材料力学弯曲位移共45页文档
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材料力学第5章 弯曲位移分析
§5-1 基本概念及工程实例 §5-2 挠曲线的微分方程 §5-3 用积分法求弯曲位移 §5-4 用叠加法求弯曲位移 §5-5 提高弯曲刚度的措施
§5-1 基本概念及工程实例
一、为什么要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
例题2求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 M x 1 qL x2
B
2
A
x
l
x
EIz
Mx
1 2
q
L
x
2
y
边界条件
EIz
EIz
1 6
qL
x3
C1
EIz
1 24
qL
x4
C1 x
C2
x0 0
x0 0
xL
B
qL3 6EIz
qL3 C1 6EIz
C2
qL3 24EIz
B
qL4 8EIz
q L x3 L3 6EIz
o
xo
x
M
M
d2y dx2 0
y
M
M
d2y dx 2
0
y
因此, w与 M 的正负号相反
d 2ω
dx 2
1
(
dω dx
)2
3
M(x) EI Z
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
d 2ω M(x)
dx 2
EI Z
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
q L x4 4L3 x L4 24 EI z
§5-1 基本概念及工程实例
一、为什么要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
例题2求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 M x 1 qL x2
B
2
A
x
l
x
EIz
Mx
1 2
q
L
x
2
y
边界条件
EIz
EIz
1 6
qL
x3
C1
EIz
1 24
qL
x4
C1 x
C2
x0 0
x0 0
xL
B
qL3 6EIz
qL3 C1 6EIz
C2
qL3 24EIz
B
qL4 8EIz
q L x3 L3 6EIz
o
xo
x
M
M
d2y dx2 0
y
M
M
d2y dx 2
0
y
因此, w与 M 的正负号相反
d 2ω
dx 2
1
(
dω dx
)2
3
M(x) EI Z
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
d 2ω M(x)
dx 2
EI Z
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
q L x4 4L3 x L4 24 EI z
材料力学 梁 弯曲位移
D点的连续条件： x = a， 1' 2 ' 1 2
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
M1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(
x
a)
转角方程
EI
'
1
F b l
x2 2
C1
EI
2'
F
b l
x2 2
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。
1、边界条件
A
l A= 0
B
B= 0
A
A= 0
B
B= 0
在简支梁或外伸梁中， 铰支座处的挠度 都应等于零。
A 0 B 0
A
B
l A= 0 A= 0
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 和转角 都应等于零。
A 0, A 0
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
x3 6
F
(x 6
a)3
D1
x
D2
x = 0 ， 1 = 0
x = l ， 2= 0
再将边界条件代入方程可解得:
材料力学-求弯曲位移)
③ 建立近似微分方程： EIw M x
④ 积分求 EIw 和 EIw; ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 求指定截面的挠度和转角
5.2 积分法求梁的挠度和转角 讨论
??? 积分法求变形有什么优缺点？
优点：易理解；可得到挠度方程w(x)和转角方程
(x) ， 因而可求出任意截面的挠度和转角。
缺点：适用范围有限。
目录
例 如图所示简支梁，在C截面承受集中力
偶M作用，已知梁的刚度为EI，试求梁的挠曲
线方程， 并确定位移 A 、 B 和 wmax 。
M
A
C
B
a
b
积分法求梁的弯曲位移
1.由平衡条件求A.B端的约束反力
M
FA
M ab
()
FB
M ab
()
A
C a
b
B
2.建立弯矩方程
AC段：
M1
M ab
x
Mx
CB段：
M2
ab
M
(0 x a)
(a x a b)
3.建立挠度方程和转角方程
AC段：
EIw1 '
M ab
x2 2
C1
M x3 EIw1 a b 6 C1x D1
CB段：
EIw2
'
M ab
x2 2
Mx C2
EIw2
M ab
x3 6
M 2
x2
C2 x D2
4.由边界条件确定积分常数
x 0处，w1 0
x a处，1=2 x a处，w1 w2 x a b处，w2 0
D1 0
C1
M 3
(b 2a)
Ma 2 2(a b)
④ 积分求 EIw 和 EIw; ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 求指定截面的挠度和转角
5.2 积分法求梁的挠度和转角 讨论
??? 积分法求变形有什么优缺点？
优点：易理解；可得到挠度方程w(x)和转角方程
(x) ， 因而可求出任意截面的挠度和转角。
缺点：适用范围有限。
目录
例 如图所示简支梁，在C截面承受集中力
偶M作用，已知梁的刚度为EI，试求梁的挠曲
线方程， 并确定位移 A 、 B 和 wmax 。
M
A
C
B
a
b
积分法求梁的弯曲位移
1.由平衡条件求A.B端的约束反力
M
FA
M ab
()
FB
M ab
()
A
C a
b
B
2.建立弯矩方程
AC段：
M1
M ab
x
Mx
CB段：
M2
ab
M
(0 x a)
(a x a b)
3.建立挠度方程和转角方程
AC段：
EIw1 '
M ab
x2 2
C1
M x3 EIw1 a b 6 C1x D1
CB段：
EIw2
'
M ab
x2 2
Mx C2
EIw2
M ab
x3 6
M 2
x2
C2 x D2
4.由边界条件确定积分常数
x 0处，w1 0
x a处，1=2 x a处，w1 w2 x a b处，w2 0
D1 0
C1
M 3
(b 2a)
Ma 2 2(a b)
材料力学第五章梁弯曲时的位移讲课文档
()
请课后完成A处挠度的计算
wA
q0l 4 30EI
第五十五页，共98页。
例2图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力 P作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA 。试 用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅垂位移。
a
P
B
C
a
A
第五十六页，共98页。
解：1.计算C处铅垂位移
任意截面弯矩方程,轴力方程为
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变 形是各自独立的，互不影响。
若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起 的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的 变形，然后叠加。
第三十二页，共98页。
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面 挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下的挠度 ，然后叠加（代数和）。
第十二页，共98页。
考虑小变形条件：
(1x)(1w w 2)3/2w
1 M(x)
(x) EIz
Ezw IM (x)
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
第十三页，共98页。
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
y M0 Mw0 M
y M0 M w0M
x
x
Ew IM
第十四页，共98页。
思考:与小挠度微分方程 （）
M(x1)P1x FN(x1)0
x2 B
P
x1
C
M(x2)Pa FN(x2)P
A
C ya 0M E (x 1 )I M P (x 1 )d1 x a 0F N E (x 1 )A F N P (x 1 )d1 x a 0M E (x2)IM (P x2)d2x a 0F N E (x2)A F N P (x2)d2x
材料力学第五章梁弯曲时的位移
实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。
材料力学(土木类)第五章梁弯曲时的位移
2
2
2
例5-7 由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截 面的挠度和转角以及D截面的挠度。
A
a EI F=qa D a B a C
解：可将外伸梁看成是图 a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。
F=qa A qa B
EI
D (a)
qa2/2 B (b) C
（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。
2 2Fl B2 D1 EI
（顺时针）
将相应的位移进行叠加，即得：
4 Fl14 Fl 6 Fl w w w （向下） B B 1 B 2 3 EI 3 EI EI
3
3
3
Fl 2 Fl 5 Fl （顺时针） B B 1 B 2 2 EI EI 2 EI
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
由于：1）小变形，轴向位移可忽略；
2）线弹性范围工作。
因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV。
例 5-5 利用叠加原理求图 a 所示弯曲刚度为 EI 的简 支梁的跨中挠度wC和两端截面的转角A，B。
F=qa
(c)
(d)
A + qa2/2
图c中D截面的挠度和B截面的转角为：
qa 2a w D 1 48 EI
3
qa 2a B1 16 EI
B2
qa 3 EI
3
2
图d中D截面的挠度和B截面的转角为：
2qa4 wD2 16EI
将相应的位移进行叠加，即得：
4 4 4 qa qa qa w w w （向下） D D 1 D 2 6 EI 8 EI24 EI
第五章 梁弯曲时的位移
利用边界条件确定上面二式中的积分常数C 利用边界条件确定上面二式中的积分常数 1,C2,即可得 梁的挠度方程和转角方程
李田军材料力学课件 10 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求解梁位移的思路: 积分法求解梁位移的思路: 建立合适的坐标系; ① 建立合适的坐标系; 求弯矩方程M(x) ; ② 求弯矩方程 ③ 建立近似微分方程: EIw′′ = M ( x ) 建立近似微分方程: 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. ④ 积分求
李田军材料力学课件 9 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求梁的变形 对于等刚度梁, 对于等刚度梁,梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' = M(x)
对此方程连续积分两次,可得 对此方程连续积分两次,
Ely' (x) = ∫ M(x)dx + c1 Ely(x) = ∫ M(x)dxdx + c1x + c2
最大转角,显然在支座处
Pab θA =θ (0) = (L + b) 6EIz Pab θB =θ (L) = (L + a) 6EI 6EIz
P a L y
C
b B x
a >b a <b
θmax =θB θmax =θA
A
从A→B, θ + → 中间必经过0
李田军材料力学课件
19
第五章
梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 §5.1 梁的位移 挠度及转角 §5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5.4 梁挠曲线的初参数方程 § §5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 §5.6 梁内的弯曲应变能
李田军材料力学课件 10 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求解梁位移的思路: 积分法求解梁位移的思路: 建立合适的坐标系; ① 建立合适的坐标系; 求弯矩方程M(x) ; ② 求弯矩方程 ③ 建立近似微分方程: EIw′′ = M ( x ) 建立近似微分方程: 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. ④ 积分求
李田军材料力学课件 9 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求梁的变形 对于等刚度梁, 对于等刚度梁,梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' = M(x)
对此方程连续积分两次,可得 对此方程连续积分两次,
Ely' (x) = ∫ M(x)dx + c1 Ely(x) = ∫ M(x)dxdx + c1x + c2
最大转角,显然在支座处
Pab θA =θ (0) = (L + b) 6EIz Pab θB =θ (L) = (L + a) 6EI 6EIz
P a L y
C
b B x
a >b a <b
θmax =θB θmax =θA
A
从A→B, θ + → 中间必经过0
李田军材料力学课件
19
第五章
梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 §5.1 梁的位移 挠度及转角 §5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5.4 梁挠曲线的初参数方程 § §5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 §5.6 梁内的弯曲应变能
材料力学上册第五章梁弯曲时的位移
6EIl
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +
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6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
Thank you
材料力学弯曲位移
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
Thank you
材料力学弯曲位移
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿