3.4二次根式复习
二次根式全章复习知识点
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122););33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2)a 的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断..要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则 逆用法则二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）..2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=。
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二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。
2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。
例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。
例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。
2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。
3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。
二次根式知识点复习
二次根式知识点复习二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在数学中，√a叫做a的平方根。
一、基本知识点1.开方运算：开方就是求一个数的平方根的运算，开方运算的结果可以是正数、负数或零。
如果b^2=a，那么√a=b。
2.平方根的性质：（1）非负性质：对于非负实数a，√a≥0。
（2）唯一性质：一个非负实数的平方根是唯一的。
（3）分段性质：对于非负实数a和b，如果a≥b，则√a≥√b。
（4）乘法性质：对于非负实数a和b，√(a×b)=√a×√b。
3.平方根的化简：（1）平方根的化简法则：对于一个正整数a，如果存在正整数b，使得a=b^2，则√a=b。
（2）因式分解法则：如果一个正整数a可以分解成几个不同的素数的积，那么√a可以化为这些素数的乘积的积的平方根。
二、运算法则1.加减法运算：（1）只有当二次根式的根号里的数字部分相同才能相加或相减。
（2）将相同的根号里的数字部分加或减，系数部分保持不变。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
2.乘法运算：（1）二次根式相乘，根号里面的数字相乘，系数也相乘。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
3.除法运算：（1）二次根式相除，根号里面的数字相除，系数也相除。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
4.乘方运算：（1）二次根式进行乘方运算时，指数乘方，根号里面的数字也乘方，系数不变。
（2）在进行乘方运算后，如果结果可以进行根号运算，则进行根号运算并化简。
三、实际运用1.二次根式的应用：（1）二次根式经常在几何图形的计算中出现，如计算正方形、长方形的对角线、圆的周长和面积等。
（2）二次根式还可以用来表示距离、速度、力等物理量。
2.二次根式的化简：（1）二次根式的化简可以简化计算过程，提高计算效率。
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二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（ 1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（ 2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.二次根式的性质：①②③④3.二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（ 1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（ 1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（ 2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（ 1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．二次根式强化训练与复习巩固自测试题1．化简：______；_________．2 ．当______时，．3 ．等式成立的条件是 ______．4 ．当，化简_______．5．比较与的大小： _______．6．分母有理化：（ 1）__________；（ 2）__________；（ 3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．1．下式中不是二次根式的为（）A ．；B ．；C．； D ．2．计算得（）3．若，则化简等于（）4．化简的结果是（）5．计算的结果是（）6．化简的结果是（）7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A ．B．C． D ．8．等式成立的条件是（）9．的值为（）10．若代数式有意义，则的取值范围是（）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求值题：1．已知：，求的值．2．已知，求的值。
3.4二次根式复习
§3.4二次根式复习备课时间: 主备人:一.学习目标：1．能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简；2．能够比较熟练进行二次根式的运算；3．会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题．二．学习重点：二次根式的性质应用及运算．学习难点：二次根式的应用．知识点梳理1. 一般地，式子叫做二次根式.特别地，被开方数不小于 .2. 二次根式的性质：⑴a．(a)；⑵(a)2＝(a)；⑶a2＝__ ___.3.二次根式乘法法则：⑴a·b＝(a≥0，b≥0)；⑵ab＝(a≥0，b≥0).4. 二次根式除法法则：⑴ab＝(a≥0，b＞0)；⑵ab＝(a≥0，b＞0).5. 化简二次根式实际上就是使二次根式满足：⑴；⑵；⑶ .6. 经过化简后，的二次根式，称为同类二次根式.7. 一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 .8. 实数中的运算律、乘法公式同样适用于二次根式的混合运算边讲边练Ⅰ. 二次根式有意义求取值范围1. 要使x －2有意义，则x变式：若分别使1x －2，1x －2，2. 要使13－x有意义，则x 的取值范围是 .3. 使x ＋1，1x，(x －3)0三个式子都有意义的x 的取值范围是 .4. 使x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件 ； 1－xx －2 ＝1－x x －2成立的条件是 .5. 若y =2x －5＋5－2x －3． 则2xy ＝ .Ⅱ. 二次根式的非负性求值1. 已知a ＋2＋||b －1＝0，那么(a ＋b )2011＝ .2. 已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝ .3. 若||4x －8＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，则m 的取值范围 .4. 若a －3与2－b 互为相反数，那么代数式－1a ＋6b的值为 . 5. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b ＋||c －1－2＝10a ＋2b －4－22，则△ABC 为 . Ⅲ. 利用公式a 2＝||a 化简1. (－7)2＝ ；（2）(3－π)2＝ ； (3) 62＝2. 已知x ＜1，则化简x 2－2x ＋1的结果＝ ； 若a ＜0，化简||a －3－a 2= .3. 当a ＝2时，代数式a ＋1－2a ＋a 2＝ ； 化简(a －1)11－a＝ . 5. (a －3)2＝3－a 成立，则a 的取值范围是______.6. 若x 3＋4x 2＝－x x ＋4，则x 的取值范围是 .7. 若||x －1＝12，则代数式1x －x 2－2＋1x2的值为 .8. 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，试化简(a ＋c )2－||b －c .9. │＋(x ＋3)2 ＋x 2－10x ＋25.Ⅳ. 最简与同类二次根式1. 下列各式中，不能再化简的二次根式是 （ ）A ．3a 2B ．23C ．24D ．302. 下列各式中，是最简二次根式是 （ ）A ．8B ．70C ．99D ．1x3. 下列是同类二次根式的一组是 （ ）A ．12，－32，18B ．5，75，1245C ．4x 3，22xD ．a 1a ，a 3b 2c4. 若二次根式2a －4与6是同类二次根式，则a 的值为 ．5. 化简后，根式b －a3b 和2b －a ＋2 是同类根式，那么a =_____，b =______.Ⅴ.二次根式的运算 1. 化简：⑴312＝ ；⑵15＋16＝ ；⑶18a＝ . 2. 计算：212－613＋8＝ . 3. 计算12(2－3)＝ .4. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝ ； ⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝ .5.下列各式①33＋3=63；②177=1；③2＋6=8=22；④243=22，其中错误的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6.下列各式计算正确的是 （ ） A ．2＋3＝ 5 B ．2＋2＝2 2 C ．33－2＝2 2 D ．12－102＝6－ 5 7. 计算： ⑴32－212－13－62⑵239x ＋6x4－2x 1x⑶(48－413)－(313－40.5) ⑷(218－18)－(12＋2－213)⑸23x 18x ＋12x x 8－x 22x3⑹(32－45)2 ⑺(3－22)(22－3)⑻(1－23)(1＋23)－(1＋3)2 ⑼(3＋2－5)(3―2―5) 8. 若x ＝5＋32， y ＝5—32，求代数式的值. ⑴x 2－xy ＋y 2 ⑵x y ＋yx9. 观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6 ……将你猜想到的规律用一个式子来表示： .10.有这样一类题目：将a ±2b 化简，如果你能找到两个数m 、n ，使m 2＋n 2＝a 且mn ＝b ，则将a ±2b 将变成m 2＋n 2±2mn ，即变成(m ＋n )2开方，从而使得a ±2b 化简. 例如，5±26＝3＋2＋26＝(3)2＋(2)2＋22×3＝(3＋2)2， ∴5±26＝(3＋2)2＝(3＋2) 请仿照上例解下列问题：（1）8－215； （2）4＋2 3。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
二次根式章节复习(含知识点)
二次根式章节复习一、归纳总结1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b（a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）； （2）()2a ＝_____（a ___0）； （3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______. 4.二次根式的乘、除法则：（1=___________（a ___0，b ___0）；（2=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 二、典例精析例1：若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥34 B.x ＞34 C.x ≥43 D.x ＞43 变式1：代数式21-x 中，x 的取值范围是______.变式24x =+成立的x 的取值范围为例2. 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=例3：已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 例4. 二次根式中，最简二次根式是（ ）A.51B.5.0C.5D.50 变式：下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A.23B.36C.2.1D.49例5. 计算1824-×31＝____. 变式：计算：（1）(2（2）(22+（3）((2222--+ （4）((2005200533-例6.已知：x =，y =，求22x y xy +的值.例7. 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____.【当堂测评】1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ≤3C.x ＜3D.x ＞3 2.下列各式是最简二次根式的是（ ）A.20B.1.2C.72D.51 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）A.18B.24C.12D.9 4.化简122154+⨯的结果是（ ） A.25 B.36 C.3 D.35 5.下列运算正确的是（ ）A.25＝±5B.12734=-C.9218=÷D.62324=• 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A.3- B.33 C.223- D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.8.当m＜0时，化简mm2＝____.9.计算：()2850÷-的结果是_____.10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-aa＝_____.11.已知011=-++ba，则20132013ba+＝____.12.如果最简二次根式am a--7与m2是同类二次根式，则a＝____，m＝____. 13.先化简，再求值：()()()633--+-aaaa，其中215+=a.14.计算：（1）671+的值；（2）17231+的值；15.先化简，再求值：221aaa+-+，其中1007=a. 下图是小亮和小芳的解答过程：（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+aaa，其中2007-=a.解：原式＝+a()21a-11=-+=aa解：原式＝+a()21a-＝1-+aa＝2013。
二次根式复习提纲
学习好资料欢迎下载二次根式重点、难点突破1、二次根式的性质2、二次根式的最简形式与同类二次根式的有关概念3、二次根式的运算步骤与方法一、知识点汇总：知识点 1、二次根式的概念：形如____（）的式子叫做二次根式。
知识点 2、二次根式的性质：___( a0) 1.a 0(a≥0) 2.( a )2（a≥ 0） 3. a 2_______( a0)___( a0)知识点 3：二次根式的乘除：乘法运算： a b ___( a0,b0) a b___(a 0, b 0)除法运算：a___( a 0, b0)a___(a 0, b 0) b b知识点 4：二次根式的加减：1.法则：1.最简二次根式：2. 概念：2.同类二次根式：知识点 5：二次根式化简步骤：1．“一分”：分解 _____________、 ____________；2.“二移”：把根号内的 ___________ 或者 ________移到根号外面（注意符号）；3.“三化”：化去被开方数中的 ____________ 。
知识点 6：二次根式的乘除步骤：1._________ 相乘除；2. 根号下 _________相乘除； 3_________。
知识点7：二次根式的加减步骤：1.____________ ；2._____________ ；4.____________ 。
二、例题选讲：1、当 __________ 时，x 2 1 2x 有意义使1有意义的x 的范围是 ______，使1有意义的 x 的范围是 ____x23x变式题：使式子1有意义的 x 的取值范围是 _________________2x12、当a5时，(a5)2等于x 2x ，则x的取值范围是________________________。
变式题：已知22已知 x<y, 化简 y-x-( x y) 2的结果是__________________ 3、计算题：（1）2 1211250.81（2）353353527（3）35 2 3314335（4）23326 23326 432三、拓广提高1、若 a 是 5 的整数部分，b是它的小数部分，则2b a-1=___________2、如图，数轴上表示的数2、 5 的点分别为A、B点，C与A关于B点对称，则点C表示的数是A B c01234四、课后巩固1、下列计算正确的是（）A、 2+3= 5 B 、2+ 2=2 2 C 、 63+ 28=57 D 、8 +18=4+9 22、在 5a， 8bma2b2a3中，是最简二次根式的有（，，，）个4A、1个 B 、2个 C、3个 D 、4个3、在式子x x0,2, y1y 2 ,2x x0 ,33,x21, x y 中，二次根式有( )个2A．2个 B． 3 个C．4 个 D.5个4、计算23________;369__________48 327 3 _____________ 。
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§3.4二次根式复习教案
备课时间: 主备人:
一.学习目标：
1．能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简；
2．能够比较熟练进行二次根式的运算；
3．会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题．
二．学习重点：二次根式的性质应用及运算．
学习难点：二次根式的应用．
知识点梳理
1. 一般地，式子叫做二次根式.特别地，被开方数不小于 .
2. 二次根式的性质：
⑴a．(a)；⑵(a)2＝(a)；⑶a2＝__ ___.
3.二次根式乘法法则：
⑴a·b＝(a≥0，b≥0)；⑵ab＝(a≥0，b≥0).
4. 二次根式除法法则：
⑴a
b
＝(a≥0，b＞0)；⑵
a
b＝(a≥0，b＞0).
5. 化简二次根式实际上就是使二次根式满足：⑴；
⑵；⑶ .
6. 经过化简后，的二次根式，称为同类二次根式.
7. 一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 .
8. 实数中的运算律、乘法公式同样适用于二次根式的混合运算
边讲边练
Ⅰ. 二次根式有意义求取值范围
1. 要使x －2有意义，则x
变式：若分别使1x －2，1
x －2，
2. 要使1
3－x
有意义，则x 的取值范围是 .
3. 使x ＋1，1
x
，(x －3)0三个式子都有意义的x 的取值范围是 .
4. 使x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件 ； 1－x
x －2 ＝1－x x －2成立的条件是 .
5. 若y =2x －5＋5－2x －3． 则2xy ＝ .
Ⅱ. 二次根式的非负性求值
1. 已知a ＋2＋||b －1＝0，那么(a ＋b )2011＝ .
2. 已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝ .
3. 若||4x －8＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，则m 的取值范围 .
4. 若a －3与2－b 互为相反数，那么代数式－
1a ＋6
b
的值为 . 5. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b ＋||c －1－2＝10a ＋2b －4－22，则△ABC 为 . Ⅲ. 利用公式a 2＝||a 化简
1. (－7)2＝ ；（2）(3－π)2＝ ； (3) 62＝
2. 已知x ＜1，则化简x 2－2x ＋1的结果＝ ； 若a ＜0，化简||a －3－a 2= .
3. 当a ＝2时，代数式a ＋1－2a ＋a 2＝ ； 化简(a －1)1
1－a
＝ . 5. (a －3)2＝3－a 成立，则a 的取值范围是______.
6. 若x 3＋4x 2＝－x x ＋4，则x 的取值范围是 .
7. 若||x －1＝12，则代数式1
x －
x 2－2＋1
x
2的值为 .
8. 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，试化简(a ＋c )2－||b －c .
9. │＋(x ＋3)2 ＋x 2－10x ＋25.
Ⅳ. 最简与同类二次根式
1. 下列各式中，不能再化简的二次根式是 （ ）
A ．3a 2
B ．2
3
C ．24
D ．30
2. 下列各式中，是最简二次根式是 （ ）
A ．8
B ．70
C ．99
D ．1
x
3. 下列是同类二次根式的一组是 （ ）
A ．12，－32，18
B ．5，75，1245
C ．4x 3，22x
D ．a 1
a ，a 3
b 2c
4. 若二次根式2a －4与6是同类二次根式，则a 的值为 ．
5. 化简后，根式
b －a
3b 和2b －a ＋2 是同类根式，那么a =_____，b =______.
Ⅴ.二次根式的运算 1. 化简：⑴3
12＝ ；⑵15＋1
6
＝ ；⑶18
a
＝ . 2. 计算：2
12
－61
3
＋8＝ . 3. 计算12(2－3)＝ .
4. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝ ； ⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝ .
5.下列各式①33＋3=63；②177=1；③2＋6=8=22；④24
3=22，其中错误的有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
6.下列各式计算正确的是 （ ） A ．2＋3＝ 5 B ．2＋2＝2 2 C ．33－2＝2 2 D ．12－10
2＝6－ 5 7. 计算： ⑴32－212－13－62
⑵2
39x ＋6x
4
－2x 1x
⑶(48－41
3)－(31
3－40.5) ⑷(21
8－18)－(1
2＋2－213
)
⑸2
3x 18x ＋12x x 8
－x 2
2x
3
⑹(32－45)2 ⑺(3－22)(22－3)
⑻(1－23)(1＋23)－(1＋3)2 ⑼(3＋2－5)(3―2―5) 8. 若x ＝
5＋32， y ＝5—3
2
，求代数式的值. ⑴x 2－xy ＋y 2 ⑵x y ＋y
x
9. 观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6 ……将你猜想到的规律用一个式子来表示： .
10.有这样一类题目：将a ±2b 化简，如果你能找到两个数m 、n ，使m 2＋n 2＝a 且mn ＝b ，则将a ±2b 将变成m 2＋n 2±2mn ，即变成(m ＋n )2开方，从而使得a ±2b 化简. 例如，5±26＝3＋2＋26＝(3)2＋(2)2＋22×3＝(3＋2)2， ∴5±26＝(3＋2)2＝(3＋2) 请仿照上例解下列问题：
（1）8－215； （2）4＋2 3。