ch3.1 周期信号的频谱分析
周期信号及其频谱
50
2A
2 2A 2A
T O T2 2
2
2
30 0周O 期0三角3波0 50
2A t 2 70
(a)
(b)
2
a0 T
T 2 0
A
2A T
t
dt
A 2
4
an T
T 2 0
A
2A T
tcosn0tFra bibliotekt4A
n2
2
0
其幅频谱（单边谱）如图(a)所示。
n 1，3，5， n 2，4，6，
aanAn
(傅a) 里叶级数
可x知(tA) ，a0=0，an=0，Abnn=
2A n
1
cos
n
T
T
2
2
O
t
A
O 0 30 50 70 90
30 50 70 9 (b)
x(t)
4A
sin 0t
1 3
sin
30t(a)
1 5
sin
50t
1 7
sin
70t
(幅b)频谱
1.4 复数形式的傅里叶级数
傅里叶级数也可以表示成复指数形式的展开式。根据欧拉公式
若用复数形式表示，则根据
Cn
Cn
1 2
an
C0 a0
可求得如图(b)所示的幅频谱（双边谱）。
通过以上例题可以看出，周期信号有以下几个特点： （1）周期信号的频谱是由无限多条离散谱线组成的，每一条谱线 （单边谱）代表一个谐波分量。 （2）各次谐波的频率只能是基波频率的整数倍。 （3）谱线的高度表示了相应谐波分量的幅值大小。对于工程中常见 的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随着谐波次数的增高而减小。当谐 波次数无限增高时，其幅值就趋于零。
DSP实验报告-周期信号的频谱分析处理
实验报告一、实验目的和要求谱分析即求信号的频谱。
本实验采用DFT/FFT技术对周期性信号进行谱分析。
通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(ejω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T、抽样点数N）。
二、实验内容和步骤2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。
2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。
对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？2-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。
2-3-1 观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。
2-3-2 分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响；2-3-3 思考X(k)与X(e jω)的关系；2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。
三、主要仪器设备MATLAB编程。
四、操作方法和实验步骤（参见“二、实验内容和步骤”）五、实验数据记录和处理clc;clf;clear;%清除缓存%第一组数据的MATLAB程序（之后几组只需要将参数改变即可） T=0.000625;length=32;n=0:length-1;t=0:0.0001:31;%原序列和采样序列xn=sin(2*pi*50*n*T);xt=sin(2*pi*50*t);%画第一幅图（原序列和采样序列）figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt);xlabel('t');ylabel('xt');axis([0,0.2,-1.1,1.1]);title('原序列时域');subplot(2,1,2);stem(n,xn ,'filled');xlabel('n');ylabel('xn');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样后序列时域');%画第二幅图（采样序列实部、虚部、模和相角）figure(2);subplot(2,2,1);stem(n,real(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('real(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的实部');subplot(2,2,2);stem(n,imag(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('imag(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的虚部');subplot(2,2,3);stem(n,abs(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('abs(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的模');subplot(2,2,4);stem(n,angle(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('angle(xn)');axis([0,length,-(pi+0.5),pi+0.5]);title('采样序列的相角');%计算DFTDFT=fft(xn,length);%画第三幅图（DFT的幅度、实部和虚部）figure(3);subplot(3,1,1);stem(n,abs(DFT) ,'filled');xlabel('k');%DFT后的频域变量为kylabel('abs(DFT)');title('DFT 幅度谱');subplot(3,1,2);stem(n,real(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('real(DFT)');title('DFT的实部');subplot(3,1,3);stem(n,imag(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('imag(DFT)');title('DFT的虚部');六、实验结果与分析实验结果：第一组数据：实验名称：DFT/FFT的应用之一 确定性信号谱分析姓名：张清学号：3110103952 P.4第二组数据：第三组数据：第四组数据：第五组数据：第六组数据：6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U）和谱峰的数值（V）、混叠现象和频谱泄漏的有无。
§3-1 周期信号的频谱分析
E Edt T 1(V )
2
2
2 T x(t ) cosk1tdt T
2 2
2
E cosk tdt
1
2
2E T
2E 1 2 cos k1tdt T k1 sin k1t | 2
2
2E T
2 sin(k1 k1
) 2
2E k 8 k sin( ) sin( ) k T k 4
bk
2 T
T 2
x(t ) sin k1tdt
T 2
2 T
2
E sin k tdt 0
1
2
求得傅里叶级数展开式：
8 1 k x(t ) a0 ak cos k1t 1 sin( ) cos k1t k 1 k 4 k 1
6
4 0 2 3 4 5 6 7 8 9
c0
c2
k1
0 1 2131415161718191
ห้องสมุดไป่ตู้
k
0 2 3 4 5 6 7 8 9
k
k1
7 5
2 3 4 5 6 7 8 9
三、周期信号展开为三角函数式的傅里叶级数 高等数学中学过，周期信号x(t)当满足狄利赫里条件， 即在一个周期中： ⑴ 只有有限个一类间断点；
⑵ 只有有限个极值点，或称有限次振荡；
⑶ 绝对可积
T 2
T 2
x(t ) dt
于是，信号可展开为以下傅里叶级数
x(t ) a0 [ak cosk1t bk sin 1t ]
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
信号与系统分析宗伟 3
2
1
fT t
n jn1t F n e 1
由傅里叶级数的指数形式出发： 其傅氏变换(用定义)
FT F fT t
F F n 1 e j n1t F n 1 F e j n1t
3.2 非周期信号的频谱分析 ─ 傅里叶变换
1.从傅立叶级数到傅立叶变换
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了 非周期信号的单脉冲信号 频率也变成连续变量
频谱演变的定性观察
-T/2
T/2
-T/2
T/2
傅立叶 变换
傅立叶的逆变换
傅立叶 逆变换
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F()/2]d 的复指数信号ej t的线性组合。
傅立叶变换一般为复数
FT一般为复函数
若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数
傅立叶变换存在的充分条件
用广义函数的概念，允许奇异函数也 能满足上述条件，因而象阶跃、冲激 一类函数也存在傅立叶变换
傅立叶正变换：
傅立叶反变换： 符号表示：
试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数
[解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A
/ 2
/2
t
6. 卷积定理
(1)时域卷积定理
若 f1 (t ) F1 ( j ) , f 2 (t ) F2 ( j )
则 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
证明：F[ f1 (t ) f 2 (t )] [
n 1
3．确定信号的基频和周期
当不考虑信号的直流分量时, 的3个分量的角频率分别时 1/2,2/3,和7/6,相邻两个频率之比为3/4,4/7,和3/7,显然 三者之间呈现谐波关系,他们之中的最大公约数时1/6,因 此1/6是基频 ,也就时说该信号具有3次,4次和7次谐波, 进一步可求得周期
实验三_周期信号的频谱分析
实验三 信号的频谱分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征 二、原理说明：1、连续时间周期信号的傅里叶级数分析任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。
其中三角傅里叶级数为：∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1或： ∑∞=++=100)cos()(k k kt k ca t x ϕω 2.2其中102T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ϕ、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ϕ－0ωk 图像为相位谱。
三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。
也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
指数形式的傅里叶级数为：∑∞-∞==k tjk kea t x 0)(ω 2.3其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：⎰--=2/2/1110)(1T T tjk k dt et x T a ω 2.4指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度（complex amplitude ）为k a 。
信号系统ch3.1,3
则 只含有奇次谐波。
f4 (t)
...
T 2
T
...
T 2
t
（半波平移半周期关于横轴对称）
3.1.2 指数型傅里叶级数 前面的三角形傅氏级数使用不太方便，由
欧拉公式：
sin n 0t
1 2j
e e jn 0t
jn 0tLeabharlann cosn 0t1 2
e e jn 0t
jn 0t
代入三角形傅氏就是中去，有
1. f (t) f (t) ，偶函数：则 只含有常数项 和余弦项；而 bn 0 。
T
bn
2 T
2 T
f
(t ) sin n 0t d t
0
2
an
2 T
T
f (t) cos n0tdt
4 T
T 2 0
f (t) cos n0tdt
T
类似地
22
a0 T 0 f (t)d t
奇函数在对称 区间内积分为 零。
记为 f (t) Fn
是一对变换对。
（时域） （频域）
已知 f (t) 求 Fn 称为正变换： T
反之，称为反变换： (可见，非常紧凑)
Fn
1 T
2 T
f
(t )e j n 0 t dt
2
f (t)
Fne jn 0t
n
周期信号的指数型傅里叶级数:
f (t)
Fn e jn0t
（注意n的取值范
3.1.1 三角型傅里叶级数
一个周期为T的周期信号 f(t) ，若满足 狄里赫勒条件，可展开为三角型傅里叶级数。
狄里赫勒条件：（实际遇到的信号都满足）
1.一个周期内只有有限个不连续点；
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2、作频谱图
k
ak ck
0
1
4 4 2 2
2
4 4
3
4 2 3 4 2 3
4 5
0 0
6
4 3
7
4 2 7
8
9 10
4 2 9 4 2 9
1 1
4 4 2 4 2 3 5 7
0 0
4 5 4 5
4 2 5
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Signals & Systems9/24ຫໍສະໝຸດ §3.1 周期信号的频谱分析
2 bk T
2 x(t ) sin k1tdt T T
2
T 2
2
E sin k tdt 0
1
2
求得傅里叶级数展开式：
8 1 k x(t ) a0 ak cos k1t 1 sin( ) cos k1t k 1 k 4 k 1
k≥2 对应分量称为k次谐波分量： ckcos(kΩ1t+φk) 。
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§3.1 周期信号的频谱分析
四、周期信号的频谱与频谱图 将以上展开式中各分量的振幅ck和初始相位φk为函数，以角频 率kΩ1为自变量，这两个函数就是信号x(t)的振幅频谱和相位频谱。 对应函数的波形图，即是信号的频谱图。
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§3.1 周期信号的频谱分析
二、 连续时间周期信号 连续时间周期信号是在整个时间域里，满足以下函数关系的信
x(t )
E T
2 2
号
x(t ) x(t kT ) k为整数
2 2
T
t
上式中时间量T，是满足此关系的最小正实数，称作信号的周期。 周期信号的波形是呈周期变化的，单位时间变化的次数，称作信号 变化的频率，记为：f，单位为每秒次或Hz(赫兹)。它与周期的关系 f 1 T
2 ck ak bk2
ak ck cos k
例子中，当k= 5、6、7时cosφk =-1，所以 φk=±π 。
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§3.1 周期信号的频谱分析
ck
1
0 1 2131415161718191
k
k1
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§3.1 周期信号的频谱分析
ck e 1 Ak ck (cos k j sin k ) 2 2 1 (ak jbk ) 2
由于
jk
2 ak x(t ) cos k1tdt T T
2
T 2
2 bk x(t ) sin k1tdt T T
k 1
上式说明，连续时间周期信号可以由其平均分量和不同角频率 的余弦信号叠加而成。余弦信号的角频率kΩ1，只可能取信号角频 率Ω1的整数倍，称这种特性为谐波性。
k=0 对应的分量：c0=a0，称为直流分量，或平均分量；
k=1 对应分量称为基波分量：c1cos(Ω1t+φ1)，信号的角频率Ω1
称为基波角频率；
0 1 2131415161718191
k1
从上述例子中的频谱图看到，周期信号的频谱图有以下特点：
⑴ 图形类似于离散时间信号的波形，由一根根到频率轴上的 线段构成，因此称之为线谱或离散谱，线段称为谱线； ⑵ 谱线只可能出现在周期信号的基波频率Ω1的整数倍处，即 周期信号的频谱具有谐波性；
2
T 2
---分析式
jk1t x(t ) Ak e k
---综合式
分析式所求的傅里叶系数一般是一个复数，称为x(t)的频谱系数， 也称为傅里叶级数各分量的复振幅。
A e jk A e jk A k k k
c0 Ak ck 2
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§3.1 周期信号的频谱分析
根据以上算得的ak与ck的值，可作如下频谱图
ck
1
0 1 2131415161718191
k
k1
0 1 2131415161718191
k1
以上的相位频谱图是根据以下式子得到的
bk bk k arctg ( ) arctg ( ) ak ak
k 0 k 0
bk bk k arctg ( ) arctg ( ) ak ak
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§3.1 周期信号的频谱分析
在信号展开为指数形式的傅里叶级数情况下，其频谱的自变量： k取整数和零，其频谱图是双边的。其中振幅频谱，相当于将原三 角级数情况下的单边频谱（除k=0以外）振幅一分为二，分到k<0频 率上去了。
ck
c1
c0
Ak
c3 c5
k1
6 4
0 2 3 4 5 6 7 8 9
c2
k1
0 1 2131415161718191
k
0 2 3 4 5 6 7 8 9
k
k1
7
5
0
2 3 4 5 6 7 8 9
1 j ( k1t k ) j ( k1t k ) x(t ) c0 ck [e e ] 2 k 1 ck j ( k1t k ) ck j ( k1t k ) c0 e e k 1 2 k 1 2
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§3.1 周期信号的频谱分析
五、周期信号展开为指数函数的傅里叶级数 由前述知道，连续时间周期信号可展开为三角形式的傅里叶级
数：
x(t ) c0 ck cos(k1t k )
k 1
根据欧拉公式，上式可以写成
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§3.1 周期信号的频谱分析
解：1、求出傅里叶系数
1 a0 T 2 ak T
1 x(t )dt T T
2 T 2
T 2
E Edt 1(V ) T 2
2
2 x(t ) cos k1tdt T T
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§3.1 周期信号的频谱分析
令 于是有
a0 c0
ak ck cos k
bk ck sin k
bk bk k arctg ( ) arctg ( ) ak ak
2 ck ak bk2
ck bk k ak
例如：某周期性矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱如下
ck
c1
k
c0
c2
c3 c5
81
k1
0 1
516171
0 1 31 41
k1
例如：周期性矩形脉冲如下。已知 E=4V，τ=10μs，T=40 μs， x(t ) 试展开为三角形式的傅里叶级数 ， E
T
2
2
T
t
并作出其频谱图。
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§3.1 周期信号的频谱分析
ck e jk jk1t ck e j k jk1t x(t ) c0 e e 2 2 k 1 k 1
ck e jk jk1t ck e jk jk1t c0 e e 2 2 k 1 k 1
k1
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§3.1 周期信号的频谱分析
如前例：周期性矩形波幅度E=4V，宽度τ=10μs，周期T=40 μs，
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§3.1 周期信号的频谱分析
今后我们常用角频率，记为：Ω，单位为rad/s，读作每秒弧度。 它与频率的关系是
1 2f 2
T
三、周期信号展开为三角函数式的傅里叶级数
高等数学中学过，周期信号x(t)当满足狄利赫里条件，即在一个 周期中：
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§3.1 周期信号的频谱分析
§3-1 周期信号的频谱分析
一、 ejΩt作用于LTI系统的响应
由第二章知道，在ejΩt作用于单位冲激响应为h(t)的系统时，其 零状态响应
y(t ) e
jt
j ( t ) jt h ( ) e d h ( t ) e h(t )
第三章 连续时间信号与系统的傅里叶分析
§3-1 周期信号的频谱分析 §3-2 周期信号频谱的性质 §3-3 非周期信号的频谱分析---傅里叶变换 §3-4 典型非周期信号的傅里叶变换 §3-5 傅里叶变换的性质
§3-6 LTI系统的傅里叶分析
§3-7 周期信号的傅里叶变换 §3-8 抽样信号的傅里叶变换与抽样定理
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§3.1 周期信号的频谱分析
由前述知道
bk bk k arctg ( ) arctg ( ) ak ak