第九章变分法_量子力学
泛函分析中的变分法应用实例
泛函分析中的变分法应用实例泛函分析是数学中研究无限维空间上函数的一种方法。
变分法是泛函分析的重要工具之一，可以用于求解最值问题和微分方程等。
在实际应用中，泛函分析的变分法有着广泛的应用。
本文将通过几个实例介绍泛函分析中的变分法在不同领域的应用。
一、弦的振动考虑一根固定在两端的弦的振动问题。
假设弦的形状可以用一个实数函数表示，记为y(x)，其中x表示弦上的位置。
变分法可以用来求解弦的振动形态。
首先，我们需要定义一个能量泛函来描述弦的振动状态。
一个自然的选择是弦的动能和势能的和。
弦的动能正比于线密度，速度的平方和长度元素之积的积分。
弦的势能正比于势能密度和长度元素之积的积分。
因此，我们可以定义弦的能量泛函为：E[y] = ∫(1/2)(ρy'^2 - T y'^2)dx其中，ρ表示线密度，T表示张力，y'表示y关于x的导数。
接下来，我们要求解使得能量泛函E[y]取得最值的函数y(x)。
为了求解这个问题，我们可以考虑函数y(x)的变分δy(x)。
利用变分的概念，我们可以得到能量泛函的变分表示为：δE[y] = dE[y+εδy]/dε其中，ε是一个任意小的实数。
利用分部积分的方法，我们可以将能量泛函的变分表示为：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx由于δy(x)是一个任意的函数，我们可以得到导数的变分表示为：δy' = d(δy)/dx将上述结果带入能量泛函的变分表示中，可以得到：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx = 0由于δy(x)的任意性，我们可以得到使得能量泛函最值的条件为：ρy'' - T y' = 0这就是弦的振动方程，利用这个方程可以求解弦的振动形态。
二、量子力学中的变分法在量子力学中，变分法可以用来求解波函数的本征值和本征函数。
量子力学的变分形式
量子力学的变分形式
“变分形式”很容易和更为常见的“变分原理” 搞混。
后者是给基态能量提供一个限制，而变分形式则可以给描述所有态（不只是基态）及其随时间的演化（不只是能量）提供一个完整的图像。
变分形式类似于经典力学中的哈密顿原理。
在这种形式中核心概念仍然是波函数，但其随时间演化的规则不再是薛定谔方程。
让我们再一次考虑一个非相对论的忽略自旋的两粒子体系。
在所有可能的归一化波函数，正确的那个波函数必需满足使时间和共形空间的积分作用量达到极小值：
其中“拉格朗日密度”为：
这里Im{z}的意思是的虚部。
不难证明一点，即此处的极小值准则等价于薛定谔含时方程。
在实际应用层面，这种形式可以直接和变分原理联系在一起，用来估计基态能量。
在基础理论层面，我们注意到场变分技巧常常规定物理规律的形式必须满足洛伦兹不变性。
这在以下三个方面扮演着很重要的角色：包括在电磁理论中，在广义相对论中（希尔伯特形式），在量子场论中。
但是，在以下这些情况中，变分形式并不直接参与其中：（1）具有固有的非相对论性质；（2）涉及时间和共形空间的积分，而不是时间和物理空间的积分。
文章摘录于：硬核预警：量子力学的九种形式。
变分法理论与应用
变分法理论与应用变分法是数学中的一个重要分支，通过对函数的变分求解，可以求出其最值或最优解，应用广泛，例如在物理学中经常用于研究粒子的运动，友情学中应用于最小能量曲线的求解，化学中应用于量子化学中分子的电子结构计算等等。
本篇文章将着重介绍变分法的理论基础以及其在各个领域中的应用。
一、变分法理论1.1 变分基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分中的一些基本概念。
函数是指把数域上的任意数 $x$ 映射到数域上的一个确定数$y$ 的规则，而变分则是指沿着某个函数进行微小的变化，并据此研究该函数的性质变化。
我们将一个函数 $y=f(x)$ 的变分记作$y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其中 $\varepsilon$ 是一个无穷小量，$g(x)$ 是一个任意函数。
1.2 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一种重要方程，它的本质是通过对泛函进行变分求解，求出泛函的最值或最优化解。
泛函是一类函数，它映射函数到实数集合，例如以 $y=f(x)$ 表示的函数 $f$，它的变分为 $y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其泛函表示为：$$J[f]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx$$其中 $L(x,y,y')$ 是 Lagrange 函数，$y'=\frac{dy}{dx}$。
对该泛函进行变分：$$\delta J=\delta\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx=\int_{a}^{b}\frac{\partialL}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'dx $$用分部积分法将第二项转换为：$$\delta J=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\deltaydx+\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y\right)\biggr|_{a}^{b} $$由于 $\delta y(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 的端点 $a$ 和 $b$ 处任意，因此求解泛函的变分问题可以转化为求解边界条件。
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
第九章变分法
对于尝试变分函数为奇函数的情况，下式一定成立：
0*d
0
（函数0*乘奇函数给出一个奇被积函数）
例2：在中心场中运动的粒子
有可能不能解出本征函数中的径向因子R(r)，但由于角 度因子是一球谐函数，而且不同l值的球谐函数是正交 的。因此，在尝试函数中用Y(,)因子，就能得到具有 任何给定角量子数l的最低态的能量上限。结果取决于 第一激发态向高激发态的推广，即：
*d l x2 (l x)2 dx l5
0
30
代入变分公式（2），得：
5h2
4 2l 2m E0
E0 的 实 际 计 算 值 为 ： h2/8ml2 ， 误 差 为 ：
(5 / 4 2 ) (1/ 8) 100 % 1.3%
1/8
例 利用变分法求一维谐振子的基态能量的上限
对角行列式： 除了对角线上的元素外，其余元素均为零。
a11 0 ... 0
a22 0 ... 0
0 ...
a22 ...
... ...
0
0
... a11 ...
a33 ...
... ...
0 ...
0 0 ... ann
0 0 ... ann
a33 0 ... 0
0 a11a22 ...
a44 ...
a0 0*d 0
对于归一化的与0成正交的尝试函数，由于a0=0，故 积分I1中的第一项为零，则可断定：I10
I1 | ak |2 (Ek E1)
k
| a0 |2 (E0 E1) | a2 |2 (E2 E1) | a3 |2 (E3 E1) ...
I *(Hˆ E0)d *Hˆd E0 *d *Hˆd E0
变分法在量子力学的应用
变分法在量子力学的应用变分法在量子力学的应用变分法在量子力学的应用【1】摘要在处理物理问题及量子力学问题时，通常会应用到变分法。
变分法与处理数的函数普通微积分保持着相对立关系，属于处理函数的一种方式。
欧拉-拉格朗日方程式是变分法最为重要的定理。
通过变分法，可以实现泛函临界点对应。
变分法的出现推动了理论物理的进一步发展，在量子力学及相应最小作用量原理中发挥着十分重要的作用。
在概述变分法的基础上，对变分法在量子力学物理领域的应用进行研究与分析。
实践证明，在处理量子力学问题中，变分法发挥着重要作用。
关键词变分法;量子力学;最优控制20世纪二三十年代，奥地利物理学家薛定谔提出一种可以进行微观粒子体系运动行为的一波方程，被人称之为薛定谔方程。
通过进行薛定谔方程求解，可以获得体系波函数，应用体系波函数，可以确定体系性质，此后有学者对相对论效应狄拉克方程的确定进行了研究。
这些研究成果的出现，让人们认为量子力学其普遍理论似乎已经基本完成，人类已经基本知晓了绝大部分物理学及物理定律。
解决问题困难及关键仅在于如何将这些定律进行现实应用。
狄拉克认为，随着体系的不断增加，薛定谔方程或狄拉克方程几乎是不可解的。
针对这种现象，求解其方程的近似方法不断被研究。
在物理量子学领域，进行薛定谔法方程求解，其主要方法包括微扰法及变分法。
束缚定态是建立于不含时间的薛定谔方程，即在能量变分原理的等价性基础上，能量本征值方程解是通过对能量极值的求解来完成的。
在进行具体问题处理的过程中，通过波函数中一些特殊变化将最普遍任意变分进行替代，通过这种方法可以获得依赖于波函数特殊形式的一种近似解，这种解决问题的方法被称之变分法。
变分法用在解决如量子力学等物理问题领域。
变分法的应用，其优势在于运用变分法进行方程求解并不会受到限制，在保证变分函数良好的基础上，即可实现对体系基态性质的研究。
1 变分法概述变分法与处理数函数普通微积分表现出相对立关系。
泛函是通过位置函数导数及相应位置函数积分来实现相应构造。
变分原理和量子力学的关系
变分原理和量子力学的关系在物理学领域中，变分原理和量子力学是两个非常重要的概念。
它们对于我们理解自然界和科学技术的发展都有着至关重要的影响。
在本文中，我们将探讨变分原理和量子力学之间的关系。
一、变分原理和量子力学的概念变分法是数学上的一个工具，通常用于寻找最大或最小值的问题。
在物理学中，变分原理被用于处理作用量的问题。
作用量是一种物理量，用于描述物体在空间和时间上的运动。
它是由拉格朗日力学中的拉格朗日量所定义的，表示为S。
量子力学是物理学的一个分支，研究微观世界中的物体性质。
它的理论基础是通过解决薛定谔方程来描述物体的行为。
二、变分原理和量子力学的关系在物理学中，变分原理和量子力学之间有着密切的联系。
首先，变分法可以用于推导出量子力学中的海森堡矩阵算符。
这个算符是在研究电子在磁场中运动时被提出的，可以用来描述粒子的位置和动量。
此外，变分原理还可以用于解决量子力学中的一个非常重要的问题，即谐振子的能级结构。
谐振子是物理学中最简单的模型之一，可以用来解释许多现象，如分子振动和声波传播。
通过使用变分法，科学家们可以求得谐振子的能级结构，从而推导出其他相关物理量的值。
除此之外，变分原理还可以用于证明量子力学中的线性性质。
线性性是量子力学中的一个重要概念，它指的是当多个量子体系叠加时，其结果也是一个量子体系的概率模型。
这一性质的证明依赖于变分原理。
三、变分原理在量子场论中的应用上述讨论的变分原理和量子力学之间的关系主要是在量子力学的框架下进行的。
但是，变分原理在更高级别的物理学理论中也发挥着重要的作用，如量子场论。
量子场论是物理学中涉及到场的量子化的研究。
在量子场论中，作用量扮演着非常重要的角色，它可以用来描述场的运动方式和场与粒子之间的相互作用。
量子场论在理解基本粒子的物理学中有着至关重要的地位，比如说标准模型就是其一部分。
变分法在量子场论中也有着重要的作用，常被用于推导出一定的方程。
例如，门捷列夫-瓦伦蒂诺方程就是使用变分法推导出的。
变分法基础 老大中
变分法基础老大中变分法是数学和物理学中一种重要的数值计算方法，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍变分法的背景和重要性。
变分法源于数学中的变分计算问题，最早起源于___的变分问题。
它是一种求函数最值的方法，旨在寻找函数的极值点或稳定点。
变分法的发展历程经过了数学家们的不断研究和推导，逐渐形成了现代变分法的基础理论。
在物理学中，变分法广泛应用于解决各种力学和场的问题。
通过将物理问题转化为最值问题，可以用变分法来求解微分方程和泛函方程，从而获得物理系统的稳定解、极值解或最优解。
变分法在力学、电磁学、量子力学等领域起到了重要的作用。
在工程学中，变分法常用于优化设计问题和界面问题的求解。
通过对设计参数进行变分，可求解出具有最优性能的工程结构或系统。
变分法的应用可以降低系统的能耗、提高系统的效率，并优化系统与环境的交互效果。
总之，变分法作为一种重要的数值计算方法，在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用和重要的意义。
通过变分法的运用，可以获得优化问题的解析解或近似解，为各个领域的研究和实践提供有力的支持和指导。
泛函泛函是一个函数的集合，其中每个函数都将一个输入映射到一个输出。
在变分法中，我们将研究泛函的性质和优化问题。
变分变分是指对函数的微小变化。
在变分法中，我们将通过对函数进行变分来研究泛函的性质和优化问题。
变分法公式变分法公式是一种用于求解泛函优化问题的数学工具。
它涉及将变分应用于泛函，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
变分法公式可以表示为：对于给定的泛函 J[y]，寻找函数 y 使得 J[y] 取极值应用变分运算符，通过对函数 y 进行变分，得到变分问题求解变分问题，得到泛函 J[y] 的极值函数 y变分法是一种数学方法，广泛应用于不同领域，包括物理学和工程学。
下面列举了一些变分法在这些领域中的应用示例：物理学量子力学：变分法可以用于求解量子系统的基态能量和波函数形式。
经典力学：变分法可以用于求解约束系统的最小作用量路径。
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a
a
（9）
其中N为归一化常数，λ为变分参数。利用归一化条件
∫ <ψ |ψ >= a ψ 2dx = 1 −a
容易求得
N 2a = 315 /16(λ 2 + 8λ + 28)
由公式
∫ h 2
E =− 2m
aψ
−a
d 2ψ dx2
dx
求得
E (λ )
=
3 4
11λ 2 λ2
+ 36λ + 60 + 8λ + 28
J (α,
β
,L)
=
∫ψ *(r;α, β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ ∫ψ *(r;α , β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ
的极值。 ∂J / ∂α = ∂J / ∂β = L = 0 （1）
α β, ,L 得到使积分取得最小值的参量 00 用它们按（1）式计算得结果就是基态能量的近似值，即近似的有
量子力学 第九章 变分法
李延芳 李忻忆 龚 陈蔚
变分法的基本步骤： 1、根据实际问题的物理分析，选择含有待定参量α，β，的尝试波函数
，然后计算积分
J (α, β ,L)
ψ (r;α , β,L)
=
∫ψ *(r;α , β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ
∫ψ (r;α, β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ *
n
≥ (E2 − E1)(C2*C2 + C3*C3 +L)
≥ (E2 − E1)(1− C1*C1)
（6）
此式即为（2）式。
1
在看下一道题之前，这里我们先看一下无限深势阱波函数和能级的精确解是什么？
在课本上我们已经学过（0<x<a）的无限深势阱，它的波函数和能级的精确解为
ψn (x) =
2 sin nπ x
a
a
（1）
En
=
h2π 2n2 2µa2
（2）
因此（0<x<2a）的无限深势阱的波函数和能级的精确解为
ψn (x) =
1 sin nπ x a 2a
（3）
En
=
h2π 2n2 8µa2
（4）
将（3）和（4）是进行坐标平移变换，即可得到（-a<x<a）的无 限深势阱的波函数和能级的精确解
ψn (x) =
1 sin ( nπ x + nπ ), n = 1, 2,L
a
2a 2
En
=
h2π 2n2 8µ a 2
9.2 粒子在无限深势阱（-a <x<a)中运动。试用多项式结合变分法求基 态能量和波函数，并和精确解比较。
解 任何能量本征函数，均需满足边界条件
ψ (x) = 0,| x |≥ a
（1）
精确的基态波函数和能级为
接下来我们将从以下四个部分来和大家一起学习这章：
一、应用变分法求无限深势阱的基态和第一激发态的能级和 波函数
（1题、3题、4题)
－李延芳
二、用变分法求粒子在中心势场运动时的基态能级
（11题、15题）
－李忻忆
三、体系受到微扰作用时，应用变分法求基态能量
（16题、18题、20题）
－陈蔚
四、用变分法处理“一维氦原子”的问题。
ψ (r;α, β L)
E0 ≈ J (α0 , β0, L),
ϕ0 (r) ≈ψ (r;α0,β0 ,L)
进一步，给尝试波函数加上条件
在这一条件下求（1）式得极小值，就得到第一激发态能量的近似值。
这一方法的近似性在于，在应用变分原理时，不是在由任意波 函数组成的全希尔伯特空间中求H的极小值，而只在有尝试波函数
ψ
= C0[1−
x2 a2
]
=
15 16a
[1 −
x2 a2
]
（5）
ψ 已经被完全限定，没有任何选择余地。能量的平均值为
∫ E
=
−
h2 2m
a
ψ
−a
d 2ψ dx2
dx
=
5 4
h2 ma2
（6）
和精确态能级的比值为
E / E1 = 10 / π 2 = 1.0132
式（5）和基态波函数的偏离度为
（7）
h2 ma 2
（10） （11） （12）
λ的最佳值由极小值条件 ∂E(λ) = 0 决定，求得两个根 ∂λ
λ1 = −1.2207500,λ2 = −8.317712
而
E ( λ 1 ) = 1 . 2 3 3 7 1 9 h 2 / m a 2 = 1 . 0 0 0 0 1 4 7 E 1 （12）
ψ1(x) =
1 cos π x , −a < x < a a 2a
（2）
E1
=
π 2h2 8ma2
= 1.233701h / ma2
（3）
如将基态波函数近似的用多项式表示，考虑到基态是偶宇称，可取
ψ
=
C0
+
Байду номын сангаас
C2
(
x a
)2
+
C4
(
x a
)
4
+ ...,|
x |<
a
（4）
如只取前两项，为了满足边界条件，必须取 C2 = −C0 , 归一化后，即得
ψ 证 以 n 表示 H归一化本征函数，令
∑ ψ = n Cnψ n
（3）
则根据本征函数的正交归一性
∑ ε = 1− |<ψ1 |ψ >|2 = 1− |<ψ1 | Cnψ n >|2 = 1− C1*C1
n
（4）
而
E − E1 =<ψ | (H − E1) |ψ >
∑ = Cn*Cn (En − E1) = C2*C2 (E2 − E1) + C3*C3(E3 − E1) +...+
E (λ2 ) = 1 2.7 6 63h 2 / m a 2
（13）
E(λ1) 和基态能级的精确值几乎完全一样， E(λ2 ) 则接近第二激发能级 E3
ψ (λ1, x) 和基态的偏离度为
组成的部分希尔伯特空间中H的极小值。
ψ ψ(r;α,β,L)
注意：在使用∫ϕ0*变(r)ψ分(r;α法, β,求L)d解τ = 定0 态问题时，关键性的工作是选择尝试波 函数。
我们在选择尝试波函数的时候要注意到波函数的标准条件： 单值、连续、有限。和系统所具有的对称性。
至于如何选择合适的尝试波函数，我们先看完几道例题后再 来分析。
ε
= 1− |<ψ1 |ψ
>|2
=
1
−
960 π6
= 1.445×10−3
（8）
作为基态波函数的更好近似，可以取式（4）中的前三项，为了满足边界条件，
必须取 C4 = −(C0 + C2 ) 因此试探波函数可以表示成
ψ (λ, x) = N[1+ λ( x )2 − (1+ λ)( x )4 ],| x |< a
（19题）
－龚
ψ 9.1 设
ψ 为基态试探波函数， 1 为真正的基态波
函数，二者都是归一化的。令
ε = 1− |<ψ1 |ψ >|2 （1）
φ
φ
ε 表示 ψ 偏离 ψ1 的程度。
令 E =<ψ1 | H |ψ >，证明
E − E 1 ≥ ( E 2 − E1 )ε （2） ψ1
E E1 和 2 分别表示H 的基态和第一激发态的能量。