《数学物理方法》第一章
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章1
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
《数学物理方法》第一章作业参考解答
《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。
如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。
数学物理方法第一章
图1.2 两复平面点对应关系
10
数学物理方法
§1.2 复变函数 为简单，这里不作严格定义。简单说，复变函数 就是以复数z为自变量的函数。
f z u ( x , y ) i ( x , y )
（ 式中 u ( x , y ) 和 x , y） 是x，y的实函数。我们讨论 的并不是普遍的复变函数，而是后面我们要讨论 的解析函数。如果对于z的每一个值，ω各取一个 值，则称ω为单值函数，否则为多值函数。
i
n
z
n
e
i
0 2 k
n
( k 0,1, 2, , n 1)
8
数学物理方法
例1.3 计算下列数值（a、b为实常数） （1）
a ib
；（2）3 i ；（3） i i
解：（见document 1.3）
9
数学物理方法
4、无穷远点 复平面上模为无穷大的点称为无穷远点。如图2， 复平面z上的点与任意半径球面上的点（除原点北 极外）一一对应，因此复平面上的无穷远对应球 面（复球面）上的顶点（北极点），亦即复平面 上无穷远点就一个。
20
数学物理方法
解析函数所代表的变换的保角性，是有条件的， 这就是只在f′(z) 0处才一定有保角性。在f′(z) = 0 的点，由于argf′(z)没有确定值，因而变换可能保 角也可能不保角。巧妙利用变换在f′(z) = 0处的不 保角性，可以把z平面上的复杂图形变换为ω平面 上的简单图形。
21
数学物理方法
调和函数 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 解析函数的实部u(x, y)和虚部(x, y)满足C-R条件， 两式分别对x和y求导： x y y x
数学物理方法.PDF
第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型，讨论某些一般性的原理、方法。
这样，对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题，因此我们先研究如何推导出这些方程，并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个：一方面是描述某种物理过程的微分方程；另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，整个弦可以任意变形，其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ，长度为l ，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1，所谓横向，是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行，且在振动过程中，弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多，前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”，不仅指振动的幅度),(t x u 很小，同时认为切线的倾角也很小，即1<<∂∂xu， t 时刻，任选一段弦，其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(，且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先，我们将弦段M M ′上的运动，近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律，我们得到在x 轴方向，弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动，在x 轴方向没有位移，因此合力为0，即0cos cos =α′+α−T T （1.1.1）由于是微小振动，因此α′α,近似为0，因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时，有1cos cos ≈α′≈α代入（1.1.1）可以得到T T ′=在u 轴方向上，弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α，所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻，沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂，x 为弧段M M ′的质心。
数学物理方法第一章
5、乘方运算 zn n (cos n i sin n ) nein
6、开方运算
n
z
n
ei 2kπ n
n
[cos(
2kπ ) i sin(
2kπ)],
n
n
n
i +2k
e n (k
e(zi2 ) ez
5、三角函数cos z eiz eiz ,
2
性质
周期性 非有界函数
sin z eiz eiz 2i
6、双曲函数 cosh z ez ez , sinh z ez ez T 2i
2
2
7、对数函数 Lnz ln z iargz 2kπ, k 0,1,2,
y y
两者应该相等，故有
即 u v ,
x y
v u x y
u i v v i u x x y y
称为科西--黎曼条 件（C.R.条件）
C.R.条件是复变函数可导的必要条件，但不是 可导的充分条件
2、充分条件：
1）u,v在z处满足C.R.条件
六、举例
求(1 i)100和4 1 i
例：求 3 8之值
例：讨论式子 Re(1/ z) 2 在复平面上的意义
解：Re(1/ z) 2 z x yi
1 1 z x yi
x yi x2 y2
Re(1 /
z)
x2
x
y2
2
x2 y2 x 2
为
(x 1)2 y2 (1)2
lim lim
数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
《数学物理方法》第一章
……
第一章
复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念 复数 形如 z=x+i y 的数被称为复数， 其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别 为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1 复数四则运算？
复数相等
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
举例
_______
z1 z1 设z1 = 5 − 5i, z2 = −3 + 4i, 求 和 z2 z2
设z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy 2为两个任意复数， 证明：z1 z2 + z1 z2 = 2 Re( z1 z2 )
求(1 + i )100 和 4 1 + i
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。 学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。
3
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
q q p q q p x = 3 − + ( ) 2 + ( )3 + 3 − − ( ) 2 + ( )3 2 2 3 2 2 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
邻域
|z-z0|<δ
0<|z-z0|<δ
开集
设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0 的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称 z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点， 那么称G为开集。
z0
G
区域
平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件： 1. D是开集；2. D是连通的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自从有了复变函数论，实数领域中 的禁区或不能解释的问题，比如： 负数不能开偶数次方； 负数没有对数； 指数函数无周期性； 正弦、余弦函数的绝对值不能超过1； …… 等已经不复存在。
第二节
区 域
区域的概念
平面上以z0为中心，δ 为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的δ -邻域 δ z0 δ z0 去心邻域
n
2k 2k z r cos i sin n n
n
其中z rei , k 0,1, 2,, n 1
记
是主幅角
w ?
n
w0 r cos i sin n n 2 2 n w1 r cos i sin n n
称满足方程 wn z
(w 0, n 2) 的复数 w 为
1 n
z
的 n 次方根，记作 w z
解： 则
wn nein z rei
r
n
e
in
e
i
nr
w n re
i n
n 2k ,
2 k
k 0,1, 2,
,
k 0,1, 2,, n 1
3
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
q q p q q p x 3 ( ) 2 ( )3 3 ( ) 2 ( )3 2 2 3 2 2 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地 位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。 “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛 卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表 的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”， 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。
0 ，存在实数δ
， 0 ，当
f ( z) f ( z0 )
lim 即 z z0 f ( z ) f ( z0 ) ——极限值等于函数值（求极限的一种方法） 则称函数 w f ( z ) 在点 z0 连续。
n
注意
根式函数是多值函数
例如
2k 2k z r cos i sin 2 2
其中z rei , k 0,1, 是主幅角
记
w0 r cos i sin 2 2
w1 r cos i sin 2 2
z1z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
rr2 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) 1
i (1 2 )
n n
r1r2 e
z r e
in
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
| z | R
y
1
| z | R
y
r | z | R
y
θ2 θ1
O
x
-R
O
R
x
O
x
1 arg z 2
Im z 0
| z | R, Im z 0
单连通域与复连通域
设D为复平面上的一个区域，如果在其中作任一 条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而 曲线内部总属于D ，则称 D 为单连通区域，否则 称为复连通区域。
2.几何意义 当z在Z平面进入以z0为圆心，δ为半径的圆Cδ时,相应的 就在W平面进入以w0为圆心，ε为半径的圆Cε内。 注：这里z以任意方式趋于z0时，其极限为w0。
则称f（z）当z趋于z0时有极限w0，记作：zlim f ( z ) w0 z
0
w f ( z)
3.性质：
z z0
lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z )
说明2
复变函数w=f(z)可以看作是z平面到w平面 上的一个映射。
w =f(z)
z平面
w平面
复变函数w =f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)， 其中z=x+iy
举例
求0<θ<π, 0<r<1经w =iz变换后在w平面上 的图形。
w =iz=zeiπ/2
z平面
w平面
举例
| z | 2
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。
复平面 复数z=x+iy
（几何表示） 虚轴
z平面
实轴
复数与平面向量一一对应 复数不能 比较大小 模 | z | r x y
2 2
0的幅角呢？ 主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy 三角表示： z=r(cosθ+isinθ) 指数表示： z=reiθ 注意
用复数表示平面点集
| z a || z b |
2
Re z 1 / 2
Re z a
2
arg z , a Re z b
z 1 1 z 1
复变函数的极限与连续
极限的概念贯穿于高等数学之中。 一、复变函数的极限
1.定义：设w=f（z）是在区域D中定义的单值函数。 如果任给实数ε>0，若存在实数δ >0，当D内的z f ( z ) w0 满足 0 z z0 时，有
欧拉公式
在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当 模相等且幅角相差2kπ
复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 ) 复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
- z2 z1 +(- z2)
乘法运算
r1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) r2
除法运算
(Z2 0)
r1 i (1 2 ) e r2
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭复数及其运算
复数z=x+iy的共轭复数为 z =x-iy
z
共轭复数 z是复数z关于实轴的对称点
根式函数
举例
z1 z1 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 和 z2 z2
证明：z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 )
_______
设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2为两个任意复数，
求(1 i)100 和4 1 i
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念 形如 z=x+i y 的数被称为复数， 其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别 为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1 复数四则运算？
复数
复数相等
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家 Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand） 以 及 德 国 的 数 学 家 高 斯 （ Gauss ） 等 都 对 “ 虚 数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数 得到了实际应用。 特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物，即 柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯特拉斯 （Weierstrass，1815－1897）、黎曼（Rieman， 1826－1866）。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积 分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像 性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复 变函数论。
D
D
单连通域
复连通域
复变函数定义
设E是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法 则存在，按照这一法则，对于集合E中的每一个复数z， 有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w 是复变数z的函数，或复变函数，记为w =f(z)。
说明1
如果z的一个值对应着w的唯一一个值，那么 我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多 个w的值，那么我们称f(z)是多值函数。
复数的发展
复数概念的进化是数学史中最奇特的一 个篇章，那就是数系的历史发展完全没 有按照教科书所描述的逻辑连续性。人 们没有等待实数的逻辑基础建立之后， 才去尝试新的征程。在数系扩张的历史 过程中，往往许多中间地带尚未得到完 全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步 伐已经到达了遥远的前哨阵地。