）今年夏天，车行决定购进甲、乙两种品牌自行车共50辆，在销售过程中，甲品牌自行车的利润率为80%，乙品牌自行车的利润率为60%，若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500，那么此次最多购进多少辆乙种品牌自行车？例7.某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．例8.某校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（4分）（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．（4分）。
不等式组及应用知识点总结
不等式组及应用知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指数之间的大小关系，可以用大于号（>）、小于号（<）、大于或等于号（≥）、小于或等于号（≤）来表示。
2. 不等式的解不等式的解就是使得不等式成立的数的集合。
解不等式时，要注意不等号的方向，同时考虑是否存在特殊情况。
3. 不等式的性质不等式有传递性、反身性、对称性和加法性、乘法性等性质。
利用不等式的性质可以简化不等式的求解过程。
4. 不等式的转化在不等式的求解过程中，经常需要将不等式进行转化，可以通过加减法、乘除法、开方等方式进行不等式的转化。
5. 不等式的应用不等式在数学中有广泛的应用，如在代数、几何、概率统计等领域均有不等式的应用，特别是在最优化问题中，不等式更是起到了关键的作用。
二、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。
2. 一元一次不等式组的解法求解一元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。
其中图解法常用于初步研究不等式组的解的位置，而联立法则是最常用的求解方法。
3. 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组在生活中有很多应用，例如在资源分配、经济决策、生产计划等方面都有一元一次不等式组的应用。
三、二元一次不等式组1. 二元一次不等式组的定义二元一次不等式组是由若干个二元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。
2. 二元一次不等式组的解法求解二元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。
由于二元一次不等式组有两个未知数，因此其解的形式可能是一个不等式区域。
3. 二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在几何中有着重要的应用，如求解平面区域的范围、集合的交并问题等都可以通过二元一次不等式组来描述和求解。
四、不等式的推广与应用1. 不等式的推广不等式的推广可以包括多元不等式、高次不等式、不等式组等。
自学初中数学资料 不等式(组)及其应用 (资料附答案)
第1页 共20页 自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高 非学科培训自学资料一、不等式及其基本性质【知识探索】1．一般地，用不等号“>”、“<”、“”或“”表示的关系式，叫做不等式．【说明】（1）用不等号“”表示的关系式也是不等式；（2）五种不等号的读法及其意义：【错题精练】例1．若关于x 的不等式组{x −a ＞0x ＞3的解集为x ＞a ，则字母a 的取值范围是（ ）第2页 共20页 自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训 A. a ＞3 B. a=3 C. a≤3 D. a≥3【解答】解：不等式组{x −a ＞0x ＞3解得：{x ＞a x ＞3∵解集为x ＞a ，∴a≥3，故选：D ．【答案】D例2．若关于x 的不等式组{x ＜2x ＞m x ≥−1有解，则m 的取值范围是（ ）A. m ＜2B. m≤2C. m ＜-1D. -1≤m ＜2【解答】解：若关于x 的不等式组{x ＜2x ＞m x ≥−1有解，m ＜2，故选：A ．【答案】A例3．如图，已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P （-1，2），则关于x 的不等式x+m ＜kx-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B. C. D.【解答】解：根据图象得，当x ＜-1时，x+m ＜kx-1．故选：D ．【答案】D第3页共20页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训设a＞0，则b＞0，解得x＞1a ，x＜1b，∴原不等式组有解，不符合题意，故D错误；故选：D．【答案】D例6．把不等式组{x＞−1x+2≤3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A. B. C. D.【解答】解：由第一个不等式得：x＞-1；由x+2≤3得：x≤1．∴不等式组的解集为-1＜x≤1．故选：B．【答案】B例7．解不等式或不等式组（1）解不等式x+35≤2x−53-1，并在数轴上表示解集．（2）解不等式组{12（x+4）＜2x+22＞x+33．【答案】解：（1）去分母，得3（x+3）＜5（2x-5）-15，整理，得-7x≤-49∴x≥7．（2）{12（x+4）＜2①x+22＞x+33②解不等式①，得x＜0；解不等式②，得x＞0；∴不等式组无解．例8．若关于x的不等式组{x2+x+13＞03x+2a＞4（x+1）−4恰有三个整数解，试求实数a的取值范围．第4页共20页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第5页 共页 自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训第6页共20页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第7页 共20页 自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训【答案】a≤65．若不等式组{x ＜a x ＞b无解，则a 、b 的大小关系是______．【解答】解：∵不等式组{x ＜a x ＞b无解， ∴a≤b ，a 、b 的大小关系是a≤b ．故填：a≤b ．【答案】a≤b6．若不等式组{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为-1＜x ＜1，那么（a-3）（b+3）的值等于______．【解答】解：解不等式组{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为2b+3＜x ＜a+12， 因为不等式组的解集为-1＜x ＜1，所以2b+3=-1，a+12=1， 解得a=1，b=-2代入（a-3）（b+3）=-2×1=-2．故答案为：-2．【答案】-27．解不等式组：{2（x +1）＜3x +44x3−3x−14≤2.，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：由2（x+1）＜3x+4， 得-x ＜2．解得x ＞-2．由4x 3−3x−14≤2，得7x≤21．解得：x≤3．在数轴上可表示为：所以，原不等式组的解集为-2＜x≤3．在数轴上画出不等式组的解集正确．8．关于x的不等式组{x−m＜0x+3≥1有且只有3个整数解，则m的取值范围是______．【解答】解：{x−m＜0①x+3≥1②∵解不等式①得：x＜m，解不等式②得：x≥-2，又∵关于x的不等式组{x−m＜0x+3≥1有且只有3个整数解，∴0＜m≤1，故答案为：0＜m≤1．【答案】0＜m≤1二、一元一次不等式（组）【知识探索】1．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．【错题精练】例1．把一些书分给几名同学，若______；若每人分11本，则有剩余．依题意，设有x名同学，可列不等式7（x+8）＞11x，则横线的信息可以是（）A. 每人分7本，则剩余8本B. 每人分7本，则可多分8个人C. 每人分8本，则剩余7本D. 其中一个人分7本，则其他同学每人可分8本【解答】解：由不等式7（x+8）＞11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分8个人；若每人分11本，则有剩余；故选：B．【答案】B例2．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本3元，每支钢笔5元，求小明最多能买几支钢笔．设小明买了x支钢笔，依题意可列不等式为（）第8页共20页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第9页共20页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【答案】（1）超市甲种糖果每千克需10元，乙种糖果每千克需14元；（2）该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克．例5．某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产、两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：型号A型B型成本（元/台）22002600售价（元/台）28003000（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．第10页共20页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【解答】【答案】（1）【答案】方案一 方案二 方案三 A 型/台 38 39 40 B 型/台 62 61 60（2）37960元 （3）10种例6．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，0，2}=−1+0+23=13；min{-1，0，2}=-1；min{-1，0，a}={a （a ≤−1）−1（a ＞−1）．如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x 的值是______．【解答】解：∵M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数， ∴2+x+1+2x3=x +1，∵min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数，且M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，∴{x +1≤2x x +1≤2，即{x ≥1x ≤1， ∴x=1．故答案为：1．【答案】1【举一反三】1．某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车辆，租车总费用为元．甲种客车 乙种客车载客量（人/辆）45 30 租金（元/辆）280 200（1）求出（元）与（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？【解答】【答案】1302．已知一件文化衫价格为18元，一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元． （1）求一个书包的价格是多少元？（2）某公司出资1800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？【解答】【答案】30]=4的x的3．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]=3，[-7.59]=-8，则满足关系式[3x+77整数值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个]=4，【解答】解：∵[3x+77＜5，∴4≤3x+77解得：7≤x＜28，3整数有7，8，9，共3个，故选：C．【答案】C4．阅读下列材料，解决材料后的问题：，例如17与材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）=xy+2=−52m 2−32m+2，=5−2m 2+3m−4， 设y=-2m 2+3m-4， 则y=-2（m-34）2-238， ∵-2＜0，∴当m=34时，y 有最大值是-238，此时f （x ，m 2-32m ）有最小值，最小值是5−238=-4023，此时最小值为-4023．5．对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[1-x−12]=5，则x 的取值范围是（ ） A. -7＜x≤-5 B. -7≤x ＜-5C. -9≤x ＜-7D. -9＜x≤-7【解答】解：∵[1-x−12]=5， ∴5≤1-x−12＜6， 解得：-9＜x≤-7，故选：D ．【答案】D6．对于三个互不相同的数a 、b 、c ，我们用max{a 、b 、c}表示三个数中的最大数，如：max{-1，0，2}=2．若max{0，x-1，2}=x-1，则x 的取值范围为______．【解答】解∵max{0，x-1，2}=x-1， ∴x-1是这三个数中最大的数， ∴x-1＞2＞0， ∴x-1＞2，解不等式得：x ＞3， 故答案为：x ＞3．【答案】x ＞31．若（m-3）x ＜3-m 的解集为x ＞-1，则m______．【解答】解：由（m-3）x ＜3-m 的解集为x ＞-1，得 m-3＜0， 解得m ＜3， 故答案为：＜3．【答案】＜32．解不等式组：{3x +2＞2（x −1）,①4x −2≤3x −2②并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：解不等式①，得：x ＞-4， 解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为-4＜x≤0， 将解集表示在数轴上如下：3．若不等式组{−2x +a ≤0x −b ≤0的解集为-1≤x≤2，（1）求a 、b 的值（2）解不等式ax+b ＜0，并把它的解集在下面的数轴上表示出来．【答案】解：（1）{−2x +a ≤0①x −b ≤0②∵解不等式①得：x≥a2， 解不等式②得：x≤b ， ∴不等式组的解集为a2≤x≤b ，∵不等式组{−2x +a ≤0x −b ≤0的解集为-1≤x≤2，∴a2=-1，b=2，即a=-2，b=2；（2）代入得：-2x+2＜0， -2x ＜-2， x ＞1，在数轴上表示为：．4．解下列不等式组，并在数轴上表示解集． （1）{2x +3＞53x −2≤4（2）{2x +3≤3（x +2）3x −1＞2x（3）{2x −1＞113x+12−1≤x（4）{x −3（x −2）≥42x−15＞x+12．【答案】解：（1）{2x +3＞5①3x −2≤4②，由①得，x ＞1；由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：1＜x≤2， 在数轴上表示为： ；（2）{2x +3≤3（x +2）①3x −1＞2x②，由①得，x≥-3；由②得，x ＞1，故此不等式组的解集为：x ＞1， 在数轴上表示为： ；（3）{2x −1＞11①3x+12−1≤x②，由①得，x ＞6；由②得，x≤1，故此不等式组的解集为空集， 在数轴上表示为： ；（4）{x −3（x −2）≥4①2x−15＞x+12②，由①得，x≤1；由②得，x ＜-7，故此不等式组的解集为：x ＜-7， 在数轴上表示为： ．5．试确定使不等式组{x2+x+13＞0x +5a+43＞43（x +1）+a恰有两个整数解的实数a 的取值范围．【答案】解：由①得x ＞-25， 由②得x ＜2a ，原不等式组的解集为-25＜x ＜2a ．又∵原不等式组恰有2个整数解，即x=0，1； 则2a 的值在1（不含1）到2（含2）之间， ∴1＜2a≤2， ∴0.5＜a≤1．6．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元.(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)如果学校计划购买这两种共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？【解答】【答案】（1）每个篮球售价100元，每个足球售价120元（2）学校最多可购买25个足球7．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．（1）求甲、乙两种糖果的价格；（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？【解答】【答案】（1）超市甲种糖果每千克需10元，乙种糖果每千克需14元（2）该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克．8．某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，可得式子为（）A. 10x-3（30-x）＞70B. 10x-3（30-x）≤70C. 10x-3x≥70D. 10x-3（30-x）≥70【解答】解：设答对x题，答错或不答（30-x），则10x-3（30-x）≥70．故选：D．【答案】D9．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为______．【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，∴学生总人数为（4x+19）人， ∵一间宿舍不空也不满，∴学生总人数-（x-1）间宿舍的人数在1和5之间， ∴列的不等式组为：{（4x +19）−6（x −1）≥1（4x +19）−6（x −1）≤5，故答案为：{（4x +19）−6（x −1）≥1（4x +19）−6（x −1）≤5．【答案】{（4x +19）−6（x −1）≥1（4x +19）−6（x −1）≤510．若关于x 的不等式组{4−3x ≥0x ≥m 有2个整数解，则m 的取值范围是（ ）A. m ＞-1B. m≥0C. -1＜m≤0D. -1≤m≤0【解答】解：不等式4-3x≥0，得：x ≤43， ∵不等式组有2个整数解， ∴不等式组的整数解为1、0， 则-1＜m≤0， 故选：C ．【答案】C。
一元一次不等式(组)在生活中的应用
一元一次不等式(组)在生活中的应用
一元一次不等式(组)是小学数学中的一个重要内容，它在我们的日常生活中有很多应用。
以下是一些关于一元一次不等式(组)在生活中的应用：
购物打折：很多商场会举办打折活动，例如：打五折、打八折等。
我们可以用一元一次不等式来计算打折后商品的价格，帮助我们做出更明智的购物决策。
制定家庭预算：家庭预算可以帮助我们合理规划家庭收支，避免浪费。
在制定家庭预算时，我们可以使用一元一次不等式来计算各种开支和收入之间的关系，以及如何分配家庭预算。
健身计划：健身计划可以帮助我们制定科学合理的健身计划，达到健身的目的。
在健身计划中，我们可以用一元一次不等式来计算身体指标和目标之间的关系，例如：BMI指数和体重、身高之间的关系。
公交出行：公交车站的到达时间通常是不确定的，我们可以使用一元一次不等式来计算公交车的到达时间和出发时间之间的关系，以便更好地安排出行时间。
总之，一元一次不等式(组)在我们的日常生活中有很多应用。
它可以帮助我们计算各种事物之间的关系，从而更好地规划生活和工作。
初中数学解不等式组
初中数学解不等式组摘要：一、不等式组简介1.不等式组的定义2.不等式组与一元一次不等式的关系二、解不等式组的基本步骤1.分别求解每一个不等式2.确定解集的公共部分3.用口诀表示解集三、常见的不等式组类型及其解法1.解集重合型2.解集交叉型3.解集包含型4.解集相离型四、解不等式组的应用1.实际问题中的应用2.数学问题中的应用五、总结与展望1.解不等式组的关键点2.提高解题效率的方法3.展望不等式组在数学中的发展正文：一、不等式组简介不等式组是由几个含有未知数的不等式组合在一起，要求求出满足所有不等式的未知数的取值范围。
不等式组与一元一次不等式有所不同，它需要我们同时考虑多个不等式的限制条件。
二、解不等式组的基本步骤1.分别求解每一个不等式：首先，我们需要将不等式组中的每一个不等式单独求解，得到每一个不等式的解集。
2.确定解集的公共部分：然后，我们需要找到这些不等式解集的公共部分，即满足所有不等式的未知数的取值范围。
3.用口诀表示解集：最后，我们可以用口诀来表示解集，如“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。
三、常见的不等式组类型及其解法1.解集重合型：当不等式组的解集完全重合时，我们只需要求解其中一个不等式即可。
2.解集交叉型：当不等式组的解集有交叉部分时，我们需要找到重合部分和分离部分，分别求解。
3.解集包含型：当一个不等式的解集包含另一个不等式的解集时，我们可以直接得到不等式组的解集。
4.解集相离型：当不等式组的解集没有交集时，不等式组无解。
四、解不等式组的应用1.实际问题中的应用：解不等式组在实际问题中有着广泛的应用，如在购物、工程设计等方面需要我们根据限制条件来确定最优方案。
2.数学问题中的应用：在数学问题中，解不等式组是解决复杂数学问题的关键步骤，如在函数图像、数列等问题中，需要我们根据不等式组来确定问题的解决方案。
五、总结与展望1.解不等式组的关键点：掌握解不等式组的基本步骤和常见类型，能够快速准确地找到解集。
不等式组的解法与应用知识点总结
不等式组的解法与应用知识点总结在数学中，不等式组是由一组不等式构成的方程组。
解不等式组是求解这组不等式的所有可能解的过程。
不等式组的解法与应用是数学中的重要知识点，本文将对不等式组的解法和应用进行总结，并提供几个实际问题的例子来说明其应用。
一、不等式组的解法不等式组的解法与方程组的解法有些相似，但也有一些不同之处。
下面将介绍几种常见的不等式组解法方法。
1. 图解法图解法是一种直观的方法，通过在坐标系中绘制不等式的图像来确定解的范围。
将不等式的解区域标记出来，所有不等式的解的交集即为不等式组的解。
举例说明：考虑如下的不等式组：{3x + 2y ≤ 10,x - y > 1}首先，将第一个不等式3x + 2y ≤ 10转化为直线方程3x + 2y = 10，得到一条直线。
然后，找到不等式的解区域，并用阴影表示。
接着，将第二个不等式x - y > 1转化为直线方程x - y = 1，并找到不等式的解区域。
最后，找到两个不等式解区域的交集，即可得到不等式组的解。
2. 代入法代入法是一种常用的解不等式组的方法，通过求解一个不等式，然后将其解代入到其他不等式中进行验证。
如果满足所有不等式，则该解为不等式组的解。
举例说明：考虑如下的不等式组：{2x + 3y > 5,x - y ≤ 2}首先，解第一个不等式2x + 3y > 5，得到一组解。
然后，将这组解代入到第二个不等式x - y ≤ 2中进行验证，如果满足，则该解为不等式组的解。
3. 消元法消元法是解不等式组的常用方法，通过对不等式组中的某个变量进行消元，将多个不等式转化为一个不等式或只含一个变量的不等式。
举例说明：考虑如下的不等式组：{2x + 3y ≥ 6,x + 2y < 5}首先，对不等式组进行消元，可以通过相加或相减的方法。
将两个不等式相加，得到新的不等式3x + 5y ≥ 11。
然后，解新的不等式，得到一组解。
最后，将这组解代入到原来的两个不等式中进行验证，如果满足，则该解为不等式组的解。
不等式与不等式组的解法与应用
不等式与不等式组的解法与应用不等式是数学中常见的一种关系式，用于描述两个或多个数之间大小关系的不等式式子。
在实际问题中，不等式及不等式组常常用于解决各种大小关系相关的情况。
本文将介绍不等式及不等式组的解法与应用。
一、一元不等式的解法与应用对于一元不等式，通常通过比较大小、运算转移、考虑不等号取等的情况等方法来解决。
1. 比较大小法当不等式中只有一个未知数且两边的表达式可以比较大小时，可以通过比较大小法来求解。
例如：若要求解不等式2x - 5 < 7，则可先将2x - 5与7进行比较，得到2x < 12，再除以2，得到x < 6。
因此，不等式的解集为x < 6。
2. 运算转移法当不等式中含有复杂的运算符号时，可以通过运算转移法来求解。
例如：若要求解不等式3x - 2 > x + 8，则可将不等式转化为3x - x > 8 + 2，化简得到2x > 10，再除以2，得到x > 5。
因此，不等式的解集为x > 5。
3. 考虑不等号取等的情况对于不等式中的不等号，有时需要考虑等号成立的情况。
例如：若要求解不等式2x + 5 ≤ 7，则可先考虑不等号取等的情况，即2x+ 5 = 7，解得x = 1，再以x = 1作为临界点划分数轴，得到解集为x ≤ 1。
二、一元不等式组的解法与应用一元不等式组由多个一元不等式组成，解不等式组的过程中需要考虑多个不等式条件同时满足的情况。
1. 图像法对于一元不等式组，可以通过绘制不等式对应的数轴上的线段来求解。
例如：若要求解不等式组{x > 1,x < 5,x ≠ 3}，则可以将每个不等式在数轴上绘制线段，然后观察线段的交集部分。
根据图像可知，解集为1 < x < 3 合并 3 < x < 5。
2. 区间法对于一元不等式组，可以通过求解每个不等式的交集来求解。
例如：若要求解不等式组{x ≤ 2,x ≠ 0}，可求出每个不等式的解集为(-3, ∞)、(-∞, 2]、(-∞, 0)∪(0, ∞)。
不等式组_精品文档
不等式组1. 引言不等式组是数学中一个重要的概念，它由一组不等式组成。
不等式是数学中用于描述数值之间大小关系的工具，而不等式组则可以用于描述多个数值之间的复杂关系。
本文将介绍不等式组的定义、解法以及其在应用中的一些常见场景。
2. 不等式组的定义不等式组是由多个不等式组成的集合，每个不等式可以是大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）或小于等于（≤）等符号连接的数学表达式。
一个不等式组的一般形式可表示为：{不等式1,不等式2,...不等式n}其中，每个不等式可以包含一或多个变量，表示了变量之间的大小关系，或者变量与常数之间的关系。
3. 不等式组的解法不等式组的解是使得每个不等式都成立的变量的取值范围。
要解决一个不等式组，可以通过以下步骤进行：- 确定每个不等式中的变量个数和类型。
- 找到每个不等式中变量的取值范围。
可以通过移项、合并同类项、因式分解等方法将不等式转化为形式更简单的不等式。
- 根据不等式符号的特性进行取值范围的确定。
例如，对于大于（>）或小于（<）的不等式，变量的取值范围应排除等号右侧的值；对于大于等于（≥）或小于等于（≤）的不等式，变量的取值范围应包括等号右侧的值。
- 根据每个不等式的取值范围求解整个不等式组的解。
可以通过求交集或并集的方式得到最终的解集。
4. 不等式组的表示方法不等式组可以用不等式图形表示法、解集表示法或区间表示法来表示，具体的表示方式取决于问题的要求和解的形式。
不等式图形表示法是通过绘制每个不等式的图形并表示它们的交集或并集来表示不等式组。
解集表示法是通过写出每个不等式的解集并表示它们的交集或并集来表示不等式组。
区间表示法是用数轴上的区间表示不等式组的解集。
5. 不等式组的应用不等式组在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：- 经济领域：不等式组可以用于描述供需关系、利润最大化问题等经济学中的问题。
- 工程领域：不等式组可以用于描述工程中的约束条件，如最大承载能力、最短路径等。
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四、不等式（组）及其应用嵇光 昆山市新镇中学【课标要求】⒈掌握不等式及其基本性质.⒉掌握一元一次不等式、一元一次不等式组及其解法，用数轴确定解集. ⒊根据具体问题中的数量关系，列出不等式（组），解决简单的问题. 【课时分布】不等式（组）部分在第一轮复习时大约需要3个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.【知识回顾】 1、知识脉络2、基础知识不等式的有关概念(1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. (2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.(3)不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集. (4)求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 不等式的基本性质 (1)不等式的性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变. 如果a >b ,那么a +c >b +c ,a -c >b -c . (2)不等式的性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c .(3)不等式的性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 如果a >b ,并且c <0,那么a c <b c . 一元一次不等式(1)只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式.(2)解一元一次不等式与解一元一次方程相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.特别要注意当系数化为1时,不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向必须改变.(3)一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:一元一次不等式组(1)几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. (2)解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出它们的公共部分.(3)由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下: 若b a<,则 ①⎩⎨⎧>>bx a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<bx a x 的解集是a x <，如下图：③⎩⎨⎧<>b x ax 的解集是b x a <<，如下图： ④⎩⎨⎧><bx ax 无解，如下图： 不等式(组)的应用解不等式的应用问题关键是建立不等式模型,会根据题中的不等量关系建立不等式(组),解决实际应用问题.具体可以参见“三、方程(组)及其应用”中列方程(组)解应用题的一般步骤. 3．能力要求例1.解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来. (1)151--x ≥;2x(2) ()82+x ≤(),3410--x ①.131221<--+x x ②x <a x >a x ≤a x ≥a解：(1) 去分母,得 ()1012--x ≥,5x整理,得 x 3-≥,12 ∴ x ≤.4- 解集在数轴上表示为:(2) 由①得 162+x ≤,12410+-x 整理得 x 6≤,6 ∴ x ≤;1由②得 ()(),612213<--+x x 整理得 ,1<-x∴解集在数轴上表示为:∴ 不等式组的解集为x <-1≤.1例2.已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+-=-a y x a y x 2132的解是负数,求a 的取值范围.【分析】先由方程组求出方程组的解(用含a 的代数式表示),再由方程组的解为负数列出不等式组,求a 的取值范围.【解】 解方程组,2132⎩⎨⎧=+-=-a y x a y x 得 .71725⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=a y a x∵方程组的解是负数，∴⎩⎨⎧<<.0,0y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<-.071,0725a a∴⎪⎩⎪⎨⎧-<<.1,52a a∴.1-<a【说明】本题主要考查学生解方程组和分步解决问题的能力.当方程或不等式中含有字母时，一般是先将字母看作已知数进行计算.例3.现计划把甲种货物1240t 和乙种货物880t 用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y 万元,这列货车挂A 型车厢x 节,试写出y 与x 之间的函数关系式.(2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35t 和乙种货物15t,每节B 型车厢最多可装甲种货物25t 和乙种货物35t,装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有几种方案?(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用.【分析】题(1)中总费用应该是A 型车厢的费用和B 型车厢的费用的总和.题(2)的要求是A 型车厢的甲种货物最大装载量与B 型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A 型车厢的乙种货物最大装载量与B 型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨.【解】 (1) ∵ 用A 型车厢x 节,则B 型车厢为(40-x )节,得 .322.0)40(8.06.0+-=-+=x x x y (2) 依题意,得 ()x x -+4025≥,1240()x x -+4035≥.880解之,得 24≤x ≤.26∵ x 取整数， ∴ 24=x 或25或26.∴ 共有三种方案:① 24节A 型车厢和16节B 型车厢; ② 25节A 型车厢和15节B 型车厢; ③ 26节A 型车厢和14节B 型车厢. (3) 当24=x 时,2.27=y 万元; 当25=x 时,27=y 万元; 当26=x 时,8.26=y 万元;故安排方案③,即A 型车厢26节,B 型车厢14节最省,最省费用为26.8万元. 【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.例 4. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t 运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.(1)设用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围.(2)设此次运输公司的利润为M (单位:百元),求M 与x 的函数关系式及最大运输利润【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t ；每种大蒜不少于一车.由题意可以列出方程和不等式.题(2)中运输公司的利润M 是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和. 【解】(1)∵用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜，∴装运丙种大蒜的车辆为(10―x ―y )辆.根据题意，得 10(11108++y x ―x ―)y ＝100， 化简，得 y ＝－x 3＋10.∵每种大蒜不少于一车， ∴ 103+-x ≥1，x ≥1. 解之得 1≤x ≤3.(2) 根据题意，得 M ＝x 82.2⋅＋y 101.2⋅＋10(112⋅―x ―y )＝x 6.17＋21(－10(22)103++x －x x 3+－)10 ＝－.2104.1+x∵=k －,04.1<∴M 随x 的增大而减小. 又∵1≤x ≤,3∴当x ＝1时M 有最大值.∴M 最大＝－210+4.1＝6.208（百元） 此时相应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜, 用7辆车装运乙种大蒜,用2辆车装运丙种大蒜.【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.例 5. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s 的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s 的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A 、B 两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:(1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为hkW⋅；(2)已知A型风力发电机每台0.3万元,B型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元,而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000hkW⋅,请你提供符合条件的购机方案.【分析】审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来,如一台A型发电机一年有60d的日发电量≥150hkW⋅,则可求出一台A型发电机kW⋅,有100d的日发电量≥36h的年发电量(最小值).题(2)要求提出符合条件的购机方案,因此,只要是符合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套.【解】(1)12600x(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机10(－)x台.根据题意，得()x2.03.0≤,6.2+10x-()x12600≥.7800x-+10102000解之得：5≤x≤.6∴可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6台，则购B 型发电机4台.【说明】本题提供的是实际生活中常见的表格，要善于从中找出解题所需要的有效信息，构建相应的数学模型.【复习建议】1、立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握不等式(组)的基本知识、基本方法和基本技能.2、多样化题型的适应性训练，重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化不等式(组)思想和方法的渗透、总结.增强学生自觉运用不等式(组)模型解决现实生活中的数学问题的意识和能力.3、注重知识间的联系，将不等式(组)知识与函数知识、方程(组)知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，从而把数学知识转化为自身素质.。