第十一章能量法讲解
八年级下册物理第十一章第一节功讲解
在八年级下册物理课程中，第十一章第一节的内容是关于功的讲解。
功是物体受力作用下发生的能量转化过程，是物体对外界做功的表现。
在这篇文章中，我将深入探讨功的概念和相关知识，帮助你全面理解这一物理学的重要内容。
1. 什么是功在物理学中，功通常用来描述物体受力作用下的能量转化过程。
当一个力对物体做功时，物体的能量发生了变化。
在力的作用下，物体的位置、速度或形状发生变化，这种变化所表现出来的能量转化过程就是功。
2. 功的计算公式在物理中，功的计算公式是：\[W = F \cdot s \cdot \cos\theta\]其中，W代表功，F代表力的大小，s代表物体受力移动的距离，\(\theta\)代表力和位移方向的夹角。
这个公式告诉我们，力的大小、作用距离和方向都对功产生影响。
3. 功的单位和量纲功的单位是焦耳（J），国际单位制中的量纲是\[ [W] = ML^2T^{-2} \]这里的M代表质量，L代表长度，T代表时间。
这说明功的量纲是质量乘以长度的平方除以时间的平方。
4. 功的正负和能量转化当力和位移方向相所做的功是正功，表示能量是外界传递给物体的；当力和位移方向相反时，所做的功是负功，表示能量是外界由物体传递给外界的。
这表明了功和能量转化之间的密切关系。
5. 功率功率是描述物体做功效率的物理量，常用单位是瓦特（W）。
功率的计算公式是\[P=\frac{W}{t}\]其中，P代表功率，W代表功，t代表时间。
这意味着功率越大，单位时间内做的功就越多，效率就越高。
6. 个人理解从我的学习和教学经验来看，功是物理学中非常重要的概念之一。
通过对功的深入理解，可以更好地理解物体在受力作用下的能量转化过程，也可以更好地理解机械能守恒定律、功率和机械效率等内容。
对功的理解是物理学学习的重要一步。
总结回顾，通过本文的阐述，我们对功的概念、计算公式、单位和量纲、正负和能量转化、以及功率等内容有了比较全面的了解。
通过深入理解这些内容，我们也能更好地应用这些知识来解决实际问题，为我们今后的学习和生活提供帮助。
材料力学能量法第1节 杆件的变形能
M (x) Me
则梁的变形能为
U
l
0
Me2 2EI
dx
M e2l 2EI
外力矩 M e 所做功
W
1 2
M eB
根据功能原理 U W
M e2l 2EI
1 2
M eB
B
Mel EI
例11-4 简支梁 AB 如图，C点受集中力 F 作用， 设梁的抗弯刚度 EI 为常量，求梁的变形能以及梁 C 点
• 对于组合变形下的杆件，在其截面上同时存在轴
力 FN (x) 、 弯矩 M (x) 和扭矩 T (x) 几种内力。
在线弹性和小变形条件下，各种内力只在与各自 引起的变形上做功，组合变形杆件的总变形能等 于与各种内力相应的变形能之和。即
U
l
FN2 (x) 2EA
dx
l
M 2(x) 2GI
dx
• 全梁的变形能
U
W
l
M 2 (x) 2EI
dx
结论
U
W
1 2
F
• 式中，F 为广义力， 是与 F 对应的广义位移
表 11-1 广义力与对应的广义位移
变形情形 拉 伸
扭转
弯曲
广义力 F 拉力 F 扭转力偶矩 T 弯曲力矩 M
广义位移 线位移 l 扭转角
转角
5、组合变形杆件的变形能
• 梁纯弯曲时 A、B 端面 的相对转角
l
M el EI
• 在线弹性范围内，弯 曲力偶矩所做的功
W
1 2
M e
• 梁纯弯曲时的变形能
能量法
11 X 1 1 p 0 11 ( X1 ) 11 X1 11 X 1 1P 0
1P , 11
MP
l
X1 1
M1
4、系数与自由项
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
求C点挠度。
M ( x)M ( x) 莫尔定理 dx EI （莫尔积分） l M ( x)M ( x) dx EI l
对于组合变形： FN ( x)FN ( x) T ( x)T ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx EA GI p EI l l l
M 1 m
6
6
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
15
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4、 解方程
135X 1 144X 2 520 0.......... ....2
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
能量法
能量法
一 外力功 二 变形能
三 利用功能原理计算位移
四 求位移的卡氏定理
五 单位载荷法 莫尔积分
六 力法
能量法/一 外力功 一 外力功 定义:
任何弹性体在外力作用下都要发生变
形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线
方向所作的功,称为外力功。
能量法/一 外力功
计算
1、常力作功
若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
时，才可应用。 4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆
材料力学课程讲义 (5)
Ay =
∫
a
0
M( x1 )M( x1 ) dx1 + EI
∫
M( x2 )M( x2 ) dx2 + EI 0
l
∫
l 0
l
0
T( x2 )T( x2 ) dx2 EIt
Ay =
∫
a
0
x1 Fx1 dx1 + EI
∫
x2 Fx2 dx2 + EI 0
l
∫
a Fa dx2 EIt
§4 变形体虚功原理
变形体虚功原理 变形体虚功原理的证明
变形体虚功原理 几个概念
可能内力与外力（静力许可场） 可能内力与外力（静力许可场） 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的 与外力保持平衡并满足静力边界条件的 内力，称为静力可能内力 静力可能内力或 内力，称为静力可能内力或可能内力 2）杆的可能内力用 N,T,FS与M表示 杆的可能内力用F 杆的可能内力用 表示 3）可能内力与外力 可能内力与外力 结构的静力许可场
l
∫ [F
l
N( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy
+ Mz ( x)dθz ]
= ∫ [FN( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy + Mz ( x)dθz ]
l
实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定
关于位移与单位载荷 －广义位移，施加相应单位广义载荷 广义位移，施加相应单位广义载荷
We = ∫ q( x )w ( x )d x + M e e + Fp l
l
变形体虚功原理
十能量方法专题培训
PL2
2 EI
A 2 P E L I 2 “负号”阐明 A与所加广义力MA反向。( )
22
[例6 ] 构造如图，用卡氏定理求梁旳挠曲线。
x A
Px P 解：求挠曲线——任意点旳挠度 f（x）
BC
没有与f（x）相相应旳力，加之。
L x1
O
x
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1)
其变形能是否为：
U
P12 L1
P2 2
L2
?
2EA 2EA
二、试述怎样用卡氏定理求图示梁自由端旳挠度。
三、刚架受力如图，已知EI为常数，试用莫尔 定理求A、B两点间旳相对位移（忽视CD段旳拉伸变 形）。
30
2 dx dx 解： AB
a M x1 M 0 x1
a / 2 M x2 M 0 x2
M
0
(
x)
x1 2a
qx12 2
BC:
M
(
x)qax2
qx22 2
M0(x)
x2 2a
c a M ( x)M 0 ( x) dx
0( AB )
EI
a M ( x)M 0 ( x) dx
0( BC )
EI
1 EI
a
(qax1
0
qx12 ) x1 2 2a
dx1
1 EI
a 0
(qax2
qx22 ) 2
1.轴向拉压杆旳变形能计算：
U
L
N 2 ( x) dx 2EA
n
或U
N
2 i
Li
i1 2Ei Ai
比能 : u 1U
M
教科版2020年物理九年级下册第11章《第1节 能量守恒定律》教案
教案：教科版2020年物理九年级下册第11章《第1节能量守恒定律》一、教学内容本节课的教学内容来自教科版2020年物理九年级下册第11章的第1节，主要讲述能量守恒定律。
具体内容包括：1. 能量守恒定律的定义和表述；2. 能量守恒定律的证明和应用；3. 能量守恒定律在生活中的实例分析。
二、教学目标1. 让学生理解能量守恒定律的定义和表述，知道能量守恒定律是自然界中最基本的定律之一；2. 通过实例分析，让学生掌握能量守恒定律的应用，提高学生的实际问题解决能力；3. 培养学生对物理学的兴趣，激发学生探索自然界的基本规律的热情。
三、教学难点与重点1. 教学难点：能量守恒定律的证明和应用；2. 教学重点：能量守恒定律的定义和表述，能量守恒定律在生活中的实例分析。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；2. 学具：教科书、笔记本、彩色笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些日常生活中的现象，如烧水、照明等，引导学生思考这些现象背后的物理规律。
2. 知识讲解：介绍能量守恒定律的定义和表述，解释能量守恒定律的意义和作用。
3. 例题讲解：选取一些与能量守恒定律相关的例题，进行详细讲解，让学生理解并掌握能量守恒定律的应用。
4. 随堂练习：布置一些随堂练习题，让学生运用能量守恒定律解决问题，巩固所学知识。
5. 实例分析：分析一些生活中的实例，如燃料燃烧、机器工作等，让学生了解能量守恒定律在实际中的应用。
6. 课堂小结：7. 布置作业：布置一些有关能量守恒定律的作业题，让学生进一步巩固所学知识。
六、板书设计1. 能量守恒定律的定义和表述；2. 能量守恒定律的证明和应用；3. 能量守恒定律在生活中的实例分析。
七、作业设计1. 题目：计算一盏灯泡的功率。
已知灯泡的电压为220V，电流为0.8A，求灯泡的功率。
2. 答案：灯泡的功率 = 电压× 电流= 220V × 0.8A = 176W八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实例分析、随堂练习等形式，让学生掌握了能量守恒定律的应用。
初中物理 第十一章 功和机械能 A3打印 思维导图
第十一章 功和机械能
功
动能和势能
机械能及其转化
功率 定
义：作用在物体上的力与物体在力的方向上移
动的距离的乘积 定
义：做功与完成这些功所用的时间比值
意义：表示做功的多少
意义：表示做工的快慢
单位：J （焦耳）
单位：W （瓦特）
公式：W=FS
公式、
常见的不做功现象
踢球，球飞出去
里不是持续施加在足球上
推箱子，没有移动
有力但不产生移动
提着水桶先前走
力的方向上没有距离
功的计算
拉力做功：W=Fs
重力做功：W=Gh
克服阻力做功：W=fs
动能
势能
物体由于运动而具有的能
重力势能
弹性势能
受到重力且有一定高度产生的能
发生弹性形变具有的能
影响因素
质量越大，动能越大
速度越大，动能越大
影响因素
质量越大，重力势能越大
高度越高，重力势能越大
影响因素
形变越大，弹性势能越大
定义：动能、重力势能和弹性势能的统称
转化：动能和势能可以相互转化
利用
风能
潮汐能
能力守恒 机
械守恒：如果只有动能和势能相互转化，机械
能的总和不变 能
力不会凭空产生，也不会凭空消失，知识由一
种能量转化为另一种能量
相互之间可以转化。
人教版部编版八年级 物理下册第11章功和机械能【全章】PPT教学课件
没有办法，考得再差，也得回家啊！请问，下列情景中， 小卫对书包是否做功？
用手将抽屉推好，手对抽屉做功了吗？
波比从楼上摔了下来，摔得鼻青脸肿的，什么力对波比 做了功？
下面哪些情景有功存在
图丙杠铃被举在高 处静止不动，尽管 运动员对杠铃用了 力，但杠铃没有在 力的方向上移动一 段距离，所以运动 员对杠铃没有做功。 （劳而无功）
1.重100 N的物体由于惯性在光滑的水平面上匀速 前进4m，外力做的功为 0 J，重力做的功为
0 J。 2.放学后，某同学背着重40 N的书包沿水平路面走了 200 m，又登上大约10 m高的四楼才回到家。则他在回 家的过程中对书包做的功约为（ B ） A.0J B.400J C.2000J D.2400J
解:马拉车所用的力与摩擦力大小相等方向相反, F=F摩=800 N 马移动的距离s=3 000 m
Ｗ＝Ｆs=800 N×3 000 m=2.4×106 J
答：马运货时做的功是2.4×106 J。
在平地上，一小朋友用50 N的水平推力推动重100 N的箱 子，前进了10 m，推箱子的小朋友做了多少功？如果把 这个箱子匀速举高1.5 m，他做了多少功？
二、物体在运动方向上不受力的作用，由于惯性而运动 F=0，不劳无功
三、物体受到某力的作用，但运动方向始终与该力方向 垂直
F⊥s，劳而无功
小车陷入草地中，农夫用力没能推出，农夫对小车做功 了吗？
这棵树好大啊，抱回家吧！他抱得动吗？他对树做功了吗？
期中考试没考好，小卫无精打采地背着书包走在校园林 间小道上，小卫对书包做功了吗？
43
在甲、乙搬砖时丙同学也来参加，他搬砖105块用去35 分钟时间
s Ｆ
锤子对钉
子的锤力F
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F1
F2
Fi
Δ1
Δ2
Δi
此时 Vc= Vc( F1, F2, …, Fi , … ) 如果只有 Fi 有一个增量dFi ,
余功增量为 dWc= Δi dFi
余能增量为
dVc
Vc Fi
d Fi
dVc = dWc
Crotti-Engesser定Δi理（VF卡ci 氏第一定理）
弹性体的余能对某个载荷的一阶导数，等于
（想一想:如果与加载顺序有关将会出 现什么结果？）
§11.2 杆件的应变能
一、外力功的计算 F —— 广义力（力，力偶）
Δ —— 广义位移（线位移，角位移）
1. 常力做功
W = FΔ
2. 静载荷做功
（1）一般弹性体
Δ
W F d
0
F-Δ 图下方面积
（2）线弹性体
W 1 FΔ 2
F F
F
O
d Δ
一、余功、余能
F
定义
F
余功Wc
Wc dF
余能Vc
W
F
Vc Wc dF
δ
Δ
Δ
0
显然 Wc= Wc( F ) Vc= Vc( F )
二、Crotti-Engesser定理
设弹性体（不一定是线性的）上
作用力
F1, F2, …, Fi , …,
对应点位移 Δ1, Δ2, …, Δi , …
无刚性位移。
梁的弯矩方程为 M =－Fx （0≤x＜l）
wA
V F
Hale Waihona Puke l M M dx0 EI F
1 EI
l
Fx xd x
0
Fl 3
3EI
例题
2.求梁中点(非加力点)B 的挠度
F
F1
A
B
xx
在B处施加与所求挠度方向
Δ
F F
O
Δ
Δ
克拉贝隆原理 Clapeyron
线弹性体上，作用力 F1 , F2 ,…, Fi ,…, Fn
对应位移 Δ1 ,Δ2 , …,Δi , …, Δn
外力功为
W
1 2 F1 Δ1
1 2 F2 Δ2
1 2 Fi Δi
1 2
Fn Δn
n 1
V W i1 2 Fi Δi
线弹性体的外力功或 应变能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。
x
l
B 求： 用功能原理计算A点挠度 解：1. 建立坐标系 2. 求弯矩方程
M =－F x
（0≤x＜ l ）
3. 求外力功W 和应变能 Vε
1 W 2 FwA
4.求wA
l M 2 d x l Fx2
F 2l3
V
0
2EI
0
2EI
dx 6EI
Vε = W
wA
2V F
Fl 3
3EI
§11.3 卡氏定理
25
材力11-1
内容
要求 练习 作业
Chap.11 能量法 11.1 概念 11.2 应变能 11.3 卡氏定理 11.4 虚功原理 掌握杆件应变能计算，功能原理，
会卡氏定理，懂虚功原理。
功能原理1，卡氏定理1 11-3，7，9，11（b）
第十一章 能量法
§11.1 概述 一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。 可用来求解变形、静不定、动荷、 稳定等问题。
4. 只适用于线弹性体。
图示力系的外力功为
1
1
1
1
W 2 F1Δ1 2 F2 Δ2 2 F3 Δ3 2 F4 Δ4
式中广义力包括集中力、集中力偶等，而 则为与广义
力相应的广义位移。
F3
Δ4
Δ3
F4
a
F2
F1
Δ2 Δ1
思考
V
W
n1 i1 2 Fi Δi
Clabeyron原理是否可以理解成 叠加原理？
d
M
M
dx
w d M
d x EI
d M d x
EI
dV
dW
1 M d
2
M 2xd x
2EI
M 2x
V W
l
2EI
dx
忽略剪力影响，如矩形截面，当l /h=10时，
剪力的影响只占弯矩的 3﹪.
（二）组合变形
据Clabeyron原理， 微段dx上
dV
dW
1 2
FN
dl
1 M d
2
1T d
不成立。
Vε
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
Vε是载荷的二次函数，叠加原理不成立。 组合变形应变能计算是否用了叠加原理？
当各载荷互相独立时，可以用叠加原理 当各载荷互相不独立时，不能用叠加原理 讨论 P.191 11-1，11-2题
F
已知：EI=常数
例题
A
wA
2
FN2 d x M 2 d x T 2 d x 2EA 2EI 2GIp
M T FN
dx
全杆
V
W
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
（三）弹性应变能的性质
V
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
1. Vε ＞ 0 （正定）； 2. Vε是载荷的二次函数，叠加原理
二、外力功与应变能
1. 外力功W
F
Δ
载荷在其作用点位移上所作的功。
2. 应变能Vε
弹性体因载荷引起的变形而储存的能量（J）。
三、功能原理
条件： （1）弹性体 （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失
原理：外力功全部转化成弹性体的应变能.
V W
四、外力功与应变能的特点
数值与加载顺序无关，只与载荷与位 移的最终数值有关。
Δi
V Fi
FN FN d x M M d x T T d x
l EA Fi
l EI Fi
l GIp Fi
例题
F
A
B
x
l/2
C l/2
线弹性材料悬臂梁受力如
图，若F，EI(常数），l 等均
为已知，试用卡氏定理求：
1.加力点 A 处的挠度； 2.梁中点 B 处的挠度。
解：1.求 A 点挠度
该载荷作用点的相应位移。
三、卡氏定理 Castigliano Second Theorem
线弹性体
Vε = Vc
Δi
V Fi
卡氏定理
F
F
Vc
Vε
Δ
Δ
线弹性体的应变能对于某个力的一阶偏导数， 等于这个力作用点的相应位移。
对线弹性杆系结构
V
l
FN 2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
二、线弹性体的应变能
F
（一）简单变形
1. 轴向拉压
F
F
l
△l
O
△l
⊿
l FNl EA
V
W
1 Fl 2
FN 2 l 2EA
FN为变量时
V
l
FN2 x d x
2EA
2. 扭转
Tl
GIp T 是变量时
Me
Me T
φ
φ
φ
V
W
1 2
M e
T 2l 2GIP
V
l
T 2x
dx 2GI P
3. 平面弯曲
n 1
V W i1 2 Fi Δi
注:
1. Δi 尽管是Fi 作用点的位移，但它不是Fi 一
个力引起的， 而是所有的力共同作用的结果，即
它是 i 点实际位移;
2. Δi 是Fi 作用线方向的位移. Fi Δi 为正，表 明Fi 作正功， Δi 与Fi 方向相同；为负则相反；
3. Fi为集中力， Δi 则为线位移； Fi为集中力 偶， Δi 则为角位移；