3.1.2两条直线的平行与垂直(学案)
3.1.2直线的平行和垂直的判定 优秀教案
3．1 直线的倾斜角和斜率【课题】：3.1.2 两条直线平行和垂直的判定【教学目标】：（1）知识与技能：掌握斜率存在的两条直线的平行和垂直的充要条件。
（2）过程与方法：能根据斜率的关系判断平面内两条直线的平行和垂直关系。
（3）情感态度与价值观：渗透解析几何的思想方法，同时，注意思考的严密性，表达的规范性，培养学生的探究、概括能力【教学重点】：两条直线的平行和垂直的充要条件。
【教学难点】：两条直线的平行和垂直的充要条件的理解和应用。
【教学突破点】：在研究两条直线的平行和垂直关系时离不开倾斜角这个环节，启发学生利用平面几何中平行线与同位角关系的结论以及倾斜角和斜率的关系，让学生参与到问题的研究中来，通过类比归纳和推理，由学生自己得出两条直线的平行和垂直的充要条件。
这里的关键是把初中平面几何中所学的两条直线平行的结论转化成坐标系中的语言，用倾斜角、斜率来刻画有关条件。
【教法、学法设计】：在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．【课前准备】：课件21k=-21k=-y21k=-外，一个不存在）ABC 是直角三角形今天我学了什么？（学生自己回忆）21k =-一. 判断题:(判断下列各对直线平行还是垂直)1. 经过两点A(2, 3), B(-1,0) 的直线1l , 与经过点P(1, 0)且斜率为1的直线2l2. 经过两点A( 3,1), B(-2,0) 的直线1l , 与经过点M(1,-4)且斜率为-5的直线2l3. 1l 经过点P(3,3),Q(-5,3), 2l 平行于x 轴,但不经过P,Q 两点4. 1l 经过点M(-1,0), N(-5,-2), 2l 经过点 R(-4,3), S(0,5)5. 1l 经过点M(1,0), N(4,-5), 2l 经过点 R(-6,0), S(-1,3)6. 1l 的倾斜角为045, 2l 经过点 R(-2,-1), S(3,-6)二. 解答题7. 试确定m 的值,使过点A(m,1), B(-1,m)的直线与过点P(1,2), Q(-5,0)的直线(1)平行 (2)垂直 8 已知A(1,-1), B(2, 2), C(3, 0)三点,求点D 的坐标, 使直线,//CD AB CB AD ^且 答案:1. 平行2.垂直3.平行4.平行5.垂直6.垂直7.解: 直线AB 的斜率11AB m k m -=--, 直线PQ 的斜率2011(5)3PQ k -==--(1)若AB//PQ,则AB k =PQ k ,即11m m ---=13,解得:12m =(2)若AB PQ ^,则ABk PQ k =-1,即11m m ---·13=-1,解得:m=-28.解:设(,)D x y ，因为A(1,-1), B(2, 2), C(3, 0) 则1,3,2,31CD AB CB AD y y k k k k x x +===-=-- 使直线,//CD AB CB AD ^且,只需1,CD AB CB AD k k k k ?-=即131,231yy x x +?-=---,解得:0,1x y == 所以点D(0,1)。
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案 新人教A版必修2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.概念形成1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.由学生讨论得出答案概念深化2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tg a1 = tg a2.即k1 = k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1= k2，那么tg a1= tg a2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1 = a2又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2⇔k1 = k2.注意：上面的等价是在两条直借助计算机，让学生通过度量，感知12,αα的关系.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k 1 = k 2那么一定有l 1∥l 2；反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l 1⊥l 2，这时12a α≠，否则两直线平行.设21αα<（图）甲图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上方；乙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴下方；丙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有1290αα=+.因为l 1、l 2的斜率分别是k 1、k 2，即190α≠，所以20α≠.∴1211(90)tg tg tg ααα=+=-.即121k k =-或k 1k 2 = –1，反过来，如果121k k =-即k 1·k 2= –1不失一般性，设k 1＜0.k 2＞0，那么1221(90)tg tg tg ααα=-=+.可以推出a 1 = 90°+2α.l 1⊥l 2.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211l l k k k k ⊥⇔=-⇔=-注意：结论成立的条件，即如果k 1·k 2 = –1，那么一定有l 1⊥l 2；反之则不一定.借助计算机，让学生通过度量，感知k 1，k 2的关系，并使l 1(或l 2)转动起来，但仍保持l 1⊥l 2，观察k 1，k 2的关系，得到猜想，再加以验证，可使1α为锐角，钝角等.通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.应用举例借助计算机作图，使学通过备选例题例1 试确定M 的值，使过点A (m + 1，0)，B (–5，m )的直线与过点C (–4，3)，D (0，5)的直线平行.【解析】由题意得：由于AB ∥CD ，即k AB = k CD ， 所以162m m =--，所以m = –2.例2 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标.【解析】设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )因为AD ⊥CD ，AD ∥BC 所以k AD ·k CD = –1，且k AD =k BC12,103120,031y y x x y x --⎧=-⎪⎪--⎨--⎪⎪--⎩所以， 02(),.13x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得舍去 所以第四个顶点D 的坐标为(2，3).例3 已知定点A (–1，3)，B (4，2)，以A 、B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.【解析】以线段AB 为直径的圆与x 轴交点为C .则AC ⊥BC ，设C (x ，0) 则32,14AC BC k k x x --==+- 所以32114x x --⋅=-+- 所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)。
人教版高中数学必修二教案：3.1.2+两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。
2、过程与方法：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力。
3、情感态度与价值观：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。
难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题。
关键：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题。
三、教学过程（一）两条直线平行的条件思考：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当l 1 // l 2时，k 1与k 2满足什么关系？探究：21212121tan tan //k k l l =⇔=⇔=⇔αααα。
结论：两条不重合的直线2121//k k l l =⇔（斜率存在）。
应用举例：例1、已知A (2，3)，B (- 4，0)，P (- 3，1)，Q (– 1，2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论。
分析：作出图像如下，猜想BA // PQ ：由斜率公式可得：21==PQ BA k k ，所以直线BA // PQ 。
例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0，0)，B (2，– 1)， C (4，2)，D (2，3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明。
分析：在直角坐标系作出图形如下，猜想四边形ABCD 为平行四边形：21-==CD BA k k ，所以AB // CD ； 23==AD BC k k ，所以BC // AD ；所以四边形ABCD 为平行四边形。
追问：四边形ABCD 是否为矩形？如何判断直线AB 与BC 垂直？（向量的数量积） 由此，欲判断ABCD 为平行四边形，可以由DC AB =得到。
2021-2022学年高中数学必修2学案：3.1.2两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标核心素养1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学学科素养．1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示[提示]不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？[提示]不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．13 B [k AB ＝3－03－2＝3，∵l ∥AB ，∴k l ＝3.]2．已知直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－12，则l 1与l 2( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合D ．非以上情况B [∵k 1·k 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴l 1⊥l 2.]3．l 1过点A (m ，1)，B (－3，4)，l 2过点C (0，2)，D (1，1)，且l 1∥l 2，则m ＝________．0 [∵kl 2＝2－10－1＝－1，l 1∥l 2，∴kl 1＝4－1－3－m＝－1，∴m ＝0.]4．若直线l 1的斜率kl 1＝m ，且l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为________． －1m 或不存在 [若m ＝0时，直线l 2的斜率不存在． 若m ≠0时，直线l 2的斜率为－1m .]两直线平行关系的判定【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5).[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l2平行或重合，又k BC＝5－（－3）－3－3＝－43≠－45，故l1∥l2.(2)由题意知，k1＝－1－1－2－0＝1，k2＝3－42－3＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，k FG＝4－（－1）3－（－2）＝1，故直线l1与直线l2重合．(3)由题意知，k1＝tan 60°＝3，k2＝－23－3－2－1＝3，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．(4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.判断两条不重合直线是否平行的步骤[跟进训练]1．已知l1经过点A(－3，3)，B(－8，6)，l2经过点M⎝⎛⎭⎪⎫－212，6，N⎝⎛⎭⎪⎫92，－3，求证：l1∥l2.[证明]直线l1的斜率为k1＝6－3－8－（－3）＝－35，直线l2的斜率为k2＝6－（－3）－212－92＝－35，因为k1＝k2，且k AN＝3－（－3）－3－92＝－45，所以l1与l2不重合，所以l1∥l2.两直线垂直关系的判定【例2】 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，10)；l 2经过点M (－10，40)，N (10，40). [解] (1)k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直． (2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2. (3)由A ，B 的横坐标相等得 l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．[跟进训练]2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1，2)，直线l 2经过点C (1，2)，D (－2，a ＋2).若l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－43，不符合题意；②当a＝0时，l2的斜率为0，此时直线l1的斜率k1＝－12不符合题意；③当a≠4且a≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝2－a a－4.由k1·k2＝－1，得－a3·2－aa－4＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC 的形状吗？[提示]如图，AB边所在的直线的斜率k AB＝－12，BC边所在直线的斜率k BC＝2.由k AB·k BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？[提示]以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x，0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4，所以－3x＋1·－2x－4＝－1，得x＝1或2，所以C(1，0)或(2，0).【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A 为直角顶点的直角三角形，求m的值．[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7.1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，则1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝3或m＝±2.2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.,利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状1．两条不重合的直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直相等平行斜率均存在积为－1垂直1．下列说法正确的是()A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．] 2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为()A．垂直B．平行C ．重合D ．以上都不正确A [k 1＝3－60－3＝－3＋2，k 2＝0－22－6＝－12－3，∵k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．选A.]3．若经过点M (m ，3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．145 [由题意知，直线MN 的斜率存在，因为MN ⊥l ， 所以k MN ＝m －32－m＝14，解得m ＝145.]4．当m 为何值时，过两点A (1，1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行． [解] (1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32或m ＝1.(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3，则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或m ＝－1.。
高中数学3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案(新人教A版必修5)
3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意按斜率存在与否分类讨论。
教学方法：引导探究，师生互动.教学用具：多媒体课件教学过程：一、复习引入：上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．二、探究新知：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直：讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?1、首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.2、下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α 2 1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.三、典例示范：例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3) (-2-0)=－3/2,因为k1·k2 = －1 所以AB⊥PQ.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.四、课堂练习：P89 练习 1. 2.拓展1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 证明A、B、C三点共线。
教学设计3：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．教学建议本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．课标解读1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)知识1两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示知识2两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？【提示】α2＝α1＋90°.2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系 对应关系l 1与l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2， 则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2图示类型1两条直线平行关系的判定例1 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)； (2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，k 1＝k 2，而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1， ∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2. 规律方法判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行． 变式训练已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________.【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2， ∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x ＝2. 【答案】 2类型2 两条直线垂直关系的判定例2 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 变式训练已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 【解析】 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33， 设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1， ∴k 2＝－ 3. 【答案】 － 3类型3直线平行与垂直关系的综合应用例3 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD .故四边形ABCD 为直角梯形． 规律方法1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况． 3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形． 变式训练已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【解】 四边形ABCD 是平行四边形． 证明如下：如图所示，AB 边所在直线的斜率k AB ＝－1－02－0＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝3－22－4＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2－(－1)4－2＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝3－02－0＝32. 所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，由题意知AB ∥CD ，BC ∥DA . 故四边形ABCD 是平行四边形．分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用典例 (12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)．(1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a3.(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.8分②当k 2≠0时，l 2的斜率存在， 此时k 1＝2－aa －4.∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4. 所以，当a ＝3或a ＝－4时， l 1⊥l 2.思维启迪1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时，应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况． 3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．课堂小结1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．当堂检测1．已知直线l 1∥l 2，直线l 1的斜率k 1＝2，则直线l 2的斜率k 2＝( )A ．不存在B ．12C ．2D ．－12【解析】 ∵l 1∥l 2且k 1＝2， ∴k 2＝2. 【答案】 C2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1， ∴l 1⊥l 2. 【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.【答案】 －1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R (－2，32)，S (0，52)，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？【解】 (1)∵k MN ＝0－(－6)－3－(－15)＝12，k RS ＝52－320－(－2)＝12，∴l 1∥l 2.(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－(－1)3－(－2)＝－1，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.。
§3.1 .2两条直线平行与垂直的判定(学案)
§3.1 .2两条直线平行与垂直的判定(学案)【学习目标】 学习目标：（1）两条直线平行与垂直的判定方法（2）利用直线的平行与垂直解决有关问题学习重点、难点：两条直线的平行与垂直的判定方法【知识回顾】1、直线的倾斜角的定义和倾斜角α范围：定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准， 与 之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.直线的倾斜角α范围是： . 2、直线的斜率的求法：(1) 已知直线的倾斜角α： .(2) 已知直线上两点坐标),(11y x A 、),(22y x B 21x x ≠且： . 3、若两条直线12,l l 的斜率都不存在，则1l 的倾斜角=1α ，2l 的倾斜角=2α ；此时1l 2l ；4、若1l 的斜率为0，直线2l 斜率不存在，则1l 的倾斜角=1α ，2l 的倾斜角=2α ；此时1l 2l ；约定：若没有特别说明，说“两条直线12,l l ”时，一般是指两条不重合的直线 【自主学习要求】 1、研读教材8786P P -（1）教材中如何利用代数方法研究两直线平行？（2）对教材中利用代数方法研究直线平行的结论：2121//k k l l =⇔ ，你有何补充? 2、研读教材8988P P -（1）教材中如何利用代数方法研究两直线垂直？（2）对教材中利用代数方法研究直线垂直的结论：12121-=⋅⇔⊥k k l l ，你有何补充? （3）总结一下几何、代数两种方法是如何研究两直线平行的【自主学习、合作交流】 自主学习指导及探究内容：（阅读教材86—89页，完成下列问题） 知识探究（一）：两条直线平行的判定- 2 -思考1、（如图1）若两条不重合直线1l 与2l 的倾斜角1α这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？思考2、设两条不重合直线1l 与2l 的斜率分别为1k、2k 则这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？思考3、平面内有A 、B 、C 三点，若K AB =K AC 能得到A 、B 、C 三点共线吗？提炼总结:知识探究（二）：两条直线垂直的判定 思考1、（如图2） 设直线1l 与2l 的倾斜角分别为1α与2α,且（1α， 902≠α），若1l ⊥2l ，则1α与2α之间有什么关系？思考2、已知ααtan 1)90tan(0-=+,据此，你能得出1l 与2l 的斜率21,k k 之间的关系吗？反之成立吗？提炼总结:应用1例1、已知A （2，3），B （-4，0），P （-3，1），Q （-1，2），试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论变式1、已知A (-6,0), B (3,6), P (0,3), Q (6,-6), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系？应用2例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为 A （0，0）， B （2，-1）， C （4，2）， D （2，3），试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明变式2、已知A (5,-1), B (1,1), C(2,3)三点, 试判断△ABC 的形状【反馈练习】1．下列说法正确的是（ ）A ．若12l l ⊥，则121-=⋅k k ；B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥；D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 2．点(1,2)M 在直线l 上 的射影是(1,4)H -，则直线l 的斜率是（ ） A ．-1 B ．1 C ．1或-1 D ．不存在 3．过点(1,2)A 和(3,2)B -的直线与直线0y =的位置关系是（ ） A ．相交不垂直 B ．平行 C ．垂直 D ．重合 4．直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α且12l l ⊥，则（ ）A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．1290αα-=︒D ．1290αα+=︒ 5．判断下列各对直线平行还是垂直：- 4 -①经过两点A （2,3），B （-1,0）的直线l 1，与经过点P （1,0）且斜率为1的直线l 2；②经过两点C （3,1），D （-2,0）的直线l 3，与经过点M （1,-4）且斜率为-5的直线l 4；6．试确定m 的值，使过点(2,3)A m 和(1,)B m -的直线与过点(2,3)P 和(1,4)Q -的直线： （1）平行； （2）垂直．7．已知点(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使得直线CD AB ⊥，且//CB AD ．【思维拓展】1．已知△ABC 的顶点坐标分别为m)C(2,B(1,1),A(5,-1),，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．2．已知点(1,2)M -和(4,3)N ，点P 在x 轴上，且MPN ∠为直角，求点P 的坐标．。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案
3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案篇一：3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案数学学科高一年级教学案no.篇二：3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案张喜林制[3.1.2两条直线平行与垂直的判定【教学目标】（1）掌握直线与直线的位置关系。
（2）掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。
【教学重点难点】教学重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法又是教学难点。
【教学过程】一、引入：问题1：平面内两条直线的位置关系问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系二、新课问题探究1：（1）、如何判定两条不重合直线的平行？（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？（3）、直线l1和直线l2的斜率k1=k2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？总结归纳直线与直线平行的判定方法例题1（课本87页的例题3）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行。
（1）l1经过点a（-1，-2）,B(2,1),l2经过点m（3，4），n（-1，-1）答案：不平行（2）l1经过点a（0，1）,B(1,0),l2经过点m（-1，3），n（2，0）答案：平行例题2（课本87页的例题4）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直。
（1）l1经过点a（-1，-2）,B(1,2),l2经过点m（-2，-1），n（2，1）答案：不垂直（2）l1经过点a（3，4）,B(3,100),l2经过点m（-10，40），n（10，40）答案：垂直问题探究2（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？总结直线与直线垂直的判定方法：1/4篇三：高中数学(3.1.2两条直线平行与垂直的判定)示范教案新人教a 版必修23.1.2两条直线平行与垂直的判定整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.重点难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?思路 2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.图1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l1∥l2?k1=k2.⑥l1⊥l2?k1k2=-1.应用示例例1已知a（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线Ba与PＱ的位置关系，并证明你的结论.解:直线Ba的斜率kBa=3?0=0.5,2?(?4)直线PQ的斜率kPQ=2?1=0.5,?1?(?3)因为kBa=kPQ.所以直线Ba∥PQ.变式训练1,m)三点共线，则m的值为()211a.B.-c.-2d.2221?2?3m?2分析：kaB=kBc,,m=.?123?2?32若a(-2,3),B(3,-2),c(答案：a例2已知四边形aBcd的四个顶点分别为a（0，0），B（2，-1），c(4,2),d(2,3),试判断四边形aBcd的形状，并给出证明.解：aB边所在直线的斜率kaB=-1,21,23Bc边所在直线的斜率kBc=,23da边所在直线的斜率kda=.2cd边所在直线的斜率kcd=-因为kaB=kcd,kBc=kda,所以aB∥cd,Bc∥da.因此四边形aBcd是平行四边形.变式训练直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2.（1）a=_____________时，α1=150°；（2）a=_____________时，l2⊥x轴；（3）a=_____________时，l1∥l2；（4）a=_____________时，l1、l2重合；（5）a=_____________时，l1⊥l2.答案：（1）3（2）2（3）3（4）-1（5）1.5知能训练习题3.1a组6、7.拓展提升。
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3.1.2两条直线的平行与垂直（教案）
suntianjun112（真名：孙天军）
一．三维目标：
1.知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直；培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．
2.过程与方法：通过实例及图形探究两直线平行或垂直的条件，从而得到一般性的结论，再应用结论解决一些应用题；通过数量关系，研究几何性质。
3.情感与价值观：进一步提高对斜率的认识，体验通过数量关系对研究几何性质的重要性，提高学生的探究热情。
二．重点：两条直线平行和垂直的条件及其应用。
三．难点：把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题；直线的斜率不存在时，两条直线的平行或垂直关系的探究。
四．教学过程：
（一）创设情景、导入课题
2.问题导入：己知直线l1过点A(0,0) 、B(2,-1),直线l2过点C(4,2) 、D(2,-2),直线l3过点M(3,-5) 、N(-5,-1), 你能在同一个坐标系内画出这三条直线,并根据图形判断三直线之间的位置关系吗?它们的斜率之间又有什么关系?
（二）自主学习、合作探究
1.阅读理解课本P86思考——例3上面一段，探究两条直线互相平行(不重合)时，它们的斜率间有什么关系？
如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．
即k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它
们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在
．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 ；反之则不一定.
2.阅读理解课本P88思考——例5上面一段，探究两条直线互相垂直(斜率都存在)时，它们的斜率间有什么关系？
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出: α1=90°+α2．L1⊥L2．
结论: 两条直线都有斜率
．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即。
注意: 结论成立的条件. 即如果k 1·k 2 = —1, 那么一定有L 1⊥L 2； 反之则不一定.
（三）知识拓展、技能培养
例1．已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.
分析：作图, 通过观察猜想:BA ∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解：直线BA 的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ 的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为 k 1=k 2=0.5, 所以 直线BA ∥PQ.
例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形
ABCD 的形状,并给出证明.
例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.
解: 直线AB 的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直线PQ 的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因为 k 1·k 2 = -1 所以 AB ⊥PQ.
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC 是直角三角形, 其中AB ⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)
（四）实践与探究
1.判断题：(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行。
（ ）
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。
（ ）
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在, 则它们平行。
（ ）
（4）若两条直线的斜率之积为 —1, 则两条直线一定垂直。
（ ）
（5）若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1。
（ ）
2.
己知三点A （1，2），B （-1，0），C （3，4）这三点是否在同一条直线上,为什么? 3.求证: 顺次连接A(2, -3), B(5, 2
7 ), C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四边形是梯形.
4.判断下列各对直线是平行还是垂直:
(1)经过两点)3,2(A ，)0,1(-B 的直线1l ，与经过点P(1，0)且斜率为1的直线2l ；
（2）经过两点)1,3(C ，)0,2(-D 的直线3l ，与经过点M(1，2)且斜率为—5的直线4l .
5.试确定m 的值，使过点A （m ，1），B (–1, m)的直线与经过点P （1，2），Q （—5，0）
（1）平行；（2）垂直。
（五）成果展示、汇报交流
（六）课堂总结：
1.平行：对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有
l 1∥l 2 ⇔ k 1＝k 2 条件：不重合、都有斜率
2.垂直：如果两条直线l 1、l 2都有斜率，且分别为k 1、k 2，则有
l 1⊥l 2 ⊥ k 1k 2＝ —1 条件：都有斜率
３.利用斜率相等，判断三点共线、平行四边形。
4.利用k 1k 2＝ —1判断直角三角形。
（七）课下练习：《市学案》P 58页1——9题
（八）分层作业：甲层：习题3.1 A 组 6, 7, 8题
乙层：习题3.1 A 组 6, 7题。