2016新课标名师导学新高考第一轮总复习(文科数学)第56讲 直线与圆锥曲线的位置关系
2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：直线与圆锥曲线
第九节 直线与圆锥曲线[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[探究] 直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. [自测·牛刀小试]1．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B.13 C.14D ．4解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14. 2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,5)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且点P 恰为线段AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.解析：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝10，由抛物线定义得|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝10＋2＝12.答案：124．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m ≥1，且m ≠5. 答案：m ≥1且m ≠55．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由c ＝5－4＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y ＝2(x －1)，联立方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2(x －1)，解得x 1＝0，x 2＝53，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－2，y 2＝43.∴S △＝12×1×|y 1－y 2|＝12×1×103＝53.答案：53[例1] (1)已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a ＝1相切，则k ，a 之间的关系式为________________．(2)(2013·沈阳模拟)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 2a ＝1，得(a ＋4k 2)x 2－8kx ＋4－4a ＝0. 因为直线与椭圆相切，所以 Δ＝64k 2－4×(4－4a )(a ＋4k 2)＝0， 即a ＋4k 2－1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.∵直线与双曲线右支有两个不同交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1.[答案] (1)a ＋4k 2－1＝0 (2)D ——————————————————— 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，得－1≤k ≤1，且k ≠0.综上－1≤k ≤1.[例2] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[自主解答] (1)依题意，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N 、y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒ m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1. ∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是12<m <2.保持本例题条件不变，若直线y ＝kx ＋1与椭圆相交于不同的两点M ，N ，且|MN |＝2，求直线的斜率k .解：由(1)可知，椭圆方程为x 23＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23＋y 2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋6kx ＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－6k3k 2＋1，x 1x 2＝0.则|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2|x 1＋x 2|＝1＋k 2·6|k |3k 2＋1＝2，∴36k 2(1＋k 2)＝4(3k 2＋1)2＝4(9k 4＋6k 2＋1)， 即12k 2＝4.∴k ＝±33.———————————————————与弦长有关问题的解法(1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去y (或x )后，得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)，再由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|，求其弦长．在求|x 1－x 2|时，可直接利用公式|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |求得． (2)涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2和x 1＋x 2，y 1＋y 2，运用整体代入的方法，求中点或斜率，体现“设而不求”的思想．2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，b ＝23.故所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.[例3] 已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆M 的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[自主解答] (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得 ⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为 y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12<x G <0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0. ———————————————————求最值与范围问题的方法求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似．求最值常见的解法有两种：代数法和几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解：(1)∵焦点F 到准线的距离为12，∴p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)， 则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0) 令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，∴k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x＝x 0＋x .∵NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，∴k PM ·k NQ ＝－1， 即2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1， 整理得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t 2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ ―→与MP 共线，得x 0＝2xtx ＋t.②由①②得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xt x ＋t (t >0)，∴t ＝－x 2＋13x ＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋13x . ∴t ≥23或t ≤－23(舍去)．∴所求t 的最小值为23.2种思想——函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．3类问题——圆锥曲线中的三类问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．(2)证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．(3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．求最值常见的解法有几何法和代数法.答题模板——圆锥曲线中的探索性问题[典例] (2012·福建高考·满分13分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[快速规范审题]第(1)问：1．审条件，挖解题信息观察条件：椭圆方程及左、右焦点F 1，F 2，离心率e ＝12，△ABF 2的周长为8―――――――――――→椭圆定义及离心率公式△ABF 2的周长为4a ，e ＝c a.2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求椭圆的方程―→需建立关于a ，b ，c 的方程组求解． 3.建联系，找解题突破口由条件可得4a ＝8，c a ＝12 ――――――――→a 2＝b 2＋c 2可得a ＝2，b 2＝3 ――――――――→代入椭圆方程得E 的方程x 24＋y 23＝1. 第(2)问：1．审条件，挖解题信息观察条件：直线l 与椭圆E 相切于点P ，与直线x ＝4相交于点Q ――――――――→联立方程，消元得判别式Δ＝0及P ，Q 的坐标．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：探索是否存在点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ―――――→假设M 存在问题转化为MP ·MQ ＝0恒成立．3．建联系，找解题突破口由条件分析的位置并设出M 的坐标(x 1,0)·0MP MQ MP MQ −−−−−−−→写出向量，的坐标代入等式＝得到关于参数m ，k ，x 1的方程―――――――→对任意m ，k 恒成立得关于x 1的方程组―――――→判别是否有解结论．,[准确规范答题](1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，⇨(1分) 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，⇨(2分) 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，⇨(3分)所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.⇨(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.⇨(5分)因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， 所以m ≠0且Δ＝0，⇨(6分) 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*)⇨(7分) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m .⇨(8分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．⇨(9分) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知， 点M 必在x 轴上．⇨(10分)设M (x 1,0)，则MP ·MQ＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． 因为MP ＝⎝⎛⎭⎫－4k m－x 1，3m ，MQ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由MP ·MQ ＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)⇨(11分)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.⇨(12分)故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .⇨(13分)[答题模板速成]解决解析几何中的探索性问题的一般步骤：⇒⇒⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－baB ．k <baC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a <k <b a解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－b a <k <ba.2．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长等于( )A ．4 B.433 C ．2D ．不能确定解析：选B 直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.3.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－1解析：选D 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.4．(2013·温州模拟)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA |为( )A.21p4 B.21p2C.136p D.1336p解析：选B 如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，|AD |＝3m ，由抛物线定义知|F A |＝|AB |，即p ＋m ＝2m ，∴m ＝p .∴|OA |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 5．(2013·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 设过点(0,1)斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*) 当k ＝0时，(*)式只有一个根；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝－16k ＋16， 由Δ＝0，即－16k ＋16＝0得k ＝1.所以k ＝0，或k ＝1时，直线与抛物线只有一个公共点， 又直线x ＝0和抛物线只有一个公共点．6．(2013·绍兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32解析：选B 设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y ) 则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0.又∵M ，N ，P 都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2.∴b 2(x 2－x 20)＝a 2(y 2－y 20)． ∴x －x 0y －y 0＝a 2b 2 ·y ＋y 0x ＋x 0.∴1|k 1|＝a 2b 2|k 2|， 即|k 1|·|k 2|＝b 2a 2.又∵|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2ba ，∴2ba ＝1，即4b 2＝a 2.∴4(c 2－a 2)＝a 2，即4c 2＝5a 2. ∴c 2a 2＝54.即e 2＝54，∴e ＝52. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝08．一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线x 2＝4y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为________．解析：由于A (0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l ：y ＝－1.答案：y ＝－19．(2012·重庆高考)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析：设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34.又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22. 11．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m 2，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝10＋m 8. 再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m 2，0， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m 8－10. ∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k2，∴b 2k 2＋16bk ＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．12．(2012·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有 x 20a 2＋y 20b2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |>3.1．P 为双曲线y 2－x 215＝1下支上一点，M ，N 分别是圆x 2＋(y －4)2＝4和x 2＋(y ＋4)2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最小值为________．解析：已知两圆圆心(0,4)(0，－4)(记为F 1和F 2) 恰为双曲线y 2－x 215＝1的两焦点．当|PM |最小，|PN |最大时，|PM |－|PN |最小．|PM |的最小值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之差，同样，PN max ＝|PF 2|＋1，从而(|PM |－|PN |)＝|PF 1|－2－|FP 2|－1＝|PF 1|－|PF 2|－3＝－1.答案：－12．以直线x ±2y ＝0为渐近线，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程为________．解析：设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y ，得3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－1236＋λ>0.所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1)⎝⎛⎭⎫82－4×36＋λ3＝8(12－λ)3＝833. 解得λ＝4，故所求双曲线方程是x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)当离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22时，求长轴长的取值范围． 解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1·x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0，化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2. ∴1a 2＋1b2＝2为定值． (2)∵e ＝ca ，b 2＝a 2－c 2，a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). 又∵e ∈⎣⎡⎦⎤33，22， ∴54≤a 2≤32， 即52≤a ≤62.∴2a ∈[5， 6 ]． ∴长轴长的取值范围是[5， 6 ]．。
2016年新课标名师导学一轮复习文科数学课件 同步测试卷 圆锥曲线
三、解答题(本大题共 3 小题，共 40 分．解答应 写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 11．(13 分)已知双曲线的方程是 16x2－9y2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双 曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
【解析】由题中的定义知，关于x的不等式|x－(a ＋b－2)|<a＋b的解集为(－2，8)，解这个不等式得 －(a＋b)<x－(a＋b－2)<a＋b，解得－2<x<2(a＋b)－ x2 y2 2，∴2(a＋b)－2＝8，得a＋b＝5.又由于椭圆 2＋ 2 ＝ a b 1的一焦点与抛物线y2＝4 5 x的焦点( 5 ，0)重合，则 a2－b2＝5，即(a＋b)(a－b)＝5，∴a－b＝1，解得a＝ 3，b＝2， x2 y2 故此椭圆的方程为 ＋ ＝1，故选B. 9 4
x2 y2 8．设 F1，F2 是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的两个 a b 焦点， 若在 C 上存在一点 P， 使 PF1⊥PF2， 且∠PF1F2 3－1 ． ＝30°，则 C 的离心率为______
1 【解析】 由题意， Rt△PF1F2 中， PF2＝ F1F2＝c， 2 3 PF1＝ ·F1F2＝ 3c，而 PF1＋PF2＝2a＝(1＋ 3)c， 2 c 故 e＝a＝ 3－1.
2 2 x y 【解析】(1)由 16x2－9y2＝144 得 － ＝1， 9 16 所以 a＝3，b＝4，c＝5， 所以焦点坐标 F1(－5，0)，F2(5，0)，离心率 e＝ 5 4 ，渐近线方程为 y＝± x. 3 3 (2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 cos∠F1PF2＝ 2|PF1||PF2| （|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2 ＝ 2|PF1||PF2| 36＋64－100 ＝ ＝ 0， 64 所以∠F1PF2＝90°.
2016届高考数学文一轮复习(人教版)讲义9.8直线与圆锥曲线
§9.8 直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2＋bx ＋c ＝0 (或ay 2＋by ＋c ＝0)．(1)当a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a ＝0，b ≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点， ①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 3．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43 答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与抛物线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．解 因为直线l 与抛物线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.(*)①当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程(*)是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，原方程组有唯②当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程(*)是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是{－1，－45，0}．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二 直线与圆锥曲线中点弦、弦长问题例2 已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )， 则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t.直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得 4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点， 所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0， 则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为1.思维升华 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．跟踪训练2 设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F 倾斜角为θ的直线交椭圆M 于A ，B 两点． (1)求椭圆M 的方程； (2)求证：|AB |＝621＋sin 2θ；(3)设过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，求|AB |＋|CD |的最小值． (1)解 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝62，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，c ＝3，b ＝3，所求椭圆M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)证明 当θ≠π2时，设直线AB 的斜率为k ＝tan θ，焦点F (3,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k x 218＋y 29＝1⇒(1＋2k 2)x 2－12k 2x ＋18(k 2－1)＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝12k 21＋2k 2，x 1x 2＝18(k 2－1)1＋2k 2，|AB |＝(1＋k 2)[(12k 21＋2k 2)2－4×18(k 2－1)1＋2k 2]＝62(1＋k 2)1＋2k 2.(**)又因为k ＝tan θ＝sin θcos θ，代入(**)式得|AB |＝62cos 2θ＋2sin 2θ＝621－sin 2θ＋2sin 2θ ＝621＋sin 2θ.当θ＝π2时，直线AB 的方程为x ＝3，此时|AB |＝3 2.而当θ＝π2时，|AB |＝621＋sin 2θ＝32， 综上所述，所以|AB |＝621＋sin 2θ.(3)解 过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，同理可得 |CD |＝62(1＋k 2)2＋k 2＝621＋cos 2θ，所以|AB |＋|CD |＝621＋sin 2θ＋621＋cos 2θ＝1822＋14sin 22θ.因为sin 2θ∈[0,1]，所以当且仅当sin 2θ＝1时， |AB |＋|CD |有最小值是8 2.题型三 圆锥曲线中的定点、定值问题例3 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左，右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．思维点拨 直线l 的斜率存在→联立l 与C 的方程→根与系数的关系→求k 1＋k 2； 直线l 的斜率不存在→求A ，B 的坐标→求k 1＋k 2. (1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163. 由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos 60° ＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)， 解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2. 由|F 1F 2|＝4，得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， 则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1).得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)·4k (k －2)2k 2－8k ＝4.当直线l 的斜率不存在时， 可得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．思维升华 解决定点、定值问题常用策略：(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标．(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证．跟踪训练3 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1，0)，点O 为坐标原点，A ，B 是曲线C 上异于O 的两点． (1)求曲线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过定点．(1)解 ∵焦点为F (1,0)，∴p ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)证明 ∵直线OA ，OB 的斜率之积为－12，∴设直线OA 的方程为y ＝kx ， 直线OB 的方程为y ＝－12kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ，同理B (16k 2，－8k )． 由抛物线关于x 轴对称可知定点在x 轴上，那么A ，B 横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标．令4k 2＝16k 2，解得k 2＝12，则4k 2＝16k 2＝8， 点M (8,0)为直线AB 过的定点． 下面证明直线AB 过M 点．∵MA →＝⎝⎛⎭⎫4k2－8，4k ，MB →＝(16k 2－8，－8k )， 由⎝⎛⎭⎫4k 2－8·(－8k )＝(16k 2－8)·4k 可知向量MA →与MB →共线， ∴直线AB 过定点M .设而不求，整体代换典例：(12分)(2013·山东)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．思维点拨 第(3)问，可设P 点坐标为(x 0，y 0)，写出直线l 的方程；联立方程组消去y 得关于x 的一元二次方程，则Δ＝0；变为1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2，把k 与1k 1＋1k 2均用x 0，y 0表示后可消去． 解 (1)由已知得e ＝c a ＝32，b 2a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.[3分](2)由题意知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM→|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM →|PF 2→|.[4分]设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0.所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32.[6分] (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.所以Δ＝64(ky 0－k 2x 0)2－16(1＋4k 2)(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.[10分] 又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0. 故k ＝－x 04y 0，又1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0.所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0＝－8.所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[12分]温馨提醒 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．方法与技巧1．直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 2．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 失误与防范1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部． 3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．3．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过A (0，－1)，B (t,3)两点的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 D解析 直线AB 的方程为y ＝4t x －1，与抛物线方程x 2＝12y 联立得x 2－2t x ＋12＝0，由于直线AB与抛物线C 没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t >2或t <－ 2.4．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．8 2 D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12， 则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2. 设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0， ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和x 1＋x 2＋2＋2≥6>5. ∴满足题意的直线不存在．6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________. 答案 4解析 ∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知，|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4.7．已知焦点为F 的抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6. 8．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 由于A 、B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A 、B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝ca＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.10.如图所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点． (1)解 依题意，得|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的点(x 0，y 0)恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)，M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋(y ＋38)2＝12564，交y 轴于M 3(0,1)，M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0， 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2014·四川)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728D.10答案 B解析 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)． 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3， 当且仅当y 1＝43时，等号成立．12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 答案 8解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P (6,43)．由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8.13．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，记直线F A ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝________. 答案 0解析 由y 2＝4x ，得抛物线焦点F (1,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4－2kk 2，x 1x 2＝1.k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1＋1)(x 2－1)＋k (x 2＋1)(x 1－1)(x 1－1)(x 2－1)＝2k (x 1x 2－1)(x 1－1)(x 2－1)＝2k (1－1)(x 1－1)(x 2－1)＝0.14．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________． 答案52解析 由双曲线的方程可知：渐近线方程为y ＝±abx .∵经过P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，∴此直线与渐近线y ＝ab x 平行，∴a b ＝2.∴e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解 (1)∵左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10， ∴(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1.又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，整理得3＋4k 2>m 2.∴x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. 整理得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7. 且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0.。
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线课件
< < ,所以实数的取值范围为 , .
− ≠ ,
= + − > ,
−
−
−
−
> ,
> ,
解得
（3）过点 0,1 且与抛物线y 2 = 8x只有一个公共点的直线有(
C )
A.1条
D.无数条
B.2条
C.3条
[解析] 由已知,可得:
{0} ∪ [1, +∞)
______________.
= ,
= ,
此时直线 = 与抛物线 = 只有
[解析] 当 = 时,联立得
可得
= ,
= ,
一个公共点,符合题意；
= + ,
当 ≠ 时,联立得
可得 + − + = ,
整理得
x 2 + 2mx + 2m2 − 4 = 0. ∵ Δ = 4m2 − 8m2 + 16 > 0,解得 m < 2，
∴ x1 + x2 = −2m,x1 x2 = 2m2 − 4，则
AB =
d=
m
1
1+4
1
4
1+ ×
=
∴ S△PAB =
2m
5
1
d
2
x1 + x2
2
− 4x1 x2 =
5 4 − m2 .又点P到直线l的距离
去并整理,得 + − + = .当 = 时（当直线斜率存在时,需要讨论
斜率是否为0）,显然满足题意；
当 ≠ 时, =
高考数学一轮总复习 9.8 直线与圆锥曲线精品课件 理 新人教版
16
9
+ =1
16
9
2
2
得(16m +9)x -32m(m-1)x+16m2-32m-128=0.(*)
∵Δ=322m2(m-1)2-4(16m2+9)·(16m2-32m-128)
=576(15m +2m+8)=576 15
2
1 2
+
15
+
119
15
>0,
∴方程(*)恒有实根.∴原方程组恒有解.故直线 l 与椭圆总有交点.
证法二:直线 l 的方程可化为 m(x-1)+(-y+1)=0,
故直线 l 恒过 x-1=0 和-y+1=0 的交点 A(1,1).
又点 A
2
在椭圆
16
2
+ =1
9
内部,∴直线 l 与椭圆总有交点.
答案
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
||
=4,从而 t=±2 13.
9
+1
4
由于±2 13∉ [-4 3,4 3],
所以符合题意的直线 l 不存在.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十五页，共43页。
考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
解法二:(1)依题意,可设椭圆 C
4
2
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 2 + 2=1
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系 理优秀PPT
考点探究
解
析
：
(1)
由
题
意
可
设
椭
圆
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞
0)
，
则
aac22＝＋2231b，2＝1.故ab＝＝21，. 所以，椭圆方程为x42＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，
故可设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
考点探究
由于直线 OP，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得 0＜m2＜2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离， 则 S△OPQ＝12d|PQ|＝21|x1－x2||m|＝ m2（2－m2）， 所以 S△OPQ 的取值范围为(0，1)． 点评：直线与圆锥曲线相交，一般是将直线方程代入到圆锥曲线 方程中，消去 x(或 y)转化为关于 y(或 x)的二次函数，再利用判别式、 根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题．
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
考点3 圆锥曲线的弦长问题
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
第十二节 直线与圆锥曲 线的位置关系
高考考点总 2 复直习线数与学圆（锥理曲科线1）相.了交问解题 圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世
考点探究
④k≠0 时，Δ<0 时，解得 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞，直线与 抛物线无公共点．
点评：方程 ky2－4y－8k＋4＝0 是形式上的二次方程，k＝0 时 有一组解不能漏掉，而且只有 k≠0 时，才有Δ＝0，Δ>0 可言．
高考数学一轮复习55直线与圆锥曲线学案理
第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系课前预习案1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.4、了解圆锥曲线的简单应用.5、理解数形结合的思想.1.直线和圆锥曲线的位置关系（1）位置关系：相交、相切、相离。
（2）位置关系的判断：已知直线:0l ax by c ++=，圆锥曲线:(,)0M f x y =，联立方程组0(,)0ax by c f x y ++=⎧⎨=⎩，消元（消x 或y ），整理得20Ax Bx C ++=<1>若0A =，则直线l 和圆锥曲线M 只有一个公共点.①当曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合； ②当曲线为抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行. <2>若0A ≠，设24B AC ∆=-①当0∆>时，直线和圆锥曲线M 有两个不同的公共点； ②当0∆=时，直线和圆锥曲线M 相切，只有一个公共点； ③当0∆<时，直线和圆锥曲线M 没有公共点. 2.弦长问题（1）斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||PP x x =-或1212|||PP y y =-（0k ≠）； （2）椭圆与双曲线的通径长为22b a；（3）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，①；()121222p pAB AF BB x x x x p =+=+++=++ ②若直线AB 与x 轴的夹角为θ，则22||sin pAB θ=；特别地，抛物线的通径长为2p .1．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ） A、,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B、⎫⎪⎪⎝⎭ C、⎫⎪⎪⎝⎭ D、)2．以抛物线24=y x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）A.2220++=x y xB.220++=x y x C.220+-=y x χ D.2220+-=x y x 3．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅ 的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系课堂探究案考点一：圆锥曲线定义、方程的综合【典例1】（1）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ,线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成2:3的两段,则此双曲线的离心率为 （ ）A ．89B ．37376 C ．335 D ．21215 （2）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则1与2的标准方程分别为（ ）A. 2214x y +=；24y x = B. 2212x y +=；24y x =C. 2214x y +=；22y x = D. 22143x y +=；24y x =【变式1】（1）已知三个数2,8m ，构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为（A （B （C （D （2）已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．23考点二：直线和圆锥曲线的位置关系【典例2】过抛物线24y x =的焦点F 作弦AB ，且||8AB ≤，直线AB 与椭圆22322x y +=相交于两个不同的点，求直线AB 的倾斜角的取值范围.【变式2】椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P a b 满足212||||PF F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M 、N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程．考点三：最值问题【典例3】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，由4个点(,)M a b -，(,)N a b ，2F 和1F .（1）求椭圆的方程;（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点A 、B ，求2F AB ∆面积的最大值.【变式3】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>过点(0,2)M ，离心率e =.（1）求椭圆的方程；（2）设过定点(2,0)N 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.1. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．42.在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a 和b ， 则方程22221()x y a b a b-=<表示离心率A.12 B.1532 C.1732 D. 31323. 已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF ，则AFK ∆的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.324.设F 是抛物线1:C 24y x =的焦点，点A 是抛物线与双曲线2:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 .第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系（课后拓展案）组全员必做题1．两个正数a 、b 的等差中项是25, 一个等比中项是1,,62222=->b y a x b a 则双曲线且的离心率e 等于（ ）A ．23B ．215C ．13D ．3132．已知12F 、F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )(A)(1,1(B)()1++∞(C)(1(D))13．已知抛物线x y 42=，以)1,1(为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线方程为（ ） A ．012=+-y x B ．012=--y x C ．032=-+y x D ．032=-+y x4． 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>斜率为1的直线l 与椭圆相交，截得的弦长为正整数的直线l 恰有3条，则b 的值为（ ）A.C.D.5．已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点A （1 , -2）. （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L的距离等于？若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由.组提高选做题设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB,2BF 成等差数列.（1)求E 的离心率； （2）设点P （0,-1）满足PA PB=,求E 的方程.第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系参考答案1.C2.D3.C【典例1】（1）D ；（2）A 【变式1】（1）C ；（2）B 【典例2】23[,)(,]4334ππππ； 【变式2】（1）12；（2）2211612x y +=. 【典例3】（1）22143x y +=；（2）3.【变式3】（1）221124x y +=；（2）k >k <1.D2.B3.D4.组全员必做题1.D2.A3.B4.C5.（1）24y x =；准线为1x =-. （2）存在.210x y +-=组提高选做题（1）2；（2）221189x y +=.。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分56圆锥曲线的综合问题
开卷速查 (五十六 )圆锥曲线的综合问题A 级基础牢固练1．已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，一个长轴极点为 (0,2)，它的两个短轴极点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与 y 轴交于点，，与椭圆交于异于椭圆极点的两点，，且→→P(0m)C＝2PBA B AP.(1)求椭圆的方程；(2)求 m 的取值范围．剖析： (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，y2x2设椭圆方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，由题意，知 a＝2，b＝c，又 a2＝b2＋c2，则 b＝2，y2x2因此椭圆方程为4＋2＝1.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线 l 的斜率存在，设其方程为 y＝kx＋m，与椭圆方程联立，y2＋2x2＝4，即消去 y，y＝kx＋m，得(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，由根与系数的关系，知2mkx 1＋x 2＝－2＋k 2，m 2－4x 1x 2＝2＋k 2 ，→ →又AP ＝2PB ，即有 (－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m)，因此－ x 1＝2x 2.x 1＋x 2＝－ x 2， 则x 1x 2＝－2x 22，m 2－42mk2因此2＋k 2＝－22＋k2.整理，得 (9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又 9m 2－4＝0 时等式不成立，2因此 k 2＝8－2m＞0，得 4＜m 2＜4，此时＞0.9m 2－492 2因此 m 的取值范围为 －2，－3 ∪3，2 .x 2 y 22．已知椭圆 a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1 和 F 2，由四个点 M(－a ，b)、N(a ，b)、F 2 和 F 1 组成了一个高为 3，面积为 3 3 的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点 F 1 的直线和椭圆交于两点 A ，B ，求△ F 2AB 面积的最大值．剖析： (1)由条件，得 b ＝ 3，且 2a ＋2c3，2 × 3＝3因此 a ＋c ＝3.又 a 2－c 2＝3，解得 a ＝2，c ＝1.x2y 2因此椭圆的方程 4 ＋ 3 ＝1.(2)显然，直线的斜率不能够为 0，设直线方程为 x ＝my －1，直线与椭圆交于 A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2)．x 2 y 2＝1，联立方程4 ＋3消去 x ，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，因为直线过椭圆内的点，无论 m 为何值，直线和椭圆总订交．∴y 1＋y 2＝6m，y 1y 2＝－9 . 3m 2＋43m 2＋41S △F 2AB ＝2|F 1F 2||y 1－y 2| ＝|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2m 2＋1＝123m 2＋42m 2＋1 ＝4m2＋1＋132＝41，21m2＋1＋3＋29 m＋1令＝2＋≥，设＝＋1，易知t∈0，1时，函数单调递减，tt m 11y t9t31t＝m2＋1＝1，即 m＝0 时，y min＝10∈3，＋∞ 函数单调递加，因此当9.S△F2AB 取最大值 3.B 级能力提升练2 3．[2014 ·江西 ]如图，已知双曲线 C：xa2－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上， AF⊥x 轴， AB⊥ OB，BF∥OA(O为坐标原点 )．(1)求双曲线 C 的方程；(2)过C 上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线x0xl：a2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线3x＝2订交于点N.证明：当点P 在C 上搬动时，|MF ||NF|恒为定值，并求此定值．剖析： (1)设F(c,0)，因为b＝1，因此c＝a2＋1，11直线 OB 的方程为 y ＝－a x ，直线 BF 的方程为 y ＝a (x －c)，解得ccB 2，－ 2a .cc1c － －2a 3 a 又直线 OA 的方程为 y ＝a x ，则 Ac ，a ，k AB ＝ c ＝a .c －23 －1又因为 AB ⊥OB ，因此 a · a ＝－1，x 2解得 a 2＝3，故双曲线 C 的方程为 3 －y 2＝1.(2)由(1)知 a ＝ 3，则直线 l 的方程为x 0x3 －y 0y ＝1(y 0≠0)，即 y ＝x 0x －33y 0 .因为直线 AF 的方程为 x ＝ 2 ，因此直线 l 与 AF 的交点M2， 2x 0 －3；3y 0333 2x 0－3直线 l 与直线 x ＝2的交点为 N 2， 3y 0.2x 0－3 2|MF |2 3y 0 2则|NF|2 ＝ 3x 0－3 2124＋3y 02 ＝9y 022x 0－3 294 ＋4x 0－2 2＝ 42x 0－32，·33y 02＋3 x 0－2 2x 022因为 P(x 0，y 0)是 C 上一点，则 3 －y 0＝1，代入上式得|MF|2 4 2x 0－3 22 ＝ ·|NF|3x 02－3＋3 x 0－224 2x 0－3 2＝ ·34x 20－12x 0＋94＝3，|MF|2 2 3所求定值为 |NF|＝3＝ 3 .x 2 y 24．[2014 ·福建 ] 已知双曲线 E ：a 2－b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为 l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－ 2x.(1)求双曲线 E 的离心率；(2)如图， O 为坐标原点，动直线l 分别交直线 l1，l2于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限 )，且△ OAB 的面积恒为 8.试试究：可否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明原由．剖析：方法一： (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为y＝2x，y＝－ 2x，b因此a＝2，c2－a2因此a＝2，故 c＝5a，c从而双曲线 E 的离心率 e＝a＝ 5.x2y2(2)由(1)知，双曲线 E 的方程为a2－4a2＝ 1.设直线 l 与 x 轴订交于点 C.当 l⊥x 轴时，若直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a，又因为△OAB 的面积为 8，1因此2|OC| ·|AB|＝8，1因此2a·4a＝8，解得 a＝2，x2y2此时双曲线 E 的方程为4－16＝ 1.x2y2若存在满足条件的双曲线E，则 E 的方程只能为4－16＝1.以下证明：当直线l 不与 x 轴垂直时，双曲线E：x2y24－16＝1 也满足条件．设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，依题意，得 k>2 或 k<－2，m则 C －k，0 .记 A(x1，y1)，B(x2， y2)．由y＝kx＋m，得y1＝2m，y＝2x，2－k2m 同理得 y 2＝.2＋k1由 S △OAB ＝2|OC| ·|y 1－y 2|得，1m 2m － 2m2 － k ·2－k 2＋k ＝8，即 m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．y ＝kx ＋m ，由 x 2y 2得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.4－ 16＝1，因为 4－k 2<0，因此 ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－ 16(4k 2－m 2－16)，又因为 m 2＝4(k 2－4)，因此 ＝0，即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点．因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为22x － y＝1.416方法二： (1)同方法一．x 2y 2(2)由(1)知，双曲线 E 的方程为 a 2－4a 2＝ 1.设直线 l 的方程为 x ＝my ＋t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．1 1依题意得－ 2<m<2.x＝my＋t，得 y1＝2t－2t由，同理得 y2＝.y＝2x1－2m1＋2m 设直线 l 与 x 轴订交于点 C，则 C(t,0)．1由 S△OAB＝2|OC| ·|y1－y2|＝8，得12t2t|t| ·＋＝8，21＋2m1－2m因此 t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．x＝my＋t，由x2－y2得22＝1，a4a(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为 4m2－1<0，直线 l 与双曲线 E 有且只有一公共点当且仅当＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即 4m2a2＋t2－a2＝0，即 4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，因此 a2＝4，因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线E，且 E 的方程为x2y24－16＝1.方法三： (1)同方法一．(2)当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线l 的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得 k>2 或 k<－2.y＝kx＋m，222由得(4－k )x －2kmx－m ＝0，因为 4－k2<0，>0，－m2因此x1x2＝4－k2，又因为△OAB 的面积为 8，1因此2|OA| ·|OB| ·sin∠AOB＝8，4又易知 sin∠AOB＝5，因此2x21＋y12· x22＋y22＝8，5化简得 x1x2＝4.－m2因此＝4，即 m2＝4(k2－4)．4－k2x2y2由(1)得双曲线 E 的方程为a2－4a2＝1，y＝kx＋m，由x2y2得， (4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0，a2－4a2＝1因为 4－k2<0，直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，即(k2－4)(a2－4)＝0，因此 a2＝4，因此双曲线x2y2E 的方程为 4 －16＝ 1.当 l⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8 可得l：x＝2，又易知l ：x＝2与双曲线x2y2E： 4－16＝1有且只有一公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E，且E 的方x2y2程为 4－16＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4．过点 P(8，1)的直线与双曲线 x2－4y2＝4 相交 于 A，B 两点，且 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的 方程是_____________ 2x－y－15＝0 ． 【解析】设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 2 则 x2 － 4 y 1 1＝4，① 2 x2 － 4 y 2 2＝4，② 由①－②，得 (x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P 是线段 AB 的中点． ∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
第57讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【学习目标】 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法； 掌握直线 被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法； 能够综合 应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆 锥曲线的综合问题．
【基础检测】 1．若a≠b且ab≠0，则直线ax－y＋b＝0和二次 曲线bx2＋ay2＝ab的位置关系可能是( C )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac. ①Δ >0 时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点； ②Δ ＝0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； ③Δ <0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．
(2)若 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，当圆锥曲线 渐近线 平行；当圆锥曲 是双曲线时，直线 l 与双曲线的_______ 对称轴 平行(或重合)． 线是抛物线时，直线 l 与抛物线的_______
p y0 圆锥曲线为抛物线 y2＝ 2px(p>0)时，有 __________ ． k AB =
一、直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 例1 过点(0，3)的直线l，与双曲线 － ＝1只有 4 3 一个公共点，求直线l的方程．
【解析】先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定 义求解弦长． 3 2 ∵ F 为抛物线 C：y ＝3x 的焦点，∴ F4，0， 3 3 3 ∴ AB 的方程为 y－0＝tan 30° x－4 ， 即 y ＝ x－ . 3 4 y2＝3x， 1 2 7 3 联立 3 3 得3x －2x＋16＝0. y＝ x－ ， 3 4 7 － 2 21 21 ∴ x1＋x2＝－ ＝ ，即 xA＋xB＝ . 1 2 2 3 21 3 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝ ＋ ＝12. 2 2
(2)从代数角度看， 可通过将表示直线的方程， 代入二 次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝ 0， 圆锥曲线方程 f(x， y)＝0. Ax＋ By＋ C＝ 0 由 ，消元(x 或 y)， f（ x， y）＝ 0 如消去 y 后得 ax2＋ bx＋ c＝0.
y1 － y2 x1＋x2 ∴ ＝ ＝2. x1－x2 4（y1＋y2） ∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－8)． 即 2x－y－15＝0.
【知识要点】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 无公共点 (1)从几何角度看，可分为三类： _____________ ； 仅有一个公共点 ； __________________ _______________________ ． 具体 有两个相异的公共点 如下： ①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线 上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决． ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点， 对于圆或椭圆， 表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双 曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或 直线与其对称轴平行． ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线 与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为 圆锥曲线的弦．
2．圆锥曲线的弦长 (1)设斜率 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长
2 1 ＋ k ·|x1－x2| |AB|＝_____________________ 2 2 （ 1 ＋ k ） [ （ x ＋ x ） －4x1x2] 1 2 ＝_________________________________
【解析】由已知，直线方程可化为y＝ax＋b，其 x2 y2 中a为斜率，b为纵截距，二次曲线方程可化为 a ＋ b ＝1，应用淘汰法可知A，B，D均自相矛盾，故选C.
2 y 2．已知双曲线方程 x2－ ＝1，过点 P(1，1)且与 4
双曲线只有一个公共点的直线的条数为( A) A．4 B．3 C．2 D． 1 3．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾 斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( C ) 30 A. B．6 C．12 D．7 3 3
1 1＋k2·|y1－y2| ＝_________________________．
(2)若弦过焦点，可用焦半径公式来表示弦长． x1＋x2＋p 如抛物线 y2＝2px(p>0)，|AB|＝_______________ ．
3 ．涉 及弦的 中点及 直线的 斜率问 题，可 考虑用“点 差 y1 － y2 法”，构造出 kAB＝ 和 x1＋x2， y1＋ y2 运用整体代入的方 x1－x2 法求中点或斜率，体现“设而不求”的思想． x 2 y2 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是椭圆 2＋ 2＝ 1 上不同的两点， a b 2 2 x 1 ＋ y1 ＝ 1 a2 b2 且 x1≠x2，x1＋ x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则 2 ， x 2 y2 2 2 ＋ 2 ＝1 a b 2 y0 b y1 － y 2 y1 ＋ y 2 b2 k AB = - 2 两式相减可得： · ＝－ 2，即________________ ． x0 a a x1－x2 x1＋x2 2 2 2 y b 0 x y k AB = 2 ． 类似的可得圆锥曲线为双曲线 2－ 2＝ 1 时， 有__________ x0 a a b