2.1.1直线的倾斜角与斜率-导学案
编制人：张晓红 审核人：冯王林 日期： 编号： 班级： 姓名： 组别： 评价：
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直线的倾斜角与斜率（导学案）
使用说明： 1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本6259p页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成自测练习。 【学习目标】 1．了解在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念直线的 3．掌握过两点的斜率的计算公式 【重点难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念； 难点：直线的倾斜角与斜率的关系 一、知识链接 1.在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2．在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、教材助读 1.直线的倾斜角 （1）在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素有 （2）倾斜角的定义是 （3）当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 度 （4）直线倾斜角的范围为 试试：请描出下列各直线的倾斜角 函数y=x的图像的倾斜角为 , y=-x的图像的倾斜角为 , 直线x=1倾斜角为 ,直线y=0倾斜角为 2.直线的斜率 （1）在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？ （2）斜率的定义:一条直线的倾斜角 a (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率,记为k=tan a 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 α=0°时，则k 0°<α< 90°,则k α= 90°，,则k
90 °<α< 180°，则k
3．过两点的直线斜率的公式
(1)由直线上两点),(11yxA、),(22yxB来求直线的斜率k的公式是：
当21xx时，k=
当x1=x2 时, k
（2）如果1212,xxyy 则直线与x轴 k=
如果1212,xxyy 则直线与x轴 倾斜角等于 k
（3）直线的斜率与所选择直线上两点的位置有无关系？顺序有无关系？
预习自测
1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率
（１）30（２）135（３）90
2．已知直线的斜率求直线的倾斜角
（１）0k （２）1k （３）3k （４）k不存在
3．分别求经过下列两点的直线的斜率
（1）（2，3）和（4，5） （2）（-3，-1）和(2，-1)
（3）（1，3）和（-1，33）
4.过点),2(mP和)4,(mQ的直线的斜率等于1，则m的值为___________
基础知识探究
1.直线的倾斜角与斜率的关系
(1) 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足关系式_________;当直线
与x轴垂直时，直线的斜率________
预习案
探究案
编制人：张晓红 审核人：冯王林 日期： 编号： 班级： 姓名： 组别： 评价：
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(2) 直线的斜率反映了直线相对于 的倾斜程度，当a［0°，90°）时，斜率是 ，倾斜角越大，直线的斜率就 ；当a（90°，180°）时，斜率是 ，倾斜角越大，直线的斜率就 (3)每一条直线都存在惟一的倾斜角吗？每一条直线都有惟一的斜率吗？直线的倾斜角确定斜率是否相应确定？直线的斜率确定倾斜角是否相应确定？ 综合应用探究 1．判断三点（-2，-2）、（0，0）、（1，1）的位置关系，并说明理由. 2．直线l经过)1,(mA,)1,(2mmB,求直线的斜率 当堂检测 1.若直线上有两点的横坐标均为1，则直线的倾斜角为 2．经过)0,2(A,)3,5(B两点的直线的倾斜角为______________ 3．直线经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则为_______ 角；k的取值范围为_____________ 4. 在同一坐标系下，经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为① 0，② 不存在， ③ 1， ④ -1 5．已知一条直线过点A(ba3,2)和B(ab6,4)，并且0a，求此直线的斜率
我的收获
课时小结
1．任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，范围是
2．直线斜率的求法：
（1） 利用倾斜角的正切来求；
（2） 利用直线上两点的坐标来求；
（3） 当直线的倾斜角为90度时，直线的斜率 。
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系
直线的倾斜角 直线的斜率k 直线的斜率公式
定义
取值范围
自我评价：你完成本节导学案的情况为
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
2.1.1倾斜角与斜率
注意：
(1)x轴的正方向 (2)直线向上方向；
(3)当直线l与x轴平行或重合时，我们规定他的倾斜角为0°
(4)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°
y
yl
α3 α2
α1
o
xo
x
二、练习巩固
下列四图中，表示直线的倾斜角正确的是( AD )
y
y
x x
o
a
A
y
o
Ca
x
o
B
a
y
a
x
o
D
三、斜率
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，一般地，如果直线l经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),α与P1、P2的坐标有什么关系？
P1P2 (x2 x1, y2 y1)
t an y2 y1
x2 x1
P2P1 (x1 x2 , y1 y2 )
t an y1 y2 y2 y1
x1 x2 x2 x1
我们把倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.即k=tanα
t an y2 y1 (或 t an y1 y2 )
一、新课探究 1、确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条
直线l，如何利用坐标系确定他的位置？
2、一个点可以确定无数条直线，这些直线的区别是什么？
y
3、如何描述这些直线的倾斜程度?
o
x
1、倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向
与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
五、课堂练习 练习 1 经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求出其斜率．
(1)P(1，1)，Q(－1，－2)； (2)P(－2，－3)，Q(－2，3)； (3)P(2，1)，Q(m，2)．
高中数学选择性必修一课件：2.1.1倾斜角与斜率
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2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
解：(1)由斜率公式得kAB＝1－1－－11＝0，
kBC＝
32＋－11－1＝
(2)根据题意，画出图形，如
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因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题 意 ． 通 过 画 图 可 知 ： 当 0°≤α<135° 时 ， 倾 斜 角 为 α ＋ 45° ， 当 135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°.
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题型1 对直线的倾斜角、斜率的理解
(1)下列说法中，正确的是 A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0 D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
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【例题迁移】 (变换条件)若将本例(2)改为点D在线段AB上(包括 端点)移动时，求直线CD的斜率的变化范围．
解：如图，直线CD绕点C从A旋转至B时，与AB相交，其倾斜角在
逐渐增大，斜率也逐渐增大．
当与y轴重合时，斜率不存在，
旋转到y轴左边时，倾斜角为钝角，斜率为负值． 由kAC＝3－3－－02＝53，kBC＝2－－4－ －20＝－1，
江苏省高邮市送桥中学苏教数学必修二导学案 2.1直线的斜率(2)
第2课时 直线的斜率（2）【学习目标】理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；掌握直线的 斜率与倾斜角之间的关系.【学习重点】理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.【预习内容】1、已知︒ ︒ ︒ ︒ ︒ ︒ ︒=1501351206045300，，，，，，α，求αtan ．2、直线的斜率与倾斜角的关系【新知学习】问题：在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？【新知深化】 1. 倾斜角的定义： 规定：由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是 2．直线的斜率与倾斜角的关系：当直线与x 轴不垂直时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足 ； 当直线与x 轴垂直时，直线的斜率k ，但此时倾斜角α为 ． 3．斜率与倾斜角之间的变化规律：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为正； 当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为负；并规定=αtan ；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大．【新知应用】例1. 已知直线经过点(2,0)A -，)3,5(--B (5,3)B -，则该直线的倾斜角为___________变式1：已知过点()32 ，m A 、()12- ，B 的直线的倾斜角为︒135，求实数m 的值．变式2：已知两点A （m ，3），B （2，3+23），直线l 的斜率是33，且l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的31，求m 的值．例2. 过两点（－3，1），（0，b ）的直线l 的倾斜角介于30°与60°之间， 求实数b 的取值范围。
例3. 设点），（，，23)32(- - - B A ，直线l 过点)21( ，P ，且与线段AB 相交， 求直线l 的斜率的取值范围．【新知回顾】第2课时 直线的斜率（2）作业1．判断正误：（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率．（ ） （2）若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan ． （ ） （3）倾斜角越大，斜率越大． （ ） （4）直线斜率可取到任意实数．（ ）2．光线射到x 轴上并反射，已知入射光线的倾斜角︒=301α，则斜率=1k ________，反射光线的倾斜角=2α_____________，斜率=2k ____________．3．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角为____ _． 4．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 25．过点()2,3-M 、()3,2-N 6．已知过点()m 21-，、()3+ -m m ，的直线l 的倾斜角 为60°，则实数m 的值为 ． 7．在下列叙述中：①一条直线倾斜角为α，则它的斜率为αtan =k ； ②若直线斜率1-=k ，则它的倾斜角为135°；③若()()3131- ，，，B A ，则直线AB 的倾斜角为90°； ④若直线过点()21 ，，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过()43 ，点； ⑤若直线斜率为43，则这条直线必过()11 ，点与()45 ，两点． 请选择所有正确命题的序号 ．8．设直线1l 的斜率为3，直线2l 的倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则2l 的斜率为 ．9．已知()m m M ，32+，()12 -，m N ， （1）若直线MN 的倾斜角为直角，求m 的取值； （2）若直线MN 的倾斜角为锐角，求m 的取值．x。
高中数学北师大版必修二2.1.1 教学设计 《直线的倾斜角和斜率》
《直线的倾斜角和斜率》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，是高中解析几何内容的开始。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线与其几何性质的基础。
本节有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
◆教学目标【知识与能力目标】正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
【过程与方法目标】通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
【情感态度价值观目标】通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
◆教学重难点◆【教学重点】抽象概括直线的倾斜角和斜率的概念，探索发现过两点的直线的斜率公式。
【教学难点】直线的倾斜角概念的形成、斜率的概念的理解。
◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线。
那么, 经过一点P 的直线l 的位 置能确定吗？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
如图, 过一点P 可以作无数多条直线a ,b ,c , …易见,答案是否定的。
这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P ； (2)它们的‘倾斜程度’不同。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）直线的倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l , 把 x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角叫做直线l 的倾斜角。
倾斜角与斜率(优秀经典导学案)
3.1.1倾斜角与斜率一、课时目标1.理解直线的倾斜角与斜率的概念．(重点)2.掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3.掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)二、自主学习1、知识点（一）倾斜角定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，轴正向与直线l向方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为记法α图示范围0°≤α＜180°作用(1) 表示平面直角坐标系内一条直线的(2) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的，二者缺一不可三、课堂练习1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率B．倾斜角为135°的直线的斜率为1C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanαD．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝()A．－32 B.32C．－1 D．1定义(α为直线的倾斜角) α≠90°一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率α＝90°直线斜率不存在记法k，即k＝范围公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的.3．如图3－1－3，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为______．图3－1－34．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)，若点D在线段BC上移动时，求直线AD斜率的变化范围．。
高中数学北师大版必修2第二章2.1.1直线的倾斜角与斜率说课课件
教材分析
板书 设计
教法分析
学法分析
3.3.1 倾斜角与斜率
一、倾斜角 三、两点斜率公式 多媒体展示区
二、斜率
四、例题讲授
教材分析
作业 布置
必做题 选做题
教法分析
学法分析
教材分析
教法分析
教学过程
教法
讲授法、探究式教学法
教学手段 多媒体
学法
引导探究、小组讨论、合作交流
k y2 y1 x2 x1
（其中x1 x2 ）
教材分析
教学过程
教法分析
四、应用举例，巩固提高
学法分析
教材分析
教学过程
变式训练：
教法分析
学法分析
教材分析
课堂小结
教学过程
教法分析
学法分析
从0增大到+∞
从-∞增大到0
4.数学思想：“几何问题代数化”即“坐标化”的思想，倾斜角α从“形” 上反映直线的倾斜程度，而斜率k则从“数”这一角度反映直线的倾斜程度.
教材分析
教学过程
教法分析
学法分析
学情 在初中时，学生已经学习过一次函数是一条直 分析 线，知道找到直线上的两个点，然后即可以得
到这条直线的图像。对解析几何已经有了初步 的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下 了基础，但是他们的动手操作能力不强，抽象 概括能力，推理能力还不够，所以接下来要引 导学生思考问题，深入浅出的分析。
教材分析
教学过程
教法分析
教材分析
学法分析
教法分析
学法分析
教学过程
教材分析
教学过程
教法分析
学法分析
地位 及作用
《直线的倾斜角与斜率》是北师大版高中数学 必修二第二章第一节第一部分的内容。该节是 学习了空间几何后学习用代数方法研究解析几 何的入门课。直线的倾斜角和斜率是解析几何 的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何 要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐 标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性 质（如直线位置关系、交点坐标、点到线的距 离等）的基础。通过该节内容的学习，帮助学 生初步了解直角坐标平面内的几何要素代数化 的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基础 研究方法。本节有着开启全章，承前启后，奠 定基调，渗透方法作用。
【新教材精创】2.1.1 倾斜角与斜率(教学设计)-人教A版高中数学选择性必修第一册
2.1.1 倾斜角与斜率本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习直线倾斜角与斜率。
直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发,引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定,是今后学习直线方程的必备知识。
它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用,而且通过本节课的学习,能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法,并初步体会坐标法的思想。
1.教学重点:理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系2.教学难点:过两点的直线斜率的计算公式.多媒体一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A 点前进到B 点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB 的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DB AD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 二、探究新知一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可点睛:倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 1.下列图中表示直线倾斜角为( )通过生活中的现实情境,提出问题,帮助学生建立倾斜角与斜率的概念,引导学生回顾初中坡脚概念及三角函数知识,为直线倾斜角和斜率作知识上的准备。
21.直线的点斜式方程导学案(解析版)
2.1.1直线的点斜式方程导学案【学习目标】1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题【自主学习】知识点一直线的点斜式方程y－y＝k(x－x)知识点二直线的斜截式方程y＝kx＋b【合作探究】探究一直线的点斜式方程【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．归纳总结：(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．【练习1】(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．【答案】 (1)x ＝－3 (2)y －3＝－12(x －1)(3)y ＋2＝3(x ＋1)解析 (1)∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝－3.(2)由题意知，直线l 与直线y ＝2x ＋1垂直，则直线l 的斜率为－12.由点斜式方程可得l 的方程为y －3＝－12(x －1)．(3)∵直线l 2的方程为y ＝33x ， 设其倾斜角为α，则tan α＝33，∴α＝30°， 那么直线l 1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l 1的点斜式方程为y ＋2＝tan 60°(x ＋1)，即y ＋2＝3(x ＋1)．探究二 直线的斜截式方程【例2】(1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_______． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程． (1)【答案】 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3. (2)解 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2， 由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2， 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.归纳总结：(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．【练习2】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.探究三 平行与垂直的应用【例3】(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 解 (1)由题意可知，1l k ＝－1，2l k ＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4，∵l 1⊥l 2， ∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．归纳总结：设直线l 1和l 2的斜率k 1，k 2都存在，其方程分别为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：(1)l 1∥l 2∥k 1＝k 2，且b 1≠b 2；(2)k 1＝k 2，且b 1＝b 2∥两条直线重合；(3)l 1∥l 2∥k 1·k 2＝－1.【练习3】已知直线l ：y ＝(a 2－2)x ＋2a ＋9与直线y ＝－12x ＋1垂直，且与直线y ＝3x ＋5在y 轴上的截距相同，求a 的值．解 由题意知：(a 2－2)×(－12)＝－1，解得a ＝±2.经检验知a ＝－2符合题意．课后作业A组基础题一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为()A．y－2＝－33(x＋4)B．y－(－2)＝－33(x－4)C．y－(－2)＝33(x－4)D．y－2＝33(x＋4)【答案】B解析由题意知k＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－33(x－4)．2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2斜率的2倍的直线方程是()A．y＝－1B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)【答案】C解析由方程知已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)．3．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )【答案】 B解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距正负相反．4．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4【答案】 D解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.5．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B解析 ①中方程：k ＝y －2x ＋1中x ≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④错误，②③正确．6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)【答案】 C解析 直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．7．若原点在直线l 上的射影是P (－2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x ＋2) C ．y ＝2x ＋5 D ．y ＝2x ＋3【答案】 C解析 ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2，∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C. 二、填空题8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．【答案】 [32，＋∞)解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 10．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________． 【答案】 y ＝34x －3解析 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34，设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b 1，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a 1＝－43b 1.∵a 1＋b 1＝－43b 1＋b 1＝－13b 1＝1，∴b 1＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.11．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3，由题意得|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12， |b |＋43|b |＋53|b |＝12，4|b |＝12，∴b ＝±3，∴所求直线方程为y ＝34x ±3. 三、解答题12．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程．解 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，即2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)， 即y ＝35x ＋3. 13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率为32， 故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ， l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35， 所以直线l 的方程为y ＝32x －35.B组能力提升一、选择题1．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)【答案】D[由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为相反数，∥k AO＝3，k AB＝－3，由点斜式方程得y－3＝－3(x－1)．]2．(多选题)下列说法正确的有()A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)C．过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y＋1＝－3(x－2)D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3.【答案】ABC[A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，∥(k，b)在第二象限，正确．B 中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，正确．C中根据点斜式方程知正确．D 中，由斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．]二、填空题3．将直线y＝x＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．【答案】y＝3x解析由y＝x＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程有y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .4．若直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x ＜3时，直线l 上的点都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－2,1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡151-，[由y ＝kx ＋2k ＋1得y －1＝k (x ＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2,1)．又设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若－3＜x ＜3，直线l 上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0， 解得－15≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.] 5．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 的方程为________．【答案】y ＝－23x ＋13[由题意知，直线l 的斜率为－23，设其方程为y ＝－23x ＋b ，分别令x ＝0，y ＝0，得直线在y ，x 轴上的截距分别为b ，32b ， 则b ＋32b ＝56， 解得b ＝13， 故直线l 的方程为y ＝－23x ＋13.] 三、解答题6．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的方程，使得：(1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解 (1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34. ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在y 轴上的截距为b ，则l ′在x 轴上的截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·|－34b |＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463. 7．已知直线l 过点(1,0)，且与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，求直线l 的方程．[解]∥直线y＝3(x－1)的斜率为3，∥其倾斜角为60°，且过点(1,0)．又直线l与直线y＝3(x－1)的夹角为30°，且过点(1,0)，由图可知，直线l的倾斜角为30°或90°.故直线的方程为x＝1或y＝33(x－1).。
2.1.1 直线的倾斜角与斜率-新教材 高二数学人教A选择性必修第一册第2章
知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系
思考1
在日常生活中，我们常用“ 升高量” 前进量
表示“坡度”，图(1)(2)
中的坡度相同吗？
答案 不同，因为32 ≠22
答案
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α， 图(2)中，坡度＝tan β.
答案
解析答案
(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动， 求直线AD的斜率的变化范围. 解 如图所示： 当点D由B运动到C时， 直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 所以直线AD的斜率的变化范围是 17，53 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条 直线上，求直线的斜率k及a，b的值. 解 由题意可知kAB＝53－－11＝2，kAC＝7a－ －11＝a－6 1 ，kAD＝－b－ 1－11＝b－－21. 因为A，B，C，D四点在同一条直线上， 所以k＝2＝a－6 1 ＝b－－21 ， 解得a＝4，b＝－3， 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
解析答案
类型三 斜率与倾斜角的综合应用 例3 (1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2 , 5)，P3(3,1)是 此直线上的三点，求x2，y1的值； 解 ∵α＝45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴kp1p2 ＝kp2 p3＝k， ∴5x2－－y21 ＝31－－x52 ＝1 ， 解得x2＝7，y1＝0.
解析答案
(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_0_°__<_α_≤__9_0° (其中m≥1).