数值分析(04)内积空间

T
数值分析
证 : (1)
( x , y ) xT Ay
i , j 1
xa
i i ij
n i , j 1
xa
i
ij
n
ij
yj
yj
i , j 1
xa
j
n
ji
yi
( 2)
( x z, y)
i , j 1xain源自ijyj T
i , j 1
z a
i
i , j 1 n
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关 为 若 , 线 性 无 关则k R, .因 , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立 盾. ,矛
数值分析
数值分析
在不同的空间中 , Cauchy Schwarz不 等 式 有 不同的表达形式 .
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非 零), 显 然 定 理 中 等 号 成 立 之, 如 果 等 号 ;反
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积 ,得
(1 , 11 r r ) 1 (1 ,1 ) 0
由 1 0 (1 , 1 ) 1 0, 从而有1 0 .
2
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.
证明：三角不等式
证：在内积空间V中, , V , 有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
b b 2 a a
2
1 2
1 2
思考 : ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx
a
b
写出Cauchy Schwarz不等式的表达形式.
数值分析
数值分析
用内积范数表示 Schwarz不 等 式 的 形 式 是 ( , )
由Schwarz 不等式可以证明内积范数公理中的 三角不等式.
A n

x T Ax
i , j 1
xa
i
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A

x T Ax
aii xi2
i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C [a , b], b f ( x )2 f f ( x ), f ( x ) a 称 f 为[a , b]上 连 续 函 数 ( x )的 内 积 范 数 。 f (4) f ( x ) C [a , b],
(1) R 中, x , y R ,
n n
( x, y )
x y
i 1 i
n
i
( x i ) ( yi ) x y
i 1 i 1
n
1 2 2
n
1 2 2
(2)C[a , b]中, f ( x ), g( x ) C[a , b]

b
a
f ( x ) g( x )dx ( f ( x ) dx ) ( g( x ) dx )
n a
b
则称 ( x )是[a , b]上的一个权函数. 常见的权函数有 :
(1) ( x ) 1
1 x 1 1 ( 2) ( x ) 1 x 1 1 x2 x ( 3) ( x ) e 0 x x2 ( 4) ( x ) e x
(2) A为对称正定矩阵 ( x , y ) x Ay
T i , j 1
xa
n
i ij
yj
a11 a12 y1 x Ay x1 x2 y a21 a22 2 a11 x1 y1 a12 x1 y2 a21 x2 y1 a22 x2 y2
证明：以二阶矩阵为例证明 10 取x ee2 得xT Ax 11 22 0 0 1 , 得xT Ax a a 取x , 01
数值分析
数值分析
(2) A是正定阵, A 也是正定阵； （由i 0证明） (3) A Rnn , 若A是非奇异的, 则AT A是n 阶实对称正定阵；
数值分析
数值分析
由Schwarz不 等 式 当 , 不 是 零 向 量 时 , ( , )

1,
即
1
( , )

1
定 义 内 积 空 间 中 任 意 两 个 向 量和的 夹 角 V ( , ) arccos ， 且 [0, ]

3. C [a , b], f ( x ), g( x ) C [a , b], 对于给定的权函数 ( x ) 0, x [a , b] 称为在C [a , b]中带权 ( x )的内积. ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx
b a
i , j 1
3 2 0 例 A 2 4 2 , 0 2 5 3 2 3 0, 0, A 40 2 4
数值分析
数值分析
x Ax 0,
T T
x 0
正定矩阵的性质 (1) 正定阵主对角元恒正；
a11 a12 x1 二次型：x Ax x1 x2 x a21 a22 2 2 2 a11 x1 a12 x1 x2 a21 x1 x2 a22 x2 1 2 x1 2 2 x1 4 x1 x2 5 x2 x1 x2 2 5 x 2
a b
n
ij ij
若 ( x ) 1, 则 b ( f , g ) f ( x ) g( x )dx
a
数值分析
定义 设[a , b]是有限或无限区间, ( x )是定义 在[a , b]上的非负可积函数, 若其满足 (1) ( x )dx 0,
a b
数值分析
(2) x ( x )dx存在, n 0,1...
定义了内积的线性空间称为内积空间
数值分析
数值分析
内积的基本性质:
(1)( , k ) k ( , )
证 : ( , k ) (k , ) k ( , ) k( , )
(2)( , ) ( , ) ( , )
(3)( ,0) (0, ) 0
(x
i , j 1 n
ya
i
n
x j ( y, x )
z i )aij y j y j ( x, y) ( z, y)
i ij
ij
(4)
( x, x ) x Ax
i , j 1
xa
n
xj 0
数值分析
数值分析
几种线性空间中内积的定义:
2. R nn , A, B R nn , 定义内积 ( A, B )
（由x Ax 0, x 0证明） T T T 证明：x A Ax ( Ax ) ( Ax ) x 0, A可逆， Ax 0
T
1
xT AT Ax ( Ax )T ( Ax) 0
数值分析
(2) A为对称正定矩阵, x与y的内积可定义为 ( x , y ) x Ay
数值分析
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二、 内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： ( , )
(1) x R n , x
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为n 维向量x的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
数值分析
数值分析
内积空间 Vn中的标准正交基
定义 在内积空间V n中取一组基S {v1 , v2 , , vn } i j 0 若 (vi , v j ) 0 i j n 则称基S是V 中的正交基.
定义 在内积空间V 中取一组基 { 1 , 2 , , n },
数值分析
数值分析
几种线性空间中定义的内积: n n 1. R 中,x, y R ,
定义内积 (1) ( x , y ) x T y x i yi
i 1 n
x1 x2 x , x n
y1 y2 y , y n
n
0 i j 若 ( i , j ) ij ( i , j 1, , n) 1 i j n 则称基 是V 中的标准正交基.
数值分析
数值分析
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e 2 0 , e 3 1 2 , e4 1 2 . 0 1 2 1 2 0 0
T
数值分析
数值分析
(2) A为对称正定矩阵 ( x , y ) x Ay
T i , j 1
xa
n
i ij
yj
( x , y ) x T Ay x i a i yi
i 1 n
a1 特别取 A an