数学人教版八年级下册正方形解题策略

“正方形解题策略”教学设计
南平市第三中学罗元茂
一、教学目标
1、知识与技能目标：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证
和计算．
2、能力目标：经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程。

在观察中寻求新知，
在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。

3、情感目标：通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证
唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
二、教材分析
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此正方形具有一般矩形和菱形的全部性质.作为一种特殊的矩形和菱形，正方形还具有一般矩形不具有的特殊性质、帮助学生理清正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系，能够更好地解决正方形有有关题目。

三、学情分析
从学生的学习过程看，有关正方形的题目很多，千变万化，学生掌握的也不是很好，解题时存在一定的困难。

本节课的教学主要是帮助学生理清正方形的各种解题方法。

四、教学重难点
重点：正方形的判定和性质的综合运用．
难点：几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择．
五、教学过程
（一）、复习旧知、引入新课
1、正方形的定义及性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．
从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．
正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．
2、正方形的判定
从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．
从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．
3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
（二）证明问题、提升自我
1、利用正方形对角线的性质解题
例1、如图，在正方形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．请猜测四边形BEDF的形状，并对你的猜测给出合理的说明．
解：四边形BEDF为菱形．理由如下：
连结BD交AC于点O．
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OD，OA=OC，
又AE=CF，∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．又∵AC⊥BD
∴四边形BEDF为菱形
点拨：正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，会为解题带来很多方便．
例2、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，E是OA上任一点，CF⊥BE于点F，CF交OB 于点G．求证：OE=OG．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=∠COA=90°，
∴∠1+∠2=90°．
又CF⊥BE，∴∠3+∠2=90°．
∴∠1=∠3．
∴△BOE≌△COG，
∴OE=OG．
点拨：这里主要是应用正方形对角线互相垂直平分来破题的．
2、利用正方形的轴对称性解题
例3、如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD 相交于点M、N．若∠EAF=50°，求∠CME＋∠CNF的度数．
解：∵在正方形ABCD中，
∴NC与NA、MC与MA均关于直线BD对称，
∴∠MCN=∠EAF=50º，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=130º．
∴∠CME+∠CNF
=360º-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)
=360º-130º-130º=100º．
点拨：利用正方形的对称性作角和线段的转化十分快捷，如图中∠BMA=∠BMC，∠DAN=∠DCN，AM=CM，AN=CN等．
例4、已知，如图，在正方形ABCD中，点E在AC上．
(1)求证：BE=DE；
(2)将上面的结论用文字概括为一个命题．
(3)用这个命题证明下面这道题．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F是垂足．求证：EF=PD．
解：
(1)正方形ABCD中，∵点E在AC上，
∴点B、D关于AC对称，∴BE=DE．
(2)“正方形一条对角线上的一点和另一条对角线的两端距离相等”．
(3)证明：连结BP，由(2)可知BP=DP，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠PEB=∠PFB=90º．
又∵∠ABC=90º，∴四边形EBFP是矩形，
∴BP=EF，∴EF=DP．
点拨：该题(1)的结论是一个常用到的正方形的性质，也可用对称的知识或证△ABE≌△ADE 得到，在例3中该图已经出现过；第(3)小题的证明思路是，抓住正方形是轴对称图形这一特点，把正方形沿对称轴AC翻折，使PD翻折到PB，把要证PD=EF转化为只要证PB=EF，从而达到把分散的条件集中到一块的目的．
3、利用旋转法解决有关正方形问题
例5、如图，在一正方形花池ABCD内需要装一只喷头P，且满足PA︰PB︰PC=1︰2︰3．求∠APB的度数．
解：（学生分组讨论，再小组发言）
将△APB绕B点顺时针旋转90º得△CP´B，连结PP´．
∵PA︰PB︰PC=1︰2︰3，
∴可设PA=P´C=x，PB=P´B=2x，PC=3x．
又△PBP´为等腰直角三角形，
∴PP´²=PB²＋P´B²=(2x)²＋(2x)²=8x²．
又PC²=(3x)²=9x²，∴P´C²＋P´P²=PC²．
∴∠PP´C=90º．
故∠BP´C=45º＋90º=135º．
∴∠APB=∠BP´C=135º．
点拨：旋转实质还是两个三角形全等．这里是通过旋转，将分散的条件集中起来，再由三角形边与边的关系，求出有关角的大小．
4、构造正方形解题
例6、如图，DA⊥AB，EB⊥AB，P是AB上一点，DP=PE，DA=h，EB=k，∠DPA=75º，
∠EPB=45º．求AB的长．
解：
过D作DC⊥BE交BE延长线于点C，则∠C=90º．
∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90º．
∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD
∵∠DPA=75º，∠EPB=45º，
∴∠1=180º-(75º+45º)=60º，
∠PEB=90º-45º=45º．
又PD=PE，∴△PDE是等边三角形，
∴DP=DE．
又∠2=180º-(60º+45º)=75º，
∴∠DPA=∠2，∴△APD≌△CED．
∴AD=CD=h，∴AB=h．
点拨：此题是通过补图，构造正方形求解．
六、畅所欲言、盘点收获
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？掌握了哪些解决问题的方法？
师生活动：教师引导学生梳理本节课所学知识，并对学生的表现给予总体评价.
设计意图：培养学生的归纳概括能力，鼓励学生养成良好的学习习惯.
七、布置作业、拓展提升
八、板书设计
设计意图：突出本节课的重、难点，有利于梳理所学知识，构建知识体系.
九、自我评价、总结反思
本教学在设计过程中，为了更好地培养学生分析问题和解决问题的能力，充分尊重学生的主体地位，通过提出符合学生认知特点的适当问题，来引导学生开拓思维、积极动脑思考，将学生分组进行交流、讨论，对于方向不明的学生，适当进行点拨，以便学生更好地发现问题、提出问题。

而为了让学生证明正方形的有关题目，教师要给予学生充分的信任，在小组交流的基础上能够证明的都给予充分的鼓励和表扬，以此更好地调动学生提出问题、分析问题和解决问题的积极性，不足之处是本节课学习的内容太多，学生运用所学知识解题的能力较差,应加强有关正方形性质题目的训练。