全国初中数学竞赛辅导(初3)第18讲 平面几何中的最值问题
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(包含答案)
人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值.【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变C.等分DB⌒ D.随C 点的移动而移动【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.P AB CDAPB【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（图1）（图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.【能力训练】1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则BOACE HG D A=+21S S _______.（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ） A ．在平分AB 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动（第5题图） （第6题图） 6.如图，A ，B 是函数xky =图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.A ABCDEFAB'（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.⑥⑤④③②①P(B )A PB9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值； （2）2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.P D CB A A折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋ ）A. ∠1＋∠2＝900°－2α B. ∠1＋∠2＝1080°－2α C. ∠1＋∠2＝720°－α D. ∠1＋∠2＝360°－21α（第3题图） （第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （ ）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A.5B.6C.7D.8（第5题图） 12GF EDCHBAB6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（第7题图） （第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.NKMB AC HCBA（第9题图） （第10题图） 10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变. 参考答案例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = .∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×()23＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP •2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP •2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a ＋2a )，从而21AP BPCP DP+=-+为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PMEC PC=，即()2112x x EC--=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989)⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥P A ，故只要QC ＝P A 185． ⑶即可，而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝244414255=．∴t ＝ 4145－2． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224．由于224≈15，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝4145－2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。
九年级数学竞赛 第18讲 平面几何中的最值问题
九年级数学竞赛第十八讲平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．例1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．例2 如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．例3 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB 渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．例4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△ABC中，∠A=90°，AD ⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△ADN∽△BDM，又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为△AKM≌△ADM，所以AK=AD=AL．而而从而所以 S△ABC≥S△AKL．例5 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，则PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则P1C≤BC=AB．对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．例6 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C 到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A 的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若l与BC相交于D，则所以只有当l⊥BC时，取等号．(2)若l′与B′C相交于D′，则所以上式只有l′⊥B′C时，等号成立．例7 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD 面积的最小值．解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而即AB≥2．当AO=BO时，AB有最小值2．从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为练习十八1．设M为圆O外一定点，P为圆O上一动点．试求MP的最大值和最小值．2．设AB是圆O的动切线，直线OA，OB保持互相垂直．如果圆O的半径为r，试求OA+OB的最小值．3．一直角三角形的周长为10厘米(cm)，则其面积的最大值是多少厘米？4．已知l1∥l2，A，B是直线l1上的两个定点，且AB=10，l1，l2的距离为8，P为直线l2上的一个动点，试求△ABP周长的最小值．5．如果矩形ABCD的周长为40厘米，那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米？。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
中考试题几何中的最值问题(讲义)
几何中的最值问题（讲义）一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； 求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（两个定点） 垂线段最短（一个定点、一条定直线）三角形三边关系（两边长固定或其和、差固定）lB'BAPlB'ABP线段和差、 周长最值 几何变换、 等线段转移 构建三角形线段最值 ① 折转直；②集中线段长； ③目标线段转化为相关线段. 转化 P A +PB 最小， 需要点在异侧|P A -PB |最大， 需要点在同侧1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁ACQP ED CBA第1题图 第2题图2. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .3. 如图，在锐角△ABC 中，42AB ，∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为___________．NMABDCQPKDCBA第3题图 第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 .5. 如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxP ABDCD'C'B'第5题图 第6题图6. 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与点B 或点C 重合），分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．ABCDPMNxOABy第7题图 第8题图8. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．9. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．ABCE FPM ABCDP第9题图 第10题图10. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 11. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.A BO PxyA DCB PQ A'第11题图 第12题图12. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．13. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ． （1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？AB C D P FE D CBAA BCD EFP14. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .（1）当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； （2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由.15. 如图，已知平面直角坐标系中A ，B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）. （1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝________时，△P AB 的周长最短；（2）若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝________时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请写出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.BA Ox y（3）BA Ox y（2）（1）yx OA BABCDEM N1. 15 2．22 3．4 4．3 5．74 6．2，27．58．39．12510．5 11. 3+112．213．(1)8434-≤≤PD ；(2) 458-14．(1)点M 在BD 的中点时，AM+CM 的值最小；（2）点M 在EC 与BD 的交点处时，AM+BM +CM 的值最小15．（1）72；（2）54；（3）55,23==-m n初中数学试卷灿若寒星制作。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
中考数学专题复习 平面几何的最值问题_答案
7. C 提示：当点 P 与点 D 重合时，四边形 ACBP 的周长最大.
8. （1）连结 ME，过 N 作 NF⊥AB 于 F，可证明 Rt△EB A≌Rt△MNF，得 MF＝AE＝x.∵
ME2＝AE2＋AM2，故 MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM＝1－ 1 x2，∴S＝ 4
y
的取值范围内，所以
y＝
5 2
不是极值点，当
y＝3
时，S(3)
＝12，当
y＝4
时，S(4)＝8，故
Smax＝12．此时，钢板的最大利用率
42
12 1
2
1
＝80%．
例
2
6 设 PD＝x(x＞1)，则 PC＝ x2 1 ，由 Rt△PCD∽△PAB，得 AB＝ CD PA x 1 ，令 y
PC
x2 1
l22 ，当
r＞
4h 2
4
时， l12
l22
，当
r＜
4h 2
4
时， l12
l22
．
例5
设 DN＝x，PN＝y，则 S＝xy，由△APQ∽△
ABF，得
2
4
4
y
x
1 2
即
x＝10－2y，代入
S＝xy 得 S＝xy＝y(10－2y)，即 S＝－2
y
5 2
2
25 2
，
因
3≤y≤4，而
y＝
5 2
不在自变量
11. （1）点 P 恰好在 BC 上时，由对称性知 MN 是△ABC 的中位线，∴当 MN＝ 1 BC＝3 时， 2
点 P 在 BC 上.（
2）由已知得△ABC 底边上的高 h＝ 52 -32 ＝4. ①当 0＜x≤3 时，如图 1，连结 AP 并延长交
初三数学几何中的最值问题
初三数学几何中的最值问题一、几何中的最值问题1．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE 为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．2．如图1，在一张▱ABCD的纸片中，▱ABCD的面积为6，DC＝3，∠BCD＝45°，点P是BD 上的一动点（点P与点B，D不重合）．现将这张纸片分别沿BD，AP剪成三块，并按图2（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）所示放置（1）当点P是BD的中点时，求AP的长．（2）试探究：当点P在BD的什么位置上时，MN的长最小？请求出这个最小值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1，0)和点B(4，0)，且与y 轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．4．定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD 与四边形AEEG 都是正方形，135AEB 180<∠<︒︒，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD 是“等垂四边形”，AD BC ≠，连接BD ，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，连接EG ，FG ，EF ．试判定EFG 的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD 是“等垂四边形”，4=AD ，6BC =，试求边AB 长的最小值．5．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．6．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，AD=5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的点E 处，折痕为PQ ．过点E 作EF ∥AB 交PQ 于点F,连接BF（1）若AP ： BP=1：2，则AE 的长为 ．（2）求证：四边形BFEP 为菱形；（3）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在边AB 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．7．在图1至图3中，O 的直径30BC =，AC 切O 于点C ，40AC =，连接AB 交O 于点D ，连接CD ，P 是线段CD 上一点，连接PB ．（1）如图1，当点P ，O 的距离最小时，求PD 的长；（2）如图2，若射线AP 过圆心O ，交O 于点E ，F ，求tan F 的值；（3）如图3，作DH PB ⊥于点H ，连接CH ，直接写出．．．．CH 的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x +2的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，⊙P 5P 在x 轴上运动．（1）如图1，当圆心P 的坐标为（1，0）时，求证：⊙P 与直线AB 相切；（2）在（1）的条件下，点C 为⊙P 上在第一象限内的一点，过点C 作⊙P 的切线交直线AB 于点D ，且∠ADC ＝120°，求D 点的坐标；（3）如图2，若⊙P 向左运动，圆心P 与点B 重合，且⊙P 与线段AB 交于E 点，与线段BO 相交于F 点，G 点为弧EF 上一点，直接写出12AG +OG 的最小值 ． 9．在ABC ∆中，90,2ACB BC AC ︒∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转α角0180()α︒<<︒至''AB C ∆的位置．（1）如图1，当旋转角为60︒时，连接'C C 与AB 交于点M ，则'C C = ．（2）如图2，在（1）条件下，连接'BB ，延长'CC 交'BB 于点D ，求CD 的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线'','CC BB CC 、所在直线交'BB 于点D ，那么CD 的长有没有最大值?如果有，求出CD 的最大值：如果没有，请说明理由．10．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM =∠ACB ，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE=BD ，连接AD 、DE 、AE ．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，求∠ADE 的度数；（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，试问∠ADE 的度数是否发生变化？如果不变化，请给出理由；如果变化了，请求出∠ADE 的度数； （3）在（2）的条件下，若AB =6，求CF 的最大值．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED 绕点E 顺时针旋转得到A ED ''△，A′E 交AD 于P ， D′E 交CD 于Q ，连接PQ ，当点Q 与点C 重合时，AED 停止转动．（1）求线段AD 的长；（2）当点P 与点A 不重合时，试判断PQ 与A D ''的位置关系，并说明理由； （3）求出从开始到停止，线段PQ 的中点M 所经过的路径长．12．如图，在▱ABCD 中，AB 32=，BC 5=，B 45∠=，点E 为CD 上一动点，经过A 、C 、E 三点的O 交BC 于点F ．（操作与发现）()1当E 运动到AE CD ⊥处，利用直尺与规作出点E 与点F ；(保留作图痕迹) ()2在()1的条件下，证明：AF AB AE AD =． （探索与证明）()3点E 运动到任何一个位置时，求证：AF AB AE AD=； （延伸与应用）()4点E 在运动的过程中求EF 的最小值．13．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点．（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1．设CF ＝kEF ，则k ＝ ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2．求证：BE-DE ＝2CF ；（3）若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的取值范围．14．（阅读材料）某兴趣小组的同学将一个矩形ABED 和一个等腰直角三角形DEC 拼成如图1的一个四边形ABCD ，已知1,2AD DC ==（1）①直接写出BC 的长为②如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD PC 、为边作PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．爱动脑筋的小明得到如下思路：过点Q 作//QH AB ，交BC 的延长线于点H ，因为APQ DPQ PQH PQC ∠-∠=∠-∠，即APD HQC ∠=∠，则PAD QHC ∆≅∆，得AD CH =，所以BH BC CH BC AD =+=+，即PQ 存在最小值为（方法应用）（2）①若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到F ，使2PF PD =，再以PF PC 、为边作PCQF ，请在图3中画图研究，求出对角线PQ 的长的最小值？②若P 为AB 边上任意一占，延长PD 到F ，使 PF nPD =（n 为常数），再以PF PC 、为边作PCQF ，则对角线PQ 的长的最小值=（延伸拓展）（3）如图4，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到F ，使PF nPA =（n 为常数），以PF PB 、为边作PBQF ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．15．如图1所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，其中点9,02B⎛⎫⎪⎝⎭、()0,6D．（1）求C点的坐标；（2）如图2，E是AD上一点，且AE＝114，P是AC上一动点，求PD PE+的最小值；（3）如图3，动点Q从点B出发，以每秒54个单位长度的速度，沿折线B C D→→在菱形的两边上匀速运动，设运动时间为t秒．若点Q到BD的距离是52，则t＝．16．如图，△ABC的两条中线BD、CE交于点F．（1）DFBF= _______；（2）若BE2= EF▪EC，且BEDF=32，6，求DE的长；17．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点(3)A，，点()0, 3B，点(0,0)O(I)过边OB上的动点D (点D不与点B，O重合)作DE OB⊥交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当AEF∆为直角三角形时，求E点坐标：(Ⅱ)P是AB边上的动点(点P不与点B重合)，将AOP∆沿OP所在的直线折叠，得到'A OP∆，连接'BA，当'BA取得最小值时，求P点坐标(直接写出结果即可)．18．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．19．如图，一次函数y＝12x+1的图象与二次函数y＝12x2+bx+c的图象交于A，B两点，点A在x轴上．点B的横坐标为4．（1）b＝，c＝；（2）设二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴的另一个交点为D．连接AC，CD，求∠ACD的正弦值；（3）若M点在x轴下方二次函数图象上，①过M点作y轴平行线交直线AB于点E，以M点为圆心，ME的长为半径画圆，求圆M 在直线AB上截得的弦长的最大值；②若∠ABM＝∠ACO，则点M的坐标为．20．如图，△ABC中，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，连OB，OC．（1）如图1，若∠ACB＝2∠ABC，BO平分∠ABC，AC＝5，OC＝3，则AB＝；（2）如图2，若∠CBO+∠ACO＝∠BAC＝60°，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝23，将点B绕点O逆时针旋转60°得点D，直接写出CD的最小值为．21．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．22．如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，求线段DF的最小值23．n（n n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF 沿过点A 的直线折叠，使折叠后的点B 落在对角线AE 上的点G 处，折痕为AH ．操作2：将FE 沿过点G 的直线折叠，使点F 、点E 分别落在边AF 、BE 上，折痕为CD ．则四边形ABCD 2矩形．（1）证明：四边形ABCD 2（2）点M 是边AB 上一动点．①如图b ，O 是对角线AC 的中点，若点N 在边BC 上，OM ON ⊥，连接MN ．求tan OMN ∠的值；②若AM AD =，点N 在BC 边上，当DMN 周长最小时，求CN NB 的值． ③连接CM ，作BR CM ⊥，垂足为R ．若2AB =DR 的最小值为 ． 24．如图，点A 在抛物线y ＝﹣x 2+6x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（2，2）． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任一点，过P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH +HF +32FO 的最小值； （3）在（2）中，当PH +HF 3取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为y 轴上一动点，M 为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D ，Q ，R ，M 为顶点的四边形为矩形？若存在请直接写出点R 的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，23BC =，以点B 为圆心，3为半径作圆．点P 为B 上的动点，连接PC ，作P C PC '⊥，使点P '落在直线BC 的上方，且满足:1:3C PC P ='，连接BP ，'AP ．（1）求BAC ∠的度数，并证明AP C BPC '△△∽；（2）如图2，若点P 在AB 上时，连接BP '，求BP '的长；（3）点P 在运动过程中，BP '是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP '取得最大值或最小值时，PBC ∠的度数；若没有，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、几何中的最值问题1．（1）①全等，理由见解析； ②GH 815=（2）①见解析；②PC 的最大值为3【分析】（1）①结论：△AGD ≌△CED ．根据SAS 证明即可．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T ．解直角三角形求出AT ，GT ，再利用相似三角形的性质求解即可．（2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．利用全等三角形的性质，解决问题即可．②因为∠CPA ＝90°，AC 是定值，推出当∠ACP 最小时，PC 的值最大，推出当DE ⊥PC 时，∠ACP的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合（如图4中）．【详解】（1）①如图2中，结论：△AGD ≌△CED ．理由：∵四边形EFGD 是正方形，∴DG ＝DE ，∠GDE ＝90°，∵DA ＝DC ，∠ADC ＝90°，∴∠GDE ＝∠ADC ，∴∠ADG ＝∠CDE ，∴△AGD ≌△CED （SAS ）．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T ．∵△AGD ≌△CED ，CD ＝CE ，∴AD ＝AG ＝4，∵AT ⊥GD ，∴TG ＝TD ＝1，∴AT 2215AG TG =-∵EF ∥DG ，∴∠GHF ＝∠AGT ，∵∠F ＝∠ATG ＝90°，∴△GFH ∽△ATG ， ∴GH FG AG AT =， ∴415GH =， ∴GH 815=． （2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC222242CD DE=-=-=3∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝3，∴PC的最大值为3【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．2．（1）292；（2）当AP⊥BD时，MN的长最小，105【分析】（1）连接AC交BD于P，根据平行四边形的性质得到PD＝PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，根据三角形的中位线的性质得到PE＝12DH，BE＝12BH，根据已知条件得到DH＝2，解直角三角形即可得到结论；（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，于是得到∠MCN＝90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，根据勾股定理得到BD＝22DH BH+＝5，根据三角形的面积公式得到AP＝655，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）连接AC交BD于P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴PD＝PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，∴PE∥DH，∴PE＝12DH，BE＝12BH，∵▱ABCD的面积为6，DC＝3，∴DH＝2，∴PE＝1，∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AH＝DH＝2，∴BH＝1，∴HE＝BE＝12，∴AE＝52，∴AP＝22AE PE+＝292；（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，∴∠MCD+∠NCB＝45°，∴∠MCN＝90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，由（1）求得DH＝2，BH＝1∴BD ＝22DH BH +＝5 ，∵AP ⊥BD ， ∴S △ABD ＝12AB•DH ＝12BD•AP ， ∴AP ＝655， ∴CM ＝CN ＝AP ＝655， ∴MN ＝22CM CN +＝6105， ∴MN 长的最小值是6105．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形准确性的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（1）213222y x x =-++；（2）点P 的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）线段EG 的最小值为455.. 【分析】（1）根据抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0）和点B （4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可；（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD 的面积，即可求出△PDB 的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或-3，再把它代入抛物线的解析式，求出x 的值是多少，即可判断出点P 的坐标；（3）首先应用待定系数法，求出BC 所在的直线的解析式，然后根据点P 的坐标是（m ，n ），求出点F 的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG 2的最小值，即可求出线段EG 的最小值．【详解】解：（1）把A （-1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =-++； （2））∵抛物线的解析式为213222y x x =-++， 当x=0时，y=2，∴点C 的坐标是（0，2），∵点A （-1，0）、点D （2，0），∴AD=2-（-1）=3， ∴S △CAD =13232⨯⨯=， ∴S △PDB =3， ∵点B （4，0）、点D （2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或-3，①当n=3时，2132322m m -++=， 解得：m=1或m=2，∴点P 的坐标是（1，3）或（2，3）；②当n=-3时，2132322m m -++=- 解得m=5或m=-2，∴点P 的坐标是（5，-3）或（-2，-3）；综上，可得点P 的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）如图，设BC 所在的直线的解析式是：y=mx+n ，∵点C 的坐标是（0，2），点B 的坐标是（4，0），∴240n m n =⎧⎨+=⎩， 解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC 所在的直线的解析式是：122y x =-+， ∵点P 的坐标是（m ，n ），∴点F 的坐标是（4-2n ，n ），∴()22242EG n n =-+ 251616n n =-+2816555n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴当85n =时，线段EG= ∴线段EG的最小值为5. 【点睛】本题是对二次函数知识的综合考查，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键，难度较大，属于中考的常考题型.4．（1）见解析；（2）EFG 是等腰直角三角形．理由见解析；（3【分析】（1）延长,BE DG 交于点H ，根据四边形ABCD 与四边形AEFG 都为正方形，易证()ABE ADG SAS ≌△△，则有BE DG =，ABE ADG ∠=∠，可证BHD 90∠=︒，根据BE DG =，可证四边形BEGD 是等垂四边形．（2）延长,BA CD 交于点H ，根据四边形ABCD 是等垂四边形，AD BC ≠，有AB CD ⊥，AB CD =，HBC HCB 90∠+∠=︒，根据点E,F,G 分别是AD,BC,BD 的中点可得1EG AB 2=，1GF CD 2=，//EG AB ，//GF DC ，则可证EGF 90，即有EFG 是等腰直角三角形；（3）延长,BA CD 交于点H 分别取,AD BC 的中点,E F ，连接,,HE EF HF ，根据11EF HF HE BC AD 32122-=-=-=，EFG 是等腰直角三角形，可得12GE GF AB ，22EF AB ，即可得出AB ． 【详解】（1）如图，延长,BE DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与四边形AEFG 都为正方形∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒．∴BAE DAG ∠=∠．∴()ABE ADG SAS ≌△△．∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠．∵ABD ADB 90∠+=︒∴90ABE EBD ADB DBE ADB ADG ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒即EBD BDG 90∠+∠=︒，∴BHD 90∠=︒．∴BE DG ⊥．又∵BE DG =，∴四边形BEGD 是等垂四边形．（2）EFG 是等腰直角三角形．理由如下：如图，延长,BA CD 交于点H ，∵四边形ABCD 是等垂四边形，AD BC ≠，∴AB CD ⊥，AB CD =∴HBC HCB 90∠+∠=︒∵点E,F,G 分别是AD,BC,BD 的中点 ∴1EG AB 2=，1GF CD 2=，//EG AB ，//GF DC ， ∴BFG C ∠=∠，EGD HBD ∠=∠，EG GF =． ∴EGF EGD FGD ABD DBC GFB ABD DBC C HBC HCB 90， ∴EFG 是等腰直角三角形；（3）如图，延长,BA CD 交于点H 分别取,AD BC 的中点,E F ，连接,,HE EF HF ，则11EF HF HE BC AD 32122-=-=-=， 由（2）可知EFG 是等腰直角三角形， ∴12GEGF AB ∴2222112222EFGE GF AB AB AB ∴AB 2EF 2=．∴AB 2．【点睛】本题是新定义类探究题，主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质和勾股定理，解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用条件，构造直角三角形是解题的关键． 5．问题探究：（1）24；（2）存在，BC 的最小值为23144【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OB OC x ==．求出x 的最小值即可解决问题；（3）如图3中，连接AF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FNH △的外接圆O ．由（2）可知，当FNH △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFM 的面积最大．【详解】解：（1）当AD BC ⊥时，ABC 面积的最大，则ABC 面积的最大值是11862422BC AD ⋅=⨯⨯=， 故答案为：24；（2）如图中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OA OC x ==，∵2120COB CAB ∠=∠=︒，OC OB =，OE CB ⊥，∴CE EB =，60COE BOE ∠=∠=︒， ∴12OE OB x ==，3BE x =． ∵OC OE AG +，∴33x ，∴1x ，∴x 的最小值为1，∵23BC x =，∴BC 的最小值为23；（3）如图中，连接AF ，EF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，∵90D ∠=︒，626AD DE ==+，∴45DAE AED ∠=∠=︒，∵6212CD AB ==，∴6CE CF ==，∴45CEF CFE ∠=∠=︒，∴90AEF ∠=︒，∴62EF BF ==，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FHB △的外接O 交BC 于N ，连接ON ，∵90AEF ABF ∠=∠=︒，AF AF =，EF BF =，∴Rt Rt ()AEF ABF HL △≌△，∴AEF ABF S S =△△，∵45EFG ∠=︒，∵90FEG ∠=︒，45EFG ∠=︒， ∴EF EG == ∴12FG ==，由（2）可知，当FHN △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFE 的面积最大，设OF ON r ==，则2OB BN r ==，∴r +=∴r ⋅=-， ∴12(2NH ==-，∴四边形ANFM 的面积的最大值112(1212(222=⨯⨯+⨯⨯⨯ 144=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．6．，(2)证明见解析；(3)2cm ；【分析】(1) 先根据AB=3cm ，AP ： BP=1：2，计算出AP 、BP 的长度，再根据勾股定理即可求得AE 的长度；(2)根据折叠的性质得到点B 与点E 关于PQ 对称，进而得到PB=PE ，BF=EF ，∠BPF=∠EPF ，根据平行的性质再证明BP=BF=EF=EP 即可得到答案；(3) 找到E 点离A 最近和最远的两种情况，运用矩形的性质以及勾股定理即可求出点E 在边AD 上移动的最大距离；【详解】解：(1)∵AB=3cm ，若AP ： BP=1：2，则AP=113AB cm = ，BP=223AB cm =， 根据折叠的性质得到：PE=PB=2cm ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°， ∴222AP AE PE += ,即：22212AE +=，∴23AE=，AE=，即：3故AE的长为：3cm；(2)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称．∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP（两直线平行，内错角相等），∴∠EPF=∠EFP（等量替换），∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP（四边相等的四边形是菱形），∴四边形BFEP为菱形；(3)当点Q与点C重合时，如图2所示，此时点E离点A最近，∵四边形ABCD是矩形，BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，224=-=DE CE CD∴AE=AD-DE=5-4=1cm，此时AE=1cm；当P点与A点重合时，如图3所示，点E离点A最远．此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm．点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定方法、勾股定理等知识，解题的关键是依题意画出正确的图形，运用折叠的对称性解决问题．7．（1）12；（2）73388-；（3）CH 的最小值为3739- 【分析】 （1）连接OP ，根据切线的性质和圆周角定理的推论可得AC BC ⊥,∠BDC=90°，利用勾股定理求出AB ，然后根据三角形的面积公式即可求出CD ，根据垂线段最短可得当OP CD ⊥时，点P ，O 的距离最小，从而求出PD 的长；（2）连接CE ，则90ECF ∠=︒，利用勾股定理即可求出AE ，然后根据相似三角形的判定定理证出Δ~ΔACE AFC ，列出比例式，根据正切的定义即可求出结论；（3）以BD 为直径作G ，则G 为BD 的中点，利用勾股定理和圆的基本性质求出半径DG ，根据直径所对的圆周角是直角可得点H 一定在G 上，当点C ，H ，G 在一条直线上时，CH 最小，利用勾股定理求出CG ，即可求出结论．【详解】解：（1）如图1，连接OP ，AC 切O 于点C ，BC 为直径AC BC ∴⊥,∠BDC=90°30BC =，40AC =，50AB ∴=．由Δ1122ADC S AB CD AC BC =⋅=⋅, 即1150403022CD ⨯⨯=⨯⨯, 解得24CD =，当OP CD ⊥时，点P ，O 的距离最小，此时1122PD CD ==．（2）如图2，连接CE ，则90ECF ∠=︒．由（1）知，90ACB ∠=︒，由222AO AC OC =+，得()222154015AE +=+，解得57315AE =． 90ACB ECF ∠=∠=︒，ACE BCF AFC ∴∠=∠=∠．又CAE FAC ∠=∠，Δ~ΔACE AFC ∴， CE AE FC AC ∴=． 57315733tan 404088CE AE F CF AC ∴===-=-．（3）CH 的最小值为3739-．如图3，以BD 为直径作G ，则G 为BD 的中点，BD=2218-=BC CD ∴192==DG BD ， DH PB ⊥，∴点H 总在G 上，9GH =， ∴当点C ，H ，G 在一条直线上时，CH 最小，此时，2222249373CG CD DG =+=+=，3739CH =-，即CH 的最小值为3739-．【点睛】此题考查的是圆的综合大题、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握切线的性质、圆周角定理及推论、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．8．（1）见解析；（2）D（233，33+2）；（3）372．【分析】（1）连接PA，先求出点A和点B的坐标，从而求出OA、OB、OP和AP的长，即可确定点A在圆上，根据相似三角形的判定定理证出△AOB∽△POA，根据相似三角形的性质和等量代换证出PA⊥AB，即可证出结论；（2）连接PA，PD，根据切线长定理可求出∠ADP＝∠PDC＝12∠ADC＝60°，利用锐角三角函数求出AD，设D（m，12m+2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出m的值即可；（3）在BA上取一点J，使得BJ＝52，连接BG，OJ，JG，根据相似三角形的判定定理证出△BJG∽△BGA，列出比例式可得GJ＝12AG，从而得出12AG+OG＝GJ+OG，设J点的坐标为（n，12n+2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出n，从而求出OJ的长，然后根据两点之间线段最短可得GJ+OG≥OJ，即可求出结论．【详解】（1）证明：如图1中，连接PA．∵一次函数y＝12x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，∴A（0，2），B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵P（1，0），∴OP＝1，∴OA2＝OB•OP，225+=OA OP∴OAOP ＝OBOA，点A在圆上∵∠AOB＝∠AOP＝90°，∴△AOB∽△POA，∴∠OAP＝∠ABO，∵∠OAP+∠APO＝90°，∴∠ABO+∠APO＝90°，∴∠BAP＝90°，∴PA⊥AB，∴AB是⊙P的切线．（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．∵DA，DC是⊙P的切线，∠ADC＝120°，∴∠ADP＝∠PDC＝12∠ADC＝60°，∴∠APD＝30°，∵∠PAD＝90°∴AD＝PA•tan30°＝153，设D（m，12m+2），∵A（0，2），∴m2+（12m+2﹣2）2＝159，解得m＝23∵点D在第一象限，∴m＝233，∴D233）．（3）在BA上取一点J，使得BJ5，连接BG，OJ，JG．∵OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB22OA OB+2224+5∵BG5BJ5，∴BG2＝BJ•BA，∴BGBJ＝BABG，∵∠JBG＝∠ABG，∴△BJG∽△BGA，∴JGAG＝BGAB＝12，∴GJ＝12AG，∴12AG+OG＝GJ+OG，∵BJ5，设J点的坐标为（n，12n+2），点B的坐标为（-4,0）∴（n+4）2+（12n+2）2＝54，解得：n=-3或-5（点J在点B右侧，故舍去）∴J（﹣3，12），∴OJ22132⎛⎫+ ⎪⎝⎭37∵GJ+OG≥OJ，∴12AG+OG37，∴12AG+OG37故答案为372． 【点睛】 此题考查的是一次函数与圆的综合大题，掌握相似三角形的判定及性质、切线的判定及性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数和两点之间线段最短是解决此题的关键． 9．（1）2；（2）13CD =+；（3）CD 的值最大，此时22CD =.【分析】(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而'C C =AC=2即可求解.(2)过点B 作BH ⊥CD 于H ，求得△CBH 三边之比为1:3:2，进而求出CH 和BH 的长，再求得△DBH 为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH 即可求解.(3)证明''∆∆B AB C AC ，再取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ，得出D 点的运动轨迹为以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大，即可求解.【详解】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形∴'2==C C AC .故答案为2.(2)如图2中，作BH CD ⊥于H ，如下图所示：','60AB AB BAB ︒=∠='ABB ∴∆是等边三角形，60︒∴∠=∠=DBM ACM ，DMB AMC ，45BDC BAC ︒∴∠=∠=，且△DBH 为等腰直角三角形，'30BCH BCA ACC ︒∠=∠-∠=11,32BH DH BC CH ∴==== 13CD CH DF ∴=+=故答案为：13+.()3CD 的长有最大值为22，理由如下，如下图3中，’'45B AC BAC ︒∠=∠=''B AB C AC ∴∠=∠','AB AB AC AC ==''AB AB AC AC∴= ''B AB C AC ∴∆∆DBM ACM DMB AMC ∴∠=∠45BDM MAC ︒∴∠=∠=取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ．,90CA CB ACB ︒=∠=,CH AB CH BH AH ∴⊥==，90BHC ︒∠=∴12BDC BHC ∴点D 的运动轨迹是以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大, 故CD AB =时，CD 的值最大，此时22CD =故答案为2.【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.10．（1）∠ADE=30°；（2）∠ADE=30°，理由见解析；（3）92 【分析】（1）利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到AD =AE ，∠CAE=∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；（2）同（1）的证明方法相同；（3）证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到26ADAF=，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．【详解】解：（1）∠ADE=30°．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵∠ACM=∠ACB，∴∠ACM=∠ABC，在△ABD和△ACE中，∵AB ACABC ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠CAE=∠BAD，∴∠DAE=∠BAC=120°，∴∠ADE=30°；（2）（1）中的结论成立，证明：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°．∵∠ACM=∠ACB，∴∠B=∠ACM=30°．在△ABD和△ACE中，∵AB ACABC ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°．即∠DAE=120°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=30°；（3）∵AB=AC，AB=6，∴AC=6，∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴AD AFAC AD =， ∴AD 2=AF•AC ， ∴AD 2=6AF ，∴AF=26AD ，∴当AD 最短时，AF 最短、CF 最长，易得当AD ⊥BC 时，AF 最短、CF 最长，此时AD=12AB=3， ∴AF 最短=26AD =96=32，∴CF 最长=AC －AF 最短=6－32=92． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．（1）5；（2）PQ ∥A D ''，理由见解析；（3 【分析】（1）求出AE △ABE ∽△DEA ，由AD AEAE BE=可求出AD 的长； （2）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，证明△PEF ∽△QEC ，再证△EPQ ∽△A'ED'，可得出∠EPQ ＝∠EA'D'，则结论得证；（3）由（2）知PQ ∥A′D′，取A′D′的中点N ，可得出∠PEM 为定值，则点M 的运动路径为线段，即从AD 的中点到DE 的中点，由中位线定理可得出答案． 【详解】解：（1）∵AB ＝2，BE ＝1，∠B ＝90°， ∴AE∵∠AED ＝90°， ∴∠EAD+∠ADE ＝90°，∵矩形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴∠BAE+∠EAD ＝90°， ∴∠BAE ＝∠ADE ， ∴△ABE ∽△DEA ， ∴AD AEAE BE=，∴=，∴AD ＝5；（2）PQ ∥A′D′，理由如下： ∵5,5AD AE ==，∠AED ＝90°∴22DE DA AE =-＝225(5)-＝25，∵AD ＝BC ＝5，∴EC ＝BC ﹣BE ＝5﹣1＝4， 过点E 作EF ⊥AD 于点F ，则∠FEC ＝90°， ∵∠A'ED'＝∠AED ＝90°， ∴∠PEF ＝∠CEQ ， ∵∠C ＝∠PFE ＝90°， ∴△PEF ∽△QEC ， ∴2142EP EF EQ EC ===， ∵51225EA EA ED ED ''===， ∴EP EA EQ ED ''=， ∴PQ ∥A′D′；（3）连接EM ，作MN ⊥AE 于N ， 由（2）知PQ ∥A′D′， ∴∠EPQ ＝∠A′＝∠EAP ，又∵△PEQ 为直角三角形，M 为PQ 中点， ∴PM ＝ME ， ∴∠EPQ ＝∠PEM ，∵∠EPF ＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM ＝∠PEM+∠AEA′ ∴∠EPF ＝∠NEM ， 又∵∠PFE ＝∠ENM ﹣90°， ∴△PEF ∽△EMN ， ∴NM EM EF PE =＝PQ2PE为定值，又∵EF ＝AB ＝2，∴MN 为定值，即M 的轨迹为平行于AE 的线段， ∵M 初始位置为AD 中点，停止位置为DE 中点， ∴M 的轨迹为△ADE 的中位线， ∴线段PQ 的中点M 所经过的路径长＝1AE 2＝52．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．()1作图见解析；()2证明见解析；()3证明见解析；()4 EF 最小值为262. 【分析】()1当AE CD ⊥，此时AC 是O 的直径，作出AC 的中点O 后，以OA 为半径作出O即可作出点E 、F ；()2易知AC 为直径，则AF BC ⊥，ABCD S BC AF CD AE =⋅=⋅四边形，从而得证；()3如图，作AM BC ⊥，AN CD ⊥，若E 在DN 之间，由()2可知，AMABANAD=，然后再证明AMF ∽ANE ，从而可知AM AF ABAN AE AD==，若E 在CN 之间时，同理可证；()4由于A 、F 、C 、E 四点共圆，所以180FAE BCD ∠+∠=，由于四边形ABCD 为平行四边形，45B ∠=，从而可证FOE 为等腰直角三角形，所以2FE R =，由于2AN AC R ≤≤，所以E 与N 重合时，FE 最小． 【详解】()1如图1所示，()2如图，易知AC 为直径，则AF BC ⊥，则ABCD S BC AF CD AE =⋅=⋅四边形，AF CD ABAE BC AD∴==， ()3如图，作AM BC ⊥，AN CD ⊥，若E 在DN 之间由()2可知，AM ABAN AD= A 、F 、C 、E 四点共圆，AFC AEC 180∠∠∴+=，AFC AFM 180∠∠+=， AEN AFM ∠∠∴=， AMF ANE ∠∠=， AMF ∴∽ANE AM AF AB AN AE AD∴==， 若E 在CN 之间时，同理可证()4A 、F 、C 、E 四点共圆，FAE BCD 180∠∠∴+=，四边形ABCD 为平行四边形，B 45∠=，BCD 135∠∴=， FAE 45∠∴=， FOE 90∠∴=，FOE ∴为等腰直角三角形， FE 2R ∴=，AN AC 2R ≤≤，E ∴与N 重合时，FE 最小，此时2FE =， 在ABC 中，AM BM 3==，则CM 2=∴由勾股定理可知：AC 13=此时EF 最小值为262. 【点睛】。
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第十八讲平面几何中的最值问题
在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．
例1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？
分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．
解作DE⊥AB于E，则
x2=BD2=AB·BE
＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，
所以
所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．
-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，
上式只有当x=R时取等号，这时有
所以2y=R=x．
所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．
例2 如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？
分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有
2x+2y+πx=8，
若窗户的最大面积为S，则
把①代入②有
即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．
例3 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？
分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB 渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．
设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则
∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，
所以A，B，C′，C四点共圆，所以
∠CC′A=∠CBA=90°，
所以在△ACC′中，AC＞AC′，即
PA+PB＞P′A+P′B．
例4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．
证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△ABC中，∠A=90°，AD ⊥BC于D，所以
∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．
因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以
∠1=∠2=45°，∠3=∠4，
所以△ADN∽△BDM，
又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以
△MDN∽△BDA，
所以∠BAD=∠MND．
由于∠BAD=∠LCD，所以
∠MND=∠LCD，
所以D，C，L，N四点共圆，所以
∠ALK=∠NDC=45°．
同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为
△AKM≌△ADM，
所以AK=AD=AL．
而
而
从而
所以 S△ABC≥S△AKL．
例5 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．
证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则
PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；
若∠P1Q1C≥90°，则
PQ≤P1Q1≤P1C．
同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则
P1C≤BC=AB．
对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．
例6 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C 到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．
解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A 的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．
(1)若l与BC相交于D，则
所以
只有当l⊥BC时，取等号．
(2)若l′与B′C相交于D′，则
所以
上式只有l′⊥B′C时，等号成立．
例7 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD 面积的最小值．
解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而
即AB≥2．
当AO=BO时，AB有最小值2．从而
所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为
练习十八
1．设M为圆O外一定点，P为圆O上一动点．试求MP的最大值和最小值．
2．设AB是圆O的动切线，直线OA，OB保持互相垂直．如果圆O的半径为r，试求OA+OB的最小值．
3．一直角三角形的周长为10厘米(cm)，则其面积的最大值是多少厘米？
4．已知l1∥l2，A，B是直线l1上的两个定点，且AB=10，l1，l2的距离为8，P为直线l2上的一个动点，试求△ABP周长的最小值．
5．如果矩形ABCD的周长为40厘米，那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米？。