高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线
(完整word版)高中数学圆锥曲线知识点(word文档良心出品)
高中数学知识点 一圆锥曲线部分、平面解析几何的知识结构:炭|»■汕旷崔乂 —■ 才程，人闻性息、考点(限考)概要:1、椭圆：(1)轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长 2a 大于焦距2c 。
用集合表示为:｛刊昭+昭 =2肚,<2c?,巩出为定点｝②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为:厂国丽F •诵和廊阿 HSi^HSSJ^Tjj L|闿箫MWBUW 旧展rBe aglr ff<* 人卄武 -TRU ：在虹 L-fttW —ifeBSMKEA■・—奥・/RAgTE Em严闌* IS 幣内CL 耐 严・寰丫Lesgg*&和 <«)MtLlweA^B€ff«^B>g* < lt> 的比较4 山RHHA5il曲测6“旳左丈吞穴育啟/UMfl■相FT?F- = % 0 < f < k F为定点9 £为动点到定言线的距离e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁(2)标准方程和性质：2 2①范围：由标准方程^2 爲1知|x| a，|y| b，说明椭圆位于直线x a，a by b所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令x 0，得y b，则B1(0, b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
高中数学奔驰定理证明
高中数学奔驰定理证明在高中数学领域中，奔驰定理是一个极其重要且有趣的定理。
奔驰定理是数学中的平行线性质之一，它描述了平面上两组平行线之间的关系。
下面我们将简要介绍奔驰定理，并给出其简单证明。
奔驰定理的描述如下：如果在平面上有三组平行线，那么这些平行线所分割的任意两个平行线带有相同长度的线段之比也是相等的。
现在，我们来证明一下奔驰定理。
假设有三组平行线，分别为l1, m1, n1和l2,m2, n2，那么我们要证明的是线段l1与线段l2的比等于线段m1与线段m2的比，同时等于线段n1与线段n2的比。
我们首先选择一个起点P，并将P与三组平行线分别相交，分别标记为A, B, C。
根据平行线性质，我们可以得知线段PA与线段AB、PB与BC、PC与CA分别平行。
接下来，我们假设线段l1与线段l2之间的比为k，即l1:l2=k。
由于线段PA与线段AB平行，我们可以得到线段PA与线段AC的比也为k，即PA:AC=k。
同样地，我们可以得到PB:BC=k和PC:CA=k。
根据比例的传递性，我们可以得到PA:AC=PB:BC=PC:CA=k。
因此，我们可以得出结论：在平行线l1、m1、n1和l2、m2、n2的情况下，线段l1与线段l2的比等于线段m1与线段m2的比，同时等于线段n1与线段n2的比。
这样，我们就成功地证明了奔驰定理。
奔驰定理在几何学中具有广泛的应用，尤其在平行线和比例的问题中起到了关键作用。
通过理解和熟练应用奔驰定理，我们可以更好地解决相关的数学问题，提升我们的数学能力。
总结起来，奔驰定理描述了平面上两组平行线所分割的线段之比的相等性。
本文通过简单的证明过程展示了奔驰定理的准确性和重要性。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
通过对这些曲线的研究，我们可以更深入地理解数学的美妙之处。
本文将对高中数学中与圆锥曲线相关的知识点进行总结，包括基本概念、方程及性质等，帮助您更好地掌握这一部分的知识。
椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它是平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a的点的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，而常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
椭圆的性质包括离心率、焦距、焦点坐标等。
双曲线双曲线也是圆锥曲线中的一种，它是平面上到两个定点F1和F2的距离之差为常数2a的点的轨迹。
这两个定点称为双曲线的焦点，而常数2a称为双曲线的距离差。
双曲线的标准方程为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为双曲线的中心坐标。
双曲线的性质包括离心率、焦距、渐近线等。
抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它是平面上到一个定点F的距离与该点到直线l的距离相等的点的轨迹。
抛物线的标准方程为y²=4ax，其中a为抛物线的焦点到顶点的距离。
抛物线的性质包括焦点、准线、顶点、对称轴等。
圆锥曲线的运用圆锥曲线不仅在数学中有重要应用，还广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在天文学中，行星的运动轨迹可以用椭圆描述；在天体力学中，行星对星球的引力也可以通过椭圆来计算。
此外，圆锥曲线还被应用于天线的设计、椭圆轨道的卫星发射等工程领域。
由于圆锥曲线具有独特的性质，对于解决一些实际问题具有重要意义。
总结通过对高中数学圆锥曲线的知识点的总结，我们了解到椭圆、双曲线和抛物线的基本概念、方程及性质。
这些知识点不仅具有学科内部的联系，还与实际应用息息相关。
掌握这些知识，有助于我们更好地理解数学的美妙之处，同时也为未来的学习和工作奠定了坚实的基础。
【高中数学】知识点总结及公式：直线与方程、圆锥曲线与方程,赶快收藏!
【高中数学】知识点总结及公式：直线与方程、圆锥曲线与方程，赶快收藏！直线与方程直线的倾斜角1、定义：在平面直角坐标系中，当直线l与X轴相交时，我们取X轴为基准，使X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线l的倾斜角。
当l与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°。
2、取值范围：0°≤α<180°3、公式：k=tan αk>0 时α∈(0°，90°)k<0时α∈(90°，180°)k=0时α=0°当α=90°时，k不存在ax+by+c=0(a≠0)倾斜角为A，则tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)。
当a≠0时，倾斜角为90度，即与X轴垂直。
直线的斜率1、定义：斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。
当直线L 的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b(斜截式)，k即该函数图像(直线)的斜率。
2、需注意下面四点：(1)当直线L的斜率不存在时，斜截式y=kx+b，当k=0时y=b;(2)当直线L的斜率存在时，点斜式y2—y1=k(X2—X1);(3)当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1;(4)对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tan α。
直线方程1、一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】。
A1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行;A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合;横截距a=-C/A;纵截距b=-C/B。
2、点斜式：y-y0=k(x-x0) 【适用于不垂直于x轴的直线】。
表示斜率为k，且过(x0,y0)的直线。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结一、椭圆1.平面内与两个定点 , 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆. 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点, 两焦点的距离称为椭圆的焦距.2.椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<二、双曲线1.平面内与两个定点 , 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹称为双曲线. 即： 。
这两个定点称为双曲线的焦点, 两焦点的距离称为双曲线的焦距．2.双曲线的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 或 ,或 ,顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于 轴、 轴对称, 关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±3.等轴双曲线: 双曲线 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 , 离心率 . 4、共渐近线的双曲线系方程:三、抛物线1.平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 称为抛物线的焦点, 定直线 称为抛物线的准线.2.抛物线的几何性质:标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤3.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 , 称为抛物线的“通径”, 即 .4.焦半径公式:若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 5、焦点弦: = +p四、圆1.定义: 点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝, 其中定点O 为圆心, 定长r 为半径.2.方程: (1)标准方程: 圆心在c(a,b), 半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点, 半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程: ①当D2+E2-4F ＞0时, 一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程, 圆心为 半径是 。
高一数学竞赛常用定理
定理1.1等系数和线我们熟知，若=x+y，x+y=1那么C点在AB上，即A，B，C三点共线. 类似地，若x+y=m (m为常数)，就可以写成，=1不难发现，C点在与AB平行的直线A'B'上. 其中A'为向量的终点，B'为向量的终点. 这样向量问题就被赋予几何含义，从而简便地解决这一类问题.进一步探索，令x= 0或y= 0可以得到.例题1.1在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB=60°，C为(不包括端点)上的一点，且=x+y.(1)求x+y的取值范围；(2)若t=x+λy存在最大值，求λ的取值范围.解(1)如图1，C所在的在m=1和m=的两条等系数和线之间（包括MN，不包括AB），于是x+y 的取值范围是.图1 图2(2)如图2，将已知条件改写为=x+λy，于是t所对应的等系数和线是一系列与直线AP平行的直线，其中P为向量的终点.由于t有最大值，于是其对应的一系列等系数和线中必然存在与相切的一条，因此P位于线段MN上（不包括端点），其中AM与B处的切线平行，AN为A处的切线. 从而易得λ的取值范围是.已知O为锐角△ABC的外心，，且=x+y，求2x-y的取值范围.解设BD和CE为圆O的直径，则点A在劣弧DE上运动，于是=(-x)+(-y),且x, y < 0.方法一考虑到问题涉及的代数式为2x-y，为了利用向量分解的系数和的几何意义，将条件转化为=2x+,此时可知连接向量的终点F与向量的终点E的直线EF即等系数和线2x-y=1，如图.依次作出其等系数和线，可得2x-y的取值范围是.方法二根据题意，有，于是，且x, y<0配方，有，令则所求范围即2a的取值范围. 根据题意，有规划如图.不难得到，a的取值范围是，因此所求代数式的取值范围是根据外心的向量表达，有于是将已知条件整理为从而可得,π). 欲求代数式根据题意，有. 记2B = θ，则θ∈(π3由θ的取值范围不难得到的取值范围是例题1.3已知圆O：x2+y2=1为△ABC的外接圆，且tan A=2，若=x+y，求x+y的最大值.解如图，延长AO交边BC于点D，设，则有λλ于是由平面向量共线的表达可得λλ从而可得λ显然，当OD取最小值时x+y取得最大值，此时△ABC为等腰三角形，容易计算得定理2.1 极化恒等式（注：本节中，向量有时用粗体表示）设a，b是2个平面向量，则成立恒等式a·b[(a+b)2-(a-b)2]. ①有时也将式①写成4a·b=(a+b)2-(a-b)2.注式①表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出（也是向量内积的另一种定义），是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式．若a, b是实数，则恒等式①也叫“广义平方差”公式．极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即a·b[||2-||2].在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即a·b =||2-||2，它揭示了三角形的中线与边长的关系.例题2.1设△ABC，P0是边AB上一定点，满足4=，且对于边AB上任意一点P，恒有·≥·，则（）A．∠ABC=90° B. ∠BAC=90° C. AB=AC D. AC=BC解如图，取线段BC的中点M，则4·=(+)2-(-)2=4||2-||2.要使·的值最小，只需||取最小值。
圆锥曲线知识点
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。
圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。
本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。
其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。
根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。
1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。
圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。
2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。
椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。
抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。
4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。
双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。
而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。
2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。
对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。
3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。
例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。
4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。
高中数学奔驰定理
高中数学奔驰定理
高中数学奔驰定理是指一个在高中数学领域中十分重要的定理，它与数学中的奔驰曲线有关。
奔驰曲线是一种特殊的曲线，其特点是在不同的坐标系中呈现出不同的形状。
奔驰定理的关键思想是：对于给定的奔驰曲线，无论选取哪个坐标系，其上任意一点的坐标都满足某种特定的数学关系。
这个数学关系可以用一条方程来表示，并且具有特定的性质。
举一个简单的例子来说明奔驰定理的应用。
考虑一个奔驰曲线，其方程为y = x^2。
无论我们选择何种坐标系，只要我们在这条曲线上选取一点(x, y)，它的坐标都满足y = x^2这个方程。
这就是奔驰定理的核心思想。
奔驰定理在高中数学中的应用非常广泛。
通过奔驰定理，我们可以研究和理解各种曲线的特性和性质。
例如，在解析几何中，我们可以利用奔驰定理来推导和证明各种曲线的性质，如切线和法线的斜率、曲率等。
此外，奔驰定理还被广泛应用于微积分领域。
通过奔驰定理，我们可以研究曲线的导数和积分的性质。
例如，在求曲线的切线斜率时，我们可以利用奔驰定理来推导斜率的表达式，进而求解问题。
总的来说，高中数学奔驰定理是一个重要的数学定理，它通过奔驰曲线的特性和性质，帮助我们深入研究和理解各种曲线的特点。
在解析几何和微积分等领域中，奔驰定理的应用广泛且重要。
通过学习和理解奔驰定理，我们可以更好地掌握数学知识，为解决实际问题提供有力的数学工具。
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高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线4、2三角形“五心”的向量表示（二）旁心IA满足例题1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2a=b+c、 O，I分别为其外心和内心，求证：OI⊥AI、证明因而原命题得证、习题1如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a<b<c、D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE=a，O，I分别为其外心和内心，求证：OI⊥DE、习题2如图，O、G、I分别为三角形ABC的外心、重心、内心，且AG⊥OI，求证：、5、1圆锥曲线初步一、平行四边形中的一些结论① 在平行四边形ABCD中，对角线的平方和为边的平方和的两倍，即|AC|2+|BD|2=2(AB2+|AD|2)② 在此基础上，得出中线长公式：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，M为BC的中点，则有| AM|=2b2+c2-|a|22③ a，b共起点O，终点分别为A, B，则向量三角形为△OAB，由S=12absinθ得出向量三角形，平行四边形面积公式：S△=a|b|2-(ab)22二、硬解定理设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆τ:x2a2+y2b2=1交于A，B两点，O为坐标原点、联立直线与椭圆，可得a2k2+b2x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0必使Δ=4a2b2a2k2+b2-m2>0弦长|AB|为AB=k2+1∙ΔA=k2+1∙2aba2k2+b2-m2a2k2+b2点O到直线AB:kx-y+m=0的距离为d=|m|k2+1，则△AOB的面积为SΔAOB=12ABd=abmk2+1a2k2+b2-m2 =abm2a2k2+b21-m2a2k2+b2≤12ab当且仅当m2a2k2+b2=1-m2a2k2+b2，即a2k2+b2=m2时，取等号、三、仿射变换在求△OAB面积最大值的问题中，若椭圆特殊为圆，那么S=12r2sinθ≤12r2，当OA⊥OB时等号成立、那么对于椭圆τ: x2a2+y2b2=1，我们设x`=x, y`=bay，在新的坐标系下得到x`2+y`2=a2所以面积取到最大值时，kOA`kOB`=yA`xA`yB`xB`=-1即yAyBxAxB=-b2a2也就是kOAkOB=-b2a2四、垂径定理已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A，B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积kABkOM=-b2a2注一：当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二：这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三：双曲线x2a2-y2b2=1的垂径定理中的斜率之积kABkOM=b2a2五、切线公式在任意二次曲线Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上一点P (x0, y0)处的切线方程为：Ax0x+By0y+Cx0+x2+Dy0+y2+F=0六、面积公式由有向线段OA(x1,y1)和OB(x2,y2)围成的△OAB的有向面积SOAB=12x1y1x2y2例题设a1, a2, a3, a4∈R，且a1a2a3a4=1, 记f (a1, a2, a3, a4)= a12+a22+a32+a42+a1a3+a2a4，求f (a1, a2, a3, a4)的最小值。
解设m=a1,a2,n=a3,a4⇒f=|m|2+|n|2+mn，记cosθ=mn|m||n|，则SΔ=12mnsinθ=12mn1-cosθ=…=12a1a2a3a4=12 ⇒mn=1sinθ ⇒f≥2mn+mn=2sinθ+cosθsinθ ≥3、6、1阿波罗尼斯圆动点P(x, y)到定点F1(-c, 0), F2(c, 0)的距离之比为λ、(c, λ为正数)，则P点的轨迹方程1-λ2x2+1-λ2y2+2c1+λ2x+1-λ2c2=0讨论：1、当λ=1时，即x=0, P点轨迹为直线(F1F2的中垂线)2、当λ≠1时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆进一步，对于圆锥曲线有: 动点P到动点F与定直线l的距离之比为定值λ、则动点P的轨迹是二次曲线、其中λ即圆锥曲线的离心率e、快速判断直径，圆心的方法：过P作内外角平分线分别交直线F1F2于T，D，则根据角平分线性质容易得到TD为直径、即：在F1F2上找到一对调和分比点T，D(根据比例可以快速判断)，TD 中点即圆心、另：角平分线性质：|PF1||PF2|=|TF1|TF2|PF1||TF1|=|PF2||TF2|例题求满足条件BC=2，|AB||AC|=2的△ABC的面积的最大值。
解S△ABC≤12BCr=12BC12+1+12-1|BC|2=12222其实不难发现通式r=1λ+1+1λ-1|BC|2=λλ2-1|BC|习题1已知两定点A(-2,0), B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹所包围的面积、习题2已知共面向量a, b, c满足| a |=3, b + c=2a, 且| b |=| b-c |，若对于每个确定的向量b，记| b-ta |(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为？7、1托勒密定理平面上四边形的四边与对角线满足关系：对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等、例题1已知△ABC满足A=π3，AB+ACBC=0，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是？静态观察（解法一）易知△ABC为等边三角形，如图，设MA=x，AB=BC=CA=t，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得tx≤3t2t≤tx+t于是1≤x≤3、由于两侧等号均能取得（如图），又根据图形连续变化，因此MA的取值范围是[1,3]、动态探索（解法二）如图，先固定B，M，使得BM=2，然后让C在半径为1的圆M上运动，观察A点的轨迹（暂时忽略M在△ABC外的条件）、由平面几何知识容易得到A的轨迹是圆M绕点B旋转60后得到的圆N，据此容易求得MA的取值范围是[1,3]（注意取得最值时M均在△ABC外部）、例题2已知椭圆x22+y2=1，P在椭圆上，求P点到G点0,12的距离的最大值、解根据托勒密定理有|PG|2c≤2a|GF1||PG|≤102当且仅当P，F1，F2，G四点共圆时等号取得、易知等号可以取得、此时PG垂直过P的切线l，且PG平分∠F1PF2，这里用到了一个二级结论：圆锥曲线上一点的切线为该点与焦点组成的焦点三角形的外角平分线、同时证明了取得最大值时, PG总在PF1，PF2之间，也即构成凸四边形，从而可以利用托勒密定理、进一步思考，当离心率为22时，这种做法只适用于G点在短轴上时，（此时GF1F2的外接圆与椭圆有交点）；若G在短轴所在直线上（不在短轴上），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到、更一般的表述：这种做法只适用于G点在短轴所在直线上时，（且此时GF1F2的外接圆与椭圆的另半部分有交点）；若G在短轴所在直线上（且此时GF1F2的外接圆与椭圆另半部分没有交点），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到、其中“椭圆另半部分”是指，当G在x轴一侧时，x轴另一侧的椭圆曲线被称为“椭圆另半部分”、其他情况，利用二次函数最值求解、8、1向量叉乘注：本节中，向量用黑体表示在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。
在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。
1、叉乘的定义要确定一个向量，需要知道它的模和方向。
如图1，对于给定的向量a和b，规定向量c=ab，满足：（1）模：|c|=|a||b| sina,b（2）方向：向量c的方向垂直于向量a和b，且符合右手定则：用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ∈[0,π]到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。
这里的θ也就是a,b。
这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。
应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。
给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。
2、叉乘的性质（1）显然有aa=0（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即ab=-ba，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足0≤θ≤π，也就使得积向量反向。
（3）易得对数乘的结合律，即(λa)b=a(λb)=λ(ab)（4）可以证明分配律：(a+b)c=ac+bc或a(b+c)=ab+ac3、叉乘的几何意义如图，在平面上取点O，作OA=a，OB=b，|ab|=|a||b| sina,b，由三角形面积公式S=12ab sinθ可知|ab|表示以OA, OB为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是以OA, OB为两边的平行四边形的面积。
即|ab|=2S△OAB=SOABC4、叉乘的坐标表示将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。
要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基单位正交基底出发。
给定一组单位正交基底{i, j, k}，为满足运算要求，应使i, j, k符合右手定则，即建立一个右手系，如图。
这样一来就有ij=k ji=-k ik=-j ki=j jk=i kj=-i从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。
可设a=a1i+a2j+a3k=(a1, a2, a3), b=b1i+b2j+b3k=(b1, b2, b3)则ab=(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k)，由向量叉乘的分配律可知，原式=a1b2ij+a1b3ik+a2b1ji+a2b3jk+a3b1ki+a3b2kj=a1b2k+a1b3(-j)+a2b1(-k)+a2b3i+a3b1j+a3b2(-i)=(a2b3-a3b2)i +(a3b1-a1b3)j +(a1b2-a2b1)k=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)即(a1, a2, a3)(b1, b2, b3)=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)，这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。
5、叉乘的实际应用（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了极大简化。
【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A(1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行四边形的面积。
【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出AB和AC的夹角，再用S=12ab sinθ等相关公式计算。