等比数列前n项和(1)-课件ppt
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等比数列前N项和(一)
则有am an a p aq
与你作一笔交易：一个月30天算，我 每天给你5000元，而你只需第1天给我1 分钱，第2天给我2分钱，第3天给我4分 钱，第4天给我8分钱，由此类推，这样 的交易期为一个月，这笔交易你做吗？
这实际上是求以 1 为首项，2为公比的等比数 列的前30项的和。
S30 1 2 2 2 2 (1)
2 3 29
如果用公比2乘以上面等式的两边，得到：
2S30 2 2 2 2 2 (2)
2 3 29 30
为便于对上面两式进行比较，我们将它们列在一起：
S30 1 2 22 23 229 (1)
2 S30 = 2 + 22 + 2 3 +…..+ 2 29 + 230。。。。(2) (2) – (1) : S30 = 2 30 – 1 ≈1073.74万元
错位相减法
这笔交易不能做
等比数列前n项和公式的推导
Sn a1 a2 a3 an …… (1) Sn=a1+a2+ +an=? 1
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
并能应用.
.了解等比数列的推导过程(错位相减)
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数 组成了一个64项的等比数列 1, 2, 22 , 23 ,263
1 2 264 1 1.841019 1 2
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1
∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老
Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室
Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工
等比数列及其前n项和_课件
【训练2】 (2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前 n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝－1(舍去)或 q＝32.
答案
3 2
考向三 等比数列的性质及应用
【例3】►(1)等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128， 前n项和Sn＝126，则公比q＝________.
(2)等比数列{an}中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝ ________. [审题视点] (1)利用等比数列的性质：“若m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”； (2)把前99项分三组，再转化为a3＋a6＋…＋a99.
为非零常
数且 n≥2)，则{an}是等比数列；
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈ N*)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是 不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为 常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
在解决有关等比数列的计算问题时，要 注意挖掘隐含条件，充分利用其性质 ，特别是性质 “若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算 量，提高解题速度．
【训练3】 (2012·北京东城区一模)已知x，y，z∈R，若－ 1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ( )．
A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3 解析 由等比中项知 y2＝3，∴y＝± 3， 又∵y 与－1，－3 符号相同，∴y＝－ 3，y2＝xz，
第七章 第三节 等比数列及其前n项和 课件(共54张PPT)
(2)等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么_G_叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a
与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G_2_＝__a_b_．
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_a_1_q_n_－_1___．
__n_a_1 ，q＝1； (2)前 n 项和公式：Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq，q≠1.
第七章 数 列
第三节 等比数列及其前n项和
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.通过实例，理解等比数列的概念． 考情分析： 等比数列的基本运算，
2．探索并掌握等比数列的通项公式 等比数列的判断与证明，等比数列的
与前 n 项和的公式．
性质与应用仍是高考考查的热点，三
3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 aman＝apaq＝a2r . (2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、a1n 、{a2n }、{anbn}、 abnn (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an， an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
解析： (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12 (an＋bn).
又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12 的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
4.3.2 等比数列的前n项和公式(第1课时)(课件)(新教材人教版选择性必修第二册)
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，
a3＝a1q2＝12， 则a8＝a1q7＝38，
a1＝48， 解得q＝21，
所以 an＝a1qn－1＝48×12n－1.
(2)Sn＝a111－－qqn＝4811－－1212n＝961－12n. 由 Sn＝93，得 961－21n＝93，解得 n＝5.
类型二：等比数列前n项和的实际应用
(3)( 方 法 一 ) 由
Sn
＝
a11－qn 1－q
，
an
＝
a1qn
－
1
及已知条件，得
189＝a111－－22n， 96＝a12n－1，
解得na1＝＝63.，
(方法二)由公式 Sn＝a11－－aqnq及已知条件， 得 189＝a1－1－962×2，解得 a1＝3. 又由 an＝a1qn－1， 得 96＝3×2n－1，解得 n＝6.
解：(方法一)设小华每期付款 x 元，第 k 个月末付款后的欠款本 利为 Ak，则 A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0， 解得 x＝1＋1.00852＋0010.0×0814.＋00…812＋1.00810 ＝5 10－00×1.010.08028612≈880.81.
a1－an Sn＝ 1－q
Sn＝ na1
2．错位相减法求和 推导等比数列前 n 项和的方法是错位相减法，一般适用于求一个 等差数列与一个等比数列对应项乘积的前 n 项和．
类型一：等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例 1 在等比数列{an}中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)若 a1＝8，an＝14，Sn＝643，求 n； (2)若 S3＝72，S6＝623，求 an 及 Sn； (3)若 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8； (4)若 a3＝32，S3＝412，求 a1．
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其 中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次 方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营 ，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下 的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000． 解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其 中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次 方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营 ，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下 的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000． 解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等
等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
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所以 S10＝1－ 1－121210＝2－219.故选 B.
例2.在等比数列 中{：an}Sn是该数列的前10项的
和，
Sn 189 , q 2, an 96, 求a1，n
答案：a1 3; n 6
五个量 a1, an , d , n中,知S三n 求二.
1．数列{2n－1}的前99项和为 (
这位国王所要付出的，竟是当时的全世界在两千年内 所产的小麦的总和！
错位相减法
思考：你能得到等比数列前n项和的公式了吗？
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a1q 2 a1q n2 a1q n1
①
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn
判断：
① 1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n ) - 2n
1 (2)
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2n ) n 1 1 2
③ c2 c4 c6 c2n
c2[1 (c2 )n ]（当c 1时） 1 c2
四、例题讲解：
例1.求下列等比数列的前8项和。
第
第
格
格
：
：
22 23
第 格
2：63
三、探究：等比数列前n项和
? 1 2 22 23 262 263
S64 1 2 22 23 263
①
2S64 2 22 23 263 264 ②
①-② ，得 (1 2)S64 1 264
所以 S64 264 1＝18,446,744,073,709,551,615
na1 ,
q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq , 1 q
q 1
3. 知三求二的方程思想；
六、布置作业：
书P58 练习 1 , 2 书P61 习题2.5 A组 1
等比数列求和公式的其它推导法
证法2： 证法3：
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
A．2100-1
B．1-2100
C．299-1
D．1-299
)C
【解析】选 C.a1＝1，q＝2， ∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，
则a1的值为( ) A
A．4
B．－4 C．2
D．－2
【解析】S5＝a111－－qq5 ∴44＝a1[11－－－－225] ∴a1＝4，故选 A.
宰相要求的赏赐是：在棋盘的第1格内赏他1颗麦粒，第2 格内赏他2颗麦粒，第3格内赏他4颗麦粒…依此类推，每一 格上的麦粒都是前一格的2倍.直到第64个格子。 国王一听，几颗麦粒，加起来 也不过一小袋，他就答应了宰 相的要求.实际上国王能满足宰 相的要求吗？
第
第
格
格
：
：
麦粒总数： 1 2
64
4 3 2 1
②
①-② ，得 (1 q)Sn a1 a1qn
错
(1 q)Sn a1(1 qn )
位
当q≠1时，
Sn
a1 (1 q n ) 1 q
相 减 法
当q≠1时，
Sn
a1 (1 q n ) 1 q
an a1q n1
Sn
a1 an q 1 q
特别的q=1时， an a1 Sn a1 a1 a1 a1 a1
前 n 项和，若 Sn 126 ，则 n= 6
.
【解析】∵ a1 2, an1 2an ，∴数列an 是首项为
2，公比为 2 的等比数列，
∴ Sn
2(1 2n ) 1 2
126 ，∴ 2n
64 ，∴n=6.
答案：6
五、课堂小结：
1.用错位相减法推导等比数列的前 项和 ；n
Sn
2.等比数列求和公式:
Sn na1
等比数列的前n项和公式
na1 ,
q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq , 1 q
q 1
在已知首项、公比 和项数时使用此公 式.
在已知首项、公比 和末项时使用此公 式.
等比数列的前n项和公式
Sn
na1 a1
, 1
q
n
1 q
a1 anq , 1 q
q 1 q 1
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1 q
(q
1)
a2 a3 an q
a1 a2
an1
a2 a3 an a1 a2 an1
q
Sn a1 Sn an
q
sn
a1 anq 1 q
(q
1)
（1）1 ，1 ，1，...... 248
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0.
【解析】1因为a1
=
1 ,q 2
=
1 ,n 2
=
8，
所以S8
=
1 2
1
-
1 2
8
1- 1
=
1 2
1
-
1 2
8
1
=
1-1 28=255 . 256
2
2
2由a1
=
27,a9
=
1 ,可得 1 ＝27×q8,
243
243
又由q < 0,可得
q = -1, 3
于是当n
=
8时，S8
=
27
1
-
-
1 3
8
1
-
-
1 3
=
1
640 . 81
【变式练习】
在等比数列{an}中，若 a1＝1，a4＝18，则该数列的前
10 项和为( B )
A．2－218
B．2－219 C．2－2110 D．2－2111
【解析】因为 a4＝a1q3＝q3＝18，所以 q＝12，
2.5 等比数列前n项和（1）
一、课前复习
（1）等比数列的定义：
an （ q 常数）(n 2) an1
（2）通项公式：
an a1q n1
二、情境导入
传说在很久以前，古印度 舍罕王在宫廷单调的生活中， 发现了64格棋（也就是现在的 国际象棋）的有趣和奥妙，决 定要重赏发明人——他的宰相 西萨•班•达依尔，让他随意选 择奖品.
3．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为 __________．3或－4
【 解 析 】 由 题 知 11－－qq3 ＝ 13,1 ＋ q ＋ q2 ＝ 13 ， q2 ＋ q －12＝0，所以 q＝3 或 q＝－4.
答案：3 或-4
4（ . 2015·全国卷Ⅰ）数列an 中 a1 2, an1 2an , Sn 为an 的