《辅助角公式》专题(更新版)
辅助角公式的推导(最新整理)
个角 ,它的终边经过点 P.设 OP=r,r=
a2 b2 ,由三角函数的定义知
的终边 y
P(a,b)
r
sin = b = b , r a2 b2
cos = a a . r a2 b2
O
x
图1
所以 asin +bcos == a2 b2 cos sin + a2 b2 sin cos
32 3
（２）
23
2 [sin(
) cos
cos(
) sin ]
33
3
3
3
2
2 sin(
)
33
在本例第（１）小题中， a 3 ， b 1，我们并没有取点Ｐ（ 3 ，－１），
而取的是点Ｐ（ 3 ，１）．也就是说，当 a 、 b 中至少有一个是负值时．我们
可以取Ｐ（ a ， b ），或者Ｐ（ b ， a ）．这样确定的角1 （或2 ）是锐角，
4
中 1
(0,
2
)
，
tan 1
b a
， 1 的具体位置由
sin 1 与
cos1 决定， 1 的
大小由 tan 1
b a
决定．
类 似 地 ， a sin b cos a2 b2 cos( ) ， 的 终 边 过 点 Ｐ
（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2 ，则 2 2k . 由诱导公式有
出.或由 tan = b 和(a,b)所在的象限来确定. a
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令
a =cos , a2 b2
b
=sin ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易
精品辅助角公式及应用
在学习过程中，我发现自己在某些方面还存在不足，如对某些复杂问题的理解不够深入、解题速度不够 快等。为了改进这些不足，我将继续加强学习，多做练习题，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来学习的建议
01
深入学习相关数学知识
为了更好地理解和应用辅助角公式，建议同学们深入学习相关的数学知
识，如三角函数的基本性质、三角恒等式等。
辅助角公式推导过程
推导思路
通过三角函数的基本性质和变换公式，逐步推导出辅助角公 式。
具体步骤
首先，根据三角函数的基本性质，将原函数表达式进行化简 ；然后，通过引入辅助角，将化简后的表达式进一步转化为 简单的三角函数形式；最后，根据已知条件求解辅助角，从 而得到原函数的解。
02
辅助角公式在三角函数中的应用
03
辅助角公式在解三角形中的应用
利用辅助角求三角形内角
辅助角公式
通过引入辅助角，将三角形的内 角和公式转化为与辅助角相关的 表达式，从而求解三角形内角。
应用场景
在已知三角形两边及夹角或已知三 角形三边长度的情况下，可以利用 辅助角公式求解三角形的内角。
求解步骤
首先根据已知条件选择合适的辅助 角，然后利用三角函数性质及三角 形内角和定理，构建方程并求解。
THANKS
感谢观看
求解三角函数值
已知三角函数值求角度
利用辅助角公式，可以将复杂的三角 函数表达式转化为简单的形式，从而 方便求解对应角度。
已知角度求三角函数值
通过辅助角公式，可以将角度转化为 与特殊角相关的表达式，进而求出对 应的三角函数值。
判断三角函数单调性
判断单调增区间
利用辅助角公式，可以确定三角函数在哪些区间内是单调增加的，从而方便进行 相关的数学分析和计算。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练(主观题安徽2012高考数学)1⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。
1(,)。
6 2 (1)求的值;1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x) 2cos xsin(x —)(1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。
1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。
(1)右 COSX4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。
(1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一上的值域。
12 24.已知函数 f (X )2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0)5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 26.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x37.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期;f (x)g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。
4对称，求当x0,-时，y g(x)的最大值。
3 29.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。
310.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。
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辅助角公式专题训练.知识点回顾 asin X +bcosx = J a 2 +b 2( , a sin x + b _cosx) J a 2 +b 2 J a 2 +b 2 =J a 2 +b 2 sin(x + W ) COS® = I / 2 +b 2 其中辅助角W 由q ^a b 确定，即辅助角W 的终边经过点（a,b ） b 二.训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数3、已知函数 f(x)=2j3sin X-2cos X. X 忘［0,兀］,求f (x)的值域(1) 1sin 」cos c^ ； 2 2 (2) J 3sin a+cos a sin a —COSa (4) V^sin(-~)十 6 3 V G 兀 ■^cos (§如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-―对称，那么a= 8 (A ) (B ) -血 (C ) 1 (D ) -1JI4函数y = 2cos（2x+6）.5、求5sin a +12cosa 的最值fn 6.求函数 y= cos x + cos x +V 71兀XU-QN】的值域、3的最大值3丿7.已知函数f(x)=^s in賊+cos Q x© >0)，y = f (x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于兀,则f(x)的单调递增区间是(过程（）A H丄57! -■ [k兀——，k兀+一],k匸Z12 12C. [k兀一寻k兀+?],k亡Z B.D.丄5兀丄11兀L[k 兀+——，k兀+—I'k^Z12 12[k兀+戈k兀+空],k<^Z （果6 3过程ir"2 2 a b asinx +bcosx =y a +b ( . sinx + . cosx) =J a 2 +©2 sin(x + 申) co ^-fm ^a b 确定，即辅助角 护的终边经过点（a,b ） b J a 2 + b 2 2.［答案］=2cos (■+ X )— cos (n + X ) =COS & + 6/X € R ). n ••• X€ R ,••• X+ 6^ R ,••• y min 一 1. 3.答案：B 解析 因为 f(x)=(1 +73tanx)cosx = cosx +73sin x = 2cos(^—) 3 兀 当X =—是，函数取得最大值为 2.故选B 3参考答案 ［解析］ y = 2sin {n - X )- cos 其中辅助角4.答案C5.解：可化为 y = M +a 2sin(2x + 9)。
辅助角公式专题练习
cos x)a 2b 2(3) sin cos (4)¥ cos(3如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=对称，那么a=辅助角公式专题训练•知识点回顾as in x b cosx 402~b 2 (a -sin x■- a 2 b 2 sin(x )cosa其中辅助角由 、a 2 b 2 确定，即辅助角 的终边经过点（a,b ）sinb■. a 2 b 2二.训练1.化下列代数式为一个角的二角函数(1) -sincos(2) •. 3 sincos ；22(A) 2 (B) 2 (C) 1 ( D) -13、已知函数的值域4、函数的值域5、求5sin 12cos 的最值n6.求函数y = cos x + cos x + 的最大值7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，贝卩的单 调递增区间是（过程（）A. B. C. D.（果 过程.a 2 b 2 sin(x )参考答案asi nx bcosx1. (6)_b_a 2b 2cosx)2.［答案］C …nn［解析］y = 2sin -3 — x — cos — + xn=cos x + ~ (x € R).n■/ x € R,「. x + — € R,「. y min =— 1.3.答案：B 解析因为==当是，函数取得最大值为 2.故选B 4.答案Ccos其中辅助角由sinaa 2b 2 b确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）7t 7t=2cos + x — cos + x6 6［解析］法3n 1Tcos x +— +2sin7tn n—cos — — x — — = 3cos nx +石ny =cos x +cos x cosT —sin. n x sin 33 2cos x —*nx = -3cos x — Jsin x 2 2 解析，由题设的周期为，•••, 由得，，故选C5.解：可化为 y 1 a 2sin(2x)。
辅助角公式》专题(更新版)
辅助角公式》专题(更新版)XXX高一数学组辅助角公式》专题2017年（日期未知）班级姓名XXX从磨砺出，梅花香自苦寒来。
我们知道sin(π/6+x)，那么sin(π/6)cosx+cos(π/6)sinx=13(cosx-sinx)(cosx-3sinx)/(2sinx+cosxsin(π/12)-3cos(π/12))，这就是辅助角公式asinx+bcosx=a^2+b^2sin(x+φ)。
接下来，我们来看如何将asinx+bcosx化为Asin(ωx+φ)的形式。
问题请写出把asinx+bcosx化成Asin(ωx+φ)形式的过程。
asinx+bcosx=a+b(sin x+cos x)/(a^2+b^2)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2))a^2+b^2(sin x+cosx)/(a^2+b^2)^0.5(a/(a^2+b^2)^0.5+b/(a^2+b^2)^0.5)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a^2+b^2)^0.5(sin φ+cos φ)a^2+b^2sin(x+φ)，其中sinφ=b/(a^2+b^2)，cosφ=a/(a^2+b^2)。
辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用。
接下来，我们来试一试将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<π。
1)sinx+cosx2^0.5/2)sin(x+π/4)+ (2^0.5/2)cos(x+π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=π/4.2)sinx-cosx2^0.5/2)sin(x-π/4)- (2^0.5/2)cos(x-π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=-π/4.3)3sinx+cosx10/2sin(x+0.197)-√10/2cos(x+0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=0.197.4)3sinx-cosx10/2sin(x-0.197)+√10/2cos(x-0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-0.197.5)sinx+3cosx10/2sin(x+1.373)-√10/2cos(x+1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=1.373.6)sinx-3cosx10/2sin(x-1.373)+√10/2cos(x-1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-1.373.接下来，我们来求函数的周期。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练5(1)若 COSX 石，X i ，，求 f (X )的值;求m 的值。
(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。
4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3，且 f (0) 3， f(-)-。
2 2 4 2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？1.已知函数f(x)73 . in x 41 COS X 。
4 (2)将函数f (X)的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 )，其图像过点1(6,2)。
(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 一 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x)2cos xsin(x ——。
4对称，求当x 0, 时，y g(x)的最大值。
329.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(§)的值；(2)求f (x)的最值。
10.已知向量 mn (si nA,cosA)，n (、_3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。
(1)求角A 的大小；(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。
5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X, x 2 (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。
6.已知f(x) COS (2x 扌 2S "(x 4)S "(x (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一 上的值域。
12 27.已知函数 f (x) cos(- x)cos( x), g(x) 3 3 1sin2x 〕。
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
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《辅助角公式》专题
2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
我们知道sin(
)6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+=
1
cos 22
x x - cos x x
cos x x + sin π12－3cos π12
cos )x x -
x x
sin15cos15o o +
【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】
问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b
2x x ⎛
⎫+⎪⎭ ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)
(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2
)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝
a a 2＋
b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 其中φ
(a ，b )决定．
辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2
. (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝ ；
(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；
(5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________.
【当堂训练】
【求周期】
1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=
的最小正周期。
2.求函数y x x x =+
-+24432cos()cos()sin ππ
的最小正周期。
小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
【求值】
1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=
的最大值。
2.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭
⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5
3.2)cos()12123x x ππ+
++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
4.已知)4x y πθ+=
+，)4x y π
θ-=-，求证：221x y +=
【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+=
的单调递增区间。
已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212
k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63
k k k Z ππππ++∈
已知函数()3f x x x =-，求：
（1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围.
（2）求函数()f x 的单调区间、对称中心.
（3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？。