【新课教学过程(二)】 3.1.1空间向量及其线性运算
高二数学 教案 3.1.1 空间向量及其线性运算_苏教版_选修2-1
§3.1.1 空间向量及其线性运算 编写：陶美霞 审核：赵太田一、知识要点1.空间向量定义及其记法；2.空间向量的线性运算OB OA AB a b =+=+BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈3.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++；⑶()()a b a b R λλλλ+=+∈4.共线向量(平行向量)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
规定：零向量与任意向量共线。
5.共线向量定律：对空间任意两个向量,(0)a b a ≠，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=二、典型例题例 1.如图，在三棱柱__111ABC A B C 中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。
⑴1CB BA +；⑵112AC CB AA ++；⑶1AA AC CB --例2.如图，在长方体__OADB CA D B '''中，3,4,2,1OA OB OC OI OJ OK ======，点E F 、分别是,DB D B ''的中点，设,,OI i OJ j OK k ===，试用向量,,i j k 表示OE 和OF 。
例3.设四面体ABCD 的三条棱,,AB b AC c AD d ===，求四面体其他各棱所对应的向量，以及面BCD ∆上的中线所对应的向量DM 和向量AQ ，其中M 是BC 的中点，Q 是三角形BCD 的重心。
三、巩固练习1.如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 的中点，2CF FD =，连结,,,EF CE AF BF ，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。
⑴AC CB BD ++；⑵ AF BF AC --；⑶1223AB BC CD ++。
高中数学选修2-1第三章教案3.1.1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算教学目标：1．知识与技能：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
2．过程与方法：运用类比的方法，经历平面向量及其运算向空间向量推广的过程；3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度；使学生深刻认识数学和现实世界的联系，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何中的问题教学过程一、复习检测：平面向量的概念，加法、减法和数乘运算二、引入新课1．空间向量的概念：在空间，我们同样把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）空间的一个平移就是一个向量。
（2）相等的向量：向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（3）零向量：起点与终点重合的向量（或长度为零的向量）叫做零向量；（4）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
记作（5）基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线；（6）共线向量（或平行向量）：基线平行或重合的向量叫做共线向量或平行向量，如。
规定：零向量与任意向量共线。
2．空间向量的运算（1）类比平面向量运算，定义空间向量的加法、减法与数乘向量运算（2）运算律：①加法交换律：②加法结合律：③数乘分配律：（3）对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则和三角形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．表示相加的有向线段依次首尾相接，构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和，称之为“封口向量”。
4.有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。
3、例题讲解：例1、已知平行六面体ABCD －化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： ⑴；（2）；；（3）解：⑴=；（2）；⑶设M 是线段的中点，则///111()()222AB AD DD BC AC CC CB AC CB AC CM AM ++-=++=+=+=. 注：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.方法归纳：运用“封口向量”或转化为平面向量的运算来进行。
课件1：3.1.1空间向量的线性运算
1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用三角形法则化简． (2)利用向量的减法法则，即利用O→A－O→B＝B→A化简． (3)利用A→B＝O→B－O→A，把各个向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简．
2．在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧 灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路，多个向 量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量使之结合，使用减法时， 把握“共起点，方向指向被减向量”．
图3－1－6
有向线段的长度
，记作|a|
共线向 有向线段所在的直线叫做向量的 基线 ，如果
量或平 空间中一些向量的基线 互相平行或重合 ，
行向量 则这些向量叫做共线向量或平行向量
空间向量的线性运算
【问题导思】 1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？ 【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法 则，减法满足三角形法则． 2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？ 【提示】 平面中，实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一个向 量，称为向量的数乘；当 λ＞0 时， λa 与 a 方向相同，当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反，λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
＝P→Q－12P→A－12P→C. 所以 x＝y＝－12.
(2)因为P→A＋P→C＝2P→O， 所以P→A＝2P→O－P→C. 又因为P→C＋P→D＝2P→Q， 所以P→C＝2P→Q－P→D， 所以P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D) ＝2P→O－2P→Q＋P→D. 所以 x＝2，y＝－2.
对向量的有关概念理解不清致误 下列命题是真命题的序号是________． ①在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量 A→B 与 C→D 不是共线向 量． ②若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反． ③若向量A→B，C→D满足|A→B|＞|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B＞ C→D. ④若向量a＝b，则|a|＝|b|.
3.1空间向量及其运算教学设计教案
3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
【新课教学过程】3.1.1空间向量及其线性运算Z
3.1.1空间向量及其线性运算（教学过程1）教学目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件．教学难点：空间向量的线性运算及其性质．教学过程：一、创设情景1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析．二、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量；⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示． 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）．b a+=+=，b a-=-=，)(R a ∈=λλ．运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+，⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++， ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(．3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． 4．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理及其推论：O1/B 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOP+=a．其中向量a叫做直线l的方向向量．三、数学运用1、例1 如图，在三棱柱111CBAABC-中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA+，（2）121AACBAC++，（3）AA--1．解：（1）11CABACB=+（2）AA=++121（3）11BAAA=--2、如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F 分别是//,BDDB的中点，设===,,,试用向量,,表示OE和OF，解：423+=，2423++=．3、课堂练习已知空间四边形ABCD，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD++；（2）1()2AB BD BC++；（3）1()2AG AB AC-+．BCDM GA四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业六、教学反思。
3.1.1空间向量的线性运算
推力矢量发动机
新课程标准
学习目标：
1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2.会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3.能运用空间向量的运算法则及运算律，解决简单的立体几何中的问题 .
重点难点：
重点：类比平面向量知识掌握空间向量的有关概念及其运算. 难点：应用空间向量的运算解决立体几何中的问题.
注意：1.空间向量的两个要素：大小和方向. 2.向量与向量的基线的区别.
空间中任意两个向量一定能转化到 同一个平面内吗？理由呢？
思考：空间中任意两个向量一定能转化到同一个平面内吗？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论1：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向段表示.
口诀： 首尾相接首尾连 口诀： 口诀： 或反方向伸长 共起点，对角为和 共起点，指向被减 或缩短
O
A
O
空间向量
转化
平面向量
空间向量加法的推广:
AB BC CC1 C1 B1 B1 D1 = AC1
空间向量的运算法则及运算律
运算法则 加法
三角形法则：
运算律 减法 数乘向量
a b
B
平行四边形法则：
C
a b
B
三角形法则：
C
a b
O A A 几何意义： a b OA AB OB a b OA OC OB a b OA OB BA 沿着 的方向
a
∥a
平面向量的运算法则及运算律
高中数学_3.1.1 空间向量的线性运算教学设计学情分析教材分析课后反思
本节课分为6个环节：引入概念，概念形成，概念深化，应用概念，归纳小结和布置作业。
其中重点是概念的形成和概念的深化，实际教学时间25分钟1。
引入概念在引入概念环节中，我以一个生活实例（学生从宿舍到操场上完操回到教室再由教室到餐厅就餐的过程）引出空间向量的问题，通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向。
这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用。
2。
概念形成首先我向学生展示预习学案当中学生复习巩固的平面向量的知识。
教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念。
我想学生提出问题：在已知平面向量的基本概念情况下如何研究空间向量的基本概念？学生回答：将平面向量的相关知识推广到空间向量。
师生小结：我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已。
以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了。
在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性。
接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点。
3。
概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律。
我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明。
接着由学生自主完成对加法结合律的证明。
教师小结：通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处。
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3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算（教学过程2） 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：由平面向量类比学习空间向量．
教学过程：
一、复习引入
1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
2. 向量的加减以及数乘向量运算：
向量的加法：
向量的减法：
实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0
. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？
二、新课讲授
1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.
→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？
2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
OB OA AB =+ =a +b ， AB OB OA =- （指向被减向量）， O P = λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．
⑴加法交换律：a +
b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +
c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++= ； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；⑶空间平行四边形法则．
5. 出示例：例1已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）
''''ABC D A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；
1(3)'2AB AD C C ++ ； 1(')3
AB AD AA ++ ⑷． 师生共练 → 变式训练
例2．如图，在长方体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点
E,F 分别是//,B D DB 的中点，设k OK j OJ i OI ===,,,试用向量k j i ,,表示OE 和OF
/
B 解：j
i
OE4
2
3
+
=
k
j
i
OF2
4
2
3
+
+
=
6. 练习：课本P73
7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）
三、巩固练习：作业：P85 1、2题.
四、布置作业
五、教学反思。