预应力混凝土梁桥徐变次内力计算方法的探讨

预应力混凝土梁桥徐变次内力计算方法的探讨 黄祖华 房贞政 （福州大学土建学院，福州 350002）

摘 要 本文介绍了狄辛格（Dischinger）方法、Tröst-Bazant方法、采用位移法的有限元逐步分析法等三种目前常用的预应力混凝土桥梁结构徐变次内力分析方法；并通过一个实例，针对三种分析方法的计算结果作了比较，说明应用我国现有规范的徐变系数计算模型进行徐变分析是符合实际的。 关键词 预应力砼梁桥 徐变 次内力 分析方法

混凝土徐变效应分析，是预应力混凝土桥梁结构设计和大跨度悬臂施工控制的一项重要内容。混凝土的徐变对结构的变形、结构的内力分布和结构截面（在组合截面情况下）的应力分布都会产生很大的影响，徐变产生的变形甚至可以高达持续荷载产生的瞬时变形的3～5倍。预应力混凝土超静定结构，由于混凝土徐变变形受到结构多余约束的制约，因而导致结构产生徐变次内力。预应力混凝土超静定结构徐变次内力的分析方法主要可分为三类：（1）狄辛格（Dischinger）方法；（2）BazantstoTr方法；（3）采用位移法的有限元逐步分析法。 1 狄辛格（Dischinger）方法[1]

应用老化理论，徐变系数变化规律采用狄辛格公式，不考虑徐变的滞后弹性效应。狄辛格方法就是在时间增量d内建立增量变形协调微分方程求解结构徐变次内力。 狄辛格（Dischinger）微分方程为： ,tdEEdd …………（1） 式1的物理意义是，在d时间增量内，总应变增量等于应力增量d引起的弹性应变增量与应力状态引起的徐变应变增量。式中，可分解为时刻的初始应力值0与因徐变引起的变化量c。 ,0tddxEIMMdxEIMtdMdlKlKkp +,tddxEIMtMk …………（2） 式2即为在时间增量dt内结构总变形增量的计算公式。其中，0M为结构的初始内力，pkkMMXM00，0kX为结构k点的初始内力，pM为外荷载p在基本结构上产生的内力；kM为赘余力ktX=1在基本结构上引起的弯矩，kktMXtM。 沿任一多余约束方向的变形协调条件为： 0kpd …………（3） 即： ,0tddxEIMMdxEIMtdMlKlK +,tddxEIMtMk=0 ……（4）

式3就是狄辛格（Dischinger）增量变形协调微分方程，表示在时间增量内，沿多余约束方向（一般为外部支座）的变形协调条件。 狄辛格法当采用老化理论时，对后期加载的长期徐变效应估计过低，而对递减荷载的长期徐变效应又估计过高，但比较符合初期加载的情况。狄辛格法当采用先天理论时，则比较符合后期加载的情况。因而在实际工程中，可综合采用两种理论，即混凝土初期加载时采用老化理论，后期加载时采用先天理论。在计算上，由于该法应用微分方程，使得计算求解比较复杂。但从另外一个角度说，狄辛格法使我们能够直接估计体系转换后的徐变影响，因此对初步设计很有好处。 2 Tröst-Bazant方法[2] 设桥梁结构各构件的徐变特性相同，后期结构为n次超静定，则从体系转换时刻至以后的任一时刻t，因徐变产生于第i个赘余力方向相对变位的相容条件表达为： ,,1,,11,tttXtijnjji=0 ),,2,1(ni …………（5） 式中,1,i为由荷载及前期结构继承下来的初内力产生于基本静定结构第i个赘余力方向的变位；,tXj为从至t的时间内，产生于第i个赘余力方向的截面徐变次内力；ij为当1jX时产生于基本静定结构第i个赘余力方向的变位。 时效系数,t可根据老化理论的狄辛格（Dischinger）公式推导而得，即： ,111,,tett Tröst指出,t的取值范围在0.5～1之间，一般可以取为0.8。在实用分析中，不必过分追求时效系数,t的精确程度，因为徐变计算误差最大方面还在于徐变系数的选择[3]。 Tröst-Bazant代数方程解法只能适用于下列条件之一：（1）外加约束是突然发生的；（2）外加约束施加的速度与徐变发展的速度相同。但该法使超静定结构徐变次内力问题可以用代数方程代替微分方程求解，并且可以选择合乎实际情况的徐变系数表达式，既简化了计算，又提高了精度。 3 采用位移法的有限元逐步分析法[3] 用有限元法计算超静定结构徐变内力重分布的关键是将弹性体系的单元刚度矩阵转变为徐变体系的单元刚度矩阵，引入换算弹性模量,,1ttEE，则有： ccKtKF, ……（6） 式中：K为杠件弹性模量为E时杠件单元刚度矩阵，即弹性刚度矩阵；][K为杠件徐变等效弹性模量为E时的杠件单元刚度矩阵，即徐变刚度矩阵。

其中,,11,ttEEt

徐变效应分析的位移法基本方程为： 0,,,FttKtFc （7） 式中：F为由徐变引起的总杆端力（实际节点力增量）；c为徐变位移； 0F为初始内力产生的初始弹性杆端力，eKF0，e

为结构初始弹性位移。 该基本方程表明由徐变引起的单元杆端力由两部分组成：第一部分为由徐变位移c产生的杆端力；第二部分为与初始弹性杆端力0F引起的徐变位移0产生的杆端力。 取00KF，视为徐变等效固端力，则上式也可表示成： 0FKF

 …………（8）

由此可看出,徐变分析是以结构初始内力为基础的，所经历的时间段除约束反力发生变化外,并不增加新的外荷载，因此将各单元在单元坐标系内由徐变引起的杆端力列阵转换到结构坐标系内，进行叠加，便可得到结构的总体平衡方程，引入边界条件便可解得徐变引起的单元杆端位移c

，进而得到徐变引起的单元杆端力F和徐

变约束反力。 根据以上的理论和公式，第i个时间间隔的结构分析步骤如下： （1）在第i个时间间隔开始时，锁定结构的全部节点，求出该时间间隔内各单元的节点锁定力。从而形成节点力增量ieF,。 （2）在第i个时间间隔终了时，即时刻it，解除所有节点的锁定，对各单元施以反锁定节点力，形成节点荷载列向量ieF,，也即徐变等效固端荷载列向量ieF,=-ieF,。 （3）采用按龄期调整的有效模量建立各单元刚度矩阵ieK,，列出各单元的平衡方程：ieK,ie,=ieF,。 （4）通过坐标变换，组集整体坐标下结构荷载列向量和徐变换算刚度矩阵，列出结构的总体平衡方程：iiiKF。 （5）解方程，即可得到整体坐标下，第i个时间间隔内的全部节点位移增量i。 （6）将i转换成各单元局部坐标下的节点位移增量ie,，代入方程ieK,ie,=ieF,中，求得ieF,。 （7）第i个时间间隔内单元的实际节点力增量为：ieF,=ieF,+ieF,。 至此，第i个时间间隔内各节点位移增量和节点力增量均已求出，将上述增量与该时间间隔开始时的节点位移和节点力相加，即可得到该时间间隔终了时的节点位移和节点力，以此作为下一个时段开始时的初始位移和初始节点力，进入下一个时间间隔的计算。 4 算例 一3跨连续梁在支架上分3次现浇，如图1所示，各段依次浇筑后经养护7d后落架，前后段落架时间相隔14d，梁计算跨度3×30m，自重为mtq/10，构件理论厚度为40cm。分别求成桥

初（第三梁段落架前）和t时，支承点2和4处的弯矩值。 该算例中，狄辛格方法是指混凝土徐变理论采用老化理论，徐变系数变化规律采用狄辛格公式表达的结构次内力分析方法。有限元法中徐变系数采用我国规范（JTJ023-85）中建议的徐变系数模式进行计算，Tröst-Bazant方法采取与狄辛格法相同的徐变终极值。混凝土弹性模量取为常值。各阶段落架时内力按弹性体系计算。 利用3种分析方法计算支点弯矩的结果见表1。

6m6m30m30m30m

第一梁段第二梁段第三梁段

图一 算例1234①③②④56

表1 应用3种分析方法计算支点弯矩的结果比较（单位：t-m) 时段 支 点 计 算 方 法 不考虑徐变影响时 一次落架弯矩值 狄辛格法 Tröst-Bazant方法 有限元逐步分析法

成桥初 2 -708.58 -840.98 -729.6

t 2 -866.46 -847.62 -852.90 -493.0 -900 4 -914.86 -916.14 -1069.00 -699.9 -900

将以上表格1中数据绘成弯矩图，如图2。 图二 三跨连续梁支点最终弯矩21-866.46-852.90-493.0（单位：t-m）不考虑徐变影响时4-914.86有限单元法-699.9-1069.00狄辛格法6 通过图2，我们可以明显得出结论： 对于分阶段施工的预应力混凝土连续梁桥，必须考虑混凝土徐变的影响。 桥梁结构一次落架的受力状态趋近于混凝土徐变的作用。 本例由于在利用狄辛格法与Tröst-Bazant方法时，采用了相同的徐变终极值，所以二者计算的最终弯矩值相差很小。若考虑加载初期不可恢复变形和滞后弹性变形，则计算的徐变终极值就有差别，不同方法计算的结构徐变次内力的误差就可能增大[4]。如在支点4，按有限元法计算的最终弯矩值比采用狄辛格法与Tröst-Bazant方法计算的结果大16.7%左右，因为在有限元法中采用的徐变计算模式是应用我国交通部规范《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023-85）中建议的徐变系数模式，该模式通过加载初期的不可恢复变形项a来反映早期加载时较大的徐变变形，通过td4.0

项来反映滞后弹性变形影响，因而

算得的徐变终极值就与上两种方法不同，见表3，计算的徐变次内力误差也就比较大。 为了进一步分析加载初期的不可恢复变形对分析结构徐变次内力的影响，我们利用有限元逐步分析法分别对考虑和不考虑加载初期的不可恢复变形a两种情况进行计算，计算结果比较见表3。从表3我们可以看出，加载初期的不可恢复变形在加载初期不可忽略，支点2在成桥初时，两种情况下计算得到的次内力比值达到1.104。现代大跨度与预应力混凝土桥梁的施工大都采用分阶段施工法，在进行结构徐变次内力分析时，不能忽略加载初期的不可恢复变形影响。说明我国目前规范（JTJ023-85）中建议的徐变系数计算模型对于超静定结构徐变分析是比较符合实际情况的。