方法技巧5 离散型随机变量的应用

方法技巧5 离散型随机变量的应用【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用，常以解答题形式出现． 方法1：公式法解题步骤 直接用公式计算离散型随机变量的分布列、期望与方差．适用情况适用于可直接用公式求解的问题.【例1】►(2012·黄冈中学月考)某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是13.求抽奖者获奖的概率； (2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及E (ξ)，D (ξ)． 解 (1)设“世博会会徽”卡有n 张， 由C 2nC 210＝13，得n ＝6，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为C 24C 210＝215.(2)由题意知，符合二项分布，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，215，故ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫215k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13154－k(k ＝0,1,2,3,4)或 ξ 0 1 2 3 4 P⎝ ⎛⎭⎪⎫13154 C 14215⎝ ⎛⎭⎪⎫13153C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫2152⎝ ⎛⎭⎪⎫13152 C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫2153⎝ ⎛⎭⎪⎫1315 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2154由ξ的分布列知，E (ξ)＝4×215＝815， D (ξ)＝4×215×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－215＝104225.方法2：方程法解题步骤① 利用题干条件列方程；②利用方程计算概率问题．适用情况适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题.【例2】►某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？(2)依次任意抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？(3)依次任意抽取该零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ. 解 (1)设A 、B 两项技术指标达标的概率分别为P 1、P 2，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ P 1·(1－P 2)＋P 2·(1－P 1)＝512，1－(1－P 1)(1－P 2)＝1112解得⎩⎪⎨⎪⎧P 1＝34，P 2＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧P 1＝23，P 2＝34，所以P ＝P 1P 2＝12，即一个零件经过检测，为合格品的概率为12.(2)任意抽出5个零件进行检测，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫125－C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝1316.(3)依题意知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，故E (ξ)＝4×12＝2，D (ξ)＝4×12×12＝1. 方法运用训练51．(2011·雅礼中学英特班质检)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设X 表示游戏终止时掷硬币的次数． (1)求X 的取值范围； (2)求X 的数学期望E (X )．解 (1)设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎩⎨⎧|m －n |＝5，m ＋n ＝X ，1≤X ≤9，可得：当m ＝5，n ＝0或m ＝0，n ＝5时，x ＝5. 当m ＝6，n ＝1或m ＝1，n ＝6时，X ＝7. 当m ＝7，n ＝2或m ＝2，n ＝7时，X ＝9. 所以X 的所有可能取值为：5,7,9. (2)P (X ＝5)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝232＝116；P (X ＝7)＝2C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝564； P (X ＝9)＝1－116－564＝5564； E (X )＝5×116＋7×564＋9×5564＝27532.2．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求： (1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)．解 令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝122＋122＝1 2，P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝123＋123＝14，P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝124＋124＝18，P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝125＋125＝116，P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝125＋125＝116，故有分布列ξ2345 6P 121418116116从而E(ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716(局)．3．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ0234 5P 0.03P1P2P3P4(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解(1)设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)＝0.25，P(A)＝0.75，P(B)＝q2，P(B)＝1－q2.根据分布列知ξ＝0时，P(A B B)＝P(A)P(B)P(B)＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.(2)当ξ＝2时，P1＝P(A B B＋A B B)＝P(A B B)＋P(A B B)＝P(A)P(B)P(B)＋P(A)P(B)P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝1.5q2(1－q2)＝0.24.当ξ＝3时，P2＝P(A B B)＝P(A)P(B)P(B)＝0.25(1－q2)2＝0.01，当ξ＝4时，P3＝P(A BB)＝P(A)P(B)P(B)＝0.75q22＝0.48，当ξ＝5时，P4＝P(A B B＋AB)＝P(A B B)＋P(AB)＝P(A)P(B)P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24，所以随机变量ξ的分布列为ξ0234 5P 0.030.240.010.480.24随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(B BB＋B B B＋BB)＝P(B BB)＋P(B B B)＋P(BB)＝2(1－q2)q22＋q22＝0.896；该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．4．(2011·效实中学1次月考)一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710.并指出袋中哪种颜色的球个数最少．(1)解 ①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P (ξ＝3)＝112，ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P112512512112ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32. (2)证明 设袋中有n 个球，其中y 个黑球， 由题意得y ＝25n ，由2y ＜n,2y ≤n －1，所以y n －1≤12.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则P (B )＝C12n 5C13n 5＋C22n 5C 2n＝25＋35·2n 5n －1＝25＋35·y n －1≤25＋35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．。