第十二章 能量法
能量法
1
3Eh2 10GL2
It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V
1 2
Fl
FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V
1 2
M e
T 2l 2GI P
T 2 xdx
l 2GIP
M
V
1 M
2
M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W
1 2
P
A
A
PR3
2EI
3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1
1
Vc
V
F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式
电路中的能量转化
例1 (多选)对电功及焦耳定律公式的理解正确的是
√A.焦耳定律适用于一切电路的焦耳热的求解
B.电功公式W＝UIt、焦耳定律公式Q＝I2Rt都适合于任何电路，因此W
一定等于Q
C.非纯电阻电路中的电功可能等于焦耳热
√D.电功的另一表达式W＝U2 t只适用于纯电阻电路 R
解析 任何电路的焦耳热都可用焦耳定律求解，A正确； B选项中的两个公式均适合于任何电路，但W不一定等于Q，B错误； 非纯电阻电路中的电功一定大于焦耳热，C错误； W＝UR2t 只适用于纯电阻电路，D 正确.
总功率 P＝P1＋P2＋…＋Pn P＝P1＋P2＋…＋Pn
3.额定功率和实际功率 (1)用电器正常工作时所消耗的电功率叫作额定功率.当实际电压达到额 定电压时，实际功率等于额定功率. (2)为了用电器不被烧毁，实际功率不能大于额定功率.
例3 (2023·广州市模拟)定值电阻R1、R2、R3的阻值均为2 Ω，在电路中 允许消耗的电功率的最大值分别为10 W、10 W、2 W，现将这三个电阻 按照如图2所示的方式连接，则这部分电路消耗的电功率的最大值为
(4)电动机消耗的电能，一部分转化为机械能，一部分转化为线圈内阻上
的电热.( √ )
(5)焦耳定律的表达式为Q＝I2Rt，此式适用于任何电路.( √ )
(6)三个公式P＝UI、P＝I2R、P＝U2没有任何区别，它们表达相同的意义， R
所以三式中P都是电功率.( × )
2.通过电阻R的电流为I时，在t时间内产生的热量为Q，若电阻为2R，电
图3
(1)通过电动机的电流；
答案 0.6 A
解析 灯泡正常发光，则通过灯泡的电流 IL＝UPLL＝44 A＝1 A 通过电阻 R 的电流 IR＝U－RUL＝125－4 A＝1.6 A
大学物理-第十二章变化的电磁场B
dt
则 dD与 D反向，
与 j 同向
dt
结论
j
dD
dt
I
D
充电
I
D
放电
27
麦克斯韦在研究了安培环路定律应用于非稳恒电路中 出现的矛盾以后，又提出了一重要假设——位移电流。
28
2.位移电流的概念
把变化的电场看作是一种电
流，这就是麦克斯韦位移电流的
概念。 位移电流密度：
jd
dD dt
l I
3.位移电流的磁场
麦克斯韦指出：位移电流(变化的电场)与传导电 流一样，也要在周围的空间激发磁场。
若空间磁场仅由位移电流产生，则根据全电流安培
dl
环S路( j定0 理jlldH)dddSdllSS(Sj0j0DdtSjddS)SdSDt
dSSj0
dS
DD
dS
S tt
感应电场的环流
+q -q
I dq d (σS) S dσ
dt dt
dt
j I dσ S dt
l
E
I k
两极板间： D εE σ dD dσ dt dt
即：
j dD 二者方向如何？ dt
26
充电时： σ , D dD 0
dt
则
dD与
D
同向，
与 j 同向
dt
放电时： σ , D dD 0
L1 I12
•再给线圈2通电：0I2
K1
1
K2
2
R1
I1
R2
I2
线圈2的电源克服自感电动势作功：W2
1 2
L2
I
2 2
线圈1的电源克服互感电动势作功：
【材料课件】第十二章 超静定结构-精选文档
=
A
+
A
B
求解其它问题（反力、应力、 变形等）
9
§12–3 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明） P 例1 如图所示，梁EI为常数。 (a) B
l 2
试求支座反力，作弯矩图，并
求梁中点的挠度。 解：①判定多余约束反力的数目 （一个） ②选取并去除多余约束，代 以多余约束反力，列出变形 协调方程，见图(b)。
A
X X 0 11 1 12 2 1 P 21X 22X2 0 1 2P
④计算系数ij和自由项iP 用莫尔定理求得
X1
A X2
B
16
A x1
q
B x2
4 1a 1 2 qa ( qx ) a d x 1 P 2 2 0 EI 2 6 EI
x2
4 1a 1 2 qa ( qx ) x d x 2 P 2 2 2 0 EI 2 8 EI
A x1 1
3 a 1 a2 4 a 2 ( x d x a x ) 11 1 1 d 2 0 0 EI 3 EI
( ) 768 EI
(h)
注意：对于同一超静定结构，若选
A A
x C
B
P
(i) C B
取不同的多余约束，则基本静定系
也不同。本题中若选固定段处的转 动约束为多余约束，基本静定系是 如图(i)所示的简支梁。
X1
13
二、力法正则方程 上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式
X 0 11 1 1 P
A
L
C 物理方程——变形与力的关系 EA LBC 4 3 qL R L B f ; f q0 Bq BR B 8 EI 3 EI x B RBLBC LBC RB EA 补充方程 B RB q0
12第12章动能定理
d ( 1 mv 2 ) = δW 2
动能定理的微分形式
积分， 将上式沿路径 M 1M 2 积分，可得
1 1 2 2 mv2 − mv1 = W12 动能定理的积分形式 2 2
18
2．质点系的动能定理 ． 对质点系中的一质点 M i ： d ( 1 mi vi 2 ) = δWi 2 对整个质点系， 对整个质点系，有:
1 1 − ). r2 r1
(ϕ =ϕ 2 −ϕ 1 )
∴ W12 =
ϕ2 ϕ1
∫
r M z ( F ) dϕ
ϕ2
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果作用力偶， 如果作用力偶，M , 且力 W12 = 偶的作用面垂直转轴
注意：功的符号的确定。 注意：功的符号的确定。
2．定轴转动刚体 T = ∑ mi vi 2 = (∑ mi ri 2 )ω 2 = 1 J zω 2 ．
2
2 3．平面运动刚体 T = 1 M vC + 1 J Cω 2 ． 2 2 1 T = J Pω 2 （P为速度瞬心）
1 2
1 2
2
1 = ( J C + Md 2 )ω 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 = J Cω + M (d ω ) = J Cω + M vC 2 2 2 2
r r r δW = Fs ⋅ drc = Fs ⋅ vC dt = 0. r r drc = vC ⋅ dt = 0，
(3) 滚动摩擦阻力偶 M 的功
r vo
A F s
10
s 若M = 常量则 W12 = − Mϕ = − M R
FN
五．质点系内力的功 r r r r r r r r δ W = F ⋅ drA + F '⋅drB = F ⋅ drA − F ⋅ drB
材料力学 能量法
3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4
可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C
用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)
C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
人教版高中物理必修三第十二章节电能 能量守恒定律
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前人教版高中物理必修三第十二章节电能 能量守恒定律学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释一、 选择题（注释）1. 卫星在太空中可以利用太阳电池板供电。
若一太阳电池板,测得它的开路电压为800 mV,短路电流为40 mA,将该电池板与一阻值为20 Ω的电阻连成一闭合电路,则它的路端电压是( ) A. 0.10 V B. 0.20 V C. 0.30 V D. 0.40 V2. 如图所示，带有活塞的气缸中封闭一定质量的气体（不计气体的分子势能以及气缸和活塞间的摩擦）．将一个半导体NTC 热敏电阻R （随着温度的升高热敏电阻阻值减小）置于气缸中，热敏电阻R 与气缸外的电源E 和电流表组成闭合电路，气缸和活塞与外界无热交换．现保持活塞位置不变，当发现电流表的读数增大时，下列说法正确的是（ ）A. 气体的密度增大B. 气体的压强不变C. 气体分子的平均动能增大D. 每秒撞击单位面积器壁的气体分子数不变3. 如图，a 、b 分别表示一个电池组和一只电阻R 的伏安特性曲线．用该电池组直接与电阻R 连接成闭合电路，则以下说法正确的是（ ）A. 电池组的内阻是0.33ΩB. 电阻的阻值为1Ω试卷第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. 电池组的输出功率将是4WD. 改变电阻R 的阻值时，该电池组的最大输出功率为4W4. 在如图所示的UI 图象中，直线Ⅰ为某一电源的路端电压与电流的关系图象，直线Ⅱ为某一电阻R 的伏安特性曲线．用该电源直接与电阻R 相连组成闭合电路．由图象可知正确的是（ ）A. 电源的电动势为3V ，内阻为1ΩB. 电阻R 的阻值为2ΩC. 电源的输出功率为4WD.电源的效率为50%5. 如图所示，电流表 A 1 （0 ～3A ） 和 A 2 （0 ～0.6A ） 是由两个相同的电流表改装而成，现将这两个电流表并联后接入电路中，闭合开关 S ， 调节滑动变阻器，下列说法中正确的是（ ）A. A 1 、A 2 的读数之比为1：1B. A 1 、A 2 的读数之比为5：1C. A 1 、A 2 的指针偏转角度之比为5：1D.A 1 、A 2 的指针偏转角度之比为1：56. 如图所示电路中， A 、B 两灯均正常发光， R 为一滑动变阻器， P 为滑动片，若将滑动片向下滑动，则（ ）A. A 灯变亮B. B 灯变亮C. R 1 上消耗功率变大D.总电流变小7. 如图所示的电路中，电阻 R =2.0Ω，电源的电动势 E =6.0V ，内电阻 r =1.0Ω，不计电流表的内阻．闭合开关 S 后，电流表的示数为（ ）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 1.0AB. 1.5 AC. 2.0 AD. 6.0 A8. 电源的电动势为4.5V ，内电阻为0.50Ω，外电路接一个4.0Ω的电阻，这时电源路端的电压为（ ） A. 5.0V B. 4.5V C. 4.0V D. 3.5V9. 如图所示的电路，闭合开关 S ， 灯泡 L 正常发光．向右移动滑动变阻器的滑片使其接入电路的阻值增大，则灯泡 L 将（ ）A. 变亮B. 变暗C. 亮度不变D.以上情况均有可能10. 如图所示，平行板电容器在充电后不切断电源，此时板间有一带电油滴恰能在电场中静止，当正对的平行板左右错开一些时（ ）A. 带电尘粒将向上运动B. 带电尘粒将向下运动C. 通过电阻 R 的电流方向为 A 到 BD.通过电阻 R 的电流方向为 B 到 A11. 在如图所示的电路中，已知电源的电动势 E =1.5V ，内电阻 r =1.0Ω，电阻 R =2.0Ω．闭合开关 S 后，电路中的电流 I 等于（ ）A. 4.5 AB. 3.0 AC. 1.5 AD.0.5 A12. 如图所示的电路中，电源的电动势为 E ， 内阻为 r ． 当可变电阻的滑片 P 向 b 移动时，电压表 V 1 的示数 U 1 与电压表 V 2 的示数 U 2 的变化情况是（ ）试卷第4页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. U 1 变大， U 2 变小B. U 1 变大， U 2 变大C. U 1 变小， U 2 变小D.U 1 变小， U 2 变大13. 太阳能电池由许多片电池板组成．某电池板不接负载时两极间电压是6.0×10 4 V ，短路电流是3.0×10 5 A ，则这块电池板的内阻为（ ） A. 20Ω B. 5Ω C. 0.2Ω D. 0.05Ω14. 如图电路中，当合上开关 S 后，两个标有“3V 、1W ”的灯泡均不发光，用电压表测得 U ac =U bd =6V ，如果各段导线及接线处均无问题，这说明（ ）A. 开关 S 未接通B. 灯泡 L 1 的灯丝断了C. 灯泡 L 2 的灯丝断了D.滑动变阻器 R 电阻丝断了15. 用两个相同的小量程电流表，分别改装成了两个量程不同的大量程电流表 A 1 、A 2 ， 若把 A 1 、A 2 分别采用并联或串联的方式接入电路，如图所示，则闭合电键后，下列有关电表的示数和电表指针偏转角度的说法正确的是（ ）A. 图甲中的 A 1 、A 2 的示数相同B. 图甲中的 A 1 、A 2 的指针偏角相同C. 图乙中的 A 1 、A 2 的示数和偏角都不同D.图乙中的 A 1 、A 2 的指针偏角相同二、 多选题（注释）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1. 直流电路如图所示，在滑动变阻器的滑片P 向右移动时，电源的（ ）A. 总功率一定减小B. 效率一定增大C. 热功率一定减小D.输出功率一定先增大后减小2. 如图，R 1 为定值电阻，R 2 为可变电阻，E 为电源电动势，r 为电源内电阻，以下说法中正确的是（ ）A. 当R 2 =R 1 +r 时，R 2 上获得最大功率B. 当R 1 =R 2 +r 时，R 1 上获得最大功率C. 当R 2 =0时，电源的总功率最大D.当R 2 =0时，电源的输出功率最大3. 对于闭合电路欧姆定律的理解，下列说法一定正确的是（ ） A. 在电源电动势不变时，外电路的电阻越大，路端电压越大 B. 在电源电动势不变时，外电路的电阻越大，电源内电压越大 C. 当外电路断开时，路端电压的大小等于电源电动势 D. 当外电路短路时，电源电动势为零4. 如图所示的电路中，电源电动势为12V ，内阻为2Ω，四个电阻的阻值已在图中标出，闭合开关S ，下列说法正确的有（ ）A. 路端电压为10VB. 电源的总功率为10WC. a 、b 间电压的大小为5VD.a 、b 间用导线连接后，电路的总电流不变5. 如图所示，图线a 是某一电源的UI 曲线，图线b 是一定值电阻的UI 曲线．若将该电源与该定值电阻连成闭合电路（已知该电源的内阻r=2.0Ω），则（ ）试卷第6页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 该定值电阻为6ΩB. 该电源的电动势为20VC. 将3只这种电阻并联作为外电阻，电源输出功率最大D. 将2只这种电阻串联作为外电阻，电源输出功率最大6. 自行车速度计利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率．如图甲所示，自行车前轮上安装一块磁铁，轮子每转一圈，这块磁铁就靠近传感器一次，传感器会输出一个脉冲电压．图乙为霍尔元件的工作原理图．当磁场靠近霍尔元件时，导体内定向运动的自由电荷在磁场力作用下偏转，最终使导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，即为霍尔电势差．下列说法正确的是（ ）A. 根据单位时间内的脉冲数和自行车车轮的半径即可获知车速大小B. 自行车的车速越大，霍尔电势差越高C. 图乙中霍尔元件的电流I 是由正电荷定向运动形成的D.如果长时间不更换传感器的电源，霍尔电势差将减小7. 以下说法中正确的是（ ） A. 从公式I=可知，导体中电流跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比B. 对于导体，只要其两端电势差为零，电流也必为零C. 电源的电动势大，表征把其他形式的能转化为电能的数量就多D. 电源电动势越大，电源两极间的电压一定越高8. 对于不同型号的干电池，下列说法正确的是（ ） A. 1号干电池的电动势等于5号干电池的电动势 B. 1号干电池的容量小于5号干电池的容量 C. 1号干电池的内阻大于5号干电池的内阻D. 把1号和5号干电池分别连入电路中，若电流I 相同，它们做功的快慢相同9. 下列关于电源的说法正确的是（ ）A. 电源是将其他形式的能转化为电能的装置B. 电源的作用是使电源的正负极保持一定量的正、负电荷，维持一定的电势差C. 在电源内部，从负极到正极电势逐渐提高D. 与电源相连的导线中的电场是由电源正、负极上的电荷形成的……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………10. 有关电动势的说法中正确的是（ ）A. 电源的电动势等于内、外电路电势降之和B. 当外电路断开时，电源的路端电压与电源电动势相等C. 电源的电动势与外电路无关D. 电源电动势等于内电压分卷II分卷II 注释三、 填空题（注释）11. 设某型号的太阳能电池板的电动势为600μV ，短路电流为30μA ，则由此可以推知，该电池的内电阻为_______________Ω；如果再将此电池与一个阻值为 20Ω的电阻连成闭合电路，那么通过电池的电流为_______________μA ．12. 如图所示，电源的内阻 r =2.0Ω，电阻 R =8.0Ω，开关闭合后，电流表示数 I =0.30A ．则电源的电动势 E =_______________V ；在 t =50s 时间内，电阻 R 产生的焦耳热 Q =_______________J ．13. 取两片不同的金属，相隔一定距离插入水果（如芒果等）内，就构成了简易水果电池．用理想电压表测得电池两极间的电压为1.26V ．用阻值为10Ω的电阻与理想电流表串联，接在电池两极间，测得电流表中的电流为30mA ，则该电池的电动势为_______________V ，内阻为_______________Ω14. 在如图所示的电路中，已知定值电阻为 R ， 电源内阻为 r ， 电表均为理想电表．将滑动变阻器滑片向下滑动，电流表 A 示数变化量的绝对值为 △I ， 则电压表 V 1 示数变化量的绝对值 △U 1 =_______________ ， 电压表 V 2 示数变化量的绝对值 △U 2 =_______________ ．15. 如图所示，已知电源电动势 E =3V ，内电阻 r =1Ω，电阻 R =5Ω，电路中的电表均为理想电表．则当开关 S 闭合时，电流表的读数为_______________A ，电压表的读数为_______________V ．16. 如图所示的电路，当开关与 a 相连时，通过灵敏电流表的电流方向_______________（选填“向左”或“向右”）．然后将开关与 b 相连，此试卷第8页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………时通过灵敏电流表的电流方向_______________（选填“向左”或“向右”）．17. 如图所示， R 1 =5Ω，R 2 阻值未知，灯 EL 标有“3V 3W ”字样， R 3 是最大电阻是6Ω的滑动变阻器． P 为滑片，电流表内阻不计，灯 EL 电阻不变．当 P 滑到 A 时，灯 EL 正常发光；当 P 滑到 B 时，电源的输出功率为20W ．则电源电动势为_______________V ；当 P 滑到变阻器中点 G 时，电源内电路损耗功率为_______________W ．18. 如图所示，电源的内阻 r =2.0Ω，电阻 R =8.0Ω，开关闭合后，电流表示数 I =0.30A ．则电源的电动势 E =_______________V ；在 t =50s 时间内，电阻 R 产生的焦耳热 Q =_______________J ．19. 取两片不同的金属，相隔一定距离插入水果（如芒果等）内，就构成了简易水果电池．用理想电压表测得电池两极间的电压为1.26V ．用阻值为10Ω的电阻与理想电流表串联，接在电池两极间，测得电流表中的电流为30mA ，则该电池的电动势为_______________V ，内阻为_______________Ω20. 在如图所示的电路中，已知定值电阻为 R ， 电源内阻为 r ， 电表均为理想电表．将滑动变阻器滑片向下滑动，电流表 A 示数变化量的绝对值为 △I ， 则电压表 V 1 示数变化量的绝对值 △U 1 =_______________ ， 电压表 V 2 示数变化量的绝对值 △U 2 =_______________ ．21. 如图所示，已知电源电动势 E =3V ，内电阻 r =1Ω，电阻 R =5Ω，电路中的电表均为理想电表．则当开关 S 闭合时，电流表的读数为_______________A ，电压表的读数为_______________V ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………22. 如图所示的电路，当开关与 a 相连时，通过灵敏电流表的电流方向_______________（选填“向左”或“向右”）．然后将开关与 b 相连，此时通过灵敏电流表的电流方向_______________（选填“向左”或“向右”）．23. 如图所示， R 1 =5Ω，R 2 阻值未知，灯 EL 标有“3V 3W ”字样， R 3 是最大电阻是6Ω的滑动变阻器． P 为滑片，电流表内阻不计，灯 EL 电阻不变．当 P 滑到 A 时，灯 EL 正常发光；当 P 滑到 B 时，电源的输出功率为20W ．则电源电动势为_______________V ；当 P 滑到变阻器中点 G 时，电源内电路损耗功率为_______________W ．24. 如图所示，直线A 为电源a 的路端电压与电流的关系图象；直线B 为电源b 的路端电压与电流的关系图象；直线C 为一个电阻R 的两端电压与电流关系的图象，将这个电阻R 分别接到a 、b 两电源上，那么R 接到a 电源上时，电源的输出功率_______________（填“较大”、“较小”或“相等”），a 电源的内阻_______________ b 电源的内阻（填：“大于”、“等于”或“小于”）．a 电源的电动势_______________ b 电源的电动势（填：“大于”、“等于”或“小于”）25. 利用如图1所示的一只电压表，一个电阻箱和一个电键及导线等，根据闭合电路欧姆定律测出一个旧电池组的电动势和内电阻．①请在答题卡的方框内画出实验电路图_______________；②用笔画线作导线将所给器材连接成实验电路_______________；③实验过程中，实验过程中，将电阻箱拨到45Ω时，电压表读数为0.90 V ；若将电阻箱拨到图2所示的_______________Ω时，电压表的读数如图3所试卷第10页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………示是_______________ V ．根据以上实验数据，可以算出该节干电池的电动势E=_______________V ，内电阻r=_______________Ω．四、 实验题（注释）26. 根据做学知识完成实验：1）如图甲所示为某校兴趣小组通过电流传感器和计算机来测电源电动势和内阻的实验电路，其中R 0 为定值，电阻R 为可调节的电阻箱，电流传感器与计算机（未画出）相连，该小组成员通过实验记录下电阻箱的阻值R 和相应的电流值I ，通过变换坐标，经计算机拟合得到如图乙所示图象，则该图象选取了_______________为纵坐标，由图乙中图线可得到该电源的电动势为_______________ V ；2）现由三个规格相同的小灯泡，标出值为“2.5V 、0.6A ”，每个小灯泡的IU 特性曲线如图丙所示，将它们与图甲中电源按图丁所示的电路相连，闭合开关后，A 灯恰好正常发光，则电源的内阻r=_______________Ω，图甲中定值电阻R 0 =_______________Ω．27. （2017天津卷）1）我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体。
材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N FAσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F Aσσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F Aσσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥3.确定许可荷载[],maxN F A σ≤七、线应变ll ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F ll EA∆=注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l llδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
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x1
x
( x1
x)
2.求应变能
Vε
l
M 2 (x)dx 2EI
x1
M
2 1
(
x)dx
0 2EI
l
M
2
2
(
x) dx
x1 2EI
3.求挠曲线方程
w(x1)
Vε F
F 0
x 1 M1 M1dx 0 EI F1
l x1
M 2 (x) EI
M 2 F1
dx F 0
x1
ql 2
x
q 2
1 0, 2 0, 3 0
（3）力与位移关系：
V 2 1
2
M
()
M
()
(
R
d
)
0
Xi
EI 0
Xi
(i 1,2,3)
其中：
M
( )
F 2
R sin
X 1 R(1 cos)
X
2
M () R(1 cos)
X1
M () 1
X2
补充方程
3
4
2
R
X1
2
1
X
2
FR 4
0
2
(M2 0 2EI
FN2 )Rd
2EA
（3）求位移
AB
V F
2
(
M
0 EI
M F
FN FN )RdEA FAB来自20(
FR2 (1 cos)2
EI
F
cos2 EA
)Rd
AB
3 FR3
EI
FR
EA
3FR3 FR
若环自身半径为r AB Er 4 / 4 Er 2
AB
3FR3 Er 4 / 4
变形能的计算
V V [ (P), (u, v, w)]
能量守恒
W (F,u, v, w) V [ (FN ,T , M , ), (u, v, w)] 其中：FN=FN (F),T=T（F）,M=M(F) 以上等式中包含外力、内力、应变和位移，任 给出三个方面的量都可以求出第四个量。
能量法---利用功能的关系求解变形体的内力 及变形的方法。
解：1. 在x1 处施加集中力F，
列弯矩方程
A
qF
B
AC段： M1(x) M q M F
ql x q x2 L x1 xF
22
L
x
C
x1 l
M1(x) L x1 x
F1
L
CB段： M (x) M q M F
ql 2
x
q 2
x2
l
l
x1
xF
F(x
x1 )
M 1 ( x) F1
l
l
l
N1
N3
F N2
2 cos
A
(2)求应变能
V
N12l1 2EA
N 22l2 2EA
N32l3 2EA
F
N1
N2
N3
A
F
（3）求约束反力
B
N1l
EA cos
N1 N 2
N2l EA
N3l
EA cos
N3 N 2
0
2
N1
cos
N2
0
2
F N2
2cos2
N2
0
N2
B
1
2
3
l
F 2 cos3 1
由于约束反力处的位移是已知的，所以卡氏 第二定理建立在该约束处的位移协调方程，从而 求解超静定问题。
[例12-6] 如图3个杆抗拉刚 1 度为EA，求各杆的轴力。
解：（1）平衡方程
取节点A分析（如图）
3
2
l
A F
Fx 0 : N1 sin N2 sin
N2
N3 N1
1
2
3
Fy 0 : N3 cos N1 cos F N2
x1
M (x2 ) a
F
a EI2 C
V
a 0
M 2 (x1) 2EI
dx1
a 0
M 2 (x2 ) 2EI
dx2
(3) A点垂直位移y
y
a 0
M (x1) EI1
M (x1 F
) dx1
a 0
M (x2 ) EI2
M (x2 F
) dx2
y
a 0
Fx12 EI1
dx1
a 0
Fa2 EI2 dx2
(1
r2 12 R
2
)
r R
0.1,
r2 12 R
2
0.0008
[例12-4] 不计轴力和剪力影响，计算图示折杆
A点垂直位移y及转角A
解：1.计算A点垂直位移y （1）列折杆弯矩方程：
B x2
a EI1 x1
F AB : M (x1) Fx1
A BC : M (x2 ) Fa （2）应变能
M (x1) F
荷，按卡氏第二定理求导后令假设的载荷为零。 （3）如果结构上作用几个相同的载荷，则应分 别给出不同的标识，按卡氏第二定理求导后令 它们取原值。
（4）应变能积分中的内力函数式不可展开，且先 求导后再代如积分号内运算。
四.用卡氏定理解超静定问题
力法：以未知力作为基本未知函数，利用有关 的定理及变形关系求解超静定问题称为力法。
Fa3 3EI1
Fa3 EI2
()
2.计算B截面转角A
（1）在A处施加力矩M0 弯矩方程
B
a
F A
AB : M (x1) Fx1 M0
x2
EI1 x1 Mo BC : M (x2 ) Fa M 0
a
（2）计算位移
M (x1) 1 M 0
M (x2 ) 1 M 0
EI2 C
A
M0 0
V M 0
T 2 (x) dx l 2GI p (x)
s FQ2 (x) dx
l 2GI p (x)
M 2 (x) dx l 2EI(x)
(4)已知位移函数求应变能
V
1 2
EI (x)( 1 )2 dx 1
l
2
EI (x)(v)2 dx
l
[例12-1]如图杆系受F作用，求应变能。
解： (1) ~ l关系
M0 0
[
a 0
M (x1) EI1
M (x1) M 0
dx1
a 0
M (x2 ) EI2
M (x2 ) M 0
dx2 ]M0 0
B
a 0
Fx1 EI 2
(1)dx1
a 0
Fa EI 2
(1)dx2
A
Fa2 2EI1
Fa2 EI2
（“-”表示A与M0转向相反）
[例12-5]求图示梁的挠曲线方程。
二.余能定理（恩格赛尔定理）
Vc
F
dF
F F 0
若有Fi作用（i=1,2,3…) 对应的位移为 1, 2 , 3...
Vc Vc (F1, F2...)
Vc
Fi Fi
Fi 0
i dF
i
三.卡氏第二定理
（1）卡氏第二定理
对于线弹性问题 Vc V
Vc Fi
V Fi
i
----卡氏第二定理
内力虚功与外力虚功
作用在所有微段上的可能内力 在虚变形上作之总虚功－内力虚功
Wi l (FNd *Td *Md *)
Wi l (FNd * Td * M yd y * Mzdz*) 外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功
We
l
q(
x)w
(
x)
d
x
Me
e
Fpl
未计剪切
变形体虚功原理
第十二章 能量法
安徽建筑工业学院
第十二章 能量法 §12-1 概 述
一.能量法的适用条件
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形 而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称 变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的 变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应 位移上所做的功 W V
二.能量法的概念
外力功的计算 W W (F,u,v, w)
l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定
关于位移与单位载荷
－广义位移，施加相应单位广义载荷
－线位移，加单位力 －角位移，加单位力偶 －相对线位移，加一对相等相反单位力 －相对角位移，加一对相等相反单位力偶
2
1
R
X1
2
X2
FR 2
0
（4）求解补充方程：
X1
4 2 8
F
X
2
2( 3) 2 8
FR
§12-4 虚位移原理与单位力法
一、虚位移原理 1. 虚位移
假象在约束所允许的条件下，可能实现的任 何无限小的位移。
2. 虚功 作用力在虚位移上所作的功称为虚功
W F r
3. 虚位移原理 虚位移原理：作用在刚体的所有外力在该位置的 任一虚位移上所做虚功的和等于零。
线弹性受扭轴： T (x)T (x) dx l GIp
T ( x)T ( x) dx
l GIt
处于平面弯曲的线弹性梁与刚架： M ( x)M ( x) dx l EI
x)]dx F
x)]dx
0
w(x) qx (l 2 2lx2 x3)