2018届一轮复习人教A版二项式定理 学案
36750_《二项式定理》教案1(人教A版选修2-3)
1.3二项式定理学习目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例： （1）01()()nnnr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1rn rr r n T C ab -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mn mn n C C -=）．直线2nr=是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk nn n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵1(1)1nr r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()nnnr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =，0127a a a a ++++1=-①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=②①-②得：713572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+②得：702462()13a a a a +++=-+，∴70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C 例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；（2）1)nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为． （3）0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（）A ．63 B.64 C.31 D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++的值答案：（1）202，203，11； （2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴10n =，3734101()T C x==；（3）A ．五、小结：1．性质1是组合数公式rn rn nC C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴6611660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=， 一般地当a 较小时(1)1na na +≈+。
二项式定理教学案设计
《二项式定理(一)》教案设计教材：人教A 版选修2-3第一章第三节设计人：文县一中教师陈小平一、教学目标1.知识与技能：(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.三、教学过程（一）提出问题，引入课题引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+，?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.（二）引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识．问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：(1) 合并同类项之前展开式有多少项？(2) 展开式中有哪些不同的项？(3) 各项的系数为多少？(4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式.【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导nb a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依． (三) 形成定理，说理证明探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式．)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．【设计意图】通过仿照3)(b a +、4)(b a +展开式的探究方法，由学生类比得出n b a )(+的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．(四) 熟悉定理，简单应用二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）1. 项数：共有+n １项.2. 次数：字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ．各项的次数都等于n ．3. 二项式系数: 依次为n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210 ，这里),,1,0(n k C k n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.4. 二项展开式的通项: 式中的k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项. 用1+k T 表示.即通项为展开式的第+k １项: 1+k T =k k n k n b a C -变一变 （1）n b a )(- （2）n x )1(+例. 求6)12(xx -的展开式. 思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出展开式的第３项？【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．(五) 课堂小结，课后作业小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）1. 公式： )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.作业巩固型作业：课本36页习题1.3 A 组 1、2、3思维拓展型作业：二项式系数n nk n n n n C C C C C ,,,,,,210 有何性质教案设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以3)(b a +为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．。
高考一轮复习数学基础知识： 排列组合二项定理 (新人教A版) Word版(1).pdf
高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可重复排列从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m=mnn件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？解：种、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示. ⑷排列数公式： 注意： 规定0!=1 规定 2. 含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk则S的排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 、组合. 1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ⑵组合数公式： ⑶两个公式： ② ①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合一类是不含红球的选法有） ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. ⑷排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 i. 裂项求和法. 如：（利用） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用递推）如：. vi. 构造二项式. 如： 证明：这里构造二项式其中的系数，左边为 ，而右边 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们 “局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”. 又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为 ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有注：①③区别在于①座位有种而③的商品地位同，n件不同商品插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n m+1≥m, 即m≤时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法. n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n=n！/ m！；解法二：（比例分配法）. 例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （） 注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？，当n m+1 ≥m, 即m≤时有意义.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 . ⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有. 例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？ 固定在某一位置上：不在某一位置上：或（一类是不取出a，有，一类是取a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
最新人教版A版高三数学(理)高考一轮复习9.3 二项式定理教学设计及答案
第三节 二项式定二项式定的应用(1)能用计原证明二项式定．(2)会用二项式定解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一 二项式定 1．定公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)叫作二项式定．2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k 为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项． (2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中常项为________．解析：由题意可知常项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎪⎫－1x 4＝60.答案：602.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有项共有________项．解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍，故r ＝0,4,8共3项．答案：3知识点二 二项式系与项的系 1．二项式系与项的系 (1)二项式系二项展开式中各项的系C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系． (2)项的系项的系是该项中非字母因部分，包括符号等，与二项式系是两个不同的概念． 2．二项式系的性质3.各二项式系的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C kn ＋…＋C n n ＝2n.二项展开式中，偶项的二项式系的和等于奇项的二项式系的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 易误提醒 二项式系与展开式项的系的异同：在T k ＋1＝C k n a n －k b k中，C k n 就是该项的二项式系，它与a ，b 的值无关；T k ＋1项的系指简后除字母以外的，如a ＝2x ，b ＝3y ，T k ＋1＝C k n 2n －k ·3k x n －k y k ，其中C k n 2n －k 3k就是T k ＋1项的系．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系是________．(用字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r (r ＝0,1，…，5)知，当r ＝3时，T 4＝C 35(2x )5－3(－1)3＝－40x 2，所以含x 2的项的系是－40. 答案：－404．C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n ＋1)C nn ＝________.解析：设S ＝C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n －1)·C n －1n ＋(2n ＋1)C n n ，∴S ＝(2n ＋1)C n n ＋(2n －1)C n －1n ＋…＋3C 1n ＋C 0n ， ∴2S ＝2(n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝2(n ＋1)·2n ，∴S ＝(n ＋1)·2n . 答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系问题|1．(2016·海淀模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常项为( )A ．12B ．－12C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A.答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系是________．(用字填写答案)解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系为35.答案：353．若⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －r·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝n ＋5有正整解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行简通项公式后，令字母的指符合要求(求常项时，指为零；求有项时，指为整等)，解出项r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系性质与各项系和问题|(1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系最大，则展开式的常项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________.[解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系最大项的确定方法(1)如果n 是偶，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系最大．(2)如果n 是奇，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的归能力，归纳起常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系)问题．2．几个多项式积的展开式中的特定项(系)问题．3．三项展开式中的特定项(系)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系是( )A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇次幂项的系之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋＝32，解得a＝3.C44答案：3探究三三项展开式中特定项(系)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系为( )A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系有关考虑赋值法，令x＝±1，可求得奇项与偶项系之和．[解析] 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4，①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4.②故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系与系和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中各项系之和为f(1)，奇项系之和为a 0＋a2＋a4＋…＝f＋f－2，偶项系之和为a1＋a3＋a5＋…＝f －f－2.[跟踪练习] 若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝36＋1 2.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中的所有二项式系之和为512，则该展开式中常项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36解析：由二项式系之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系最大项的系最大，∴(1＋x )6的展开式系最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系之和为128，则展开式中1x3的系是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r(－1)rx 7－5r3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x3的系为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 6的展开式中常项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x －r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14rx6－2r，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516.答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常项，而(a 2＋1)n 的展开式的系最大的项等于54，求正a 的值．解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r2，令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常项T 5＝C 45·165＝16， 又(a 2＋1)n 展开式的各项系之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝3. 10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整，∴S 被9除的余为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系是84，则实a＝( )A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝27－r C r 7a r·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系相等，则奇项的二项式系和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇项的二项式系和为12×210＝29. 答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。
高考数学一轮复习第11章第3讲二项式定理训练含解析
第十一章 第3讲[A 级 根底达标]1．⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含x 32 项的系数为30，那么a 等于( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【答案】D2．(4x －2－x )6(x ∈R )的展开式中，常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20【答案】C3．(x 2＋x )5(x 2－2x ＋1)10的展开式中，含x 7项的系数为( ) A ．100 B ．300 C ．500 D ．110【答案】A4．(2022年重庆模拟)假设(a －3x )⎝⎛⎭⎫x －12x 10的展开式中含x 12 项的系数为－30，那么实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】A5．(2022年河北月考)将二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式各项重新排列，那么其中无理项互不相邻的概率是( )A ．27B ．37C ．835D ．724【答案】A【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式通项为：T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 6x 6－32 r ，知当r ＝0,2,4,6时为有理项，那么二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式中有4项有理项，3项无理项，所以根本领件总数为A 77，无理项互不相邻有A 44A 35，所以所求概率p ＝A 44A 35A 77＝27.6．(2022年黄冈模拟)⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，那么由曲线y ＝x 13 和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53C ．1D ．1312【答案】A【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项为第4项且第4项为T 4＝C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫a 2x 3，因为系数为20，所以C 36·⎝⎛⎭⎫a 23＝20，解得a ＝2.由x 13 ＝x 2得x ＝0或x ＝1，所以封闭图形的面积为⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 13 －x 2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫34 13 －13x 310＝512. 7．(2022年湖南省雅礼中学月考)如果⎝⎛⎭⎫x 3－1x n ()n ∈N *的展开式中存在正的常数项，那么n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．28【答案】C【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x n (n ∈N *)的展开式通项为T k ＋1＝C k n x 3(n －k )⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k nx 3n －4k ，令3n －4k ＝0，那么n k ＝43，由于展开式中存在正的常数项，那么k 为偶数，设k ＝6t (t ∈N *)，所以n ＝8t ，当t ＝1时，n 取最小值8.8．(2022年河北衡水月考)在(x 3－1)⎝⎛⎭⎫1x －x 8的展开式中，含1x 2项的系数等于( ) A ．98 B ．42 C ．－98 D ．－42 【答案】D【解析】⎝⎛⎭⎫1x －x 8二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫1x 8－r (－x )r ＝(－1)r C r 8x 3r 2 －8，令3r 2－8＝－5，得r ＝2，那么含x －5项的系数为C 28，令3r 2－8＝－2，得r ＝4，那么含x －2项的系数为C 48，故含1x2项的系数等于C 28－C 48＝－42.9．(2022年湖南模拟)假设⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项为________．【答案】60【解析】依题意，⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.所以二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6(2x 2)6－k ·(－x －1)k ＝(－1)k ·26－k ·C k 6·x 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为22×C 46＝6010．(2022年新课标Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________(用数字作答)． 【答案】240【解析】因为⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6，其二项式展开通项T r ＋1＝C r 6·()x 26－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 6·x 12－2r ·2r ·x －r ＝C r 6·2r ·x 12－3r ，当12－3r ＝0，解得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是C 46·24＝C 26·16＝15×16＝240.11．(2022年嘉祥月考)()ax 2－17()a >0的展开式中第6项的系数为－189，那么展开式中各项的系数和为________．【答案】128【解析】由题意，通项为T k ＋1＝C k 7(ax )7－k ·(－1)k ＝(－1)k a 7－k C k 7x 7－k ，由于(ax 2－1)7(a >0)的展开式中第6项的系数为－189，那么第六项系数为(－1)5a 7－5C 27＝－189，解得a ＝3，故该二项式为(3x 2－1)7，令x ＝1得展开式各项系数的和为27＝128.12．(2022年河南模拟)⎝⎛⎭⎫ax －2x 25的展开式中，含x 项的系数为40，那么a ＝________. 【答案】1【解析】⎝⎛⎭⎫a x －2x 25的展开式中通项公式T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫a x 5－r(－2x 2)r ＝(－2)r a 5－r C r 5 x 3r －5，令3r －5＝1，解得r ＝2.因为含x 项的系数是40，所以(－2)2a 3C 25＝40, 解得a ＝1.[B 级 能力提升]13．(2022年驻马店期末)在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，x 的幂指数是整数的共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项【答案】D【解析】在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－3r2 ，令10－3r 2为整数，求得r ＝0,2,4,6,8,10，共计6个，故x 的幂指数是整数的共有6项．14．(2022年山东模拟)假设⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中x 的系数是( )A ．54B ．81C ．96D ．106【答案】A 【解析】因为⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，所以(1＋3)n ＝256＝28，解得n ＝4，因此⎝⎛⎭⎫x ＋3x 4的展开式的通项是T r ＋1＝C r 434－r ·x r x －4－r2 ＝C r 434－r x 3r2-2 ，由32r －2＝1得r ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24×32＝54.15．(2022年安徽模拟)假设二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中x－1项的系数为________(用数字作答)．【答案】1 792【解析】由题意可知，n ＝8，所以二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8·28－k ·x k －8·(－1)k ·x 5k 2 ＝(－1)k ·28－k ·C k 8·x 7k2－8 ，由7k 2－8＝－1，得k ＝2.所以展开式中x －1的系数为(－1)2·26·C 28＝64×28＝1 792.16．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，那么a ＝________. 【答案】3【解析】设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5①， 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5②. 令①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[C 级 创新突破]17．(多项选择)假设⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 展开式存在常数项，那么n 的取值可以为以下选项中的( )A ．3B ．4C ．5D ．10【答案】CD【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ·(x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫2x 3r ＝C r n ·2r ·x 2n －5r ，r ＝0,1,2，…，n ，由题意可得2n －5r ＝0，即n ＝5r2，由n 为正整数，可得r ＝2时，n 取得最小值5，当r ＝4时，n ＝10.18．(一题两空)(2022年浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当r ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数为5.。
“二项式定理”教学设计
“二项式定理”教学设计摘要：在新教材的背景下，二项式定理的推导做出了一些改变，利用多项式乘法法则和计数原理证明二项式定理.关键词：二项式定理；多项式乘法；组合数；计数原理一、教学内容解析本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册第六章6.3“二项式定理”的第一课时.这一内容展开顺序如下:首先探究多项式乘法中展开式各项的规律特征，在此规律下探究个相乘的展开式，结合计数原理分析同类项的个数，进而确定展开式中项的系数，完成对二项式定理对应公式的推导.基于以上分析，本节课的重点是用计数原理和多项式乘法结合推导二项式定理.二、教学策略分析1.教法分析启发式、探究式和基于问题串的教学方法.启发学生从数学角度发现问题、分析问题、解决问题.本节课以探究二项式定理为多项式乘法的本质，分析多项式乘法展开式的规律特点，结合计数原理解决了二项式定理展开式问题.2.学法分析采取小组合作探究的学习模式，提升学生合作探究意识，同时也培养了学生分析问题、解决问题的能力.三、教学过程设计本节课共设计了6个教学环节，逐步完成教学任务，达成教学目标.1.创设情境，引出问题二项式定理的产生是为了进行开高次方计算，早在1261年南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了“开方作法本源”图，如图所示的三角形数表，称之为“杨辉三角”.杨辉在书中说明，此表引自11世纪北宋贾宪的《释锁》算书，故此，“杨辉三角”又被称为“贾宪三角”.约1050年，贾宪首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算.二项式定理就是的展开式对应的公式，对于时，；；那对于一般的正整数，怎么求它展开式的一般形式?设计意图：了解问题产生的背景，用熟悉的知识引出要研究的问题，调动学生的积极性，激发学生探索新问题的欲望.2.探究新知，构建数学是个多项式相乘，重新回顾多项式乘法的规律特点.【问题1】：从项的构成分析多项式展开式中项的特点，项数和次数的规律？学生活动：观察发现展开式中的项是从因式中取一项，再从中取一项相乘得到的，每一项的次数是2.共有项.设计意图：多项式乘法是展开式运算的基础，特点显明的多项式乘法便于学生更容易发现规律，认清楚多项式乘法中项的结构.展开式中的项是从两个因式中各取一项相乘得到，又因式中只含取的因式选定后，剩余因式只有选这一种方法,我们以取的个数为分类标准进行讨论：第一类，0个因式取,即两个因式都取相乘得；第二类,一个因式取,另一个因式取.相乘得到两个同类项；第三类，两个因式都取,相乘得，合并同类项得【问题2】：结合多项式乘法过程及计数原理，利用组合数知识解释的系数为什么是2吗？追问1：这里要完成的“一件事情”是什么？要完成的事情是得到展开式的项.追问2：如何完成？有多少种方法？学生活动：根据多项式乘法法则，完成这件事可以分两步，先从两个因式中选一个因式取, 有种情况，再从剩余的一个因式取,只有一种取法，所以共有种方法得到，数也就是.追问3：你能用组合数表示展开式各项系数，并写出展开式吗?设计意图：通过问题串的方法，引导学生从计数原理方向思考展开式中项的系数，并感受分析问题的渐进性，培养学生的数学思维.【问题3】：尝试仿照上述过程，利用计数原理写出，的展开式.设计意图：使学生熟悉用组合数分析展开式中项的系数的一般步骤，强化思维的统一性.为分析二项式定理展开式项的系数做准备.3．形成定理【问题4】：观察归纳时二项式展开式的项数、次数、项的结构及系数，猜想并证明展开式？师生活动：归纳猜想,项数为，次数，项构成为.系数为.证明如下：对于每一个,对应的项是个因式取,再从剩余的因式取,相乘得到;同类项的个数为；所以设计意图：使利用问题教学，使学生在自主探究和合作交流的基础上，帮助学生从特殊到一般，具体到抽象，通过类比、归纳、猜想、证明，建构二项式定理的知识体系.4.应用新知，巩固练习例1：求的展开式.例2 求的展开式的第4项的系数.思考：的展开式的第4项的二项式系数是多少？设计意图：培养学生的数学运算能力和思辨能力，提升应用定理解决问题的能力.5．本节小结从本节课学习到的数学知识、数学思想、数学方法三个层面进行开放式小结.6．作业布置为进一步巩固深化本节课的知识，布置一定的作业，促使学生从其他角度理解二项式定理（1）能否用数学归纳法证明二项式定理？（2）查阅资料，了解应用二项式定理开高次方的一般步骤.参考文献：[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）：[M].北京:人民教育出版社，2020.[2] 章建跃.通过计数原理感悟运算真谛利用排列组合提升思维品质[J].数学通报，2021（11）：6-13.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案二项式定理1
第三节 二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点一 二项式定理 1．定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫作二项式定理． 2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项．(2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中常数项为________． 解析：由题意可知常数项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎫－1x 4＝60. 答案：602.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项． 答案：3知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．2．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k<n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n 是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和⎭⎫第n＋12＋1项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n3.各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在T k＋1＝C k n a n－k b k中，C k n就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；T k＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，T k＋1＝C k n2n－k·3k x n－k y k，其中C k n2n－k3k就是T k ＋1项的系数．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.答案：－404．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋(2n＋1)C n n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系数问题|1．(2016·海淀模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.答案：353．若⎝⎛⎭⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝⎛⎭⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫1x n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝2×(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. [解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10， 通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ， 所以r ＝2时，常数项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题． 3．三项展开式中的特定项(系数)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x ＝±1，可求得奇数项与偶数项系数之和．[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.②故(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. [跟踪练习] 若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( ) A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r ， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r3， 令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎫x －12x 6的展开式中常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常数项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－14r x －r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。
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专题55 二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1．二项式定理2.(1)当0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn ．(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n 2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1．高频考点一 求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1、已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝⎛⎭⎫－12k x －k3＝C k n⎝⎛⎭⎫－12kxn －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎫－122＝454.【举一反三】(1)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________. (2) (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60答案 (1)6 (2)C 解析 (1)由题意可知T k ＋1＝C k 4(x )4－k(－1)k＝424(1)k kkC x--，令4－k 2＝1解得k ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24(－1)2＝6.(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解. (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解.(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23＝30.故选C.高频考点二 已知二项展开式某项的系数求参数例2、 (a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 【感悟提升】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.【变式探究】(1) (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________.(用数字填写答案) (2) (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. (2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.高频考点三 二项式系数的和或各项系数的和的问题例3、(1)若二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2) (1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024 B.243 C.32D.24【举一反三】在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.【变式探究】已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和.解 (1)由已知得C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n＝m m －1 2＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )⎝⎛⎭⎫11－m 2－1＝⎝⎛⎭⎫m －2142＋35116. ∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33＝59， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30. 高频考点四 二项式定理的应用例4、(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N ＋)能被31整除；(2)(设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( ) A.i B.－i C.－1＋iD.－1－i(1)证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除.(2)解析 x ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017 ＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1. 答案 C【方法规律】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式. 【举一反三】 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D【感悟提升】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.【变式探究】1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A.－1 B.1 C.－87 D.87答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.1.【2016年高考四川理数】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A【解析】二项式6()x i +展开的通项616r r rr T C xi -+=，令64r -=，得2r =，则展开式中含4x 的项为2424615C x i x =-，故选A.2.【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)rrrr T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。