1.3.1__柱体、锥体、台体的表面积与体积

导过程.（难点）
2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体
积.（重点）
3. 熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系，培养转
化与化归的思想与空间想象能力. （难点）
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积， 以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开 图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高）， 3
棱锥体积 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间 的关系．
等底等高 的三棱锥 体积相等.
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的
1 ，即棱锥的体积 3
1 （其中S为底面面积，h为高）. V Sh 3 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面 面积乘高的 1．
【解析】六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的 差，即
3 10 2 2 V= 创 12 6? 10 3.14创 ( ) 10 4 2 » 2956(mm3 )
= 2.956(cm3 ).
所以螺帽的个数为5.8×1000÷（7.8×2.956）≈ 252（个）. 答：这堆螺帽大约有252个．
1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为( A )
2
圆锥的表面积
S
2 r
l
r
O
圆锥的侧面展开图是一个扇形，
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l ).
圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台 的侧面展开图是什么?
r 'O′
2 r '
2 r
l
r
O
圆台的侧面展开图是一个扇环，
S圆台表面积 (r2 r 2 r l rl ).
1 ×6×5=15, 2
所以S全=18+12 2 +15+15=48+12 2 .
1 63 2
2.（2012·新课标全国卷）如图所示：
网格纸上小正方形的边长为1，
粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（ B ）
A.6
C.12
B.9
D.18
【解析】选B.由题意知，此几何体是三棱锥，
1 1 1 其高h=3，相应底面面积为S= ×6×3=9 ， V = Sh = ×9× 3 = 9. 2 3 3
S S'
柱体、锥体、台 体的体积
1 台体 V ( S S S S ) h 3
S ' 0
锥体V
1 Sh 3
联系的观点
不能把希望叫做白日做梦，也不能把白日
之梦叫做希望。
/a/Agazbwz8/ /a/AGazbwz/ /a/Agyh/ /a/Agyxhhd/ /a/Agyhdm/ /a/Agdm/ /a/Agtsbywz/ /a/Agtsgf/ /a/yyAGpt/ /a/Agbcpt/ /a/Agzxylc/ /a/Agptwzdq/ /a/Agllqgfxz/ /a/Agptdh/ /a/Agtt/ /a/zxkc/ /a/Agwz/ /a/AGgw/
【解析】 因为 E 点在线段 AA1 上,所以 SDED1
1 1 1 1 ,又因为 F 点在线段 B1C 2 2
上 , 所 以 点 F 到 平 面 DED1 的 距 离 为
1 1 1 1 VD1 EDF VF DED1 SDED1 h 1 . 3 3 2 6
1, 即 h 1 , 所 以
答案：
1 6
5.（2012·上海高考）若一个圆锥的侧面展开图是面积
3 为2的半圆面,则该圆锥的体积为_________ 3

.
[解析] 如图, πl2 = 2π l=2,又 2r=lr=1,
1 3 2 π. 所以 h= 3 ,故体积 V = πr h = 3 3
侧面展开
h′
正棱台的侧面展开图
h′
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h′
h′
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它 们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面 积之和．
知识应用 例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积． 分析：四面体的展开图是由四个全等的等边三角形 组成． S 【解析】先求△SBC的面积，过点S作 SD ^ BC， 交BC于点D．
棱柱的侧面展开图 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
特别提醒
正棱柱的侧面展开图
将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体 几何问题最基本、最常用的方法.
棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何 计算它的表面积？
侧面展开
h′
正棱锥的侧面展开图
h′
棱台的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
S为底面面积， h为柱体高
S，S 分别为上、下底 面面积，h 为台体高
1 V Sh 3
S为底面面积， h为锥体高
知识应用 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）
六角螺帽共重5.8 kg，已知底面是正六边形，边长为
12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm，问这堆螺帽 大约有多少个（π 取3.14，可用计算器）？
3.已知一个圆柱底面直径和母线长均为 4，则该圆柱 的体积为 ( A.2 C. 8
D )
B.4 D. 16
4.（2012·山东高考）如图,正方体 ABCD - A 1B1C1D1 的棱长为 1,
1 ____________. 6
E,F 分别为线段 AA 1 ,B1C 上的点,则三棱锥 D1 - EDF 的体积为
【解析】
如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积
轾 15 2 15 20 1.5 2 犏 ) + ×15+ ×15 -π ( S =π创( ) 犏 2 2 2 2 臌
? 1000(cm )
2
0.1(m ).
2
20cm
15cm
15cm
涂100个花盆需油漆：
0.1×100×100=1000（毫升）.
空间问题
平面问题
知识探究 正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面 体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是 展开图的面积．
一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利 用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积． 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表 面积？
P l r P l h O 2r
1 2
3 答案： π 3
圆柱
S 2 r ( r l )
柱体、锥体、台体 的表面积
r r
圆台 S
( r 2 r 2 r l rl )
展开图
圆锥
r 0 S r (r l)
转化的思想
各面面积之和
柱体 V S h
3
台体体积
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截 成的，因此可以利用两个锥体的体 积差，得到圆台(棱台)的体积公式 (过程略) A
A
S
B
D
C

S
D
V = VP-ABCD - VP-ABCD
1 (S SS S)h 3
B
C
棱台（圆台）的体积公式
【提升总结】 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
r′＝r
r 'O′
l 上底扩大
O
l
r′＝0
l
r
O
上底缩小
r
O
S柱 2r(r l )
S台 (r2 r 2 r l rl )
S锥 r(r l )
知识应用
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.
柱体体积 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆 柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为
V S h（S为底面面积，h为高）．
一般柱体的体积也是
V Sh，
其中S为底面面积，h为柱体的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式是
1 它的体积是同底等高的圆柱的体积的 ． 3
A.48+ 12 2 C.36+ 12 2
B.48+ 24 2 D.36+ 24 2
【解析】选A.由三视图得棱锥如图所示，
AO⊥底面BCD，O是BD的中点，BC=CD=6，
BC⊥CD，AO=4，AB=AD.
1 S△BCD= 2×6×6=18, 1 S△ABD= 2×6 2×4=12 2 .
取BC的中点E，连接AE，OE. 可得BC⊥AE，AE= AO 2 +OE 2 =5, 所以S△ABC=S△ACD=
SD = SB × sin60o = 因为BC=a， 3 a, 2
A
所以
SΔSBC
1 1 3 3 2 = BC × SD = a× a = a. 2 2 2 4
B
D
C
因此，四面体S-ABC 的表面积为 4×
3 2 a = 3a2 . 4
圆柱的表面积
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是一个矩形，
S圆柱表面积 2r 2rl 2r(r l ).
底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆
壁长15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已
知每平方米用100 毫升油漆，涂100个这样的花盆
需要多少油漆（π 取3.14，结果精确到1 毫升，可