11-能量法2
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能量法
1
3Eh2 10GL2
It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V
1 2
Fl
FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V
1 2
M e
T 2l 2GI P
T 2 xdx
l 2GIP
M
V
1 M
2
M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W
1 2
P
A
A
PR3
2EI
3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1
1
Vc
V
F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式
材料力学-能量法
U
l
N 2( x)dx 2EA
l
M
2 n
(
x
)dx
2GI P
l
M 2( x)dx 2EI
（9-8）
注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。
例1 试分别计算图示各梁的变形能 例1图
解：求各梁的变形能 a b
c
Ua
0l
M 2( x)dx 2EI
0l
(
Px)2 2EI
dx
P 2l3 6EI
Ub
0l
M 2( x)dx 2EI
W 1 P
2
(9-2)
式中： P —— 广义力（力、力偶）
——广义位移（线位移、角位移）
广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义
位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶， 相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。
（二）变形能和比能
1. 轴向拉伸与压缩时的变形能
a. 轴力为常量： ( N P,l Nl )
材料力学
能量法
一、外力功与变形能
本章考虑杆件在线弹性范围内的能量法计算问题。
能量法——利用功和能的概念来解决变形体的位移、变 形和内力等计算的方法。
在线弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U，不 考虑能量的损耗。因此有
W=U
（一）外力功
1. 常力作功（P 为恒力）
W P
(9-1)
2. 变力作功（P 从0逐渐增加到最终值）
EA
U W 1 Pl N 2l
2
2EA
（9-3）
u
U V
N2 2EA2
2
2E
1
2
u 为比能，即单位体积的变形能。
(材料力学)能量法
F F
l l1
Dl
Dl
Dl
或
1 Vε W F Dl 2 EA(Dl ) 2 2l
Fl (Dl ) EA
F
F
l l1 Dl Dl
F Dl
应变能密度
vε
——杆件单位体积内的应变能
两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上 所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀 分布的。 F l l1 F
1 2 M x1 qx1 2
a 1 2 M x2 qax2 qa x2 qa 2 2
因为：
Vε
a
0
2 a M x M 2 x1 2 dx1 dx2 0 2 EI 2 EI
则有
1 2 1 2 qx1 qa a 2 a 2 dx Vε dx1 2 0 0 2 EI 2 EI
1
m
2m2'
m
1m'1
=
3 m
+
' 3m 3
(a)
(b)
(c)
在m作用下，图b无形状改变，且其体积应变同图a， 而对图c，因为：
2 3 0 1
则体积不变，仅发生形状改变(图c) 。
与此对应，图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度，
其转向与Me 相同。
三 弯曲应变能
图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：
M el EI l
或
EI Me l
Me
Me
l
O
(b)
(a)
可见，满足线性关系。
外力功：
1 W M e 2
l l1
Dl
Dl
Dl
或
1 Vε W F Dl 2 EA(Dl ) 2 2l
Fl (Dl ) EA
F
F
l l1 Dl Dl
F Dl
应变能密度
vε
——杆件单位体积内的应变能
两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上 所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀 分布的。 F l l1 F
1 2 M x1 qx1 2
a 1 2 M x2 qax2 qa x2 qa 2 2
因为：
Vε
a
0
2 a M x M 2 x1 2 dx1 dx2 0 2 EI 2 EI
则有
1 2 1 2 qx1 qa a 2 a 2 dx Vε dx1 2 0 0 2 EI 2 EI
1
m
2m2'
m
1m'1
=
3 m
+
' 3m 3
(a)
(b)
(c)
在m作用下，图b无形状改变，且其体积应变同图a， 而对图c，因为：
2 3 0 1
则体积不变，仅发生形状改变(图c) 。
与此对应，图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度，
其转向与Me 相同。
三 弯曲应变能
图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：
M el EI l
或
EI Me l
Me
Me
l
O
(b)
(a)
可见，满足线性关系。
外力功：
1 W M e 2
材料力学 能量法
3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4
可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C
用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)
C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
偏微分方程能量法 -回复
偏微分方程能量法 -回复
能量法是一种求解偏微分方程的方法，它利用系统的能量守恒原理来推导和求解方程。
具体过程如下：
1. 建立能量守恒方程：根据物理或数学原理，建立偏微分方程的能量守恒方程。
2. 对能量方程进行积分：对能量方程进行积分，将其转化为一系列无穷小的能量变化。
3. 利用边界条件和初值条件：根据边界条件和初值条件，将积分结果中的常数项确定下来。
4. 求解未知函数的关系式：通过求解能量方程中的未知函数关系式，得到偏微分方程的解。
能量法主要有两种形式：变分法和唯一性法。
1. 变分法：通过将求解偏微分方程的问题转化为能量泛函的极值问题，通过求解变分问题得到方程的解。
2. 唯一性法：通过显式或隐式地构造一个能量函数来证明解的唯一性，并通过求导或积分的方式得到方程的解。
总的来说，能量法是一种基于能量守恒原理的方法，它以能量
泛函为基础来求解偏微分方程，并通过求解极值问题或构造能量函数的方式得到方程的解。
该方法适用于多种偏微分方程的求解，并且在物理学和工程学等领域具有广泛的应用。
第九讲-卡氏定理
基本公式
一般物体 载荷 f : 0 → F 相应位移 δ : 0 → ∆ 线性弹性体
dW= fdδ =
W = ∫ fdδ
0
∆
f ∝δ f =kδ
k － 线弹体在载荷作
用点、 用点、沿其作用方向 产生单位位移所需之 力，称为刚度系数 称为刚度系数
W = ∫ kδdδ
0
∆
k∆2 = 2
F∆ W= = 2
施加矩为 Me的力偶 －附加力偶
θB(q) = [θB(q, Me )]M =0
e
θB (q) =
∫
e
2. 位移计算
ql Me FAy = − 2 l x ∂M qlx Me x qx2 =− M( x) = − − l ∂Me 2 l 2 M( x) ∂M( x) θB (q) = dx l EI ∂Me M =0
∆A
A1 A′
B
B
合力的相应位移
∆A =
2 ∆A = (∆A + fA ) 2
2 ∂U 2 ∂U ∂U = = = (∆A + fA ) 2 ∂F 2 ∂F ∂ 2 F
(
)
FN2 = −F
2F ⋅ 2l (-F)l ⋅ 2+ ⋅ (-1) EA EA (2 2 + 1)Fl EA
∆By =
∆By =
（↓ ）
例 3-2 利用卡氏定理计算θB
EI EI
－附加力法
解：1. 分析方法
转角θ 所对应的载荷？ 转角θB所对应的载荷？
M( x) ∂M( x) dx l EI ∂Me M =0
∂Vc ∵ ∆k = ∂Fk
My ( x) ∂My Mz ( x) ∂Mz FN ( x) ∂FN ( x) T( x) ∂T( x) ∆k = ∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫ dx l EA l GI l EI l EI ∂Fk ∂Fk t y ∂F k z ∂F k
第10章 能量法
M n ( x) = − Px
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
11-5磁场能量
11-5 磁场能量 一、自感磁能
Energy stored in a magnetic field
考察在开关合上后的一 段时间内， 段时间内，电路中的电流滋 长过程： 长过程：
L
R
ε
BATTE RY
电池
di 由全电路欧姆定律 − L + ε = iR dt ∞ I t ∞ 1 2 di = LI + ∫ i 2 Rdt ∫0 iεdt = ∫0 L dtidt + ∫0 iRidt 2 0
M12
I1 L1 I2 L2
M21
互感磁能
1 1 2 2 W = L I1 + L2 I2 + M 1I2 I 1 2 2
自感磁能 互感磁能
2、磁场的能量 、 螺线管特例： 螺线管特例：
L = µn V H = nI B = µnI
2
1 1 2 B 2 1 B2 1 2 W = LI = µn V( ) = V = BHV 2 2 2 µ 2 µn
I 解: H = 2πr
µI B= dV = 2πrldr R2 2πr R 1 1 W = ∫V wdV = ∫V µH2dV
2
1 I 2 µ( ) 2πrldr =∫ R 2 1 2πr µI 2l R2 ln( ) = 4π R1
ln( 2 ) LI = W = R 4 π 2 1
磁场能量密度： 磁场能量密度：单位体积中储存的磁场能量 wm
W 1 B2 1 1 2 w= = = µH = BH V 2 µ 2 2 任意磁场 dW = wdV = 1 BHdV 2
1 W = ∫V wdV = ∫V BHdV 2
例
如图.求同轴传输线之磁能及自感系数 如图 求同轴传输线之磁能及自感系数
Energy stored in a magnetic field
考察在开关合上后的一 段时间内， 段时间内，电路中的电流滋 长过程： 长过程：
L
R
ε
BATTE RY
电池
di 由全电路欧姆定律 − L + ε = iR dt ∞ I t ∞ 1 2 di = LI + ∫ i 2 Rdt ∫0 iεdt = ∫0 L dtidt + ∫0 iRidt 2 0
M12
I1 L1 I2 L2
M21
互感磁能
1 1 2 2 W = L I1 + L2 I2 + M 1I2 I 1 2 2
自感磁能 互感磁能
2、磁场的能量 、 螺线管特例： 螺线管特例：
L = µn V H = nI B = µnI
2
1 1 2 B 2 1 B2 1 2 W = LI = µn V( ) = V = BHV 2 2 2 µ 2 µn
I 解: H = 2πr
µI B= dV = 2πrldr R2 2πr R 1 1 W = ∫V wdV = ∫V µH2dV
2
1 I 2 µ( ) 2πrldr =∫ R 2 1 2πr µI 2l R2 ln( ) = 4π R1
ln( 2 ) LI = W = R 4 π 2 1
磁场能量密度： 磁场能量密度：单位体积中储存的磁场能量 wm
W 1 B2 1 1 2 w= = = µH = BH V 2 µ 2 2 任意磁场 dW = wdV = 1 BHdV 2
1 W = ∫V wdV = ∫V BHdV 2
例
如图.求同轴传输线之磁能及自感系数 如图 求同轴传输线之磁能及自感系数
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第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定 m 1
12 m 7 a
求C点转角 点转角
6 m M 7
M
Mo
上 海 交 通 大 学
SJTU
1 a / 2 12 m 6 θ C = [∫ x ⋅ 1dx + m ⋅ 1 ⋅ a − m ⋅ 1 ⋅ a ] EI 0 7 a 7 5 ma = 14 EI
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定
2，求A、B两点的相对位移 ， 、 两点的相对位移 上式令F＝ 上式令 ＝1
C A F D C A 1 D
M o (ϕ ) =
上 海 交 通 大 学
SJTU
R 2 (cos ϕ − ) 2 π
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定 A ϕ MD F/2
上 海 交 通 大 学
SJTU
D点的弯距： 点的弯距： 点的弯距
FR 2 MD = (1 − ) ≈ 0.182FR 2 π
F FR 2 M (ϕ ) = M D − R(1 − cos ϕ ) = (cos ϕ − ) 2 2 π
1 vC − C = M ⋅ M o dx + FS M o ⋅ M o dx = EI a a 1 1 a/2 2 a 7 3 m 2 a 2 FS x dx + ( ) dx + m ⋅ dx = FS 24 a + 2 a = 0 0 2 EI 0 2 0 EI
o
A
x2
D 1
上 海 交 通 大 学
SJTU
2 EI
∫
a
0
FC x1 ⋅ x1dx1 +
1 1 (2 FC a ) ⋅ (2a ) ⋅ (2a ) − (T ⋅ 2a ) ⋅ a GI p GI p
1 2 3 1 2Ta 2 3 8a ) − = FC ( a + =0 EI 3 GI p GI p
B l l C F A (a) (b) B l l C FCy
上 海 交 通 大 学
SJTU
F A
为未知约束力，根据C点垂直位移为零建立 解: 设Fcy为未知约束力，根据 点垂直位移为零建立 几何条件。 几何条件。
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定 FCy x B FCy l A B l A (c) (d) x C 1 Mo
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
例题(静不定 例题 静不定) 静不定
图示圆截面T形杆， 端固支 端固支， 、 端可以视为铰支 端可以视为铰支， 图示圆截面 形杆，A端固支，C、D端可以视为铰支，在 形杆 AB杆中点受扭矩 的作用。已知长度 = 20cm，圆杆直径 杆中点受扭矩T的作用 杆中点受扭矩 的作用。已知长度a ， d = 4cm，弹性模量 ，弹性模量E=200GPa，剪切模量 ，剪切模量G=80GPa，许 ， 用正应力[ 用正应力 σ]=120MPa，许用切应力 τ]=70MPa。求扭矩 ，许用切应力[ 。 的许用值[T]。 的许用值[T]。 上 海 交 通 大 学
B F A 1
l
C FCy
B
FCy x
C FCy
M (c) C
上 海 交 通 大 学
SJTU
l 1 l2 l 11 uB = [ ∫ Fx3 ( + x3 )dx3 − ∫ FCy l ⋅ x2 dx2 ] = Fl 3 0 EI 0 2 192 EI
vB = 0
l l 1 1 2 θB = ( ∫ Fx3 ⋅ 1 ⋅ dx3 − ∫ FCy l ⋅ 1 ⋅ dx2 ) = Fl 2 0 EI 0 32 EI
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
静不定结构
B
C
D
C
D
C
A
FAx FAy (a)
A (b) C B (d)
B
A (c) FS M M FN FN FS
B
上 海 交 通 大 学
SJTU
D
D
C B
A
A (e)
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定 B F x3 A B (a) C x2 A l Mo A (d) (e) B 1 x2 Fx C x1 M FCy l A (b) C B Mo A (f) 1 1 M
o
SJTU
ϕ
MD F/2
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定 F D MD F/2 B MD F/2 A ϕ A F C A MD F/2
M (ϕ ) = M D − F R(1 − cos ϕ ) 2
M o (ϕ ) = 1
静不定结构
M
M
FN FN
上 海 交 通 大 学
SJTU
对称结构，对称载荷， 对称结构 ， 对称载荷 ， 对称截面上只有 对称内力M 对称内力 和FN，反对称内力 FS＝0， ， 上图为二次静不定结构。 二次静不定结构 上图为二次静不定结构。
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定 对称载荷 m n m M M FN FN m 反对称载荷 m FS FS
上 海 交 通 大 学
SJTU
n (a)
(b)
(c)
(d)
材料力学 Mechanics of Materials
SJTU
A FC C a B a FD T E Da a
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
例题(静不定 例题 静不定) 静不定
A Mx E C B Mx FC −T D C 2FCa B Mz FCa Mx
A 1 D FC C x1 Mzo
Mx 2a a B a
τ max =
T≤
0.532T ≤ [τ ] Wp π (0.04m)3 × 70 × 106 Pa W p [τ ] 16
= 0.532
上 海 交 通 大 学
SJTU
0.532 B点最大弯矩为 C⋅ a=0.234T， 点最大弯矩为F 点最大弯矩为 ，
= 1653N ⋅ m
σ max
0.234T = ≤ [σ ] Wz
第十一章 能量法
单位载荷法(静不定 单位载荷法 静不定) 静不定 FS x2 x1 FS M M Mo m m C m FS 1
a a/2 a/2
a
上 海 交 通 大 学
SJTU
作用。 Π形刚架在两个角点受反对称载荷m作用。已知刚架的抗弯刚度 形刚架在两个角点受反对称载荷 作用 为EI。试求刚架的弯矩分布。 。试求刚架的弯矩分布。 解：C点两侧截面垂直方向的相对位移 点两侧截面垂直方向的相对位移
ϕ
1
上 海 交 通 大 学
SJTU
F
截面上施加逆时针的单位力矩， 在D截面上施加逆时针的单位力矩， M o (ϕ ) = 1 截面上施加逆时针的单位力矩
θD = ∫
π
2
0
1 F [ M D − R(1 − cos ϕ )] ⋅ 1 ⋅ Rdϕ EI 2 R π FR π FR = [M D − + ]=0 EI 2 2 2 2
FC =
2Ta 2 2GI p 3 EI a 3 + 8a 3
= 0.234
T a
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
例题(静不定 例题 静不定) 静不定 BE段的扭矩为 C⋅ a = 0.468T，AE段的扭矩为 2FC⋅ a−T= −0.532T， 段的扭矩为2F 段的扭矩为 ， 段的扭矩为 − ，
Wz [σ ] 32 T≤ = 0.234 所以许用力矩 许用力矩为 所以许用力矩为 [T]=1653 N⋅m ⋅
π
(0.04m)3 × 120 × 106 Pa 0.234
= 3222N ⋅ m
材料力学 Mechanics of Materials
第十一章 能量法
力法(静不定 力法 静不定) 静不定 用单位载荷法分析如图所示静不定悬臂梁，并求中点 的挠度 的挠度。 用单位载荷法分析如图所示静不定悬臂梁，并求中点C的挠度。 解（1）利用未知约束力作用点的位移建立 A ） 补充方程。 补充方程。 MA 1 l o vB = ∫0 MM dx FA EI 1 l = ( M FB M o + M q M o )dx = 0 EI ∫0 事实上
FB ⋅ ∫ M M dx + ∫ M q M o dx = 0
o o 0 0
l
l
δ ⋅ FB = − ∆ q
其中 δ = 1 EI
1 M o dx = ∫0 EI
l
2
l3 x 2 dx = ∫0 3 EI
l
上 海 交 通 大 学
SJTU
1 l 1 l1 2 1 4 o M q M dx = − qx ⋅ xdx = − ql ∆q = ∫0 ∫0 2 EI EI 8 EI 所以 F = 3 ql B 8 上述过程是以力为基本未知量的求解方法，所以也称为力法。 上述过程是以力为基本未知量的求解方法，所以也称为力法。