灰色关联分析
灰色关联分析法
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1(3) 1(3 1 ).4 1.40.16 1 6 .4 1.40.894
1(4) 1(4 1).4 1.40.21 5. 41.40.848 1(5) 1(5 1 ).4 1.40.68 1 6 .4 1.40.679 1(6)1(6 1).4 1.41 1.1 4.40.583
式中， i ( k )是第 k 个时刻比较曲线 x i 与参考曲线 x 0 的相对差值，
它称为 x i 对 x 0 在 k 时刻的关联系数。其中，0 . 5 是分辨系数，记为
一般在0与1之间选取；
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miin(i (min))
mai x(i(max))
= m iin(m kinx0(k)xi(k)) = m a ix(m kaxx0(k)xi(k))
作关联系数 1 ( k )在各个时刻的值的集合，得关联系数序 1
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1 ( 1 ( 1 ) , 1 ( 2 ) , 1 ( 3 ) , 1 ( 4 ) , 1 ( 5 ) , 1 ( 6 ) ) ( 1 , 0 . 9 5 5 , 0 . 8 9 4 , 0 . 8 4 8 , 0 . 6 7 9 , 0 . 5 8 3 )
x 0 ( k ) 。因此，参考序列x 0 可表示为 x 0 (x 0 ( 1 ),x 0 (2 ), x 0 (n )) 关联分析中被比较数列常记为 x1,x2, ,xk，类似参考序列x 0 的表
， ， 示方法，有x 1 (x 1 ( 1 ),x 1 (2 ), x 1 (n ))
x k (x k ( 1 ) ,x k ( 2 ) , x k ( n ) )
的西山修建了汾河水库。该水库不但对农业灌溉、防洪蓄水、 鱼类养殖等起着很大作用，并且还为太原市的用水提供了保证。 建库以来，人们经常在考虑如何防止库容被泥沙淤塞，使水库 能长期有效为工农业生产与人民生活服务。
灰色关联度方法介绍
灰色关联度方法介绍一、灰色关联度方法的概念灰色关联度方法是一种常用的分析方法，它是将各个因素之间的关系转化为数学模型进行计算，从而得出它们之间的相关程度。
灰色关联度方法主要应用于多因素分析和决策评价等领域。
二、灰色关联度方法的原理灰色关联度方法是基于灰色系统理论的，它通过对数据进行处理，将数据转化为一组序列，然后通过对这些序列进行比较，得出各个因素之间的相关程度。
具体来说，它主要包括以下步骤：1. 数据预处理：将原始数据进行标准化处理，使得各个因素之间具有可比性。
2. 灰色关联度计算：通过对标准化后的数据进行加权平均值计算，并与参考序列进行比较，得出各个因素与参考序列之间的相关程度。
3. 灰色预测模型建立：根据各个因素与参考序列之间的相关程度建立预测模型，并对未来趋势进行预测。
三、灰色关联度方法的应用1. 多因素分析：在复杂多变的环境下，往往需要考虑多种因素的影响，灰色关联度方法可以通过对各个因素之间的关系进行分析，得出它们之间的相关程度，从而帮助决策者进行有效的决策。
2. 决策评价：在决策过程中，需要对各种方案进行评价，灰色关联度方法可以通过对各种方案之间的比较，得出它们之间的相关程度，从而帮助决策者选择最优方案。
3. 经济预测：在经济预测中，需要考虑多种因素的影响，灰色关联度方法可以通过对各个因素之间的关系进行分析，得出它们之间的相关程度，并建立预测模型进行未来趋势预测。
四、灰色关联度方法的优缺点1. 优点：（1）能够充分考虑多个因素之间的相互作用和影响。
（2）具有较高的精确性和可靠性。
（3）能够处理样本数据量较小、数据质量较差等问题。
2. 缺点：（1）需要对数据进行标准化处理，增加了计算复杂度。
（2）依赖于参考序列的选择和权重设置，在实际应用中可能存在一定误差。
（3）不适用于非线性系统和高维数据分析。
五、灰色关联度方法的发展趋势随着计算机技术的不断发展和数据处理能力的提高，灰色关联度方法在多因素分析、决策评价和经济预测等领域得到了广泛应用。
灰色关联分析模型
第三步:求两极最大差和两极最小差 第三步 求两极最大差和两极最小差. 记 求两极最大差和两极最小差
M = max max ∆i ( k ), m = min min ∆i ( k )
i k i k
第四步: 第四步 求关联系数
灰色关联理论创立
1982年 邓聚龙发表了“ 1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息 正定” 灰色系统的控制问题”等系列论文， 正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰 色系统理论的基础。 色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了高度的重视 美国哈佛大学教授《系统与控制通信》 ，美国哈佛大学教授《系统与控制通信》杂志主编布罗克 Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而， 特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多 的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列， 的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索 灰色系统理论及其应用研究 邓聚龙系统理论则主张从事物内部， 邓聚龙系统理论则主张从事物内部，从系统内部结构 及参数去研究系统，以消除“黑箱” 及参数去研究系统，以消除“黑箱”理论从外部研究事物 而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而， 而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是 比“黑箱”理论更为准确的系统研究方法。 黑箱”理论更为准确的系统研究方法。
(2) 整体性 γ ( X i , X j ) ≠ γ ( X j , X i ), i ≠ j , i , j = 0,1,L, m (3) 偶对称性 γ ( X i , X j ) = γ ( X j , X i ) ⇔ 只有两个序列 X i , X j (4) 接近性 x0 ( k ) − xi ( k ) 越小, γ ( x0 ( k ), xi ( k ))越大
灰色关联分析法讲解
“非唯一性”
目标非唯一 灰靶思想
目标可约束
目标可接近 信息可扩充 方案可改善 关系可协调 思维可多向 认识可深化 途径可优化
灰色系统理论研究灰元、灰数、灰关系 灰数——指信息不完全的数。
灰关联分析法
（一）什么是灰色系统
灰色系统理论是1982年由邓聚龙创立的一门边缘性学科 (interdisciplinary)
灰色系统用颜色深浅反映信息量的多少。说一个系统是黑色的， 就是说这个系统是黑洞洞的，信息量太少；说一个系统是白色的， 就是说这个系统是清楚的，信息量充足。
这种处于黑白之间的系统，就是灰色系统，或说信息不完全的系 统，成为灰色系统或简称会系统（grey system)。
如“这个人的年龄18岁左右” “今天的气温10 - 15度之间” 灰元——指信息不完全的元素。如“货币”是灰元。
货币的两种功能：流通手段和价值尺度 灰关系——指信息不完全的关系。例：多种经济成份并存、一国两制
换轨思维
例1：小司马光灵机一动，换个角度处置眼前的危急场面。其实， 他砸碎的不完全是一口现实生活中看得见摸得着的缸，同时也打破 了一种旧的思维模式。当我们打破旧思维，再将我们的思路重新组 装的时候，结果一定是一幅好风光。 爱迪生是美国的大发明家。他的一切发明都是和他的思维活跃分不 开的。
例2：一天，爱迪生在实验室里工作，急需知道一个灯泡容量的数 据。由于手头忙不开，他便递给助手一个没有上灯口的玻璃灯泡， 吩咐助手把灯泡的容量数据量出来。过了很久，爱迪生手头的活早 已干完，助手仍未将数据送来。爱迪生只好亲自去找助手，一进门， 就看到助手正忙于计算，桌上演算纸已经推了一大迭。爱迪生忙问： “还需多长时间？”助手说：“一半还没完呢。”爱迪生明白了。 原来，他的助手用软尺测量灯泡的周长、斜度，正在用复杂的公式 计算呢！小伙子还把程序说给爱迪生听，证明自己的思路没错。爱 迪生不等他说完，便拍拍他的肩膀说：“别白忙了，小伙子，瞧我 这么干。”说着，他往灯泡里面注满了水，交给助手：“把这里的 水倒在量杯里，马上告诉我它的容量。”助手听到后，脸马上就红 了。
灰色关联法确定权重
灰色关联法确定权重1. 引言灰色关联法是一种基于数学模型的分析方法，通过对多个指标进行比较和关联，确定它们之间的相关程度和影响因素的重要性。
在决策分析、综合评价和预测预警等领域中广泛应用。
本文将详细介绍灰色关联法的原理、步骤以及如何利用该方法确定权重。
2. 灰色关联法原理灰色关联法是由中国科学家陈胜武于1981年提出的，其基本原理是通过建立灰色关联度模型，从而判断各个因素对目标因素的影响程度。
该方法主要包括以下几个步骤：2.1 数据标准化首先需要将各个指标的数据进行标准化处理，将其转化为无量纲纯数值。
常用的标准化方法有极差法、标准差法和正态化等。
2.2 确定参考数列参考数列是一个代表目标因素发展趋势的序列，可以是已知数据或者专家经验给出的预测值。
2.3 计算关联系数通过计算各个指标与参考数列之间的关联系数，来评价各个因素对目标因素的影响程度。
关联系数的计算可以采用相关系数、欧氏距离等方法。
2.4 确定权重根据关联系数的大小，确定各个因素的权重。
关联系数越大，说明该指标对目标因素的影响越大，其权重也就越高。
3. 灰色关联法确定权重步骤下面将详细介绍如何利用灰色关联法确定指标的权重：3.1 数据准备首先需要收集所需数据，并进行预处理。
确保数据的准确性和完整性，同时对数据进行标准化处理，使其具有可比性。
3.2 确定参考数列根据研究目的和实际情况，选择一个代表目标因素发展趋势的参考数列。
可以是已知数据或者专家经验给出的预测值。
3.3 计算关联系数通过计算各个指标与参考数列之间的关联系数，来评价各个因素对目标因素的影响程度。
常用的计算方法有相关系数法和欧氏距离法。
相关系数法相关系数是衡量两个变量之间相关程度的指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
可以通过计算各个指标与参考数列的相关系数，得到关联系数。
欧氏距离法欧氏距离是衡量两个向量之间差异程度的指标，可以通过计算各个指标与参考数列之间的欧氏距离，来得到关联系数。
灰色关联分析方法
1.4 1(6) 1.4
1.4 1 1.4
0.583
作关联系数 1(k)在各个时刻的值的集合，得关联系数序1
1 (1(1),1(2),1(3),1(4),1(5),1(6)) (1, 0.955, 0.894, 0.848, 0.679, 0.583)
同理有
作为其他数列，指不同初值经一定时间后所引起的不同效
果。比如微分方程的解，在相同指数下，初始值大的曲线可 能是衰减的，而初始值小的曲线是上升的。因此增值性大的 数列要保持相对的发展速率则应有更大的绝对发展速率。
三、应用实例
[例] 山西省汾河上游的输沙量与降雨径流的灰色关联分析 汾河是山西省的主要河流，在汾河下游距太原市100多公里
各个时刻 xi 与 x0 的绝对差如下
序 号1
2
3
4
5
6
1 x0(k) x1(k) 0 2 x0(k) x2(k) 0 3 x0(k) x3(k) 0
0.066 0.025
0.1
0.166 0.925 1.3
0.25 0.686 0.875 1.375 1.45 2.1
的西山修建了汾河水库。该水库不但对农业灌溉、防洪蓄水、 鱼类养殖等起着很大作用，并且还为太原市的用水提供了保证。 建库以来，人们经常在考虑如何防止库容被泥沙淤塞，使水库 能长期有效为工农业生产与人民生活服务。
影响泥沙输入水库的因素较多，比如降雨量、径流量、植被 覆盖率等。在这些因素中哪些是主要的，哪些是次要的有待研 究和量化分析。
0.1, 0.25, 0.16, 0.23, 0.21, 0.13, 0.24, 0.17, 0.26, 0.19)
根据关联系数求关联度得 r1 0.41（年径流量与输沙量的关联程度） r2 0.21（年平均降雨量与输沙量的关联程度） r3 0.23 （平均汛期降雨量与输沙量的关联程度）
灰色关联分析示例
（4）解释 运输业对农业影响居第一位 工业对农业影响居第二位 商业对农业影响居第三位 两例子对比看，运输业无论用收入构成还是利润比，其作物均居首位，是影响农.5 4.7
（1）初值化 农业 工业 运输业 商业 1980 1 1 1 1 1981 1.0639 0.9476 0.9706 1.0149 1982 1.1228 0.9236 1.0294 0.8060 1983 1.1483 0.9148 1.0294 0.7015
(3)灰色关联系数及关联度 农业 工业 运输业 商业 1980 1 1 1 1981 0.6576 0.7053 0.8201 1982 0.5287 0.7053 0.4136 1983 0.4890 0.6526 0.3333 灰色关联度 0.6688 0.7658 0.6418
(3)灰色关联系数及关联度 （4）解释 运输业对农业影响居第一位 工业对农业影响居第二位 商业对农业影响居第三位 农业 工业 运输业 商业 1980 1 1 1 1981 0.6576 0.7802 0.8201 1982 0.5287 0.6266 0.4136 1983 0.4890 0.5978 0.3333 灰色关联度 0.6688 0.7511 0.6418
灰色关联分析 灰色关联因子空间，具备“可比性”，“可接近性”“极值一致性”的序列构成 一、极性一致序列 经济部门收入构成（%） 1980 1981 1982 农业 39.1 41.6 43.9 工业 45.8 43.4 42.3 运输业 3.4 3.3 3.5 商业 6.7 6.8 5.4 均为极大值性 二、极性不一致序列 经济部门收入（%） 1980 1981 1982 1983 农业构成 39.1 41.6 43.9 44.9 工业构成 45.8 43.4 42.3 41.9 运输业费用 46 45.946 46.5616 46.108 商业构成 6.7 6.8 5.4 4.7 分析：“运输费用构成”为极小值极性，其余为极大值极性 假设“运输费用构成”和“利润比”的和为100%，将“运 输费用”转化为“利润”，得极值一致性的影响空间，结 果如下表 1980 1981 1982 1983 农业构成 39.1 41.6 43.9 44.9 工业构成 45.8 43.4 42.3 41.9 利润 54 54.054 53.4384 53.892 商业构成 6.7 6.8 5.4 4.7 （1）初值化 (2)绝对差值 农业 工业 运输业 商业 min. max. 1980 0 0 0 0 0.4468451 1981 0.1163 0.0934 0.0490 1982 0.1992 0.0934 0.3168 1983 0.2335 0.1189 0.4468 农业 工业 运输业 商业 (2)绝对差值 农业 工业 运输业 商业 min. max. 1980 0 0 0 0 0.4468 1981 0.1163 0.0629 0.0490 1982 0.1992 0.1332 0.3168 1983 0.2335 0.1503 0.4468 1980 1 1 1 1 1981 1.0639 0.9476 1.0010 1.0149 1982 1.1228 0.9236 0.9896 0.8060 1983 1.1483 0.9148 0.9980 0.7015
灰色关联度分析
灰色关联度分析一、关联度分析的意义关联度是表征两个事物的关联程度设有参考序列和比较序列xxx四个时间数据序列如图所示：则关联度为r12＞r13＞r14关联度分析是一种曲线间n何形状的分析比较，即n何形状越接近，则关联程度越大，反之则小。
二、面积关联度分析法关联度应用关联系数来表示，我们用曲线间的差值大小作为一种衡量关联度的尺度。
设母因素时间数列和子因素时间数列分别是:xx记f k时刻x j对x i的关联系数为§ij（f k），其绝对差值为：︱x︱= k=1,2,……,n这是对两个方列各时刻的最小绝对差为：=︳x︳各时刻的最大绝对差为：︳x︳则母因素为子因素两曲线在各时刻的相对差值用下式表示：式中称为x j对x i在K时刻的关联系数关联系数的上界值=1关联系数的下界值=K∈（0，1），称为分辨系数，减少极值对计算的影响，提高分辨率。
⑵原始数据标准化处理方法关联系数的值主要决定于x i和x j在各时刻的差值，由于x i和x j数据单位不同，会影响的值，因此若是要对原始数据作无量纲处理，即标准化处理。
数据标准化有两种方法：初值化处理和均值化处理。
初值化处理即把序列第一个数据除以该序列所有数据，得到一个新数列。
均值化处理即把序列平均值除以该序列所有数据，得到一个新数列。
⑶面积关联度关联系数只表示各时刻数据间的关联程度，我们用基本均值表示两条曲线间的关联程度r=k=1,2,……,N称r为子因素曲线x j对母因素曲线x i的关联度。
⑷多个序列的最小绝对差和最大绝对差。
在灰色关联度分析中，无论序列有多少，和各只有一个。
和的求法，以为例解释，类似。
=︳x︳例母序列:子序列:第一步：固,，j变动时，得到：︳︳,︳︳,……, ︳︳第二步：从中可以选出：︳︳第三步：当k变动时，可以得到:︳︳, ︳︳,……, ︳︳第四步：从中又可以选出最小的=⑸关联度比较及实际意义当计算出子因素对母因素的关联度后，将排序则子因素对母因素影响的重要程度依次是序列：灰色系统优势分析1、优势分析的意义如果母函数数列不止一个，被比较的子函数数列也不止一个，则可以构成关联矩阵，通过关联矩阵多元素间的关系，可以分析哪些因素是优势，哪些是劣势。
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2 灰色关联分析方法
在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，人们很难分清哪些因素是主导因素，哪些因素是非主导因素；哪些因素之间关系密切，哪些不密切。
灰色关联分析，为我们解决这类问题提供了一种行之有效的方法。
一、灰色关联分析概述
我们知道，统计相关分析是对因素之间的相互关系进行定量分析的一种有效方法。
但是，我们也注意到相关系数具这样的性质： xy yx r r =，即因素y 对因素x 的相关程度与因素x 对因素y 的相关程度相等。
暂且不去追究因素之间的相关程度究竟有多大。
单就相关系数的这种性质而言，也是与实际情况不太相符的。
譬如，在国民经济问题研究中，我们能将农业对工业的关联程度与工业对农业的关联程度等同看待吗？其次，由于地理现象与问题的复杂性，以及人们认识水平的限制，许多因素之间的关系是灰色的，很难用相关系数比较精确地度量其相关程度的客观大小。
为了克服统计相关分析的上述种种缺陷，灰色系统理论中的灰色关联分析给我们提供了一种分析因素之间相互关系的又一种方法。
灰色关联分析，从其思想方法上来看，属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。
用于度量因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。
设x 1，x 2，…，x N 为N 个因素，反映各因素变化特性的数据列分别为｛x 1(t)｝，｛x 2(t)｝，…｛x N (t)｝，t=1，2，…，M 。
因素j x 对i x 的关联系数定义为
min max
max
()1,2,3,,(1)()ij ij k t t M
t k ξ∆+∆=
=∆+∆
(5)式中，ξij (t)为因素j x 对i x 在t 时刻的关联系数；
max min ()|()()|,max max (),min min ();ij i j ij ij j
j
j
j
t x t x t t t ∆=-∆=∆∆=∆k 为介于[0，1]区
间上的灰数。
不难看出，△ij (t)的最小值是min ∆，
当它取最小值时，关联系数()ij t ξ取最大值max ()1;()ij ij i
t t ξ=∆的最大值为
max ∆，当它取最大值时，关联系数()ij t ξ取最小值min max 1min ()1ij i
t k k
ξ⎛⎫
∆=
+
⎪+∆⎝⎭
，即()ij t ξ是一个有界的离散函数。
若娶灰色k 的白化值为1，则有
min max 11()1(2)2ij t ξ⎛⎫
∆+≤≤ ⎪∆⎝⎭
在实际计算时，取min 0∆=，这时有
0.51
(3)ij ξ≤≤
作出函数()ij ij t ξξ=随时间变化的曲线，它就被称之为关联曲线。
图中的水平线，说明任何时刻的关联系数为1，它代表i x 与i x 本身的关联曲线1ij ξ≡，因为自己与自己总可以认为是密切关联的。
关联曲线()ij t ξ与()ij t ξ与坐标轴围成的面积分别记为ij s 与ii s ，则定义j x 对
i x 的关联度为
显然S ii =1×M=M，所以(4)式可以进一步写成
/(5)ij ij s M
γ=
在实际计算中，常用近似公式
代替式(5)或式(6)。
从以上关联度的定义可以看出，它主要取决于各时刻的关联系数ξij (t)的值，而ξij (t)又取决于各时刻x i 与x j 观测值之差△ij (t)。
显然，x i 与x j 的量纲不同，作图比例尺就会不同，因而关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影响关联度(γij )的计算结果。
为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，就需要在进行关联度计算之前，首先对各要素的原始数据作初值变换或均值变换，然后利用变换后所得到的新数据作关联度计算。
初值变换的计算公式为
()()/(1)
1,2,,;1,2,,(7)i i i x t x t x i N t M '===
均值变换的计算公式为
()()/1,2,,;1,2,,(8)i i i
x t x t x i N t M '===
二、实例分析
表10-1给出了某地区1986—1990年期间农业总产值及与之相关的各产业产值数据。
我们用灰色关联分析方法对该地区各产业之间的相互联系作一些初步分析。
将表10-1中的数据作均值化变换后，在公式(1)中，取灰数k 的白化值为0.5，经过计算得如下的关联度矩阵：
表10-1 某地区1986—1990年农业产值数据
从上述关联度矩阵，可以得到如下几点结论：
（1）1411215130.6702max i i
γγγγγ==>>>，这表明，在该地区的农业生
产中，畜牧业占有最大的优势，它对农业总产值增长的贡献最大，其次是种植业，再次是副业，最后是林业。
(2)24γ =0.6177=2max i i
γ，这表明，在林、牧、副各业中，与种植业联系最
为紧密的是畜牧业。
(3) 24γ=0.6459=3max i i
γ，表明，在种植业、畜牧业和副业中，与林业联系
最紧密的是畜牧业。
(4) 24γ=0.7697=4max i i
γ，表明，在种植业、林业和副业中，与畜牧业联系
最紧密的是副业。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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