整式的乘法-乘法公式
整式的乘法和乘法公式复习课课件
• 整式的乘法复习 • 乘法公式复习 • 整式的乘法与乘法公式的应用 • 整式的乘法和乘法公式的注意事项 • 练习与巩固
01
整式的乘法复习
单项式乘单项式
总结词
直接相乘，系数相乘，同底数幂 相乘。
详细描述
单项式与单项式相乘时，只需将 它们的系数相乘，并将相同的字 母的幂相加。例如，$2x^3y$与 $3xy^2$相乘得到$6x^4y^3$。
提高练习题
提高练习题1
计算 (x + y)^2(x - y)^2。
提高练习题2
化简 (a^2 - b^2) / (a^2 + ab + b^2)。
提高练习题3
求 (a^2 + 2ab + b^2) / (a^2 - b^2) 的值。
综合练习题
1 2
综合练习题1
计算 ((x + y)(x - y))^2。
VS
公式范围
整式的乘法公式有一定的适用范围，如完 全平方公式适用于任意实数a、b的情况； 平方差公式适用于任意实数a、b（a≠b） 的情况等。
公式推导和证明方法
推导方法
整式的乘法公式可以通过基本的运算法则进 行推导，如通过同底数幂的乘法法则推导出 幂的乘方公式；通过单项式乘以多项式的法 则推导出分配律等。
02
乘法公式复习
平方差公式
总结词
理解平方差公式的结构特点
总结词
掌握平方差公式的应用
详细描述
平方差公式是整式乘法中的重要公式之一，表示 两个平方数的差等于它们的线性组合的平方。这 个公式在代数和几何中都有广泛的应用，是解决 数学问题的关键工具。
详细描述
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的乘法公式与因式分解方法
整式的乘法公式与因式分解方法整式是由数、字母和运算符号（仅限于加法、减法、乘法和乘方）组成的代数表达式。
在代数学中，整式的乘法公式和因式分解是非常重要的概念和方法。
一、整式的乘法公式在解决整式的乘法运算时，乘法公式起到了关键的作用，它能够帮助我们简化计算过程，提高效率。
1. 二项式的乘法公式二项式的乘法公式是指两个二项式相乘时的简化方法。
设有两个二项式$(a + b)$和$(c + d)$，它们的乘积可以通过使用FOIL法则来计算。
FOIL法则指的是先相乘、外乘再相加、内乘再相加、最后相加的步骤。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积：首先，先相乘：$2x \cdot 4x = 8x^2$；然后，外乘再相加：$2x \cdot 5 + 3 \cdot 4x = 10x + 12x = 22x$；接着，内乘再相加：$3 \cdot 5 = 15$；最后，相加结果：$8x^2 + 22x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积为$8x^2 + 22x + 15$。
2. 三项式的乘法公式三项式的乘法公式是指两个三项式相乘时的简化方法。
与二项式的乘法公式类似，计算过程同样采用FOIL法则。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积：首先，先计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积，结果为$8x^2 + 22x + 15$；然后，再乘以$(x + 1)$，使用FOIL法则，计算过程如下：一次相乘：$(8x^2 + 22x + 15)(x) = 8x^3 + 22x^2 + 15x$；外乘再相加：$(8x^2 + 22x + 15)(1) + (8x^3 + 22x^2 + 15x) = 8x^2 + 22x + 15 + 8x^3 + 22x^2 + 15x = 8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积为$8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
七年级下册数学整式的乘除
七年级下册数学整式的乘除整式的乘法：包括（单项式）与（单项式）相乘；(单项式)与（多项式）相乘；（多项式）与（多项式）相乘。
单项式与单项式相乘的运算法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
整式乘除法法则：1、同底数的幂相乘：法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：a m .a n =a m+n （其中m 、n 为正整数）2、幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示：（a m ）n =a mn （其中m 、n 为正整数）3、积的乘方：法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（即等于积中各因式乘方的积。
）数学符号表示：（ab ）n =a n b n （其中n 为正整数）4、同底数的幂除法：法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
数学符号表示：a m ÷a n =n -m a （其中m 、n 为正整数，a ≠0）5、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
6、单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
7、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
疑难点解析：例题：1.（1）2--）（a a ⋅注意：①a -的指数是1，不是0；②由同底数幂相乘的法则知，能运用它的前提必须是“同底”，注意最后结果中的底数不能带负号，如3)(x -不是最后结果，应写成3x -才是最后结果。
例题：2.)()(232x x x -⋅⋅-注意：区别2)(x -与)(2x -的不同，222)(x x x =⋅-，而221x x ⋅-=-对应练习：n x -与n x )(-的关系正确的是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．当n 为奇数时它们互为相反数，当n 为偶数时它们相等D ．当n 为奇数时它们相等，当n 为偶数时它们互为相反数例题：3.已知3,2==n n y x ，求n y x 22)(的值。
整式的乘法公式
整式的乘法公式整式的乘法公式是数学中的重要概念，它可以帮助我们快速、准确地进行整式的乘法运算。
在本文中，我将详细介绍整式的乘法公式及其应用。
一、整式的乘法公式整式是由常数和变量的乘积以及它们之间的加减运算所构成的代数式。
在乘法运算中，可以利用整式的乘法公式来简化计算。
整式的乘法公式包括以下几条：1. 乘法分配律：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：a(b+c) = ab + ac(b+c)a = ba + ca这条乘法分配律的应用非常广泛，它可以用于加法和乘法的结合。
例如，对于整式3(x+2)，根据乘法分配律，我们可以得到：3(x+2) = 3x + 62. 平方差公式：对于任意的整式a和b，有如下公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2这条平方差公式在整式乘法中十分常用，可以用来求平方差的计算。
例如，对于整式(x+3)(x-4)，根据平方差公式，我们可以得到：(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 123. 三角形式乘法公式：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+bc+ca)(a+b+c) - abc这条三角形式乘法公式常用于多项式的乘法运算。
例如，对于整式(x+1)(x+2)(x+3)，根据三角形式乘法公式，我们可以得到：(x+1)(x+2)(x+3) = (x^2+3x+x+2)(x+3) - (x+1)(x+2)(x+3) =(x^2+4x+2)(x+3) - (x^2+3x)(x+3) = x^3 + 6x^2 +11x + 6二、整式的乘法公式的应用整式的乘法公式在代数学中有着广泛的应用。
下面我将通过实际例子来说明整式的乘法公式的应用。
例题1：计算(2x+3)(x+1)。
根据乘法分配律，我们可以按照以下步骤进行计算：(2x+3)(x+1) = 2x(x+1) + 3(x+1) = 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3例题2：计算(3x+2)(3x-2)。
整式的乘法乘法公式
先算乘方，再算乘除，最后算 加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用 分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果 。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平 方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数 式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式 的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两 个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高 运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力 和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广 泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的 指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。
整式的乘法运算
整式的乘法运算整式的乘法运算是代数学中的一种重要的运算方式。
整式是由常数、字母以及它们的乘积组成的式子。
整式的乘法运算是指将两个整式相乘，从而得到一个新的整式。
在整式的乘法运算中，我们需要掌握以下几个基本的规则：一、常数的乘法：常数与常数相乘的结果仍然是常数。
例如，2乘以3等于6。
二、字母的乘法：字母与字母相乘的结果仍然是字母，并且按照字母表顺序排列。
例如，a乘以b等于ab。
三、常数与字母的乘法：常数与字母相乘的结果仍然是字母，并且乘积的值等于常数与字母的乘积。
例如，2乘以a等于2a。
四、字母的指数幂：字母的指数幂是将字母连续乘以自身指数次数。
例如，a的2次幂等于aa，简记为a²。
五、整式的乘法：整式的乘法是将两个整式的每一项相乘，然后将结果相加。
例如，(2a + 3b)乘以(4a - 5b)等于8a² - 10ab + 12ab - 15b²，简记为8a² + 2ab - 15b²。
除了以上的基本规则外，我们还需要掌握一下常见的整式的乘法公式：一、二次方的乘法公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
例如：(2x + 3y)² = (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²。
二、差的乘法公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
例如：(2x - 3y)² = (2x)² - 2(2x)(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy + 9y²。
三、平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
例如：4x² - 9y² = (2x + 3y)(2x - 3y)。
第07讲 整式的乘法与乘法公式
第7讲 整式的乘法与乘法公式学习数学的惟一方法是做数学。
——哈尔莫斯 知识方法扫描整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式和多项式乘多项式。
乘法公式是多项式相乘得出的，它们是既有特殊性，又有规律性和实用性的具体结论．常用的公式有：;))()(1(22b a b a b a -=-+;2))(2(222b ab a b a +±=±;))()(3(3322b a b ab a b a ±=+±;222))(4(2222ca bc ab c b a c b a +++++=++;33))(5(32233b ab b a a b a +++=+;3))()(6(333222abc c b a ca bc ab c b a c b a -++=---++++))()(7(122321-----+++++-n n n n n b ab b a b a a b a n n b a -=))()(8(122321-----++-+-+n n n n n b ab b a b a a b a n n b a +=（n 为奇数）经典例题解析例1．（第16届“希望杯”初二第2试题）计算：1998)37(×20002000357153++。
解 原式02000020200020001998)57(7)53(3)37(⨯+⨯+⨯=2000200020000002002000201998577533)37(⨯+⨯+⨯= )51(7)51(3)37(20000002000220001998+⨯+⨯⨯=00028919)73()37(⨯= 219988919)73()73()37(⨯⨯=⋅=⨯⨯=499499)7337(1998 例2．(2005年四川省初中数学联赛决赛八年级试题) 计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝＿＿＿解 原式=(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1=(22-1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1=(24-1)(24＋1)…(232＋1)＋1=……=(232-1)(232＋1)＋1=(264-1)＋1=264例3．(1999年武汉市初中数学竞赛试题) 设x,y 为实数，且满足⎩⎨⎧-=-+-=-+-1)1(1998)1(1)1(1998)1(33y y x x ， 则x+y=( )(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2解 设 x-1=a,y-1=b,则有 ⎩⎨⎧-=+=+119981199833b b a a ， 将两式相加，得 a 3+b 3+1998a+1998b=0，即 (a+b)[(a 2-ab+b 2)+1998(a+b)=0, 从而(a+b)( a 2-ab+b 2+1998)=0注意到 a 2-ab+b 2+1998=,01998])([21222>++++b a b a 所以a+b=0, 也就是 (x-1)+(y-1)=0, x+y=2, 故选C 。
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例1、运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (3)(-x+2y)(-x-2y) (3) (-x+2y)(-x-2y) (2) (b+2a)(2a-b)
解：(1) (3x+2)(3x-2)
=(3x)2-22
=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2
=9x2-4 (2) (b+2a)(2a-b) =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
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18
2、完全平方公式
两数和的平方：
2 2 2 (a+b) =a +2ab+b
2=a2-2ab+b2 (a-b) 两数差的平方：
公式变形为： （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
口诀： 首平方，尾平方,首尾两倍中间放 。
b
2
4
如图：由图1，图2， 图3，图4组成的正方形
乘法分配律 m(a+b+c)= ma + mb + mc
类似的:
2a2(3a2-5b)= 2a2.3a2 +2a2.(-5b) =6a4-10a2b
2 . 2 . 2 2 2 (-2a ) (-5b) (-2a ) 3ab (-2a )(3ab -5b)= +
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13
例 (x+2)(x−3)
解:
(1)
( x 2)(x 3) = x x＋x (3)＋2 x ＋2 (3)
= x 3x 2x 6 2 = x x6
2
注意：1、两项相乘时先定符号，积的符号由这两 项的符号决定。同号得正，异号得负。 14 本网站版权所有 2、最后的结果要合并同类项。
注：上述各式中，a、b可代表任何有意义的 数字、字母、单项式及多项式。 6 本网站版权所有
an ·bn
乘法法则
什么是单项式？
数或字母的积,这样的式子叫做单项式.单独 的一个数或一个字母也是单项式.
（2）什么叫单项式的系数？
单项式中的数字因数 叫做这个单项式的系数。
（3）什么叫单项式的次数？
乘法公式
1、平方差公式：
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
(a+b) (a-b) = a² -b²
两数和
两数差
两数平方差
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a
b
a
b
b b
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形
a² -b² 求图中的红色部分部分面积：__________
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例题1
1 (2 xy ) ( xy ) 3
2
注意这里体现 了结合律及交 换律
解：原式=
1 (2 ) 3
( xx)( y y)
做积的因式
2
把系数相乘
把相同字母的幂分别相乘
2 11 21 2 2 3 x y x y 3 3
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a
2
1
a
3
b
其总面积为： a b
换一种方法：我们把图1，图2，图3，图4面积相加，总 面积为： a 2 2ab b2 注意：图2与图3面积相等, 图4边长为b
结论：
a b
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2
a 2ab b
2
2
பைடு நூலகம்
20
2
如图：边长为 a 的一正方 形，求图1面积 a b 2 换一种方法：我们在大正 方形中依次剪去图2与图3 图1面积：a
例题（2）
(2a b ) (3a)
2 3
解：原式=
把系数相乘
[(2) × (3)]a a
3 3
2 1
b3
6a b
把相同字母的幂分别相乘
其余字母连同它的指数不变
作为积的因式
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2 单项式与多项式相乘
、
m(a b c) = ma mb mc
4
5
6
学习重点
幂的运算和乘法 公式的应用
学习难点
灵活运用乘法公 式和因式分解
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3
预习指导
综合应用 拓展探究
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5
幂的运算
①同底数相乘,底数______, 不变 指数______ 相加
用式子表示为:_____________________ am ·an = am+n
15.1~ 15.2
整式的乘法~乘法公式
兖州八中
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学习目标
1
掌握同底数幂、积的乘方、幂的乘方法则 。
2
3
掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项 式乘多项式法则。 熟练运用乘法法则、运算性质计算及化简求值。 理解并掌握平方差公式、完全平方公式及其应 用。 能用几何拼图的方式验证平方差公式和完全 平方公式。 掌握添括号的法则。
• 一个单项式中，所有 字母的指数的和 叫做这个单项式 的次数。
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7
1 单项式与单项式相乘
、
单项式相乘，把它们的系数、相同字母分 别相乘，对于只在一个单项式里出现的字 母，则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式×单项式 ＝(系数×系数)(同底数幂相乘)(单独的幂)
②幂的乘方，底数______, 指数_______ 相乘 不变
用式子表示为:
n m n ____________________ （a ） = am·
③积的乘方等于____________________ 各因式的乘方的积
用式子表示为: _____________________ (a· b)n =
换一种方法：我们把红色部分拼成一个完整的长方形图案。
(a+b)(a-b) 求拼出的长方形的面积：____________________
结论：
-b² (a+b)(a-b) = a²
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16
概念挖掘:
结构特点
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17
范 例
=-6a3b2+10a2b
11
多项式乘以单项式
多项式乘以单项式，用
单项式去乘以多项式的每一
项，并把所得的 积 相加。
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3 多项式与多项式相乘
、
(a+b)(m+n) = am+an+bm +bn
多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项分别 乘以另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。