14.1.4.2整式的乘法 单乘多
人教版数学八年级上册14.1.4.2 《多项式乘多项式》教案
人教版数学八年级上册14.1.4.2 《多项式乘多项式》教案一. 教材分析《多项式乘多项式》是人教版数学八年级上册第14章的一部分，主要目的是让学生掌握多项式乘以多项式的运算法则。
本节课是在学生已经掌握了整式的乘法、单项式乘以多项式的基础上进行学习的，对于学生来说，这是一个由浅入深的过程。
教材通过具体的例子，引导学生探究多项式乘以多项式的规律，进而总结出运算法则。
二. 学情分析学生在进入八年级之前，已经学习过了整式的乘法和单项式乘以多项式，对于这部分知识有了一定的了解。
但是，多项式乘以多项式的运算规则较为复杂，需要学生通过实际的例题，去探究和理解。
此外，学生对于新知识的接受能力不同，有的学生可能需要更多的引导和帮助。
三. 教学目标1.让学生掌握多项式乘以多项式的运算法则。
2.培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.提高学生的数学逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握多项式乘以多项式的运算法则。
2.教学难点：理解多项式乘以多项式的过程中，各项的系数和指数的变化规律。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考；通过具体的案例，让学生理解和掌握运算法则；通过小组合作学习，培养学生之间的沟通和合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾整式的乘法和单项式乘以多项式的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示几个多项式乘以多项式的案例，让学生观察和分析，引导学生发现其中的规律。
3.操练（20分钟）让学生通过计算，进一步理解和掌握多项式乘以多项式的运算法则。
在这个过程中，教师应及时给予指导和帮助，确保学生能够正确地完成练习。
4.巩固（15分钟）通过一些具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：多项式乘以多项式的运算法则能否推广到更高次的多项式？让学生进行一些拓展性的思考。
14.1.4整式的乘法(单乘多) 说课稿-2022-2023学年人教版八年级数学上册
14.1.4整式的乘法（单乘多）说课稿-2022-2023学年人教版八年级数学上册一、教材分析本节课主要讲述的是整式的乘法中的单项式与多项式相乘的方法和规律。
通过本节课的学习，学生将进一步巩固和拓展他们对整式的认识和理解，掌握单乘多的运算方法，提高他们的综合运算能力。
本节课的教学内容涉及了整式的乘法运算。
在此之前，学生已经学习了整式的定义、加法、减法以及加法的运算规律。
本节课将进一步延伸整式的运算，引入了整式的乘法，并着重讲解了单项式与多项式相乘的方法和规律。
二、教学目标1.知识与技能–掌握单项式与多项式相乘的基本运算方法；–能够按照要求将单项式与多项式相乘并化简。
2.过程与方法–培养学生逻辑思维能力，培养分析和解决问题的能力；–引导学生通过实例探索，激发学生的求知欲和学习兴趣。
3.情感、态度与价值观–培养学生对数学的兴趣和好奇心；–培养学生良好的学习态度和积极的学习思维。
三、教学重点1.掌握单项式与多项式相乘的基本运算方法；2.能够按照要求将单项式与多项式相乘并化简。
四、教学难点1.运用单项式与多项式相乘的方法解决实际问题；2.运用乘法的性质进行化简运算。
五、教学过程1. 导入新课通过短暂的复习，回忆并巩固上节课学到的概念和知识。
利用一些简单的问题或练习，激发学生对整式乘法的兴趣，并引出本节课要学习的内容。
2. 引入新知识步骤1：引导学生思考单项式与多项式相乘的方法。
通过一个简单的例子，让学生观察并总结出单项式与多项式相乘的规律。
例如：计算 2x(3x+5)。
步骤2：总结整式的乘法法则。
引导学生观察和总结，整理出整式的乘法法则。
•单项式与单项式相乘：乘法的幂相加，底数不变。
•单项式与多项式相乘：将多项式中的每一项与单项式相乘，再将乘积相加。
•多项式与多项式相乘：将第一个多项式中的每一项与第二个多项式中的每一项相乘，再将乘积相加。
3. 讲解示范通过多个例子向学生演示整式的乘法运算和化简。
示例1：计算并化简：(2a-3b)(4a+5b)。
人教版八年级数学上册作业课件 第十四章 整式的乘法与因式分解 整式的乘法 第2课时 单项式乘以多项式
7．(3分)(易错题)要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2 ＋5x＋4成立，则a，b的值分别 为( C )
A．a＝－2，b＝－2 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝－2 D．a＝－2，b＝2 8．(3分)已知单项式M，N满足3x(M－5x)＝6x2y2＋N， 则MN＝_____－__3_0_x_3_y_2_______．
人教版
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.4 整式的乘法 第2课时 单项式乘以多项式
单项式乘多项式法则
1．(3 分)填空：3m(3m2－13 m)＝3m·__3_m_2_____＋3m·_(－__13___m_)___ ＝_____9_m__3_－__m_2____．
2．(3分)(柳州中考)计算：x(x2－1)＝( B ) A．x3－1 B．x3－x C．x3＋x D．x2－x 3．(3分)下列各题计算正确的是( D ) A．(ab－1)(－4ab2)＝－4a2b3－4ab2 B．(3x2＋xy－y2)·3x2＝9x4＋3x3y－y2 C．(－3a)(a2－2a＋1)＝－3a3＋6a2 D．(－2x)(3x2－4x－2)＝－6x3＋8x2＋4x
10．(8 分)先化简，再求值：(－13 xy)2·[xy(2x－y)－2x(xy－y2)]，其 中 x＝－112 ，y＝－2. 解：原式＝19 x2y2·(2x2y－xy2－2x2y＋2xy2) ＝19 x2y2·xy2＝19 x3y4.当 x＝－112 ，y＝－2 时， 原式＝19 ×(－112 )3×(－2)4＝－6
【素养提升】 11．(8 分)某同学在计算一个多项式乘以－3x2 时，算成了加上－3x2， 得到的答案是 x2－12 x＋1，那么正确的计算结果是多少？
14.1.4整式的乘法--单项式乘以单项式(教案)
今天的教学中，我发现学生们在理解单项式乘法的概念和运算法则上存在一些困难。尤其是在处理含有多个字母的乘法时，有些同学容易混淆指数的相加规则。这让我意识到，需要通过更多具体的例子和直观的演示来帮助他们巩固这部分知识。
在讲授过程中，我尽量使用了生动的语言和实际情境来解释抽象的数学概念，比如通过计算长方体的体积来展示单项式乘法的应用。这样的做法似乎能够让学生们更好地理解数学知识在实际生活中的重要性。
2.抽象思维和逻辑推理能力：培养学生从具体实例中提炼规律，形成抽象概念，并能运用逻辑推理进行问题求解。
3.数学建模能力：使学生能够运用所学知识解决实际生活中的问题，如几何图形的面积、体积计算等，增强数学应用的意识。
4.合作交流能力：通过小组讨论、互助学习，培养学生与人合作、沟通的能力，提高解决问题的效率。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“单项式乘法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《整式的乘法--单项式乘以单项式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”比如，计算一块长方形的面积，这就涉及到了单项式的乘法。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索单项式乘法的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
14.1.4 整式的乘法 第2课时 单项式与多项式相乘
则 a 的值为( A )
A. －3
B. －
C. 0
D. 3
解析：( x2＋ ax ＋5)·(－2 x )－6 x2＝－2 x3－2 ax2－10 x －6 x2＝－2 x3＋(－2 a －6) x2－10 x .∵结果中不含有 x2项，∴－2 a －6＝0，∴ a ＝－3. 10.1若( x2－ a ) x ＋2 x 的展开式中只含有 x3这一项，则 a 的值是 2 .
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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16.
真实问题情境 (1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个
卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为
每平方米 a 元，那么购买地砖至少需要多少元？ 解：由题意知，两个卧室以外的部分面积为3 y · y ＋2 y ·(3 x － x － y )
y ＋2 024 xy ＝ x2－ y ＝2.
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12. (教材P106习题T12改编)一块长方形铁皮的长为(5 a2＋4 b2)米，宽为6 a2米，在它 的四个角上都剪去一个边长为 a2米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，则盒子 的表面积为 (26 a4＋24 a2 b2) 平方米.
(3)若 a ＝2，当 b 的取值分别是4和6时，阴影部分的面积是否会发生变化？请说明 理由.
14.1.4整式的乘法-单项式乘以多项式
课题：14.1.4单项式乘以多项式一、教材分析：（一）学习目标：⒈掌握单项式与多项式相乘的法则，知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式.⒉会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算.⒊通过例题教学，培养灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.（二）学习重点和难点：重点：掌握单项式乘以多项式的法则难点：熟练地运用法则，准确地进行计算（三）学习方法：操作，归纳.二、问题导读单：⒈复习巩固⑴单项式与单项式相乘的法则?⑵完成下列各题。
①=-∙)4(22xy x ；②=-∙-)3()2(2xy x ；③=∙-)32()21(2ab ab ；④写出多项式122--x x 的项 ⑤=+-⨯)654332(12 = = ⒉在)654332(12+-⨯中，用什么样的方法较简单? ⒊代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，如何计算)(c b a m ++.⒋你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?⒌单项式与多项式相乘的法则:单项式乘以多项式,就是 .三、问题训练单：⒈计算⑴)13()4(2+∙-x x ⑵ab ab ab 21)232(2∙-⑶)(5)21(22222ab b a a b ab a --+- ⑷)2(6)2(23332x x x x x ++-⒉先化简再求值 ⑴21),1(3)3()3(222=----++x x x x x x x x 其中⑵已知22-=xy ,求)53(5273y y x y x xy ---的值.练习)293)(32()12(23222323b a a b a ab b a ----,其中3,31-==b a。
14.1 整式的乘法
第十四章整式的乘法与因式分解教材分析本章主要包括整式的乘法、乘法公式和因式分解等知识．整式的乘法运算和因式分解是基本且重要的代数初步知识，这些知识是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义．同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其科学技术不可缺少的数学基础知识．整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分，是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的．幂的运算性质（即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方）是整式乘法的基础，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义．整式的乘法首先是单项式与单项式相乘，它是进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提．乘法公式是整式乘法的特殊情形，教科书在第一小节安排了平方差公式的教学．最后，举例说明运用平方差公式进行有关的计算．第二小节引进了乘法的完全平方公式和添括号法则．因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等．教学目标1．掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2．会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算．3．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算．4．理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解．课时安排14.1 整式的乘法6课时14.2 乘法公式3课时14.3 因式分解3课时小结2课时14.1 整式的乘法教学目标1．掌握正整数幂的乘、除运算性质，2．能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．3．掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则及其几何含义．4．运用单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则进行运算．教学重点1．正确理解同底数幂的乘法法则．2．准确掌握幂的乘方法则及其应用．3．准确掌握积的乘方的运算性质．4．准确运用法则进行计算，单项式与多项式乘法法则及其应用，多项式乘法法则．教学难点1．正确理解和运用同底数幂的乘法法则．2．同底数幂的乘法和幂的乘方的综合运用．3．用数学语言概括运算性质．4．灵活运用已有知识解决问题，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定，利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则．课时安排6课时．教案A第1课时教学内容同底数幂的乘法．教学过程 一、导入新课二、探究新知1．同底数幂乘法公式问题1 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？分析：它工作103 s 可进行运算的次数为1015×103，怎样计算1015×103呢？ 列式： 你能写出运算结果吗？ ． 教师引导学生探究规律，并写出计算过程．探究：根据乘法的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律吗？（1）23×24＝2（ ）．（2）53×54＝5（ ）．（3）a 3×a 4＝a （ ）．通过以上多个式子的计算过程，我们猜想：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，N ，因此，我们有同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 都是正整数）． 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．提示：①同底数幂是指底数相同的幂．如(－3)2与(－3)5，(ab 3)2与(ab 3)5，(x －y )2与(x －y )3 等．②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边得到一个幂，且底数不变，指数相加．2．公式的应用 例1 计算：（1）x 2·x 5 （2）a ·a 6； （3）(－2)×(－2)4×(－2)3； （4）x m ·x 3m ＋1． 提示：不要忽视指数为1的因数，如（2）． 注意：以上是公式的正用，公式也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．如：25＝23×22＝2×24等．练习 已知a m ＝3，a n ＝8，求a n ＋m 的值．让学生把a m ＋n 改写成a m ·a n 的形式，再带入已知完成此题．a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×8＝24．三、课堂小结1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式．3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．四、布置作业习题14.1.1第（1）（2）题．第2课时教学内容幂的乘方．教学过程一、导入新课我们知道：a·a·a·a·a＝a5，那么类似地a5·a5·a5·a5·a5能否写成(a5)5，(a5)5是一种什么形式？二、探究新知1．幂的乘方探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）(32)3＝32×32×32＝3（）；（2）(a2)3＝a2·a2·a2＝a（）；（3）(a m)3＝a m·a m·a m＝a（）（m是正整数）．通过以上多个式子的计算过程，我们猜想：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有：(a m)n＝a mn（m、n都是正整数）．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：同底数幂的乘法与幂的乘方的区别：相同点都是底数不变；不同点，前者是指数相加，后者是指数相乘．2．公式的应用例2 计算：（1）(103)5；（2）(a4)4；（3）(a m)2；（4）－(x4)3．让学生完成例题的解答．练习已知x2n＝3，求(x3n)2求的值？参考答案：27三、课堂小结1．理解幂的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算．2．会双向运用幂的乘方运算法则．四、总结扩展同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：四、布置作业习题14.1 第1题．第3课时教学内容积的乘方．教学过程一、导入新课问题已知一个正方体的棱长为2×103cm，•你能计算出它的体积是多少吗？经学生讨论可得正方体的体积应是V＝(2×103)3cm3．这个结果是幂的乘方形式吗？从总体来看，底数是．因此（2×103）3应该理解为．如何计算呢？二、探究新知1．积的乘方探究：填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？（1）(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2；（2）(ab)3＝＝＝a（）b（）；（3）(ab)4＝＝＝a（）b（）；（4）(ab)n＝＝＝a（）b（）（其中n是正整数）．学生通过计算，观察结果之后，找出规律．师生共同总结得出积的乘方法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，因此，我们有(ab)n＝a n b n（n为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．利用此公式完成本节课的第一个问题（正方体的体积）．教师指出对于三个或三个以上的积的乘方，如(abc)n照样能利用上述公式．即(abc)n＝a n b n c n．2．公式的应用例3 计算:（1）(2b)3；（2）(－5b)3；（3）(xy2)2；（4）(－2x2)4．提示：要注意结果的符号；要注意积中的每一项都要进行乘方，不要掉项．练习：（1）(2×a3)2；（2）(－a)3．参考答案：（1）4a6（2）－a3教师指出以上是公式的正用，对于此公式还可逆用：a n b n＝(ab)n ．三、课堂小结1．理解积的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算．2．会双向运用幂的乘方运算法则．四、布置作业习题14.1 第2题．第4课时教学内容单项式乘以单项式、单项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课问题2 光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？根据已知条件，我们很容易知道地球与太阳的距离约是：(3×105)×(5×102) km．二、探究新知1．单项式与单项式相乘思考：（1）怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac 5·bc 2，怎样计算这个式子？ 师生合作，通过讨论、观察结果之后，找出规律．ac 5·bc 2是单项式ac 5与bc 2相乘，我们可以利用乘法交换率、结合率及同底数幂的运算性质来计算：ac 5·bc 2＝(a ·b )·(c 5·c 2)＝abc 5＋2＝abc 7． 最后总结得出单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．公式的应用 例4 计算：（1）(－5a 2b )·(－3 a )； （2）(2 x )3·(－5xy 2)． 让学生完成例题的解答． 教师可适当指导．提示：①先把各因式的系数相乘，作为积的系数；②把各因式的字母相乘，底数不变，指数相加；③只在一个因式里出现的字母，连同它的系数作为积的一个因式．3．单项式相乘公式的几何意义因为边长是 a 的正方形的面积是a ·a ，反过来说，a ·a 也可以看作是边长为a 的正方形的面积．让学生思考3a ·2a 的几何意义．4．单项式与多项式相乘问题 有3家连锁店以相同价格p (单位：元/瓶)销售某种商品，他们在一个月内的销售量(单位：瓶)分别是a ，b ，c ，•请你采用不同的方法计算他们在一个月内销售这种商品的总收入．让学生独立思考，寻求不同的表示方法．可得出以下方法：方法一：首先计算出这3家连锁店销售这种产品的总量（单位：瓶），•再计算出总的收入（单位：元）．即p (a ＋b ＋c )．方法二：采用分别计算出家连锁店销售这种产品的收入，•然后再计算出他们的总收入（单位：元）．即p a ＋p b ＋p c ．由此可得p (a ＋b ＋c )＝p a ＋p b ＋p c ．教师引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．5．公式的应用 例5 计算（1）(－4x 2)(3x ＋1) ； （2）(32ab 2－2ab )·21ab ． 教师让学生完成例题的解答．提示：单项式与多项式相乘，应注意“符号”与“不漏乘”．三、课堂小结1．理解并经历探索单项式乘以单项式法则的过程．2．熟练应用单项式乘以单项式的法则解决问题．3．理解并经历探索单项式乘以多项式法则的过程．4．熟练应用单项式乘以多项式的法则解决问题．四、布置作业习题14.1第3、4题．第5课时教学内容多项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课问题如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块Array原长aｍ、宽pｍ的长方形绿地，加长了bｍ，加宽了qｍ．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？二、探究新知1．多项式与多项式相乘法则教师引导学生通过图形完成扩大后长方形绿地面积的计算．（1）扩大后的绿地可以看成长为(a＋b)ｍ，宽为(p＋q)ｍ的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m2）为(a＋b) (p＋q)．（2）扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积（单位：m2）为ap＋aq＋bp＋bq．因此(a＋b) (p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq．上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法．一般地：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即例6 计算：（1）(3x＋1) (x＋2)；（2）(x－8y) (x－y)；（3）(x＋y) (x2－xy＋y2)．教师让学生完成例题的解答．提示：①解题前先确定多项式的每一项；②防止漏乘；③注意符号问题；④同类项需要合并；⑤最后结果应化成最简形式．练习：小明在计算(2x＋3)(3x＋2)－6x(x＋3)＋5x＋16的值时，把x＝－666错抄成x ＝666，但他的结果也正确，这是为什么？教师让学生完成例题的解答，及时点评．提示:化简后得到值为22，与字母x的值无关，所以他的结果也正确．三、课堂小结1．理解并经历探索多项式乘以多项式法则的过程．2．熟练应用多项式乘以多项式的法则解决问题．四、布置作业习题14.1第5题．第6课时教学内容整式的除法．教学过程一、导入新课复习前几节内容，导入新课的教学．二、探究新知1．同底数幂除法让学生计算a m÷a n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．教师及时点评学生的过程，并出示标准步骤：∵a m－n·a n＝a(m－n)＋n＝a m，∴a m÷a n＝a m－n．一般地，我们有a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．让学生思考为什么a≠0？教师指出当被除式的指数等于除式的指数时：如果根据这条性质计算a m÷a n结果是多少？如果根据除法意义计算a m÷a n结果是多少？于是规定a0＝1（a≠0）．这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．教师指导学生完成教材例7的解答．2．单项式除以单项式让学生思考如何计算12a3b2x3÷3ab2．学生完成后，教师及时点评，同时总结规律．∵4a2x3·3ab2＝12a3b2x3，∴12a3b2x3÷3ab2＝4a2x3．一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．3．多项式除以单项式请同学们观察(am＋bm)÷m算式，它是我们学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们学过的算式有什么不一样的特点．提示：要求一个多项式，使它与m的积是(am＋bm)．你知道这个多项式是什么吗？学生完成(am＋bm)÷m的解答，并总结规律．多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．三、课堂小结1．记住整式相除的法则．2．会熟练应用整式相除的法则解决问题．四、布置作业习题14.1第6题．教案B第1课时教学内容同底数幂乘法公式．教学过程一、创设情境，导入新课问题1一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？问题2 光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年，一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？我们观察1015×103可以发现1015、103这两个因数是同底的幂的形式，所以1015×103我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，1015×107也是同底数幂的乘法．由问题1和问题2不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法．二、师生合作，探究新知学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质．1．做一做计算下列各式：（1）102×103；（2）105×108；（3）10m×10n(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述．（4）2m×2n等于多少？(m，n都是正整数)．我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议a m·a n等于多少(m，n都是正整数)？为什么？师生共析：a,m·a n表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得即有a m·a n＝a m+n(m，n都是正整数)．用语言来描述此性质，即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．三、例题讲解1．例1 计算：（1）x2·x5 （2）a·a6；（3）(－2)×(－2)4×(－2)3；（4）x m·x3m＋1．教师让学生计算，必要时可适当指导．2．计算：（1）52×57；（2）7×73×72；（3）－x2·x3；（4）(－c)3·(－c)m．解：（1）52×57＝59；（2）7×73×72＝71+3+2＝76；（3）－x2·x3＝－(x2·x3)＝－x5；（4）(－c)3·(－c)m＝(－c)3+m．四、课堂小结师：这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？生：在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．生：同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加．即a m·a n＝a m+n(m、n是正整数)．第2课时教学内容幂的乘方．教学过程一、导入新课1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?2．计算：（1）a4·a4·a4；（2）x3·x3·x3·x3．3．你会计算(a4)3与(x3)5吗?由第1题得出幂的乘方的课题，第2题是复习同底数幂的乘法，第3题既是复习又是引入．对于第3题应着重让学生讨论．二、新课教学1．x3表示什么意义?2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示什么意义?3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式?4．由此你会计算(a4)5吗?5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空．（1）(23)2＝23×23＝2( )；（2）(32)3＝( )×( )×( )＝3( )；（3）(a3)5＝a3×( )×( )×( )×( )＝a()．6．用同样的方法计算：(a3)4；(a11)9；(b3)n(n为正整数)．7．思考：（1）(23)2＝23×2＝26；（2）(32)3＝32×3＝36；（3）(a11)9＝a11×9＝a99；（4）(b3)n＝b3×n＝b3n．观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系？怎样说明你的猜想是正确的?一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有：(a m)n＝a mn（m、n都是正整数）．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．三、巩固应用1．例1 计算：（1）x2·x5 （2）a·a6；（3）(－2)×(－2)4×(－2)3；（4）x m·x3m＋1．教师指导学生完成此例题，必要时教师可示范解题步骤．2．练习：下列计算过程是否正确?（1）x2·x6·x3＋x5·x4·x＝x ll＋x10＝x2l．（2）(x4)2＋(x5)3＝x8＋x15＝x23．（3）a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8．（4）(a2)3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6．说明：①要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错．②进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系．五、课堂小结1．(a m)n＝a mn（m、n都是正整数），这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数．2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别．在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆．并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯．第3课时教学内容积的乘方．教学过程一、导入新课复习回顾幂的乘方的运算性质，导入新课的教学．二、新课教学1．积的乘方活动：计算下列各题．（1）23×53；（2）28×58；（3）212×512.学生相互交流讨论，可能有多种做法，对于（1）：①原式＝(2×2×2)×(5×5×5)＝8×125＝1000．②原式＝(2×2×2)×(5×5×5)＝(2×5)×(2×5)×(2×5)＝10×10×10＝1000．③原式＝(2×2×2)×(5×5×5)＝(2×5)×(2×5)×(2×5)＝(2×5)3＝1000．说明第一步的理由，对于（2）（3）可类似解决．探究：填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？（1）(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2；（2）(ab)3＝＝＝a（）b（）；一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，因此，我们有(ab)n＝a n b n（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．三、应用提高1．例3 计算:（1）(2b)3；（2）(－5b)3；（3）(xy2)2；（4）(－2x2)4．2．计算：（1）(－3xy)2；（2）(4b3)m强调：对于3个或3个以上的因式，运算性质同样适用，但要注意运算顺序，先算积的乘方，再算幂的乘方．四、课堂小结归纳积的乘方的运算性质及其应用．第4课时教学内容单项式乘以单项式、单项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课什么是单项式？什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？我们已经学习了幂的运算性质，在这个基础上我们可以学习整式的乘法运算．先来学最简单的整式乘法，即单项式之间的乘法运算．二、新课教学1．单项式乘以单项式问题光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？思考：（1）怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？通过思考、计算，我们可以发现：ac5·bc2是单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换率、结合率及同底数幂的运算性质来计算：ac5·bc2＝(a·b)·(c5·c2)＝abc5＋2＝abc7．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．单项式与多项式相乘问题为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长pｍ，宽bｍ的长方形绿地，向两边分别加宽aｍ和cｍ，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？方法一：先先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即为p (a＋b＋c)．①方法二：先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即为p a＋p b＋p c．②由于①②表示同一个数量，所以p (a＋b＋c)＝p a＋p b＋p c．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．三、实例探究例4 计算：（1）(－5a2b)·(－3 a)；（2）(2 x)3·(－5xy2)．例5 计算（1）(－4x 2)(3x ＋1) ；（2）(32ab 2－2ab )·21ab ． 教师指导学生完成例题的解答，最后明确解题步骤．四、课堂小结复习本节内容，巩固所学知识．第5课时教学内容多项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课关于整式的乘法有哪些情况呢？根据我们讲过的有单项式和单项式相乘，单项式乘多项式，余下的是多项式与多项式的乘法，可以想象，多项式乘多项式是一个复杂问题，也是一个重要问题，现在我们来学习多项式与多项式相乘．二、新课教学问题 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a ｍ、宽p ｍ 的长方形绿地，加长了b ｍ，加宽了q ｍ．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？方法一：扩大后的绿地可以看成长为(a ＋b )ｍ，宽为(p ＋q )ｍ 的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m 2）为(a ＋b ) (p ＋q )．方法二：扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积（单位：M 2）为ap ＋aq ＋bp ＋bq ．因此 (a ＋b ) (p ＋q )＝ap ＋aq ＋bp ＋bq ．一般地：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即三、应用提高例6 计算：（1）(3x ＋1) (x ＋2)； （2）(x －8y ) (x －y )；（3）(x ＋y ) (x 2－xy ＋y 2)．教师指导学生完成例题的解答，最后明确解题步骤．结合例题讲解，提醒学生在解题时要注意：①解题书写和格式的规范性；②注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；③注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏．四、课堂小结启发引导学生归纳本节所学的内容：1．多项式的乘法法则：(a＋b) (p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq．2．解题步骤．3．解题注意事项．第6课时教学内容整式的除法．教学过程一、导入新课我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算，在整式运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况，今天我们就学习整式的除法．．二、新课教学整式的除法有以下几种情况．1．同底数幂除法a m÷a n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．步骤：∵a m－n·a n＝a(m－n)＋n＝a m，∴a m÷a n＝a m－n．一般地，我们有a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．特殊地a0＝1（a≠0）．这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．2．单项式除以单项式计算12a3b2x3÷3ab2．∵4a2x3·3ab2＝12a3b2x3，∴12a3b2x3÷3ab2＝4a2x3．一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．3．多项式除以单项式(am＋bm)÷m．∵(a＋b)m＝am＋bm，∴(am＋bm)÷m＝a＋b．又am÷m＋bm÷m＝a＋b．∴(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m．一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．三、应用巩固例7 计算：（1）x8÷x2；（2）(ab)5÷(ab)2．解：（1）x8÷x2＝x8-2＝x6；（2）(ab)5÷(ab)2＝(ab)5-3＝(ab)3＝a3b3．例8 计算：（1）28x4y2÷7x3y；（2）－5a5b3c÷15a4b；（3）(12a3－6a2＋3a)÷3a．教师指导学生计算，完成后明确解题步骤．四、课堂小结复习本节内容，巩固所学知识．。
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解4 第2课时 多项式与多项式相乘
例4 已知等式 (x + a)(x + b) = x2 + mx + 28，其中 a、b、
m 均为正整数，你认为 m 可取哪些值？它与 a、b 的取
值有关吗？请写出所有满足题意的 m 的值. 解：由题意可得 a + b = m，ab = 28.
6. 计算求值：(4x + 3y)(4x－3y) + (2x + y)(3x－5y)，其中 x = 1，y =－2. 解：原式 =16x2 12xy 12xy 9 y2 6x2 10xy 3xy 5y2
22x2 7xy 14 y2. 当 x = 1，y = －2 时， 原式 = 22×12－7×1×(－2)－14×(－2)2
多项式乘 多项式
运算 法则
注意
多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 实质上是先转化为单项式×多项式, 进而转化为单项式×单项式的运算
不要漏乘；正确确定各项符号；结 果要最简
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－ 12
多项式乘多项式
互动探究
问题1 某地区在退耕 b 还林期间，有一块原长
m 米，宽为 a 米的长方 形林区增长了 n 米，加 a
宽了 b 米，请你表示这
块林区现在的面积.
m
n
你能用不同的形式表示所求的面积吗？
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八年级数学第14章教案
科目数学教师王超班级8.7/8.8 课题单项式与多项式相乘课型新授课时1课时
教学目标
知识
1理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导过程，熟练运用法则进
行单项式与多项式的乘法计算；
能力使学生认识到单项式（0除外）与多项式相乘，所得的仍是多项式，并且新多项式的项数与原多项式相同。
情感价值观
通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能
力。
掌握单项式乘以多项式的法则。
熟练地运用法则，准确地进行
计算。
教学重点准确运用法则进行计算，单项式与多项式乘法法则及其应用。
教学难点灵活运用已有知识解决问题，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定，利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则。
教学方法讲授法、练习法
教具准备Ppt
教学过程
引入新课（一）导入新课
复习：（1）叙述单项式乘法法则；
（2）说出多项式2
231
x x
+-的项和各项系数。
（二）计算：⑴2
63
x xy
⋅⑵()()
2
23
ab ab
-
⑶()
2
321
x x x
⋅-+⑷2
1
231
2
a a
b b
⎛⎫
-⋅+-
⎪
⎝⎭
随笔与反思
讲授新课一、简便计算：
531531
363636361
946946
⎛⎫
⨯-+=⨯-⨯+⨯=-
⎪
⎝⎭
引申：计算()
m a b c
++，其中m、a、b、c都是单项式，因
为式中字母都表示数，故分配律对代数式也适用，则
随笔与反思
()m a b c ++ma mb mc =++
引导学生用学过的长方形面积知识加以验证，把宽为m ，长分别是a 、b 、c 的三个小长方形拼成大长方形，研究图形面积的整体与部分关系。
由该等式，你能说出单项式与多项式相乘的法则吗？
单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例1 计算：⑴()()
2
4231x x x -⋅+-
⑵221232
ab ab ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭
说明：计算按课本，讲解时，要紧扣法则：①用单项式乘多项式的各项，不要漏乘.②要注意符号，多项式的每一项包括它前面的符号.③“把所得的积相加”时，不要忘记加上加号. 例2 化简：()2
2221252a ab b a a b ab ⎛⎫
-⋅+-- ⎪⎝⎭
化简时注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项. 练习：错例辨析 ⑴
()22
2362ab a b a b ab --=-- ⑵
()()()23242142a a a a a a ---=-
说明：⑴犯了符号错误，2ab -与b -相乘得2
2ab ，故正确答案
为22
62a b ab -+.⑵错在单项式与多项式的每一项相乘之后没有添上加号，故正确答案为3
2
42a a a -++.
课 堂 练 习
（一）判断题
1．－2x·（3xy －2x 2y ）=－6x 2y+4x 3y （ ） 2．－a （3a －a 2－2）=－3a 2+a 3－2 （ ）
3．（－2xy 2）（－2xy －xyz+3）=4x 2y 3－2x 2y 3z+6xy 2 （ ） 4．x （x+y ）－y （x+y ）=x 2－y 2 （ ）
5．x 3－2x （3x －2y+5z ）=x 3－6x 2+4xy －10xz （ ） 6．x n+1（x 2n +x n －
1+1）=x 3n+1+x 2n +x n+1 （ ）
（二）、填空题
7．3x （5x －6y ）=________ 8．（3xy 2－5x 2y ）·（－ xy ）=______ 9．a n ·（a m －a 2－1）=________ 10．（－2.4x 2y 3）·（－0.5x 4）=________
11．（3×105）（2×106）－3×102·（103）3=________
（三）、选择题
12．－5x·（2x 2－x+3）的计算结果是（ ）． A ．－10x 3+5x 2－15x B ．－10x 3－5x 2+15x C ．10x 3－5x 2－15x D ．－10x 3+5x 2－3 13．下列各式计算中，正确的是（ ）． A ．（2x 2－3xy －1）（－ x 2）=x 4－ x 3y+ x 2 B ．（－x ）（x －x 2+1）=－x 2+x 3+1 C ．（ x n －
1－ xy ）·xy= x n y －x 2y 2
D ．（5xy ）2·（－x 2－1）=－5x 2y 2－5x 2y 2 14．计算0.1254×（－8）5的结果是（ ）． A ．8 B ．－8 C ．16 D ．－16
随笔与反思
课
⑴由学生叙述单项式（0除外）与多项式相乘法则，并回答积仍
随笔与反思
堂小结是多项式，积的项数与多项式因式的项数相同。
⑵考点剖析：单项式乘以多项式这一知识点在考试卷中都是以与其他知识综合命题的形式考查的。
但它是多项式乘法、因式分解、分式通分、解分式方程等知识的重要基础.故必须掌握好。
拓展探究某商家为了给新产品作宣传，向全社会征集广告用语及商标图
案，结果下图商标（图中阴影部分）中标，求此商标图案的面积。
随笔与反思
课后作业新目标检测75页
随笔与反思板书设计随笔与反思。