(人教版初中数学)勾股定理易错题

合集下载

勾股定理复习易错题四套题由简到难(附带答案)

勾股定理复习易错题四套题由简到难(附带答案)

勾股定理练习卷姓名一、填空题1.三角形的三边满足a2=b2+c2,这个三角形是三角形,它的最大边是.2.在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=24,CA=7,AB=.3.在△ABC中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是.4.如图1所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,正方形A,B,C的面积分别是8cm2,10cm2,14cm2,则正方形D的面积是 cm2.5.如图2,在△ABC中,∠C=90°,BC=60c m,CA=80c m,一只蜗牛从C点出发,以每分钟20c m的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点,需要分钟的时间.6.已知x、y为正数,且|x2-4|+(y2-16)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为.7.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上(设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上),小虎应把梯子的底端放在距离墙米处.8.如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽,由4个全等的直角三角形拼合而成,若图中大小正方形的面积分别为52和4,则直角三角形的两直角边分别为和.(注:两直角边长均为整数)二、选择题1.下列各组数为勾股数的是()A.6,12,13 B.3,4,7 C.4,7.5,8.5 D.8,15,162.要登上某建筑物,靠墙有一架梯子,底端离建筑物5m,顶端离地面12m,则梯子的长度为()A.12m B.13m C.14m D.15m3.直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ,则连接这两条直角边中点的线段长为( )A .10cmB .3cmC .4cmD .5cm4.若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍,则斜边扩大为原来的( )A .2倍B .3倍C .4倍D .5倍5.下列说法中, 不正确的是( )A .三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B .三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C .三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D .三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6.三角形的三边长满足关系:(a +b )2=c 2+2ab ,则这个三角形是( )A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .等边三角形7.某直角三角形的周长为30,且一条直角边为5,则另一直角边为( )A .3B .4C .12D .138.如果正方形ABCD 的面积为29,则对角线AC 的长度为( )A .23B .49CD .29 三、简答题1.(10分)如图4,你能计算出各直角三角形中未知边的长吗?2.(10分)如图5所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ,若AB =60m ,BC =84m ,AE =100m ,则这条小路的面积是多少?3.(10分)如图6,在△ABC 中,∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ,垂足为A ,CD =1c m ,求AB 的长.4.(10分)小芳家门前有一个花圃,呈三角形状,小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形,请问她可以用什么办法来作出判断?你能帮她设计一种方案吗?5.(10分)如图7,在△ABC中,AB=AC=25,点D在BC上,AD=24,BD=7,试问AD平分∠BAC吗?为什么?6.(10分)如图8所示,四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC.求证:AC⊥CD.参考答案:一、1.直角,a2.25 3.108 4.17 5.12 6.207.0.7 8.4,6二、1~4.CBDA 5~8.BBCA三、1.(1)5x=;(2)24x=2.2240m34.略5.所以AD平分BAC∠,理由略6.证明略四、(1)84,85.(2)任意一个大于1的奇数的平方可以拆成两个连续整数的和,并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数.(3)略.八年级下册第十八《勾股定理》水平测试一、填空题(每小题3分,共24分)1.一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则三角形是三角形;若这三个内角所对的三边分别为a、b、c(设最长边为c),则此三角形的三边的关系是.2.已知等腰直角三角形的斜边长为2,则直角边长为,若直角边长为2,则斜边长为.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,①若AB=41,AC=9,则BC=;②若AC=1.5,BC =2,则AB=.4.已知两条线段的长分别为11cm和60cm,当第三条线段的长为 cm时,这3条线段能组成一个直角三角形.5.如图1,将一根长24厘米的筷子,置于底面直径为6厘米,高为8厘米的圆柱形水杯中,则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米.6.如图2,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,那么AC=.7.等腰直角三角形有一边长为8c m,则底边上的高是,面积是.8.如图3,一个机器人从A点出发,拐了几个直角的弯后到达B点位置,根据图中的数据,点A和点B的直线距离是.二、选择题(每小题3分,共24分)1.如图4,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为()A.4 B.8 C.16 D.642.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50米,小丽走直线用了10分钟,小芳先去家拿钱再去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了8分钟,小芳从公园到图书馆拐了个(设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线)()A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定3.一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边与斜边长的和是49cm,则斜边的长()A.18cm B.20cm C.24cm D.25cm4.如图5,四边形ABCD是正方形,AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是()A.16 B.18 C.19 D.215.在直角三角形中,斜边与较小直角边的和、差分别为18、8,则较长直角边的长为()A.20 B.16 C.12 D.86.在△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是()A.42 B.32 C.42或32 D.37或337.如图6,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A.CD、EF、GH B.AB、EF、GHC.AB、CD、GH D.AB、CD、EF8.如图7,在△ABC中,∠C=90°,D为BC边的中点,DE⊥AB于E,则AE2-BE2等于()A.AC2 B.BD2C.BC2 D.DE2三、简答题(共58分)1.一个三角形三条边的比为5∶12∶13,且周长为60c m,求它的面积.2的点.3.如图8,是一个四边形的边角料,东东通过测量,获得了如下数据:AB=3cm,BC=12cm,CD=13cm,AD=4cm,东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角,你认为东东的判断正确吗?如果你认为他正确,请说明其中的理由;如果你认为他不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A是直角?4.如图9,一游泳池长48米,小方和小朱进行游泳比赛,小方平均速度为3米/秒,小朱为3.1米/秒.但小朱一心想快,不看方向沿斜线游,而小方直游,俩人到达终点的位置相距14米.按各人的平均速度计算,谁先到达终点?5.如图10(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒,现将其剪开展成平面图,如图10(2)所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.求在该展开图中可画出最长线段的长度?这样的线段可画几条?四、拓广探索(本题14分)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,设△ABC的面积为S,周长为l.(1)填表:(用含有m的代数式表示).(2)如果a+b-c=m,观察上表猜想:l(3)证明(2)中的结论.参考答案:一、1.直角,222a b c +=2.1,2 3.40,2.5 4.615.14 6.12 7.4或,16或32 8.10 二、1~4.DBDC 5~8.CCBA 三、1.2120cm2.图略3.不正确,可添加DB BC ⊥或5cm DB =4.小方先到达终点54条四、解:(1)从上往下依次填12,1,32; (2)4S m l =; (3)证明略.点击《勾股定理》之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中,涉及《勾股定理》知识内容的特色创新题采撷几例,供读者学习鉴赏.一.清新扮靓的规律探究题例1(成都市)如图,如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF , 再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,如此下去,…,已知正方形ABCD 的面积1S 为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ,,…,S n (n 为正整数),那么第8个正方形的面积8S =_______.【解析】:求解这类题目的常见策略是:“从特殊到一般”.即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数,得出一 般规律,然后再利用其一般规律求解所要解决的问题.对于 此题,由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得:2111S ==, 222S == 2324S == 248S ==照此规律可知:25416S ==,观察数1、2、4、8、16易知:0123412,22,42,82,162=====,于是可知12n n S -= 因此,817822128S -===二.考查阅读理解能力的材料分析题例2(临安)阅读下列题目的解题过程: 已知a 、b 、c 为的三边,且满足,试判断的形状.解:2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a b C ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ;(2)错误的原因为: (3)本题正确的结论为: .【解析】:材料阅读题是近年中考的热点命题,其类型多种多样,本题属于“判断纠错型”题目.集中考查了因式分解、勾股定理等知识.在由得到等式2222222()()()c a b a b a b -=+-没有错,错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子ABC D EFGHIJ22a b -.若220a b -=,则有()()0a b a b +-=,从而得a b =,这时,ABC 为等腰三角形.因此:(1) 选C .(2) 没有考虑220a b -=(3) ABC ∆是直角三角形或等腰三角形三.渗透新课程理念的图形拼接题例3(长春)如图,在Rt △ABC 中,∠C = 90°,AC = 4,BC = 3.在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,如图所示.要求:在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法,并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.(请同学们先用铅笔画现草图,确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形)示例图 备用图【解析】:要在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定;要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识.下面四种拼接方法可供参考.四.极具“热点”的动态探究题例4(泉州):如图1,一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,梯子与地面的倾斜角α为 60.⑴求AO 与BO 的长;⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑,同时底端B 沿OM 向右滑行. 如图2,设A 点下滑到C 点,B 点向右滑行到D 点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米?X k b1.c o m【解析】:对于没有学习解直角三角形知识的同学而言,求解此题有一定的难度.但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质:“在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,结合勾股定理求解,还是容易解答的.⑴AOB Rt ∆中,∠O=90,∠α= 60 ∴,∠OAB= 30,又AB=4米,∴122OB AB ==米.由勾股定理得:OA ===. ⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ∆中,2,23,4OC x OD x CD ==+= 根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234x x ++= -∴(213120x x +-= ∵0x ≠ ∴0381213=-+x∴x =所以,即梯子顶端A 沿NO .勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点.考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中,常见的题型有以下几种:一、探究开放题例1如图1,设四边形ABCD 是边长为1的正方形,以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,如此下去…….(1)记正方形ABCD 的边长为1a =1,依上述方法所作的4a 正方形的边长依次为2a ,3a ,4a ,…,n a ,求出2a ,3a ,的值.(2)根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式. 分析:依次运用勾股定理求出a 2,a 3,a 4,再观察、归纳出一般规律.解:(1)∵四边形ABCD 为正方形,∴AB=BC=CD=AD=1.由勾股定理,得AC同理,AE =2,EH = a 2a 3=2,a 4=(2) ∵011a ==, 12a ==, 232a ==, 34a ==,∴1n n a -= ()1,n n ≥是自然数.点拨:探究开放题形式新颖、思考方向不确定,因此综合性和逻辑性较强,它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力,对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用.二、动手操作题例2如图2,图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两条直角边长分别为a 和b ,斜边长为c .图(2)是以c 为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形;(2)用这个图形证明勾股定理;(3)假设图(1)中的直角三角形有苦干个,你能运用图(1)所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明).解:(1)所拼图形图3所示,它是一个直角梯形.(2)由于这个梯形的两底分别为a 、b ,腰为(a +b ),所以梯形的面积为211()()()22a b a b a b ++=+.又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和,所以梯形的面积又可表示为:2111222ab ab c ++.Xk b1.c om∴221111()2222a b ab ab c +=++. ∴222a b c +=. (3)所拼图形如图4.点拨:动手操作题内容丰富,解法灵活,有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。

人教版勾股定理单元 易错题难题测试题

人教版勾股定理单元 易错题难题测试题

人教版勾股定理单元 易错题难题测试题一、选择题1.已知:△ABC 中,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高,BQ =AC ,点F 在CE 的延长线上,CF =AB ,下列结论错误的是( ).A .AF ⊥AQB .AF=AQC .AF=AD D .F BAQ ∠=∠2.△ABC 的三边分别为,,a b c ,下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有( ) ①222a c b -=;②2()()0a b a b c -++=;③ ∠A =∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A .2个 B .3个 C .4个 D .5个3.棱长分别为86cm cm ,的两个正方体如图放置,点A ,B ,E 在同一直线上,顶点G 在棱BC 上,点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ,它爬行的最短距离是( )A .(3510)cm +B .513cmC .277cmD .(2583)cm + 4.已知:如图在△ABC ,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC ,AD=AE ,点C ,D ,E 三点在同一条直线上,连接BD ,BE ,以下四个结论:①BD=CE ;②BD ⊥CE ;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE 2=2(AD 2+AB 2),其中结论正确的个数是( )A .1B .2C .3D .45.如图,在等腰Rt ABC △中,908C AC ∠==°,,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且保持AD CE =.连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中,下列结论:①DFE △是等腰直角三角形;②四边形CDFE 不可能为正方形;③DE 长度的最小值为4;④四边形CDFE 的面积保持不变;⑤△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是( )A .①④⑤B .③④⑤C .①③④D .①②③6.如图,2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》(也称《赵爽弦图》),它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边为a ,较长直角边为b ,那么2a b ()+的值为( )A .13B .19C .25D .1697.长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接,最多可搭成直角三角形的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个8.如图,点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2,分别以点A 和点B 为圆心,线段AB 的长度为半径画弧,在数轴的上方交于点C .再以原点O 为圆心,OC 为半径画弧,与数轴的正半轴交于点M ,则点M 对应的数为( )A .3.5B .3C 13D 36 9.一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4,则它的斜边长为( )A .5B .4C 7D .4或510.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A =90°,BD =4,CF =6,设正方形ADOF 的边长为x ,则210x x +=( )A .12B .16C .20D .24二、填空题11.已知,如图:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为A (10,0)、C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为_____.12.我国古代数学名著《九章算术》中有云:“今有木长二丈,围之三尺.葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何?”大意为:有一根木头长2丈,上、下底面的周长为3尺,葛生长在木下的一方,绕木7周,葛梢与木头上端刚好齐平,则葛长是______尺.(注:l 丈等于10尺,葛缠木以最短的路径向上生长,误差忽略不计)13.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ,已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.14.如图,在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ,点P 是线段AD 上一个动点,过点P 作PE AB ⊥于点E ,连接PB ,则PB PE +的最小值为________.15.在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c ,且a +b =35,c =5,则ab 的值为______.16.如图,在Rt ABC ∆中,90ABC ∠=,DE 垂直平分AC ,垂足为F ,//AD BC ,且3AB =,4BC =,则AD 的长为______.17.如图,正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ,高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点,则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm .18.如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知25AB = ,24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位.19.如图,在ABC 中,AB AC =,点D 在ABC 内,AD 平分BAC ∠,连结CD ,把ADC 沿CD 折叠,AC 落在CE 处,交AB 于F ,恰有CE AB ⊥.若10BC =,7AD =,则EF =__________.20.已知:如图,等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1,以AB 边上的高1OA 为直角边,按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆,11A B 与OB 相交于点2A ,若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆,22A B 与1OB 相交于点3A ,按此作法进行下去,得到33OA B ∆,44OA B ∆,…,则66OA B ∆的周长是______.三、解答题21.(1)计算:1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝; (2)已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=.判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,说明此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.22.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC ,AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD 于点D ,E 是AB 的中点,连接CE 交AD 于点F ,BD =3,求BF 的长.23.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=10,E 为CD 边上一点,将△ADE 沿AE 折叠,使点D 落在BC 边上的点F 处.(1)求BF 的长;(2)求CE 的长.24.如图1,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,D 为AC 边上一动点,且不与点A 点C 重合,连接BD 并延长,在BD 延长线上取一点E ,使AE =AB ,连接CE .(1)若∠AED =20°,则∠DEC = 度;(2)若∠AED =a ,试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系?并证明你的猜想; (3)如图2,过点A 作AF ⊥BE 于点F ,AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ,求证:EH 2+CH 2=2AE 2.25.如图1,在等腰直角三角形ABC 中,动点D 在直线AB (点A 与点B 重合除外)上时,以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ,且90ECD ∠=︒,连接AE .(1)判断AE 与BD 的数量关系和位置关系;并说明理由.(2)如图2,若4BD =,P ,Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==,试求PQ 的长. (3)在第(2)小题的条件下,当点D 在线段AB 的延长线(或反向延长线)上时,判断PQ 的长是否为定值.分别画出图形,若是请直接写出PQ 的长;若不是请简单说明理由.26.如图,△ABC 中AC =BC ,点D ,E 在AB 边上,连接CD ,CE .(1)如图1,如果∠ACB =90°,把线段CD 逆时针旋转90°,得到线段CF ,连接BF , ①求证:△ACD ≌△BCF ;②若∠DCE =45°, 求证:DE 2=AD 2+BE 2;(2)如图2,如果∠ACB =60°,∠DCE =30°,用等式表示AD ,DE ,BE 三条线段的数量关系,说明理由.27.已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,过顶点A 作射线AP .(1)当射线AP 在BAC ∠外部时,如图①,点D 在射线AP 上,连结CD 、BD ,已知21AD n =-,21AB n =+,2BD n =(1n >).①试证明ABD ∆是直角三角形;②求线段CD 的长.(用含n 的代数式表示)(2)当射线AP 在BAC ∠内部时,如图②,过点B 作BD AP ⊥于点D ,连结CD ,请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系,并说明理由.28.如图,在四边形ABCD 中,=AB AD ,=BC DC ,=60A ∠︒,点E 为AD 边上一点,连接CE ,BD . CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB .(1)求证:CED ADB ∠=∠;(2)若=8AB ,=6CE . 求BC 的长 .29.如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ,且点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°,CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).30.阅读下列材料,并解答其后的问题:我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中,利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题,这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的.我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”,该公式是:设△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S =()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-. (1)(举例应用)已知△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,且a =4,b =5,c =7,则△ABC 的面积为 ;(2)(实际应用)有一块四边形的草地如图所示,现测得AB =(26+42)m ,BC =5m ,CD =7m ,AD =46m ,∠A =60°,求该块草地的面积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高,推导出EBH DCH ∠=∠;再结合题意,可证明FAC AQB △≌△,由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =;再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=,从而证明AF ⊥AQ ;最后由勾股定理得222AQ AD QD =+,从而得到AF AD ≠,即可得到答案.【详解】如图,CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ =AC 且CF =AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =,故B 、D 结论正确;∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确;∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选:C .【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识;解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质,从而完成求解.2.D解析:D【分析】根据勾股定理的逆定理,三角形的内角和定理,分别对每个选项进行判断,即可得到答案.【详解】解:∵222a c b -=,得222a b c =+,符合勾股定理逆定理,则①正确;∵2()()0a b a b c -++=,得到222a c b +=,符合勾股定理逆定理,则②正确; ∵∠A =∠B -∠C ,得∠B=∠A+∠C ,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,故③正确;∵∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,∠A+∠B+∠C=180°, ∴318090123C ∠=︒⨯=︒++,故④正确; ∵222111()()()453+≠,则⑤不能构成直角三角形,故⑤错误;∵222102426+=,则⑥能构成直角三角形,故⑥正确;∴能构成直角三角形的有5个;故选择:D.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,以及三角形的内角和定理,解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形. 3.C解析:C【分析】当E 1F 1在直线EE 1上时,,得到AE=14,PE=9,由勾股定理求得AP 的长;当E 1F 1在直线B 2E 1上时,两直角边分别为17和6,再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案【详解】① 当展开方法如图1时,AE=8+6=14cm ,PE=6+3=9cm ,由勾股定理得AP ===② 当展开方法如图2时,AP 1=8+6+3=17cm ,PP 1=6cm ,由勾股定理得AP ===<,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径,注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形,路径结果是不同的4.C解析:C【解析】试题分析:①∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.∵在△BAD和△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD=CE.本结论正确.②∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE.∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°.∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°.∴BD⊥CE.本结论正确.③∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠ABD+∠DBC=45°.∵∠ABD=∠ACE,∴∠ACE+∠DBC=45°.本结论正确.④∵BD⊥CE,∴在Rt△BDE中,利用勾股定理得:BE2=BD2+DE2.∵△ADE为等腰直角三角形,∴2AD,即DE2=2AD2.∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2.而BD2≠2AB2,本结论错误.综上所述,正确的个数为3个.故选C.5.A解析:A【分析】作常规辅助线连接CF,由SAS定理可证△CFE和△ADF全等,从而可证∠DFE=90°,DF=EF.所以△DEF是等腰直角三角形;由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变;△DEF 是等腰直角三角形2DF,当DF与BC垂直,即DF最小时,DE取最小值42,△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积.【详解】连接CF;∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB;∵AD=CE,∴△ADF≌△CEF;∴EF=DF,∠CFE=∠AFD;∵∠AFD+∠CFD=90°,∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,∴△EDF是等腰直角三角形.当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形.∵△ADF≌△CEF,∴S△CEF=S△ADF,∴S四边形CEFD=S△AFC.由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小;即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=12BC=4.∴22当△CEF面积最大时,此时△DEF的面积最小.此时S△CEF=S四边形CEFD−S△DEF=S△AFC−S△DEF=16−8=8,则结论正确的是①④⑤.故选A.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形性质.要证明线段或者角相等,一般证明它们所在三角形全等,如果不存在三角形可作辅助线解决问题.6.C解析:C【解析】试题分析:根据题意得:222c a b=+=13,4×12ab=13﹣1=12,即2ab=12,则2()a b+=222a ab b++=13+12=25,故选C.考点:勾股定理的证明;数学建模思想;构造法;等腰三角形与直角三角形.7.B解析:B【解析】试题分析:解:∵92=81,122=144,152=225,362=1296,392=1521,∴81+144=225,225+1296=1521,即92+122=152,152+362=392,故选B .考点:勾股定理的逆定理点评:本题难度中等,主要考查了勾股定理的逆定理,解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容.8.B解析:B【分析】如图,作CD ⊥AB 于点D ,由题意可得△ABC 是等边三角形,从而可得BD 、OD 的长,然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长,进而可得OM 的长,于是可得答案.【详解】解:∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2,∴OB=2,OA=4,如图,作CD ⊥AB 于点D ,则由题意得:CA=CB=AB=2,∴△ABC 是等边三角形,∴BD=AD=112AB =, ∴OD=OB+BD=3,223CD BC BD =-=, ∴()22223323OC OD CD =+=+=,∴OM=OC=23,∴点M 对应的数为23.故选:B .【点睛】本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,属于常见题型,正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键.9.D解析:D【分析】根据题意,可分为已知的两条边的长度为两直角边,或一直角边一斜边两种情况,根据勾股定理求斜边即可.【详解】当3和4为两直角边时,由勾股定理,得:22345+=;当3和4为一直角边和一斜边时,可知4为斜边.∴斜边长为4或5.故选:D.【点睛】本题考查了勾股定理,关键是根据题目条件进行分类讨论,利用勾股定理求解.10.D解析:D【分析】设正方形ADOF的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,整理方程即可.【详解】解:设正方形ADOF的边长为x,由题意得:BE=BD=4,CE=CF=6,∴BC=BE+CE=BD+CF=10,在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,即(6+x)2+(x+4)2=102,整理得,x2+10x﹣24=0,∴x2+10x=24,故选:D.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.二、填空题11..(3,4)或(2,4)或(8,4).【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边,故应该分情况进行分析,从而求得点P的坐标.【详解】解:(1)OD是等腰三角形的底边时,P就是OD的垂直平分线与CB的交点,此时OP=PD≠5;(2)OD是等腰三角形的一条腰时:①若点O是顶角顶点时,P点就是以点O为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,在直角△OPC中,CP3,则P的坐标是(3,4).②若D是顶角顶点时,P点就是以点D为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,过D作DM⊥BC于点M,在直角△PDM中,PM3,当P在M的左边时,CP=5﹣3=2,则P的坐标是(2,4);当P 在M 的右侧时,CP =5+3=8,则P 的坐标是(8,4).故P 的坐标为:(3,4)或(2,4)或(8,4).故答案为:(3,4)或(2,4)或(8,4).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类,考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.12.【分析】这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开后可转化下图,所以是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.【详解】解:如图,一条直角边(即木棍的高)长20尺,另一条直角边长7×3=21(尺), 222021+=29(尺).答:葛藤长29尺.故答案为:29.【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题,关键是把立体图形展成平面图形,本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解.13.12【分析】延长BA 至E ,使AE=BC ,并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ,再证三角形BOE 是等腰直角三角形,利用勾股定理可得()()222210210220BO EO +=+=,可得AB=BE-AE.【详解】如图,延长BA 至E ,使AE=BC ,并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°,∠AOC=90°,所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以,∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为:12 【点睛】考核知识点:全等三角形,勾股定理.构造全等三角形是关键. 1415【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称,所以过点C 作AB 的垂线,与AD 的交点即点P ,求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ,此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥ ∴BD=2在Rt △A BC 中, 222282215AD AB BD -=-=∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE故此题填15【点睛】此题考察最短路径,根据题意找到对称点,作直角三角形,利用勾股定理解决问题15.10【分析】先根据勾股定理得出a2+b2=c2,利用完全平方公式得到(a+b)2﹣2ab=c2,再将a+b=5c=5代入即可求出ab的值.【详解】解:∵在Rt△ABC中,直角边的长分别为a,b,斜边长c,∴a2+b2=c2,∴(a+b)2﹣2ab=c2,∵a+b=5c=5,∴(52﹣2ab=52,∴ab=10.故答案为10.【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式,灵活运用完全平方公式是解题关键.16.25 8【分析】先根据勾股定理求出AC的长,再根据DE垂直平分AC得出FA的长,根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论.【详解】∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴2222AB+BC=3+4=5;∵DE垂直平分AC,垂足为F,∴FA=12AC=52,∠AFD=∠B=90°,∵AD∥BC,∴∠A=∠C,∴△AFD∽△CBA,∴AD AC =FA BC ,即AD 5=2.54,解得AD=258;故答案为258. 【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.17.55【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.【详解】展开图如图所示:由题意,在Rt △APQ 中,PD=10cm ,DQ=5cm ,∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ),故答案为:5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.18.49【分析】先计算出BC 的长,再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.【详解】∵∠ACB=90︒,25AB = ,24AC =,∴22222252449BC AB AC =-=-=,∴阴影部分的面积=249BC =,故答案为:49.【点睛】此题考查勾股定理,能利用根据直角三角形计算得到所需的边长,题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.19.4913【分析】如图(见解析),延长AD ,交BC 于点G ,先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥,再根据折叠的性质、等腰三角形的性质(等边对等角)得出2345∠+∠=︒,从而得出CDG ∆是等腰直角三角形,然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长,最后根据线段的和差即可得.【详解】如图,延长AD ,交BC 于点G AD 平分BAC ∠,,10AB AC BC ==,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥,且AG 是BC 边上的中线 1123,52B CG BC ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴CE AB ⊥,即90BFC ∠=︒390B ∴∠+∠=︒230239+∴∠∠=∠+︒,即2345∠+∠=︒CDG ∴∆是等腰直角三角形,且5DG CG ==7512AG AD DG ∴=+=+=在Rt ACG ∆中,222251213AC CG AG =+=+=13CE AB AC ==∴=由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅,解得12013CF = 12049131313EF CE CF ∴=-=-= 故答案为:4913.本题是一道较难的综合题,考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,通过作辅助线,构造一个等腰直角三角形是解题关键.20【分析】依次求出在Rt △OAB 中,OA 1Rt △OA 1B 1中,OA 2OA 1)2;依此类推:在Rt △OA 5B 5中,OA 6)6,由此可求出△OA 6B 6的周长. 【详解】∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1,∴在Rt △OA 1B 1中OA 1=2OA =2,在22Rt OA B ∆中OA 2=2OA 1=(2)2, …故在Rt △OA 6B 6中OA 6=2OA 5=(2)6= OB 666A B OB 6=8故△OA 6B 6+2×(2)6+2×18=28+.【点睛】 本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.三、解答题21.(1)423;(2)以a 、b 、c 为边能构成三角形,此三角形的形状是直角三角形,【分析】(1)根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可;(2)先根据绝对值,偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值,再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形,再求出面积即可.【详解】解:(1)⎛÷ ⎝=÷=÷ =423; (2)以a 、b 、c 为边能构成三角形,此三角形的形状是直角三角形,理由是:∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=,∴a ﹣=0,﹣b =0,c 0,∴a =,b =,c∵,,∴以a 、b 、c 为边能组成三角形,∵a =,b =,c∴a 2+b 2=c 2,∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形,直角边是a 和b ,则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力,掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质,绝对值,偶次方、算术平方根的非负性,勾股定理的逆定理是解题的关键.22.BF 的长为【分析】先连接BF ,由E 为中点及AC=BC ,利用三线合一可得CE ⊥AB ,进而可证△AFE ≌△BFE ,再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理,即可得到∠BFD 为45°,△BFD 为等腰直角三角形,利用勾股定理即可解得BF .【详解】解:连接BF .∵CA=CB ,E 为AB 中点∴AE=BE ,CE ⊥AB ,∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中,BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ,在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中,∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ,∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形,BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线,解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质.23.(1)BF 长为6;(2)CE 长为3,详细过程见解析.【分析】(1)由矩形的性质及翻折可知,∠B=90°,AF=AD=10,且AB=8,在Rt △ABF 中,可由勾股定理求出BF 的长;(2)设CE=x ,根据翻折可知,EF=DE=8-x ,由(1)可知BF=6,则CF=4,在Rt △CEF 中,可由勾股定理求出CE 的长.【详解】解:(1)∵四边形ABCD 为矩形,∴∠B=90°,且AD=BC=10, 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的,∴AF=AD=10,又∵AB=8,在Rt△ABF中,由勾股定理得:,故BF的长为6.(2)设CE=x ,∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=8,∠C=90°,DE=CD-CE=8-x,又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的,∴FE=DE=8-x,由(1)知:BF=6,故CF=BC-BF=10-6=4,CF+CE=EF,在Rt△CEF中,由勾股定理得:222∴2224+x=(8-x),解得:x=3,故CE的长为3.【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等,利用勾股定理求解是本题的关键.24.(1)45度;(2)∠AEC﹣∠AED=45°,理由见解析;(3)见解析【分析】(1)由等腰三角形的性质可求∠BAE=140°,可得∠CAE=50°,由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=65°,即可求解;(2)由等腰三角形的性质可求∠BAE=180°﹣2α,可得∠CAE=90°﹣2α,由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=45°+α,可得结论;(3)如图,过点C作CG⊥AH于G,由等腰直角三角形的性质可得EH EF,CH=CG,由“AAS”可证△AFB≌△CGA,可得AF=CG,由勾股定理可得结论.【详解】解:(1)∵AB=AC,AE=AB,∴AB=AC=AE,∴∠ABE=∠AEB,∠ACE=∠AEC,∵∠AED=20°,∴∠ABE=∠AED=20°,∴∠BAE=140°,且∠BAC=90°∴∠CAE=50°,∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°,且∠ACE=∠AEC,∴∠AEC=∠ACE=65°,∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=45°,故答案为:45;(2)猜想:∠AEC﹣∠AED=45°,理由如下:∵∠AED=∠ABE=α,∴∠BAE=180°﹣2α,∴∠CAE=∠BAE﹣∠BAC=90°﹣2α,∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°,且∠ACE=∠AEC,∴∠AEC=45°+α,∴∠AEC﹣∠AED=45°;(3)如图,过点C作CG⊥AH于G,∵∠AEC﹣∠AED=45°,∴∠FEH=45°,∵AH⊥BE,∴∠FHE=∠FEH=45°,∴EF=FH,且∠EFH=90°,∴EH2EF,∵∠FHE=45°,CG⊥FH,∴∠GCH=∠FHE=45°,∴GC=GH,∴CH2CG,∵∠BAC=∠CGA=90°,∴∠BAF+∠CAG=90°,∠CAG+∠ACG=90°,∴∠BAF=∠ACG,且AB=AC,∠AFB=∠AGC,∴△AFB≌△CGA(AAS)∴AF=CG,∴CH2AF,∵在Rt△AEF中,AE2=AF2+EF2,2AF)2+2EF)2=2AE2,∴EH2+CH2=2AE2.【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定的动点问题,三个问题由易到难,在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系,层层推进去解答是关键.25.(1)AE=BD且AE⊥BD;(2)6;(3)PQ为定值6,图形见解析【分析】(1)由“SAS”可证△ACE≌△BCD,可得AE=BD,∠EAC=∠DBC=45°,可得AE⊥BD;(2)由等腰三角形的性质可得PA=AQ,由勾股定理可求PA的长,即可求PQ的长;(3)分两种情况讨论,由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ,可得AE=BD ,∠EAC=∠DBC ,可得AE ⊥BD ,由等腰三角形的性质可得PA=AQ ,由勾股定理可求PA 的长,即可求PQ 的长.【详解】解:(1)AE=BD ,AE ⊥BD ,理由如下:∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠EAC=∠DBC=45°,∴∠EAC+∠CAB=90°,∴AE ⊥BD ;(2)∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴AQ=22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6;(3)如图3,若点D 在AB 的延长线上,∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠CBD=∠CAE=135°,且∠CAB=45°,∴∠EAB=90°,∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴AQ=22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6;如图4,若点D 在BA 的延长线上,∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠CBD=∠CAE=45°,且∠CAB=45°,∴∠EAB=90°,∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴AQ=22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,证明AE ⊥BD 是本题的关键.26.(1)①详见解析;②详见解析;(2)DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ,证明详见解析【分析】(1)①根据旋转的性质可得CF=CD ,∠DCF=90°,再根据已知条件即可证明△ACD ≌△BCF ;②连接EF ,根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°,再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明;(2)根据(1)中的思路作出辅助线,通过全等三角形的判定及性质得出相等的边,再由勾股定理得出AD ,DE ,BE 之间的关系.【详解】解:(1)①证明:由旋转可得CF=CD ,∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD ≌△BCF②证明:连接EF ,由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°,∠BCF=∠ACD,BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2,∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°,∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF,CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由:如图2,将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△CBF,过点F作FG⊥AB,交AB 的延长线于点G,连接EF,∴∠CBE=∠CAD,∠BCF=∠ACD, BF=AD∵AC=BC,∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°,∠EBF=60°,∠BFG=30°∴BG=12BF,FG=32BF∵∠ACB=60°,∠DCE=30°,∴∠ACD+∠BCE=30°,∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF,CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中,EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF,∴EF2=(EB+12BF)2+3)2∴DE 2= (EB+12AD )2+(32AD )2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型,解题的关键是找出全等三角形,转换线段,并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系.27.(1)①详见解析;(2)2222CD n n =+-(1n >);(2)2AD BD CD -=,理由详见解析.【分析】(1)①根据勾股定理的逆定理进行判断;②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ,利用同角的余角相等证明∠3=∠4,∠1=∠E ,进而证明△ACD ≌△BCE ,求出DE 的长,再利用勾股定理求解即可.(2)过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ,先证∠ACD=∠BCF ,再证△ACD ≌△BCF ,得CD=CF ,AD=BF ,再利用勾股定理求解即可.【详解】(1)①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①,过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ,∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°,∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中,A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =,AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =,90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-(1n >) (2)AD 、BD 、CD 的数量关系为:2AD BD CD -=,理由如下:如图②,过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ,∵∠ACD=90°+∠5,∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ,AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得DF ==又DF=BF-BD=AD-BD∴AD BD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理,掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.28.(1)见解析;(2)BC =.【分析】(1)由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形,又由平行进行角度间的转化可得出结论.(2)连接AC 交BD 于点O ,由题意可证AC 垂直平分BD ,△ABD 是等边三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4,通过证明△EDF 是等边三角形,可得DE=EF=DF=2,由勾股定理可求OC ,BC 的长.【详解】(1)证明:∵AB AD =,=60A ∠︒,∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ,∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.(2)解:连接AC 交BD 于点O ,∵AB AD =,BC DC =,∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形,8AB =∴8AD BD AB ===,∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ,∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中, ∴2223OC CF OF =-=.在Rt △BOC 中, ∴22224(23)27BC BO OC =+=+= 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键.29.(1)见解析;(2)26;(3)33a +3 【分析】(1)由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ,再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ,即可得到AD=BE ;(2)由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ,同(1)可证△ACD ≌△BCE ,得到AD=BE ,然后可求AE 的长,再判断∠AEB=90°,即可用勾股定理求出AB 的长;(3)由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°,根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出,然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°,在Rt △BEN 中即可求出BE ,由于BE=AD ,所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明:(1)∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ,即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中,AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE (SAS )∴AD=BE(2)∵∠DCE=90°,CD=CE ,∴△DCE 为等腰直角三角形,∵CM ⊥DE ,∴CM 平分DE ,即M 为DE 的中点∴CM=12DE , ∴DE=2CM=14,∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ,即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中,AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE (SAS )∴AD=BE=10,∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图,设AE ,BC 交于点H ,。

人教版勾股定理单元 易错题难题提高题学能测试

人教版勾股定理单元 易错题难题提高题学能测试

人教版勾股定理单元易错题难题提高题学能测试一、选择题1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,在矩形内部有一动点P满足S△PAB=3S△PCD,则动点P到点A,B两点距离之和PA+PB的最小值为()A.5 B.35C.332D.2132.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的面积是( )A.2n﹣2B.2n﹣1C.2n D.2n+13.如图,OP=1,过点P作PP1⊥OP,且PP1=1,得OP1=2;再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=3;又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2……依此法继续作下去,得OP2018的值为( )A.2016B.2017C.2018D.20194.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,D为BC边上的一点,现将直角边AC沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为()A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm5.ABC三边长为a、b、c,则下列条件能判断ABC是直角三角形的是()A .a =7,b =8,c =10B .a =41,b =4,c =5C .a =3,b =2,c =5D .a =3,b =4,c =66.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若2)21a b +=(,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )A .3B .4C .5D .67.以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是( )A .236、、B .3、4、5C .3、4、7D .2、3、48.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )A .B .C .D .9.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD 是∠BAC 的平分线.若P ,Q 分别是AD 和AC 上的动点,则PC+PQ 的最小值是( )A .245B .5C .6D .810.在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A =90°,AB =1,BD ⊥BC ,BD =BC ,CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ,则EDC 的面积为( )A .2 2B .2﹣2C .22D 2﹣1二、填空题11.如图,RT ABC ,90ACB ∠=︒,6AC =,8BC =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B '处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则B FC '△的面积为______.12.如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,BC=DC ,点E 为AD 边上一点,连接BD 、CE ,CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB ,若∠A =60°,AB=4,CE=3,则BC 的长为_______.13.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上,点A 1在第一象限,且OA=1,以点A 1为直角顶点,OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2,再以点A 2为直角顶点,OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律,则点A 2018的坐标是_____.14.如图,有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物,需要爬行的最短路程是___________________(π的值取3).15.如图,在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ,点P 是线段AD 上一个动点,过点P 作PE AB ⊥于点E ,连接PB ,则PB PE +的最小值为________.16.如图,在锐角ABC ∆中,2AB =,60BAC ∠=,BAC ∠的平分线交BC 于点D ,M ,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM MN +的最小值是______.17.Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,以 AC 为一边.在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ,则线段 BD 的长为_____.18.如图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,若a ,c 的边长分别为5和12,则b 的面积为_________________.19.如图,在四边形ABCD 中,AD =4,CD =3,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°,则2________BD =.20.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为1S ,2S ,3S ,若12315S S S ++=,则2S 的值是__________.三、解答题21.在等边ABC 中,点D 是线段BC 的中点,120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F .()1如图1,若DF AC ⊥,垂足为,4,F AB =求BE 的长;()2如图2,将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度,DF 仍与线段AC 相交于点F .求证:12BE CF AB +=.()3如图3,将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度,使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ,若,DN FN =设,BE x CF y ==,写出y 关于x 的函数关系式.22.定义:有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.(1)如图1,四边形ABCD 中,∠ABC =70°,∠BAC =40°,∠ACD =∠ADC =80°,求证:四边形ABCD 是邻和四边形.(2)如图2,是由50个小正三角形组成的网格,每个小正三角形的顶点称为格点,已知A 、B 、C 三点的位置如图,请在网格图中标出所有的格点.......D .,使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形.(3)如图3,△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =23,若存在一点D ,使四边形ABCD 是邻和四边形,求邻和四边形ABCD 的面积.23.定义:如图1,平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ,对于平面内任意一点M ,点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ,则称有序实数对(p ,q )是点M 的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”为(0,0)的点有1个,即点O .(1)“距离坐标”为(1,0)的点有 个;(2)如图2,若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时,点M 的“距离坐标”为(p ,q ),且∠BOD = 150︒,请写出p 、q 的关系式并证明;(3)如图3,点M 的“距离坐标”为(1,3),且∠DOB = 30︒,求OM 的长.24.如图1,在等腰直角三角形ABC 中,动点D 在直线AB (点A 与点B 重合除外)上时,以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ,且90ECD ∠=︒,连接AE .(1)判断AE 与BD 的数量关系和位置关系;并说明理由.(2)如图2,若4BD =,P ,Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==,试求PQ 的长. (3)在第(2)小题的条件下,当点D 在线段AB 的延长线(或反向延长线)上时,判断PQ 的长是否为定值.分别画出图形,若是请直接写出PQ 的长;若不是请简单说明理由.25.定义:如图1,点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ,若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点.(1)已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点,若2AM =,3MN =,求BN 的长; (2)如图2,在Rt ABC △中,AC BC =,点M 、N 在斜边AB 上,45MCN ∠=︒,求证:点M 、N 是线段AB 的勾股分割点(提示:把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒);(3)在(2)的问题中,15ACM ∠=︒,1AM =,求BM 的长.26.已知ABC ∆中,AB AC =.(1)如图1,在ADE ∆中,AD AE =,连接BD 、CE ,若DAE BAC ∠=∠,求证:BD CE =(2)如图2,在ADE ∆中,AD AE =,连接BE 、CE ,若60DAE BAC ∠=∠=,CE AD ⊥于点F ,4AE =,5EC =,求BE 的长;(3)如图3,在BCD ∆中,45CBD CDB ∠=∠=,连接AD ,若45CAB ∠=,求AD AB的值.27.(1)如图1,在Rt△ABC和Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,且点D在BC边上滑动(点D不与点B,C重合),连接EC,①则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为;②求证:BD2+CD2=2AD2;(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD 的长.28.(已知:如图1,矩形OACB的顶点A,B的坐标分别是(6,0)、(0,10),点D 是y轴上一点且坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动,到达点B时运动停止.(1)设点P运动时间为t,△BPD的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(2)当点P运动到线段CB上时(如图2),将矩形OACB沿OP折叠,顶点B恰好落在边AC上点B′位置,求此时点P坐标;(3)在点P运动过程中,是否存在△BPD为等腰三角形的情况?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.29.阅读下列材料,并解答其后的问题:我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中,利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题,这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的.我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”,该公式是:设△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S =()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-. (1)(举例应用)已知△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,且a =4,b =5,c =7,则△ABC 的面积为 ;(2)(实际应用)有一块四边形的草地如图所示,现测得AB =(26+42)m ,BC =5m ,CD =7m ,AD =46m ,∠A =60°,求该块草地的面积.30.如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG ≌△BDF ;(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ;(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(4)求线段EF 长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】首先由PAB PCD S =3S △△,得知动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上,作点A 关于直线l 的对称点E ,连接AE 、BE ,则BE 的长就是所求的最短距离,然后在直角三角形ABE 中,由勾股定理求得BE 的值,即PA+PB 的最小值.【详解】解:∵PAB PCD S =3S △△, 设点P 到CD 的距离为h ,则点P 到AB 的距离为(4-h ), 则11AB (4-h)=3CD h 22⋅⋅⨯⋅⋅,解得:h=1,∴点P 到CD 的距离1,到AB 的距离为3, ∴如下图所示,动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上,作点A 关于直线l 的对称点E ,连接AE 、BE ,且两点之间线段最短,∴PA+PB 的最小值即为BE 的长度,AE=6,AB=3,∠BAE=90°, 根据勾股定理:22222BE =AE AB =63=35++故选:B .【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题(两点之间线段最短),勾股定理,得出动点P 所在的位置是解题的关键.2.A解析:A【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边,然后再求面积,观察发现规律,即可正确作答.【详解】解:∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形121111222ABC S -∆∴=⨯⨯== , ∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+==+=223212212:2122122AACD ADE S S --∆∴====⨯⨯== ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ,故答案为A.【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边,同时观察、发现也是解答本题的关键.3.D解析:D【解析】【分析】由勾股定理求出各边,再观察结果的规律.【详解】∵OP=1,OP1OP2OP3=2,∴OP4…,OP2018故选D【点睛】本题考查了勾股定理,读懂题目信息,理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键.4.C解析:C【分析】-,在首先由勾股定理求得AB=10,然后由翻折的性质求得BE=4,设DC=x,则BD=8x△BDE中,利用勾股定理列方程求解即可.【详解】在Rt△ABC中,由勾股定理可知:==,10由折叠的性质可知:DC=DE,AC=AE=6,∠DEA=∠C=90°,∴BE=AB-AE=10-6=4,∠DEB=90°,设DC=x,则BD=8-x,DE=x,在Rt△BED中,由勾股定理得:BE2+DE2=BD2,即42+x2=(8-x)2,解得:x=3,∴CD=3.故选:C.【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题,熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键.5.B解析:B【分析】根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可.【详解】A、∵72+82≠102,∴△ABC不是直角三角形;B、∵52+42=)2,∴△ABC是直角三角形;C、∵2222,∴△ABC不是直角三角形;D 、∵32+42≠62,∴△ABC 不是直角三角形;故选:B .【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理,熟记定理是解题关键.6.C解析:C【详解】如图所示,∵(a+b )2=21∴a 2+2ab+b 2=21,∵大正方形的面积为13,2ab=21﹣13=8,∴小正方形的面积为13﹣8=5.故选C .考点:勾股定理的证明.7.C解析:C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.【详解】选项A ,222(2)(3)(6)+≠,不能构成直角三角形;选项B ,222(3)(4)(5)+≠,不能构成直角三角形;选项C ,222(3)(4)(7)+=,能构成直角三角形;选项D ,222(2)(3)(4)+≠,不能构成直角三角形.故选C .【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.8.B解析:B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示:故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明,证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.9.A解析:A【分析】过C作CM⊥AB于M,交AD于P,过P作PQ⊥AC于Q,由角平分线的性质得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值,为CM的长,然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答.【详解】过C作CM⊥AB于M,交AD于P,过P作PQ⊥AC于Q,∵AD是∠BAC的平分线,∴PQ=PM,则PC+PQ=PC+PM=CM,即PC+PQ有最小值,为CM的长,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴由勾股定理得:AB=10,又1122ABCS AB CM AC BC==△,∴6824105 CM⨯==,∴PC+PQ的最小值为245,故选:A.【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高,解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法:一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点,从而把两条线段的位置关系转换,再根据两点之间线段最短或垂线段最短,使两条线段之和转化为一条直线来解决.10.C解析:C【分析】先过点E作EG⊥CD于G,再判定△BCD、△ABD都是等腰直角三角形,并求得其边长,最后利用等腰直角三角形,求得EG的长,进而得到△EDC的面积.【详解】解:过点E 作EG ⊥CD 于G ,又∵CF 平分∠BCD ,BD ⊥BC ,∴BE =GE ,在Rt △BCE 和Rt △GCE 中CE CE BE GE =⎧⎨=⎩, ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ,∴BC =GC ,∵BD ⊥BC ,BD =BC ,∴△BCD 是等腰直角三角形,∴∠BDC =45°,∵AB//CD ,∴∠ABD =45°,又∵∠A =90°,AB =1,∴等腰直角三角形ABD 中,BD =2211+=2=BC ,∴Rt △BDC 中,CD =()()2222+=2,∴DG =DC ﹣GC =2﹣2,∵△DEG 是等腰直角三角形,∴EG =DG =2﹣2,∴△EDC 的面积=12×DC×EG =12×2×(2﹣2)=2﹣2. 故选:C .【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,等腰直角三角形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,以及勾股定理等知识,解决问题的关键是作辅助线,构造直角三角形EDG 进行求解.二、填空题11.9625【分析】将△B´CF 的面积转化为求△BCF 的面积,由折叠的性质可得CD =AC =6,∠ACE =∠DCE ,∠BCF =∠B´CF ,CE ⊥AB ,可证得△ECF 是等腰直角三角形,EF =CE ,∠EFC =45°,由等面积法可求CE的长,由勾股定理可求AE的长,进而求得BF的长,即可求解.【详解】根据折叠的性质可知,CD=AC=6,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B´CF,CE⊥AB,∴∠DCE+∠B´CF=∠ACE+∠BCF,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,且CE⊥AB,∴△ECF是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠EFC=45°,∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CE,∴AC•BC=AB•CE,∵根据勾股定理求得AB=10,∴CE=245,∴EF=245,∵AE 185,∴BF=AB−AE−EF=10-185-245=85,∴S△CBF=12×BF×CE=12×85×245=9625,∴S△CB´F=96 25,故填:96 25.【点睛】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等知识,根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键.12【分析】连接AC交BD于点O,由题意可证AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD,BO=OD,通过证明△EDF是等边三角形,可得DE=EF=DF,由勾股定理可求OC,BC的长.【详解】连接AC,交BD于点O,∵AB=AD,BC=DC,∠A=60°,∴AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,∴∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=4,BO=OD=2,∵CE∥AB,∴∠BAO=∠ACE=30°,∠CED=∠BAD=60°,∴∠DAO=∠ACE=30°,∴AE=CE=3,∴DE=AD−AE=1,∵∠CED=∠ADB=60°,∴△EDF是等边三角形,∴DE=EF=DF=1,∴CF=CE−EF=2,OF=OD−DF=1,22OC CF OF3∴-=22BC=OB+OC=7∴7【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键.13.(0,21009)【解析】【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系.【详解】∵∠OAA1=90°,OA=AA1=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,∴OA12,OA2=2)2,…,OA2018=2)2018,∵A1、A2、…,每8个一循环,∵2018=252×8+2∴点A2018的在y轴正半轴上,OA2018=20182=21009,故答案为(0,21009).【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题,除了研究动点变化的相关数据规律,还应该注意象限符号.14.15厘米【分析】要想求得最短路程,首先要画出圆柱的侧面展开图,把A 和C 展开到一个平面内.根据两点之间,线段最短,结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程.【详解】解:如图,展开圆柱的半个侧面是矩形,∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半,即AB =39π=厘米,矩形的宽BC =12厘米. ∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB =+=+=厘米.故答案为:15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时,一定要展开到一个平面内,根据两点之间,线段最短.1515【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称,所以过点C 作AB 的垂线,与AD 的交点即点P ,求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ,此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中, 222282215AD AB BD -=-=∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE =15【点睛】此题考察最短路径,根据题意找到对称点,作直角三角形,利用勾股定理解决问题16.3.【分析】作点B关于AD的对称点B′,过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M,根据轴对称确定最短路线问题,B′N的长度即为BM+MN的最小值,根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形,再根据等边三角形的性质求解即可.【详解】如图,作点B关于AD的对称点B′,由垂线段最短,过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M,B′N最短,由轴对称性质,BM=B′M,∴BM+MN=B′M+MN=B′N,由轴对称的性质,AD垂直平分BB′,∴AB=AB′,∵∠BAC=60°,∴△ABB′是等边三角形,∵AB=2,∴33即BM+MN3.3.【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题,等边三角形的判定与性质,确定出点M、N的位置是解题的关键,作出图形更形象直观.17.4或25或10【分析】分三种情况讨论:①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC.分别画图,并求出BD.【详解】①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC,如图1.∵∠DAC=90°,且AD=AC,∴BD=BA+AD=2+2=4;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,如图2.连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,∴∠DCE=45°.又∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=45°,∴CE=DE=2222⨯=.在Rt△BAC中,BC2222=+=22,∴BD22222222BE DE()()=+=++= 25;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,如图3.∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,∴AD=DC=AC sin45°=2222⨯=.又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,∴∠ACB=∠ACD=45°,∴∠BCD=90°.又∵在Rt△ABC中,BC2222=+=22,∴BD222222210 BC CD=+=+=()().故BD 的长等于4或25或10.故答案为4或25或10.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识.解题的关键是分情况考虑问题, 18.169【解析】解:由于a 、b 、c 都是正方形,所以AC =CD ,∠ACD =90°;∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°,即∠BAC =∠DCE ,∠ABC =∠CED =90°,AC =CD ,∴△ACB ≌△DCE ,∴AB =CE ,BC =DE ; 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2,即S b =S a +S c =22512+=169. 故答案为:169.点睛:此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用,结合图形求解,对图形的理解能力要比较强.19.41【解析】作AD′⊥AD ,AD′=AD ,连接CD′,DD ′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD 与△CAD ′中,;BA CA BAD CAD AD AD ===⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩∴△BAD ≌△CAD′(SAS ), ∴BD=CD′,∠DAD′=90°,由勾股定理得 ,∠D′DA+∠ADC=90°,由勾股定理得BD 2=41.故答案是:41.20.5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ,将其余八个全等的三角形面积一个设为y ,从而用x ,y 表示出1S ,2S ,3S ,得出答案即可.【详解】解:将四边形MTKN 的面积设为x ,将其余八个全等的三角形面积一个设为y , 正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为1S ,2S ,3S ,12310S S S ++=,∴得出18S y x ,24S y x ,3S x =, 12331215S S S x y ,故31215x y, 154=53x y , 所以245S x y , 故答案为:5.【点睛】 此题主要考查了图形面积关系,根据已知得出用x ,y 表示出1S ,2S ,3S ,再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键.三、解答题21.(1)BE =1;(2)见解析;(3)(2y x =【分析】(1)如图1,根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED =90°,进而可得∠BDE =30°,然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果;(2)过点D 作DM ⊥AB 于M ,作DN ⊥AC 于N ,如图2,根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ,则有BM =CN ,DM =DN ,进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ,可得EM =FN ,再根据线段的和差即可推出结论;(3)过点D 作DM ⊥AB 于M ,如图3,同(2)的方法和已知条件可得DM =DN =FN =EM ,然后根据线段的和差关系可得BE +CF =2DM ,BE ﹣CF =2BM ,在Rt △BMD 中,根据30°角的直角三角形的性质可得DM BM ,进而可得BE +CF (BE ﹣CF ),代入x 、y 后整理即得结果.【详解】解:(1)如图1,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,BC=AC=AB=4.∵点D是线段BC的中点,∴BD=DC=12BC=2.∵DF⊥AC,即∠AFD=90°,∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°,∴∠BED=90°,∴∠BDE=30°,∴BE=12BD=1;(2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,如图2,则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°.∵∠A=60°,∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°.∵∠EDF=120°,∴∠MDE=∠NDF.在△MBD和△NCD中,∵∠BMD=∠CND,∠B=∠C,BD=CD,∴△MBD≌△NCD(AAS),∴BM=CN,DM=DN.在△EMD和△FND中,∵∠EMD=∠FND,DM=DN,∠MDE=∠NDF,∴△EMD≌△FND(ASA),∴EM=FN,∴BE+CF=BM+EM+CN-FN=BM+CN=2BM=BD=12BC=12AB;(3)过点D 作DM ⊥AB 于M ,如图3,同(2)的方法可得:BM =CN ,DM =DN ,EM =FN .∵DN =FN ,∴DM =DN =FN =EM ,∴BE +CF =BM +EM +FN -CN =NF +EM =2DM =x +y ,BE ﹣CF =BM +EM ﹣(FN -CN )=BM +NC =2BM =x -y ,在Rt △BMD 中,∵∠BDM =30°,∴BD =2BM ,∴DM =22=3BD BM BM -,∴()3x y x y +=-,整理,得()23y x =-.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识,具有一定的综合性,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.22.(1)见解析;(2)见解析;(3)363【分析】(1)先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数,从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ,按照邻和四边形的定义即可得出结论.(2)以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,与网格的交点,以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求.(3)先根据勾股定理求得AC 的长,再分类计算即可:①当DA=DC=AC 时;②当CD=CB=BD 时;③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时.【详解】(1)∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°,∴∠ACB =∠ABC ,∴AB =AC .∵∠ACD =∠ADC ,∴AC =AD ,∴AB =AC =AD .∴四边形ABCD 是邻和四边形;(2)如图,格点D 、D'、D''即为所求作的点;(3)∵在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =23, ∴AC =()22222234AB BC +=+=,显然AB ,BC ,AC 互不相等.分两种情况讨论:①当DA =DC =AC=4时,如图所示:∴△ADC 为等边三角形,过D 作DG ⊥AC 于G ,则∠ADG =160302⨯︒=︒, ∴122AG AD ==, 22224223DG AD AG =-=-=,∴S △ADC =1423432⨯⨯=,S △ABC =12AB×BC =23, ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63;②当CD =CB =BD =23时,如图所示:∴△BDC 为等边三角形,过D 作DE ⊥BC 于E ,则∠BDE =160302⨯︒=︒,∴12BE BD ==3DE ===,∴S △BDC =132⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ,∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒,∴DF=12S △ADB =122⨯=,∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =;③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时,邻和四边形ABCD 不存在.∴邻和四边形ABCD 的面积是或【点睛】 本题属于四边形的新定义综合题,考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点,数形结合并读懂定义是解题的关键.23.(1)2;(2)2q p =;(3)OM =【分析】(1)根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可;(2)过M 作MN ⊥CD 于N ,根据已知得出MN q =,OM p =,求出∠MON =60°,根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出MN p ==即可解决问题;(3)分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ,连接EF 、OE 、OF ,连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点,首先证明OM OE OF EF ===,求出2MF =,ME =F 作FG QM ⊥,交QM 延长线于G ,根据含30度直角三角形的性质求出1FG =,MG =,再利用勾股定理求出EF 即可.【详解】解:(1)由题意可知,在直线CD 上,且在点O 的两侧各有一个,共2个,故答案为:2;(2)过M 作MN CD ⊥于N ,∵直线l AB ⊥于O ,150BOD ∠=︒,∴60MON ∠=︒,∵MN q =,OM p =, ∴1122NO MO p ==, ∴223MN MO NO p =-=, ∴32q p =; (3)分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ,连接EF 、OE 、OF ,连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点.∴OFP OMP △≌△,OEQ OMQ △≌△,∴FOP MOP ∠=∠,EOQ MOQ ∠=∠,OM OE OF ==,∴260EOF BOD ∠=∠=︒,∴△OEF 是等边三角形, ∴OM OE OF EF ===,∵1MP =,3MQ =∴2MF =,3ME =,∵30BOD ∠=︒,∴150PMQ ∠=︒,过F 作FG QM ⊥,交QM 延长线于G ,∴30FMG ∠=︒, 在Rt FMG △中,112FG MF ==,则3MG =,在Rt EGF 中,1FG =,33EG ME MG =+=∴22(33)127EF =+=∴27OM =【点睛】本题考查了轴对称的应用,含30度直角三角形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质等,正确理解题目中的新定义是解答本题的关键.24.(1)AE=BD 且AE ⊥BD ;(2)6;(3)PQ 为定值6,图形见解析【分析】(1)由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ,可得AE=BD ,∠EAC=∠DBC=45°,可得AE ⊥BD ; (2)由等腰三角形的性质可得PA=AQ ,由勾股定理可求PA 的长,即可求PQ 的长; (3)分两种情况讨论,由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ,可得AE=BD ,∠EAC=∠DBC ,可得AE ⊥BD ,由等腰三角形的性质可得PA=AQ ,由勾股定理可求PA 的长,即可求PQ 的长.【详解】解:(1)AE=BD ,AE ⊥BD ,理由如下:∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠EAC=∠DBC=45°,∴∠EAC+∠CAB=90°,∴AE ⊥BD ;(2)∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6;(3)如图3,若点D 在AB 的延长线上,∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠CBD=∠CAE=135°,且∠CAB=45°,∴∠EAB=90°,∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴AQ=22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6;如图4,若点D 在BA 的延长线上,∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠CBD=∠CAE=45°,且∠CAB=45°,∴∠EAB=90°,∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴AQ=22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,证明AE ⊥BD 是本题的关键.25.(15132)见解析;(3)23【分析】(1)分两种分割法利用勾股定理即可解决问题;(2)如图,过点A 作AD ⊥AB ,且AD=BN .只要证明△ADC ≌△BNC ,推出CD=CN ,∠ACD=∠BCN ,再证明△MDC ≌△MNC ,可得MD=MN ,由此即可解决问题;(3)过点B 作BP ⊥AB ,使得BP=AM=1,根据题意可得△CPB ≌△CMA ,△CMN ≌△CPN ,利用全等性质推出∠BNP=30°,从而得到NB 和NP 的长,即得BM.【详解】解:(1)当MN 最长时,BN=225MN AM -=,当BN 最长时,BN=2213AM MN +=;(2)证明:如图,过点A 作AD ⊥AB ,且AD=BN ,在△ADC 和△BNC 中,AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△BNC (SAS ),∴CD=CN ,∠ACD=∠BCN ,∵∠MCN=45°,∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°,∴∠MCD=∠MCN ,在△MDC 和△MNC 中,CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△MDC ≌△MNC (SAS ),∴MD=MN在Rt △MDA 中,AD 2+AM 2=DM 2,∴BN 2+AM 2=MN 2,∴点M ,N 是线段AB 的勾股分割点;(3)过点B 作BP ⊥AB ,使得BP=AM=1,根据(2)中过程可得:△CPB ≌△CMA ,△CMN ≌△CPN ,∴∠AMC=∠BPC=120°,AM=PB=1,∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°,∴∠BPN=120°-60°=60°,∴∠BNP=30°,∴NP=2BP=2=MN ,∴BN=22213-=,∴BM=MN+BN=23+.【点睛】本题是三角形的综合问题,考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.26.(1)详见解析;(241;(33【分析】(1)证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得;(2)连接BD ,证1302FEA AED ∠=∠=,证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5,利用勾股定理求解;(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=,利用勾股定理得AE 2AB =,3AB ,根据(1)思路得3AB .【详解】(1) 证明:∵∠DAE=∠BAC ,∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ,即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中,AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACE ≌△ABD(SAS),∴BD CE =;(2)连接BD因为AD AE =, 60DAE BAC ∠=∠=,所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS),所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.27.(1)①BC =DC +EC ,理由见解析;②证明见解析;(2)6.【解析】【分析】(1)证明△BAD≌△CAE,根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BD=CE,∠ACE=∠B,得到∠DCE=90°,根据勾股定理计算即可;(3)作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,证明△BAD≌△CAE,得到BD=CE=9,根据勾股定理计算即可.【详解】(1)①解:BC=DC+EC,理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=EC,∴BC=DC+BD=DC+EC,;故答案为:BC=DC+EC;②证明:∵Rt△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,由(1)得,△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ACE=∠B=45°,∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°,∴CE2+CD2=ED2,在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,∴BD2+CD2=2AD2;(2)解:作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,如图2所示:∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△BAD与△CAE 中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE=9,∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,∴∠EDC=90°,∴DE ===6,∵∠DAE=90°,∴AD=AE =DE=6.【点睛】本題是四边形综合题目,考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识:本题综合性强,熟练掌握等腰直角三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.28.(1)S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩(2)10,103⎛⎫⎪⎝⎭(3)存在,(6,6)或(6,1027)-,(6,272)【解析】【分析】(1)当P在AC段时,△BPD的底BD与高为固定值,求出此时面积;当P在BC段时,底边BD为固定值,用t表示出高,即可列出S与t的关系式;(2)当点B的对应点B′恰好落在AC边上时,设P(m,10),则PB=PB′=m,由勾股定理得m2=22+(6-m)2,即可求出此时P坐标;(3)存在,分别以BD,DP,BP为底边三种情况考虑,利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.【详解】解:(1)∵A,B的坐标分别是(6,0)、(0,10),∴OA=6,OB=10,当点P在线段AC上时,OD=2,BD=OB-OD=10-2=8,高为6,∴S=12×8×6=24;当点P在线段BC上时,BD=8,高为6+10-t=16-t,∴S=12×8×(16-t)=-4t+64;∴S与t之间的函数关系式为:240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩();(2)设P(m,10),则PB=PB′=m,如图1,。

人教版勾股定理单元 易错题难题学能测试试题

人教版勾股定理单元 易错题难题学能测试试题

人教版勾股定理单元 易错题难题学能测试试题一、选择题1.△ABC 中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长为( ) A .42B .32C .42或32D .37或332.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.如图,在ABC 中,90A ∠=︒,6AB =,8AC =,ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ,过点O 作⊥OD AB 于点D ,若则AD 的长为( )A .2B .2C .3D .44.如图,设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…,并且都遵循如下规则:所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交(其中n 是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( )A .0B .1C 3D 25.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A( ) A .一定是锐角B .一定是直角C .一定是钝角D .非上述答案6.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则( )A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以7.如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的,曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽,它通过对图形的切割、拼接,巧妙地证明了勾股定理,这位伟大的数学家是()A.杨辉B.刘徽C.祖冲之D.赵爽8.以下列各组数为边长,不能构成直角三角形的是( )A.3,4,5 B.1,1,2C.8,12,13 D.2、3、59.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()A.245B.5 C.6 D.810.已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点B重合,则BE的长是()A.72B.74C.254D.154二、填空题11.已知,如图:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为A (10,0)、C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为_____.12.在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆,连接DA ,若22AB =,42AC =,则DA 的长为______.13.如图,已知△DBC 是等腰直角三角形,BE 与CD 交于点O ,∠BDC=∠BEC=90°,BF=CF ,若BC=8,OD=2,则OF=______.14.已知Rt △ABC 中,AC =4,BC =3,∠ACB =90°,以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ,则线段BD 的长为_____.15.如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,BC=CD=10,AC=17,AD=9,则AB=_____.16.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,AC 的垂直平分线交 BC 于 F ,交 AC 于 E ,交 BA 的延长线于 G ,若 EG =3,则 BF 的长是______.17.如图,P是等边三角形ABC内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA,连接PQ,则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150°④∠APC=135°18.如图,长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm,一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.19.如图,Rt△ABC中,∠BCA=90°,AB=5,AC=2,D为斜边AB上一动点(不与点A,B重合),DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,连接EF,则EF的最小值是_____.20.如图,E为等腰直角△ABC的边AB上的一点,要使AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值为____________.三、解答题21.如图,一架长25米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端离墙7米.(1)此时梯子顶端离地面多少米?(2)若梯子顶端下滑4米,那么梯子底端将向左滑动多少米?22.阅读与理解:折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在ABC 中,AB AC >(如图),怎样证明C B ∠>∠呢?分析:把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折,因为AB AC >,所以,点C 落在AB 上的点C '处,即AC AC '=,据以上操作,易证明ACD AC D '△△≌,所以AC D C '∠=∠,又因为AC D B '∠>∠,所以C B ∠>∠.感悟与应用:(1)如图(a ),在ABC 中,90ACB ∠=︒,30B ∠=︒,CD 平分ACB ∠,试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系,并说明理由;(2)如图(b ),在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,16AC =,8AD =,12DC BC ==,①求证:180B D ∠+∠=︒; ②求AB 的长.23.如图,在边长为2的等边三角形ABC 中,D 点在边BC 上运动(不与B ,C 重合),点E 在边AB 的延长线上,点F 在边AC 的延长线上,AD DE DF ==. (1)若30AED ∠=︒,则ADB =∠______. (2)求证:BED CDF △≌△.(3)试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中,BED 的周长l 是否发生变化?若不变,请求出l 的值,若变,请求出l 的取值范围.24.定义:如图1,点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ,若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点.(1)已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点,若2AM =,3MN =,求BN 的长; (2)如图2,在Rt ABC △中,AC BC =,点M 、N 在斜边AB 上,45MCN ∠=︒,求证:点M 、N 是线段AB 的勾股分割点(提示:把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒);(3)在(2)的问题中,15ACM ∠=︒,1AM =,求BM 的长.25.我们规定,三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在ABC ∆中,AO 是BC 边上的中线,AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值,可记为22AB AC OA BO ∇=-(1)在ABC ∆中,若90ACB ∠=︒,81AB AC ∇=,求AC 的值.(2)如图2,在ABC ∆中,12AB AC ==,120BAC ∠=︒,求AB AC ∇,BA BC ∇的值.(3)如图3,在ABC ∆中,AO 是BC 边上的中线,24ABC S ∆=,8AC =,64AB AC ∇=-,求BC 和AB 的长.26.如图,ABC ∆是等边三角形,,D E 为AC 上两点,且AE CD =,延长BC 至点F ,使CF CD =,连接BD .(1)如图1,当,D E 两点重合时,求证:BD DF =; (2)延长BD 与EF 交于点G . ①如图2,求证:60BGE ∠=︒;②如图3,连接,BE CG ,若30,4EBD BG ∠=︒=,则BCG ∆的面积为______________.27.如图,在△ABC 中,∠C =90°,把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合.(1)若∠A =35°,则∠CBD 的度数为________; (2)若AC =8,BC =6,求AD 的长;(3)当AB =m(m>0),△ABC 的面积为m +1时,求△BCD 的周长.(用含m 的代数式表示) 28.如图,△ABC 中,90BAC ∠=︒,AB=AC ,P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ,CD ,AD . (1)补全图形.(2)设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).(3)延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.29.如图1,△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,且BD : AD : CD =2 : 3 : 4, (1)试说明△ABC 是等腰三角形;(2)已知S △ABC =40cm 2,如图2,动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动,同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),①若△DMN的边与BC平行,求t的值;②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.图1 图2 备用图30.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AC,BC上的点,且满足DE⊥EF,垂足为点E,连接DF.(1)求∠EDF= (填度数);(2)延长DE交AB于点G,连接FG,如图2,猜想AG,GF,FC三者的数量关系,并给出证明;(3)①若AB=6,G是AB的中点,求△BFG的面积;②设AG=a,CF=b,△BFG的面积记为S,试确定S与a,b的关系,并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】存在2种情况,△ABC是锐角三角形和钝角三角形时,高AD分别在△ABC的内部和外部【详解】情况一:如下图,△ABC是锐角三角形∵AD是高,∴AD⊥BC∵AB=15,AD=12∴在Rt△ABD中,BD=9∵AC=13,AD=12∴在Rt△ACD中,DC=5∴△ABC的周长为:15+12+9+5=42情况二:如下图,△ABC是钝角三角形在Rt△ADC中,AD=12,AC=13,∴DC=5在Rt△ABD中,AD=12,AB=15,∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周长为:15+13+4=32故选:C【点睛】本题考查勾股定理,解题关键是多解,注意当几何题型题干未提供图形时,往往存在多解情况.2.C解析:C【分析】根据AC=2AB,点D是AC的中点求出AB=CD,再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE,并求出∠BAE=∠CDE=135°,然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等,从而判断出①小题正确;根据全等三角形对应边相等可得BE=EC,从而判断出②小题正确;根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC,然后推出∠BEC=∠AED,从而判断出③小题正确;2倍,用DE表示出AD,然后得到AB、AC,再根据勾股定理用DE与EC表示出BC,整理即可得解,从而判断出④小题错误.【详解】解:∵AC=2AB,点D是AC的中点,∴CD=12AC=AB,∵△ADE是等腰直角三角形,∴AE=DE ,∠BAE=90°+45°=135°,∠CDE=180°-45°=135°, ∴∠BAE=∠CDE , 在△ABE 和△DCE 中,AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABE ≌△DCE (SAS ),故①小题正确; ∴BE=EC ,∠AEB=∠DEC ,故②小题正确; ∵∠AEB+∠BED=90°, ∴∠DEC+∠BED=90°, ∴BE ⊥EC ,故③小题正确; ∵△ADE 是等腰直角三角形, ∴DE ,∵AC=2AB ,点D 是AC 的中点, ∴DE ,DE ,在Rt △ABC 中,BC 2=AB 2+AC 2=DE )2+(DE )2=10DE 2, ∵BE=EC ,BE ⊥EC , ∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2, ∴2EC 2=10DE 2,解得,故④小题错误, 综上所述,判断正确的有①②③共3个. 故选:C . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,准确识图,根据△ADE 是等腰直角三角形推出AE=DE ,∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键,也是解决本题的突破口.3.B解析:B 【分析】过点O 作OE ⊥BC 于E ,OF ⊥AC 于F ,由角平分线的性质得到OD=OE=OF ,根据勾股定理求出BC 的长,易得四边形ADFO 为正方形,根据线段间的转化即可得出结果. 【详解】解:过点O 作OE ⊥BC 于E ,OF ⊥AC 于F , ∵BO,CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的平分线, 所以OD=OE=OF , 又BO=BO,∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD. 同理可得,CE=CF.又四边形ADOE为矩形,∴四边形ADOE为正方形.∴AD=AF.∵在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,∴BC=10.∴AD+BD=6①,AF+FC=8②,BE+CE=BD+CF=10③,①+②得,AD+BD+AF+FC=14,即2AD+10=14,∴AD=2.故选:B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质,以及全等三角形的判定与性质,属于中考常考题型.4.D解析:D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点,再根据停止点确定它们之间的距离.【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,回到起点.乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A.因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱,因为2017÷6=336…1,所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1,B.2,故选D.【点睛】此题考查了立体图形的有关知识.注意找到规律:黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键.5.A解析:A【解析】【分析】根据211=+以及三角形三边关系可得2bc>a 2,再根据(b-c)2≥0,可推导a b c得出b 2 +c 2>a 2,据此进行判断即可得.【详解】∵211a b c =+,∴2b ca bc+ =,∴2bc=a(b+c),∵a、b、c是三角形的三条边,∴b+c>a,∴2bc>a·a,即2bc>a 2,∵(b-c)2≥0,∴b 2 +c 2 -2bc≥0,b 2 +c 2≥2bc,∴b 2 +c 2>a 2,∴一定为锐角,故选A.【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等,题目较难,得出b 2 +c 2>a 2是解题的关键.6.A解析:A【解析】试题分析:剪拼如下图:乙故选A考点:剪拼,面积不变性,二次方根7.D解析:D【分析】3世纪,汉代赵爽在注解《周髀算经》时,通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.【详解】由题意,可知这位伟大的数学家是赵爽.故选D.【点睛】考查了数学常识,勾股定理的证明.3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理.8.C解析:C【分析】根据勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断.【详解】A. 32+42=52,能构成直角三角形,故不符合题意;B. 12+12=)2,能构成直角三角形,故不符合题意;C. 82+122≠132,不能构成直角三角形,故符合题意;D.)2+2=2,能构成直角三角形,故不符合题意,故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.9.A解析:A【分析】过C作CM⊥AB于M,交AD于P,过P作PQ⊥AC于Q,由角平分线的性质得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值,为CM的长,然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答.【详解】过C作CM⊥AB于M,交AD于P,过P作PQ⊥AC于Q,∵AD是∠BAC的平分线,∴PQ=PM,则PC+PQ=PC+PM=CM,即PC+PQ有最小值,为CM的长,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴由勾股定理得:AB=10,又1122ABCS AB CM AC BC==△,∴6824105 CM⨯==,∴PC+PQ的最小值为245,故选:A.【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高,解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法:一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点,从而把两条线段的位置关系转换,再根据两点之间线段最短或垂线段最短,使两条线段之和转化为一条直线来解决.10.C解析:C【分析】根据图形翻折变换的性质可知,AE=BE,设AE=x,则BE=x,CE=8-x,再在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出BE的长度.【详解】解:∵△ADE翻折后与△BDE完全重合,∴AE=BE,设AE=x,则BE=x,CE=8﹣x,在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,即x2=62+(8﹣x)2,解得,x=254,∴BE=254.故选:C.【点睛】本题考查了图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.二、填空题11..(3,4)或(2,4)或(8,4).【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边,故应该分情况进行分析,从而求得点P的坐标.【详解】解:(1)OD是等腰三角形的底边时,P就是OD的垂直平分线与CB的交点,此时OP=PD≠5;(2)OD是等腰三角形的一条腰时:①若点O是顶角顶点时,P点就是以点O为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,在直角△OPC中,CP=22-=22OP OC-=3,则P的坐标是(3,4).54②若D是顶角顶点时,P点就是以点D为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,过D作DM⊥BC于点M,在直角△PDM中,PM=22-=3,PD DM当P在M的左边时,CP=5﹣3=2,则P的坐标是(2,4);当P在M的右侧时,CP=5+3=8,则P的坐标是(8,4).故P的坐标为:(3,4)或(2,4)或(8,4).故答案为:(3,4)或(2,4)或(8,4).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类,考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.12.6或2.【分析】由于已知没有图形,当Rt△ABC固定后,根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论:①当D点在BC上方时,如图1,把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE,证明A、C、E三点共线,在等腰Rt△ADE中,利用勾股定理可求AD长;②当D点在BC下方时,如图2,把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED,证明过程类似于①求解.【详解】解:分两种情况讨论:①当D点在BC上方时,如图1所示,把△ABD绕点D逆时针旋转90°,得到△DCE,则∠ABD=∠ECD,2,AD=DE,且∠ADE=90°在四边形ACDB中,∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°,∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°,∴∠ACD+∠ECD=180°,∴A、C、E三点共线.∴AE=AC+CE=42+22=62在等腰Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,即2AD2=(62)2,解得AD=6②当D点在BC下方时,如图2所示,把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED,则CE=AB=22,∠BAD=∠CED,AD=AE且∠ADE=90°,所以∠EAD=∠AED=45°,∴∠BAD=90°+45°=135°,即∠CED=135°,∴∠CED+∠AED=180°,即A、E、C三点共线.∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt△ADE中,2AD2=AE2=8,解得AD=2.故答案为:6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理,解决这类等边(或共边)的两个三角形问题,一般是通过旋转的方式作辅助线,转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解.1310【分析】过点F作FG⊥BE,连接OF、EF,先根据等腰直角三角形的性质得出DC的值,再用勾股定理求出OE的值,然后根据中位线定理得出FG的的值,最后再根据勾股定理得出OF的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ,连接OF 、EF ,如下图所示:∵DBC ∆是等腰直角三角形,且BF CF =,8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =,∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴334OE =∴221234EC OC EO =-=∵BF CF =,FG ⊥BE ,∠BEC=90° ∴16342FG EC ==∴2034BE BO OE =+= ∴1734217GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等,综合度比较高,准确作出辅助线是关键.14.72965【分析】分三种情形讨论:(1)如图1中,以点C 所在顶点为直角时;(2)如图2中,以点D 所在顶点为直角时;(3)如图3中,以点A所在顶点为直角时.【详解】(1)如图1中,以点C所在顶点为直角时.∵AC=CD=4,BC=3,∴BD=CD+BC=7;(2)如图2中,以点D所在顶点为直角时,作DE⊥BC与E,连接BD.在Rt△BDE中DE=2,BE=5,∴BD2229=+=;DE BE(3)如图3中,以点A所在顶点为直角时,作DE⊥BC于E,在Rt△BDE中,DE=4.BE=7,∴BD2265=+=.DE BE故答案为:7或29或65.【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.15.21【分析】在AB上截取AE=AD,连接CE,过点C作CF⊥AB于点F,先证明△ADC≌△AEC,得出AE=AD=9,CE=CD=BC=10的长度,再设EF=BF=x,在Rt△CFB和Rt△CFA中,由勾股定理求出x,再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度.【详解】如图所示,在AB上截取AE=AD,连接CE,过点C作CF⊥AB于点F,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠EAC.在△AEC和△ADC中,AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===∴△ADC ≌△AEC (SAS ),∴AE=AD=9,CE=CD=BC =10,又∵CF ⊥AB ,∴EF=BF ,设EF=BF=x .∵在Rt △CFB 中,∠CFB=90°,∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2,∵在Rt △CFA 中,∠CFA=90°,∴CF 2=AC 2-AF 2=172-(9+x )2,即102-x 2=172-(9+x )2,∴x=6,∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21,∴AB 的长为21.故答案是:21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形,再运用用方程的思想解决问题.16.4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC ,∠AEG=∠AEF=90°,求出∠B=∠C=∠G=30°,根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ,即可求出FG ,再求出BF=FG 即可【详解】∵AC 的垂直平分线FG ,∴AE=EC ,∠AEG=∠AEF=90°,∵∠BAC=120°,∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°,∵∠BAC=120°,AB=AC ,∴∠B=∠C=12(180°-∠BAC )=30°, ∴∠B=∠G ,∴BF=FG ,∵在Rt △AEG 中,∠G=30°,EG=3,∴AG=2AE ,即(2AE )2=AE 2+32,∴即同理在Rt △CEF 中,∠C=30°,CF=2EF ,(2EF )2=EF 2+2,∴EF=1(负值舍去),∴BF=GF=EF+CE=1+3=4,故答案为4.【点睛】本题考查了勾股定理,含30°角的直角三角形性质,等腰三角形的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.17.①②③【解析】【详解】解:∵△ABC 是等边三角形,60ABC ∴∠=,∵△BQC ≌△BPA ,∴∠BPA =∠BQC ,BP =BQ =4,QC =PA =3,∠ABP =∠QBC ,60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=,∴△BPQ 是等边三角形,①正确.∴PQ =BP =4,2222224325,525PQ QC PC +=+===,222PQ QC PC ∴+=,90PQC ∴∠=,即△PQC 是直角三角形,②正确.∵△BPQ 是等边三角形,60PBQ BQP ∴∠=∠=,∵△BQC ≌△BPA ,∴∠APB =∠B QC ,6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=,③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠,90PQC PQ QC ∠=≠,,45QPC ∴∠≠,即135APC ∠≠,④错误.故答案为①②③.18.100【解析】蚂蚁有三种爬法,就是把正视和俯视(或正视和侧视,或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形,然后求其对角线:第一种情况:如图1,把我们所看到的前面和上面组成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm,则所走的最短线段AB==10cm;第二种情况:如图2,把我们看到的左面与上面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm,所以走的最短线段AB==10cm;第三种情况:如图3,把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm,所以走的最短线段AB==100cm;三种情况比较而言,第三种情况最短.故答案为100cm.点睛:本题考查了立体图形中的最短路线问题;通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题;注意长方体展开图形应分情况进行探讨.19.25【解析】试题分析:根据勾股定理可求出BC=1,然后根据∠BCA=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,证得四边形CEDF是矩形,连接CD,则CD=EF,当CD⊥AB时,CD最短,即EF=CD=25.故答案为25 5.点睛:本题考查了勾股定理的运用,矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质,同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力.20.5【解析】试题分析:作点B关于AC的对称点F,构建直角三角形,根据最短路径可知:此时PB+PE 的值最小,接下来要求出这个最小值,即求EF的长即可,因此要先求AF的长,证明△ADF≌△CDB,可以解决这个问题,从而得出EF=5,则PB+PE的最小值为5.解:如图,过B作BD⊥AC,垂足为D,并截取DF=BD,连接EF交AC于P,连接PB、AF,则此时PB+PE的值最小,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=CB,∠ABC=90°,AD=DC,∴∠BAC=∠C=45°,∵∠ADF=∠CDB,∴△ADF≌△CDB,∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°,∵AE=3,BE=1,∴AB=BC=4,∴AF=4,∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,∴由勾股定理得:EF =22AF AE +=2243+=5,∵AC 是BF 的垂直平分线, ∴BP =PF ,∴PB +PE =PF +PE =EF =5,故答案为5.点睛:本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识,结合两点之间线段最短来求解.三、解答题21.(1)梯子顶端离地面24米(2)梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析:(1)构建数学模型,根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离;(2)构建直角三角形,然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析:(1)如图,∵AB=25米,BE=7米,梯子距离地面的高度AE=22257-=24米.答:此时梯子顶端离地面24米;(2)∵梯子下滑了4米,即梯子距离地面的高度CE=(24﹣4)=20米,∴22CD CE -222520-,∴DE=15﹣7=8(米),即下端滑行了8米.答:梯子底端将向左滑动了8米.22.(1)B C−AC =AD ;理由详见解析;(2)①详见解析;②AB=14【分析】(1)在CB 上截取CE =CA ,连接DE ,证△ACD ≌△ECD 得DE =DA ,∠A =∠CED =60°,据此∠CED =2∠CBA ,结合∠CED =∠CBA +∠BDE 得出∠CBA =∠BDE ,即可得DE =BE ,进而得出答案;(2)①在AB 上截取AM =AD ,连接CM ,先证△ADC ≌△AMC ,得到∠D =∠AMC ,CD =CM ,结合CD =BC 知CM =CB ,据此得∠B =∠CMB ,根据∠CMB +∠CMA =180°可得;②设BN =a ,过点C 作CN ⊥AB 于点N ,由CB =CM 知BN =MN =a ,CN 2=BC 2−BN 2=AC 2−AN 2,可得关于a 的方程,解之可得答案.【详解】解:(1)BC−AC =AD .理由如下:如图(a ),在CB 上截取CE =CA ,连接DE ,∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD =∠ECD ,又CD =CD ,∴△ACD ≌△ECD (SAS ),∴DE =DA ,∠A =∠CED =60°,∴∠CED =2∠CBA ,∵∠CED =∠CBA +∠BDE ,∴∠CBA =∠BDE ,∴DE =BE ,∴AD =BE ,∵BE =BC−CE =BC−AC ,∴BC−AC =AD .(2)①如图(b ),在AB 上截取AM =AD ,连接CM ,∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC =∠MAC ,∵AC =AC ,∴△ADC ≌△AMC (SAS ),∴∠D =∠AMC ,CD =CM =12,∵CD =BC =12,∴CM =CB ,∴∠B =∠CMB ,∵∠CMB +∠CMA =180°,∴∠B +∠D =180°;②设BN =a ,过点C 作CN ⊥AB 于点N ,∵CB =CM =12,∴BN =MN =a ,在Rt △BCN 中,2222212CN BC BN a --==,在Rt △ACN 中,2222216(8)CN AC AN a --+==, 则22221216(8)a a --+=, 解得:a =3,即BN =MN =3,则AB =8+3+3=14,∴AB=14.【点睛】本题考查了四边形的综合题,以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质;本题有一定难度,需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.23.(1)90°;(2)证明见解析;(3)变化,234l +≤<.【分析】(1)由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°,由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°,由三角形内角和定理可求解;(2)根据等腰三角形的性质,可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ,由此可利用“ASA”证明全等;(3)根据全等三角形的性质可得l =2+AD ,根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围.【详解】解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠ABC=∠ACB=60°,∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°,∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°,故答案为:90°;(2)∵AD=DE=DF ,∴∠DAE=∠DEA ,∠DAF=∠DFA ,∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°,∴∠DEA+∠DFA=60°,∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°,∴∠EDB=∠DFA ,∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°,∴∠CDF=∠DEA ,在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△BDE ≌△CFD (ASA )(3)∵△BDE ≌△CFD ,∴BE=CD ,∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ,当D 点在C 或B 点时,AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形,2+AD=4;当D 点在BC 的中点时,∵AB=AC ,∴BD=112BC =,AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定,勾股定理,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理.(1)掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键;(2)中注意角之间的转换;(3)中注意临界点是否可取.24.(12)见解析;(3)2【分析】(1)分两种分割法利用勾股定理即可解决问题;(2)如图,过点A 作AD ⊥AB ,且AD=BN .只要证明△ADC ≌△BNC ,推出CD=CN ,∠ACD=∠BCN ,再证明△MDC ≌△MNC ,可得MD=MN ,由此即可解决问题;(3)过点B 作BP ⊥AB ,使得BP=AM=1,根据题意可得△CPB ≌△CMA ,△CMN ≌△CPN ,利用全等性质推出∠BNP=30°,从而得到NB 和NP 的长,即得BM.【详解】解:(1)当MN 最长时,,当BN 最长时,(2)证明:如图,过点A 作AD ⊥AB ,且AD=BN ,在△ADC 和△BNC 中,AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△BNC (SAS ),∴CD=CN ,∠ACD=∠BCN ,∵∠MCN=45°,∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°,∴∠MCD=∠MCN ,在△MDC 和△MNC 中,CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△MDC ≌△MNC (SAS ),∴MD=MN在Rt △MDA 中,AD 2+AM 2=DM 2,∴BN 2+AM 2=MN 2,∴点M ,N 是线段AB 的勾股分割点;(3)过点B 作BP ⊥AB ,使得BP=AM=1,根据(2)中过程可得:△CPB ≌△CMA ,△CMN ≌△CPN ,∴∠AMC=∠BPC=120°,AM=PB=1,∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°,∴∠BPN=120°-60°=60°,∴∠BNP=30°,∴NP=2BP=2=MN ,∴BN=22213-=,∴BM=MN+BN=23+.【点睛】本题是三角形的综合问题,考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.25.(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+= ∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.26.(1)见解析;(2)①见解析;②2.【分析】(1)当D 、E 两点重合时,则AD=CD ,然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数,根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数,于是可得∠CBD 与∠F 的关系,进而可得结论;(2)①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ,连接BE ,如图4,则易得△AHE 是等边三角形,根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ,∠BHE =∠ECF =120°,BH =EC ,于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ,可得∠EBH =∠FEC ,易证△BAE ≌△BCD ,可得∠ABE =∠CBD ,从而有∠FEC =∠CBD ,然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ,进而可得结论; ②易得∠BEG =90°,于是可知△BEF 是等腰直角三角形,由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长,过点E 作EM ⊥BF 于点F ,过点C 作CN ⊥EF 于点N ,如图5,则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形,然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长,进而可得△GCN 也是等腰直角三角形,于是有∠BCG =90°,故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅,而BC 和CG 可得,问题即得解决. 【详解】 解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =∠ACB =60°,当D 、E 两点重合时,则AD=CD ,∴1302DBC ABC ∠=∠=︒, ∵CF CD =,∴∠F =∠CDF , ∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°,∴∠F =30°,∴∠CBD =∠F ,∴BD DF =;(2)①∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =∠ACB =60°,AB=AC ,过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ,连接BE ,如图4,则∠AHE =∠ABC =60°,∠AEH =∠ACB =60°,∴△AHE 是等边三角形,∴AH=AE=HE ,∴BH =EC ,∵AE CD =,CD=CF ,∴EH=CF ,又∵∠BHE =∠ECF =120°,∴△BHE ≌△ECF (SAS ),∴∠EBH =∠FEC ,EB=EF ,∵BA=BC ,∠A =∠ACB =60°,AE=CD ,∴△BAE ≌△BCD (SAS ),∴∠ABE =∠CBD ,∴∠FEC =∠CBD ,∵∠EDG =∠BDC ,∴∠BGE =∠BCD =60°;②∵∠BGE =60°,∠EBD =30°,∴∠BEG =90°,∵EB=EF ,∴∠F =∠EBF =45°,∵∠EBG =30°,BG =4,∴EG =2,BE 3∴BF 226BE =232GF =,过点E 作EM ⊥BF 于点F ,过点C 作CN ⊥EF 于点N ,如图5,则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形,∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°,∴∠MEC =30°,∴2MC =,。

人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理 易错题练习(word版含答案)

人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理 易错题练习(word版含答案)

第十七章勾股定理易错题练习17.1 勾股定理第1课时勾股定理易错点1 对勾股定理的理解不透彻1.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC,边长为无理数的边数有()A.0条B.1条C.2条D.3条2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.803.如图是一棵美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 .易错点2 没有分清直角三角形的直角边和斜边4.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,则以c为边的正方形的面积为 .5.已知以直角三角形的两边分别为边长的正方形的面积为7和16,则以第三边为边长的正方形的面积为 .易错点3 忽略三角形的高在三角形外部的情况6.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC的周长.第2课时勾股定理的应用易错点1 忽略勾股定理的使用前提而出错1.已知△ABC的三边长均为整数,且较小两边的长分别为3和4.则最大边的长为()A.5B.6C.5或6D.无法确定2.如图,学校有一块长方形草地,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草地内走出了一条“路”,他们仅仅少走了()米路,却踩伤了花草.A.1B.2C.5D.123.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方(BC=1.2米)时,感应门自动打开,则AD= 米.4.如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.5.一架方梯AB长25米,如图所示,斜靠在一面墙上.(1)若梯子底端离墙7米,这个梯子的顶端距地面有多高?(2)在(1)的条件下,如果梯子的顶端下滑了9米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?易错点2 认不清立体图形展开后点或线的具体位置6.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为()A.8 cmB.13 cmC.12 cmD.15 cm7.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是()17.2 勾股定理的逆定理易错点1 运用勾股定理的逆定理时,因找错最大边而出错1.已知a,b,c是△ABC的三边长,+(c-5)2+12b-=0,则△ABC是()A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则()A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.△ABC不是直角三角形3.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是()易错点2 忽略勾股数是正整数的条件4.下列各组数,是勾股数的一组是()A.3,-4,5B.5,12,13C.3,4,7D.53,54,15.阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是()A.②④ B.①②④ C.①② D.①④易错点3 勾股定理的逆定理在实际运用中易出错6.如图,某港口位于东西方向的海岸线上,A,B两军舰同时离开港口,各自沿一固定方向航行,A舰每小时航行16海里,B舰每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后,相距30海里,已知A舰沿东北方向航行,问B舰沿哪个方向航行?7.景区内有一块四边形空地,如图所示,景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪,需要测量其面积,经技术人员测得∠ABC=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,AD=24米.(1)请你帮助管理人员计算出这个四边形的对角线AC的长度;(2)请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积.参考答案第十七章勾股定理易错点题型17.1 勾股定理第1课时勾股定理易错点1 对勾股定理的理解不透彻1.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC,边长为无理数的边数有(D)A.0条B.1条C.2条D.3条2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(C)A.48B.60C.76D.803.如图是一棵美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是10 .易错点2 没有分清直角三角形的直角边和斜边4.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,则以c为边的正方形的面积为 7 .5.已知以直角三角形的两边分别为边长的正方形的面积为7和16,则以第三边为边长的正方形的面积为 9或23 .易错点3 忽略三角形的高在三角形外部的情况6.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC的周长.解:①当△ABC为锐角三角形时,如图1.在Rt△ABD中在Rt△ACD中∴BC=CD+BD=5+9=14.∴△ABC的周长为15+13+14=42.②当△ABC为钝角三角形时,如图2.同理,BD=9,CD=5.∴BC=BD-CD=9-5=4.∴△ABC的周长为15+13+4=32.综上所述,△ABC的周长为42或32.第2课时勾股定理的应用易错点1 忽略勾股定理的使用前提而出错1.已知△ABC的三边长均为整数,且较小两边的长分别为3和4.则最大边的长为(C)A.5B.6C.5或6D.无法确定2.如图,学校有一块长方形草地,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草地内走出了一条“路”,他们仅仅少走了( B)米路,却踩伤了花草.A.1B.2C.5D.123.如图,某自动感应门的正上方A 处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD 正对门,缓慢走到离门1.2米的地方(BC=1.2米)时,感应门自动打开,则AD= 1.5 米.4.如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD 的面积. 解:如图,延长BC,AD 交于点E.∵∠A=60°,∠B=90°, ∴∠E=90°-∠A=30°.∴AE=2AB=8.根据勾股定理,得BE=43. ∵∠CDE=90°,∠E=30°.∴CE=2CD=4.根据勾股定理,得DE=23. ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △DCE =12AB ·BE-12CD ·DE=12×4×43-12×2×23=63.5.一架方梯AB 长25米,如图所示,斜靠在一面墙上.(1)若梯子底端离墙7米,这个梯子的顶端距地面有多高?(2)在(1)的条件下,如果梯子的顶端下滑了9米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几 米? 解:(1)在Rt △AOB 中,AB=25米,OB=7米,∴OA=22AB OB -=22257-=24(米).答:梯子的顶端距地面24米;(2)在Rt △A ′OB ′中,A ′O=24-9=15(米), ∴OB ′=22A B OA '''-=222515-=20(米). ∴BB ′=OB ′-OB=20-7=13(米).答:梯子的底端在水平方向滑动了13米.易错点2 认不清立体图形展开后点或线的具体位置6.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A 到顶点A ′镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为( B )A.8 cmB.13 cmC.12 cmD.15 cm7.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是(B)17.2 勾股定理的逆定理易错点1 运用勾股定理的逆定理时,因找错最大边而出错1.已知a,b,c是△ABC的三边长,+(c-5)2+12b-=0,则△ABC是( A)A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则(A)A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.△ABC不是直角三角形3.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( C)易错点2 忽略勾股数是正整数的条件4.下列各组数,是勾股数的一组是( B )A.3,-4,5B.5,12,13C.3,4,7D.53,54,15.阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是( C)A.②④ B.①②④ C.①② D.①④易错点3 勾股定理的逆定理在实际运用中易出错6.如图,某港口位于东西方向的海岸线上,A,B两军舰同时离开港口,各自沿一固定方向航行,A舰每小时航行16海里,B舰每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后,相距30海里,已知A舰沿东北方向航行,问B舰沿哪个方向航行?解:根据题意,得OA=1.5×16=24,OB=1.5×12=18.∵242+182=302,∴OA2+OB2=AB2,即△AOB为直角三角形.又∵A舰沿东北方向航行,∠AOB=90°,∴B舰沿西北方向航行.7.景区内有一块四边形空地,如图所示,景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪,需要测量其面积,经技术人员测得∠ABC=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,AD=24米.(1)请你帮助管理人员计算出这个四边形的对角线AC的长度;(2)请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积.解:(1)如图,连接AC.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=20米,BC=15米,∴==25(米).答:这个四边形对角线AC的长度为25米;(2)在△ADC中,CD=7米,AD=24米,AC=25米,∵AD2+CD2=242+72=252=AC2.∴△ADC为直角三角形,且∠ADC=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12×15×20+12×7×24=234(平方米).答:这块空地的面积为234平方米.。

(带解析)人教版初中数学勾股定理易错知识点总结

(带解析)人教版初中数学勾股定理易错知识点总结

(每日一练)(带解析)人教版初中数学勾股定理易错知识点总结单选题1、以下列各组数为三角形的边长,能构成直角三角形的是()A.2、3、4B.5、5、6C.2、√3、√5D.√2、√3、√52、如图,由四个全等的直角三角形拼成的图形,设CE=a,HG=b,则斜边BD的长是()A.a+b B.a⋅b C.√a2+b22D.√a2−b223、如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1、S2、S3;如图2,分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆,面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=()A.86B.64C.54D.484、若一个直角三角形的两边长为4和5,则第三边长为()A .3B .√41C .8D .3或√415、如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,分别以点A 和点B 为圆心,以相同的长(大于 12 AB )为半径作弧,两弧相交于点M 和点N ,作直线MN 交AB 于点D ,交BC 于点E .若AC =3,AB =5,则DE 等于( )A .2B .103C .158D .152 6、在下列四组数中,不是勾股数的一组数是( )A .a=15,b=8,c=17B .a=9,b=12,c=15C .a=7,b=24,c=25D .a=3,b=5,c=77、如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S 1、S 2、S 3;如图2,分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆,面积分别为S 4、S 5、S 6.其中S 1=16,S 2=45,S 5=11,S 6=14,则S 3+S 4=( )A .86B .64C .54D .488、已知M 、N 是线段AB 上的两点,AM =MN =2,NB =1,以点A 为圆心,AN 长为半径画弧;再以点B 为圆心,BM 长为半径画弧,两弧交于点C ,连接AC ,BC ,则△ABC 一定是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形填空题9、如图,Rt △ABC 中,∠BAC =90°,分别以△ABC 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形:△ABD 、△ACE 、△BCF ,若图中阴影部分的面积S 1=6.5,S 2=3.5,S 3=5.5,则S 4=_____.10、如图,在高为6米,坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯,则至少需要地毯______米.11、如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=_____°(点A,B,P是网格线交点).12、如图的平面直角坐标系中,已知点A(-3,0)、B(0,4),将△OAB沿x轴作连续无滑动的翻滚,依次得到三角形①,②,③,④.则第⑯个三角形的直角顶点的坐标是___________.13、如图.在RtΔABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以直角顶点A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E,若DE=a,则ΔABC的周长用含a的代数式表示为_______________.解答题14、中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展,现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°.AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:(1)试说明:a2+b2=c2;(2)如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是3,求(a+b)2的值.15、勾股定理被誉为“几何明珠”,在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中数学中的重要知识点之一,也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识,因此学好勾股定理非常重要.学习数学“不仅要知其然,更要知其所以然”,所以,我们要学会勾股定理的各种证明方法.请你利用如图图形证明勾股定理:已知:如图,四边形ABCD中,BD⊥CD,AE⊥BD于点E,且△ABE≌△BCD.求证:AB2=BE2+AE2.(带解析)人教版初中数学勾股定理_012参考答案1、答案:D解析:根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形,D选项能构成直角三角形,即可得出结论.解:A、22+32≠42,不符合勾股定理的逆定理,故不正确;B、52+52≠62,不符合勾股定理的逆定理,故不正确;C、22+(√3)2≠(√5)2,不符合勾股定理的逆定理,故不正确;D、(√2)2+(√3)2=(√5)2,符合勾股定理的逆定理,能构成直角三角形,故正确.故选D.小提示:本题考查了勾股定理的逆定理;在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.2、答案:C解析:根据全等三角形的性质,设CD=AH=x,DE=AG=BC=y,由CE=a,HG=b建立方程组,求解即可得出CD=x=a−b 2,BC=y=a+b2,然后借助勾股定理即可表示BD.解:根据图象是由四个全等的直角三角形拼成,设CD=AH=x,DE=AG=BC=y,∵CE=a,HG=b,∴{x+y=ay−x=b解得:{x =a−b 2y =a+b 2, 故CD =a−b 2,BC =a+b 2在RtΔBCD 中,根据勾股定理得:BD 2=BC 2+CD 2=(a+b 2)2+(a−b 2)2=a 2+b 22,∴BD =√a 2+b 22.故选:C.小提示:本题考查勾股定理,全等三角形的性质,能借助方程思想用含a ,b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.3、答案:C解析:分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3,然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系.同理,得出S 4、S 5、S 6的关系,即可得到结果.解:如图1,过点E 作AB 的垂线,垂足为D ,∵△ABE 是等边三角形,∴∠AED=∠BED=30°,设AB=x ,∴AD=BD=12AB=12x ,∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ,∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2, 同理:S 1=√34AC 2,S 3=√34BC 2,∵BC2=AB2-AC2,∴S3=S2-S1,如图2,S4=12×(12AB)2π=π8AB2,同理S5=π8AC2,S6=π8BC2,则S4=S5+S6,∴S3+S4=45-16+11+14=54.小提示:本题考查了勾股定理、等边三角形的性质.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.4、答案:D解析:由于直角三角形的斜边不能确定,故应分5是直角边或5是斜边两种情况进行讨论.当5是直角边时,则第三边=√42+52=√41;当5是斜边时,则第三边=√52−42=3.综上所述,第三边的长是√41或3.故选D .小提示:本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.5、答案:C解析:根据勾股定理求出BC ,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ,根据勾股定理求出AE ,再根据勾股定理求出DE 即可.解:在RtABC 中,由勾股定理得:BC=√52−32=4,连接AE ,从作法可知:DE 是AB 的垂直评分线,根据性质AE=BE ,在Rt △ACE 中,由勾股定理得:AC2+CE 2=AE 2, 即32+(4-AE )2=AE 2, 解得:AE=258,在Rt △ADE 中,AD=12AB=52,由勾股定理得:DE2+(52)2=(258)2,解得:DE=158.故选C.“点睛”:本题考查了线段垂直平分线性质,勾股定理的应用,能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键.6、答案:D解析:解:A .152+82=172,是勾股数;B .92+122=152,是勾股数;C .72+242=252,是勾股数;D .32+52≠72,不是勾股数.故选D .7、答案:C解析:分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3,然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系.同理,得出S 4、S 5、S 6的关系,即可得到结果.解:如图1,过点E 作AB 的垂线,垂足为D ,∵△ABE 是等边三角形,∴∠AED=∠BED=30°,设AB=x ,∴AD=BD=12AB=12x , ∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ,∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2,同理:S1=√34AC2,S3=√34BC2,∵BC2=AB2-AC2,∴S3=S2-S1,如图2,S4=12×(12AB)2π=π8AB2,同理S5=π8AC2,S6=π8BC2,则S4=S5+S6,∴S3+S4=45-16+11+14=54.小提示:本题考查了勾股定理、等边三角形的性质.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.8、答案:B解析:依据作图即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,进而得到AC2+BC2=AB2,即可得出△ABC是直角三角形.如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,故选B.小提示:本题主要考查了勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.9、答案:2.5解析:DE分别交BF、CF于点G、点H;设AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,S△ABG=m,S△ACH=n,由a2+b2=c2,可得S△ABD+S△ACE=S△BCF,由此构建关系式,通过计算即可得到答案.如图,DE分别交BF、CF于点G、点H∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB=BD,AC=CE,BC=CF,设AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,S△ABG=m,S△ACH=n∵a2+b2=c2∴S△ABD+S△ACE=S△BCF∵S△ABD=S1+m,S△ACE=n+S4,S△BCF=S2+S3+m+n∴S1+m+n+S4=S2+S3+m+n∴S4=S2+S3−S1=3.5+5.5−6.5=2.5所以答案是:2.5.小提示:本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识;解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质,从而完成求解.10、答案:14解析:将楼梯表面向下和右平移,则地毯的总长=两直角边的和,已知斜边和一条直角边,根据勾股定理即可求另一条直角边,计算两直角边之和即可解题.解:将楼梯表面向下和右平移,则地毯的总长=两直角边的和,由题意得:∠ACB=90°,AB=10米,AC=6米,由勾股定理得BC=√AB2−AC2=√102−62=8(米),则AC+BC=14(米),所以答案是:14.小提示:本题考查了勾股定理的应用,本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键.11、答案:45解析:延长AP交格点于D,连接BD,根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5,PB2=12+32=10,求得PD2+DB2=PB2,于是得到∠PDB=90°,根据三角形外角的性质即可得到结论.解:延长AP交格点于D,连接BD,则PD2=BD2=1+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,∴∠PDB=90°,即△PBD为等腰直角三角形,∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°,所以答案是:45.小提示:本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,三角形的外角的性质,等腰直角三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.12、答案:(60,0)解析:先利用勾股定理计算出AB,从而得到△ABO的周长为12,根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环,由于16=3×5+1,于是可判断第⑯个三角形与第①个三角形的状态一样,然后计算即可得到第⑯个三角形的直角顶点的坐标.∵A(-3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=√32+42=5,∴△ABO的周长=3+4+5=12,由题意知,△OAB每连续3次后与原来的状态一样,∵16=3×5+1,∴第⑯个三角形与三角形①的状态一样,∴第⑯个三角形的直角顶点的横坐标=5×12=60,∴第⑯个三角形的直角顶点坐标为(60,0).故答案为(60,0).小提示:本题考查了坐标与图形变化-旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标,解决本题的关键是确定循环的次数.13、答案:(6+2√3)a解析:根据“∠BAC=90°,∠C=30°”可知∠B=60°,根据“以直角顶点A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D”可知△ABD是等边三角形,∠BAD=60°,继而可知∠DAE=30°,利用直角三角中30°所对的边是斜边的一半,即可知AB和BC的长,再利用勾股定理即可求出AC的长,从而可得周长.∵RtΔABC中,∠BAC=90°,∠C=30°∴∠B=60°,BC=2AB∵以直角顶点A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,∴AB=AD∵∠B=60°∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=60°,∴∠DAE=30°,又∵DE⊥AC∴△ADE是直角三角形∴AD=2DE=2a∴AB=2a,BC=4a根据勾股定理有AB2+AC2=BC2∴AC=√BC2−AB2=√16a2−4a2=2a√3∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2a+2a√3+4a=(6+2√3)a故答案为(6+2√3)a.小提示:本题考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理,能够根据含有30°角的直角三角形相关性质和勾股定理求出三边的长是解题的关键.14、答案:(1)证明见解析;(2)23解析:(1)根据题意,我们可在图中找等量关系,由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.(2)根据完全平方公式的变形解答即可.ab,小正方形面积为(b﹣a)2,解:(1)∵大正方形面积为c2,直角三角形面积为12∴c2=4×1ab+(a﹣b)2=2ab+a2﹣2ab+b2即c2=a2+b2;2(2)由图可知:ab=13﹣3=10,(b﹣a)2=3,4×12∴2ab=10,∴(a+b)2=(b﹣a)2+4ab=3+2×10=23.小提示:本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质,掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键.15、答案:证明见解析解析:连接AC,根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式,结合全等三角形的性质即可求解.解:连接AC,∵△ABE≌△BCD,∴AB=BC,AE=BD,BE=CD,∠BAE=∠CBD,∵∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴∠ABC=90°,∴S四边形ABCD=SΔABD+SΔBDC=12BD⋅AE+12BD⋅CD=12AE⋅AE+12BD⋅BE=12AE2+12BD⋅BE,又∵S四边形ABCD=SΔABC+SΔADC=12AB⋅BC+12CD⋅DE=12AB⋅AB+12BE⋅DE=12AB2+12BE⋅DE,∵12AE2+12BD⋅BE=12AB2+12BE⋅DE,∴AB2=AE2+BD•BE-BE•DE,∴AB2=AE2+(BD-DE)•BE,即AB2=BE2+AE2.小提示:本题考查了勾股定理的证明,解题时,利用了全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质.。

九年级数学勾股定理易错题总结(含答案)

九年级数学勾股定理易错题总结(含答案)

九年级数学勾股定理易错题总结(含答案)一、选择题(本大题共5小题,共15.0分)1.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,其中AB=4,∠AOC=120°,P为⊙O上的动点,连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为()A. 2B. √7C. 1+3√2D. 1+√7【答案】D【解析】【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识,如图,连接OQ,作CH⊥AB 于H.首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K,连接CK,当点Q在CK的延长线上时,CQ的值最大,利用勾股定理求出CK即可解决问题;【解答】解:如图,连接OQ,作CH⊥AB于H.∵AQ=QP,∴OQ⊥PA,∴∠AQO=90°,∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K,连接CK,当点Q在CK的延长线上时,CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解)在Rt△OCH中,∵∠COH=60°,OC=2,∴∠OCH=30°,∴OH=1OC=1,CH=√3,2在Rt△CKH中,CK=√(√3)2+22=√7,∴CQ的最大值为1+√7.故选D.2.如图,AB是⊙O的直径,AB=4,C为弧AB的三等分点(更靠近A点),点P是⊙O上一个动点,取弦AP的中点D,则线段CD的最大值为()A. 2B. √7C. 2√3D. √3+1【答案】D【解析】【分析】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、直角三角斜边的中线,圆心角,弧,弦的关系有关知识,如图,首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K,连接CK,当点D 在CK的延长线上时,CD的值最大,利用勾股定理求出CK即可解决问题.【解答】解:如图,连接OD,∵AD=DP,∴OD⊥PA,∴∠ADO=90°,∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K,连接CK,AC,当点D在CK的延长线上时,CD的值最大,∵C为AB⏜的三等分点,∴∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴CK⊥OA,在Rt△OCK中,∵∠COA=60°,OC=2,OK=1,∴CK=√OC2−OK2=√3,∵DK=1OA=1,2∴CD=√3+1,∴CD的最大值为√3+1,故选D.3.如图所示,四边形ABCD内接于⊙O,连结AC,BD,点E在AD的延长线上,下列说法正确的是()A. 若DC平分∠BDE,则AB=BCB. 若AC平分∠BCD,则AB2=AM⋅MCC. 若AC⊥BD,BD为直径,则BC2+AD2=AC2D. 若AC⊥BD,AC为直径,则sin∠BAD=BDAC【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用,勾股定理,锐角三角函数的定义,相似三角形的判定与性质等有关知识,根据圆内接四边形的性质和圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数的定义,相似三角形的判定与性质对各个选项进行分析即可得出结论.【解答】解:对于A,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠CDE=∠ABC,∵DC平分∠BDE,∴∠BDC=∠CDE,由圆周角定理得,∠BDC=∠BAC,∴∠BAC=∠ABC,∴AC=BC,故A错误;对于B,∵AC平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD,∵∠ACD=∠ABM,∴∠ABM=∠ACB,∵∠BAM=∠CAB,∴△ABM∽△ACB,∴ABAC =AMAB,∴AB2=AM·AC,故B错误;对于C,如图:∵AC⊥BD,BD为直径,∴BD垂直平分AC,∠BAD=90°,∴AB=BC,AB2+AD2=BD2,∴BC2+AD2=BD2,故C错误;对于D,连接BO并延长交圆O于点F.∵BF是直径,∴∠BDF=90°,∵AC为直径,∴BF=AC,又∠BAD=∠BFD,在Rt△BDF中,sin∠BAD=BDBF =BDAC,故D正确.故选D.4.已知:平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(0,4),B(0,−6),点C是x轴正半轴上的一点,且满足∠ACB=45°,则()A. △ABC的外接圆的圆心在OC上B. ∠ABC=60°C. △ABC的外接圆的半径等于5D. OC=12【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形,由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口.构造含有90°圆心角的⊙P,则⊙P与x轴的交点即为所求的点C.根据△PBA 为等腰直角三角形,可得OF=PE=5,根据勾股定理得:CF=7,进而得出OC.【解答】解:设线段BA的中点为E,∵点A(0,4),B(0,−6),∴AB=10,E(0,−1).AB=5,如图所示,过点E在第四象限作EP⊥BA,且EP=12则易知△PBA为等腰直角三角形,∠BPA=90°,PA=PB=5√2,以点P为圆心,PA(或PB)长为半径作⊙P,与y轴的正半轴交于点C,∵∠BCA为⊙P的圆周角,∠BPA=45°,即则点C即为所求.∴∠BCA=12过点P作PF⊥x轴于点F,则OF=PE=5,PF=OE=1,在Rt△PFC中,PF=1,PC=5√2,由勾股定理得:CF=√PC2−PF2=7∴OC=OF+CF=5+7=12,故选D.5.在数学拓展课《折叠矩形纸片》上,小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作:①把△ABF翻折,点B落在CD边上的点E处,折痕为AF,点F在BC边上;②把△ADH翻折,点D落在AE边上的点G处,折痕为=()AH,点H在CD边上.若AD=6,AB=10,则EHEFA. 32B. 53C. 43D. 54【答案】A【解析】【分析】本题考查矩形的性质,翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.利用翻折不变性可得AE=AB=10,推出DE=8,EC=2,设BF=EF=x,在Rt△EFC,设DH=GH=y,在Rt△EGH中,y2+42=(8−中,x2=22+(6−x)2,可得x=103y)2,可得y=3,由此即可解决问题.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,AB=CD=10,AD=BC=6,由翻折不变性可知:AB=AE=10,AD=AG=6,BF=EF,DH=HG,∴EG=4,在中,DE=√AE2−AD2=√102−62=8,∴EC=10−8=2,设BF=EF=x,在中有:x2=22+(6−x)2,∴x=103,设DH=GH=y,在中,y2+42=(8−y)2,∴y=3,∴EH=5,∴EHEF =5103=32,故选:A.二、填空题(本大题共18小题,共54.0分)6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D是边AC的中点,CE⊥BD于E.若F是边AB上的点,且使△AEF为等腰三角形,则AF的长为____.【答案】2√105或8√25或√22【解析】解:∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=2√2,∵∠DCB=90°,CE⊥BD,∴△CDE∽△BDC,∴CD2=DE⋅DB,∵AD=CD,∴AD2=DE⋅DB,BD=√CD2+BC2=√5,∴ADDE =DBAD,DE=AD2BD=√55,∵∠ADE=∠ADB,△DAE∽△DBA;∴AEAB =ADBD=√55,∴AE=2√105,∵DE=√55,BD=√5,∴BE=4√55,如图1中,若AE=AF时,∴AF=2√105,如图2中,若FE=AE时,过点E作EJ⊥AB于J,∵JE2=AE2−AJ2=EB2−BJ2,∴4025−AJ2=8025−(2√2−AJ)2,∴AJ=4√25,∵AE=EF,EJ⊥AF,∴AF=2AJ=8√25,如图3中,若EF=AF时,过点E作EJ⊥AB于J,∵EJ2=AE2−AJ2=EF2−FJ2,∴4025−3225=AF2−(4√25−AF)2,∴AF=√22,综上所述:AD的长为2√105或8√25或√22.故答案为2√105或8√25或√22.由相似三角形的判定与性质可求AE的长,BE的长,再分三种情况讨论,由等腰三角形的性质和勾股定理可求解.本题考查等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.7.在△ABC中,已知AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点,以点P为圆心,3cm为半径画⊙P,则点A与⊙P的位置关系是______.【答案】A在⊙P内【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,点和圆的位置关系的应用,关键是求出AP 的长.连接AP,求出AP⊥BC,求出BP,根据勾股定理求出AP,和半径比较即可.【解答】解:如图,连接AP,∵AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点,∴BP=CP=3cm,AP⊥BC,∴∠APB=90°,∴在Rt△APB中,由勾股定理得:AP=√AB2−BP2=√42−32=√7(cm),∵√7<3,∴点A在⊙P内.故答案为A在⊙P内.8.如图,⊙O经过矩形ABCD的顶点C,且与AD,BC相交于点E,F,H,AD,BC在圆心O同侧.已知AE=EF=4,BH=3.(1)CH的长为.(2)若⊙O的半径长为√10,则AB=.【答案】(1)6;(2)√6−1.【解析】略9.如图,△ABC的两条高线BD,CE相交于点F,已知∠ABC=60°,AB=a,CF=EF,则△ABC的面积为______(用含a的代数式表示).【答案】√3a25【解析】【试题解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,勾股定理、直角三角形30度角性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数表示线段的长,从而解决问题,属于中考常考题型.设BE=2x,根据30度的直角三角形的性质表示BC=4x,CE=2√3x,得EF=√3x,证明AEEF =CEBE,即AE√3x=2√3x2x,得AE=3x,最后根据三角形面积可得结论.【解答】解:设BE=2x,∵CE⊥AB,∴∠AEC=∠CEB=90°,∵∠ABC=60°,∴∠BCE=30°,∴BC=4x,CE=2√3x,∵EF=CF,∴EF=√3x,∵BD是△ABC的高,∴∠CDF=∠BEF=90°,∵∠DFC=∠BFE,∴∠ACE=∠EBF,∵∠AEC=∠BEF,∴△ACE∽△FBE,∴AEEF =CEBE,即√3x=2√3x2x,∴AE=3x,∵AB=a=2x+3x,∴x=15a,∴S▵ABC=12AB⋅CE=12a⋅2√3x=√3a25,故答案为:√3a25.10.如图在RtΔABC中,∠ACB=90∘,AC=3,BC=4,点E、F分别在边AB、AC上,将ΔAEF沿直线EF折叠,使点A的对应点D恰好落在边BC上.若ΔBDE是直角三角形,则CF的长为________.【答案】7249或98【解析】【分析】本题考查的是折叠的性质,勾股定理,三角函数定义,分类讨论有关知识,分两种情况:①∠BED =90°,过点F 作FM ⊥AE ,根据折叠性质可知∠AEF =∠DEF =45°,设FC =a ,则AF =3−a ,在Rt △AMF 中用a 表示出AE ,从而得到BE =5−AE ,在Rt △BED 中,根据三角函数用a 表示BE ,则构造出关于a 的方程;②∠BDE =90°,证明∠A =∠DFC ,根据三角函数找到FC 和DF 关系即可.【解答】解:①当∠BED =90°时,过点F 作FM ⊥AE ,根据折叠性质可知∠AEF =∠DEF =45°,设FC =a ,则AF =3−a ,在Rt △AMF 中,sinA =MF AF =45,∴MF =45(3−a)=ME . cosA =AMAF =35,∴AM =35(3−a). ∴AE =AM +MF =75(3−a)=DE .则BE =AB −AE =5−75(3−a).在Rt △BED 中,tanB =DE BE =34,∴BE =2815(3−a).∴5−75(3−a)=2815(3−a),解得a =7249;②当∠EDB =90°时,如图,根据折叠性质可知AF =FD ,∠A =∠EDF ,∵ED//AC ,∴∠EDF =∠DFC .∴∠A =∠DFC .∴cosA =cos∠DFC =35,设FC =x ,则AF =3−x =DF , ∴x 3−x =35,解得x =98. 综上所述CF 长为7249或98.故答案为7249或98.11. 如图所示,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,点M 是边CD 的中点,连结AM ,若⊙O 的半径为2,则AM =____.【答案】√13【解析】【分析】本题考查正多边形与圆,勾股定理,垂径定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.连接AC ,OB 交于点H.证明∠ACM =90°,求出AC ,CM 即可解决问题.【解析】解:如图所连结AC ,OB 交于点H .∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,OB=2,∴AB=BC=CD=2,∠ABC=∠BCD=120°,.∴OB⊥AC.∴AH=HC,∠ABH=∠CBH=60°,∴AH=AB·sin60°=√3,∴AC=2AH=2√3,∵∠ACB=∠BAC=30°,∠BCD=120°,∴∠ACM=90°,∵CM=MD=1,AC=2√3,.故答案为:√13.12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是中线,E是边AC的中点,过B,D,E三点的⊙O交AC于另一点F,交AD于点G,连接BF.若BC=4,AD=4√3,则BF=________⊙O的直径为________.【答案】4,√912【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,连接DE.由AB=AC,AD是AC=AE=CE,DE//AB,所中线,得到AD⊥BC,又E为边AC的中点,于是DE=12以∠C=∠EDC,因为∠DEC=∠FBC,所以∠BFC=∠EDC,因此∠BFC=∠C,BF=BC,设AD交⊙O于点M,连接FM.由BM为直径,∠BFM=90°,所以∠AFM+∠BFC=90°,于是∠DAC+∠C=90°,∠C=BFC,∠AFM=∠DAC,得到MA=MF,设MA=MF=x,则DM=4√3−x,由勾股定理DM2+BD2=BF2+MF2=BM2即可求出.【解答】解:如图1,连接DE,如图,∵在等腰△ABC中,AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∵E为边AC的中点,AC=AE=CE,DE//AB,∴DE=12∴∠C=∠EDC,∵∠DEC与∠FBC所对的弧均为DF⏜,∴∠DEC=∠FBC,在△BCF与△ECD中,∠DEC=∠FBC,∠BCF=∠ECD,∴∠BFC=∠EDC,∵∠C=∠EDC∴∠BFC =∠C ,∴BF =BC =4.如图2,设AD 交⊙O 于点M ,连接FM ,∵∠ADB =90°,即BM 为直径,∴∠BFM =90°,∴∠AFM +∠BFC =90°,∵∠DAC +∠C =90°,∠C =BFC ,∴∠AFM =∠DAC ,∴MA =MF ,设MA =MF =x ,则DM =4√3−x ,∵DM 2+BD 2=BF 2+MF 2=BM 2,∴DM 2+BD 2=BF 2+MF 2即(4√3−x)2+22=42+x 2,解得x =3√32, ∴BM =√42+(3√32)2=√912. 故答案为4,√912.13. 如图,在矩形纸片ABCD 中,将AB 沿BM 翻折,使点A 落在BC 上的点N 处,BM为折痕,连接MN ;再将CD 沿CE 翻折,使点D 恰好落在MN 上的点F 处,CE 为折痕,连接EF 并延长交BM 于点P ,若AD =8,AB =5,则线段PE 的长等于_____.【答案】203【解析】【分析】考查折叠轴对称的性质,矩形、正方形的性质,直角三角形的性质等知识,知识的综合性较强,是有一定难度的题目.根据折叠可得ABNM是正方形,CD=CF=5,∠D=∠CFE=90°,ED=EF,可求出三角形FNC的三边为3,4,5,在Rt△MEF中,由勾股定理可以求出三边的长,通过作辅助线,可证△FNC∽△PGF,三边占比为3:4:5,设未知数,通过PG=HN,列方程求出待定系数,进而求出PF的长,然后求PE的长.【解答】解:过点P作PG⊥FN,PH⊥BN,垂足为G、H,由折叠得:ABNM是正方形,AB=BN=NM=MA=5,CD=CF=5,∠D=∠CFE=90°,ED=EF,∴NC=MD=8−5=3,在Rt△FNC中,FN=√52−32=4,∴MF=5−4=1,在Rt△MEF中,设EF=x,则ME=3−x,由勾股定理得,12+(3−x)2=x2,解得:x=5,3∵∠CFN+∠PFG=90°,∠PFG+∠FPG=90°,∴∠CFN=∠FPG,又∵∠FGP=∠CNF=90°∴△FNC∽△PGF,∴FG:PG:PF=NC:FN:FC=3:4:5,设FG=3m,则PG=4m,PF=5m,∴GN=PH=BH=4−3m,HN=5−(4−3m)=1+3m=PG=4m,解得:m=1,∴PF=5m=5,∴PE=PF+FE=5+53=203,故答案为203.14.剪掉边长为2的正方形纸片4个直角,得到一个正八边形,则这个正八边形的边长为.【答案】2√2−2【解析】【分析】本题主要考查了正多边形的性质,得出BD=BC是解题关键.利用正八边形的性质得出BD=BC,进而求出边长.【解答】解:如图所示:设AB=AC=DE=x,则BC=√2x2=√2x,BD=2−x−x=2−2x,依题意有√2x=2−2x,解得:x=2−√2,则这个正八边形的边长为:2−2(2−√2)=2√2−2.故答案为2√2−2.15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,对角线AC、BD交于点O,AO=CO,CD⊥BD,如果CD=3,BC=5,那么AB=.【答案】154【解析】略16. 如图,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,点M 是边CD 的中点,连结AM ,若⊙O 的半径为2,则AM = .【答案】√13【解析】【分析】 本题考查正多边形与圆,勾股定理,垂径定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.连接AC ,OB 交于点H.证明∠ACM =90°,求出AC ,CM 即可解决问题.【解答】解:连接AC ,OB 交于点H .∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,OB =2,∴AB =BC =CD =2,∠ABC =∠BCD =120°,∴AB ⌒=BC ⌒,∴OB ⊥AC ,∴AH=HC,∠ABH=∠CBH=60°,∴AH=√3AB=√3,2∴AC=2AH=2√3,∵∠ACB=∠BAC=30°,∠BCD=120°,∴∠ACM=90°,∵CM=MD=1,AC=2√3,∴AM=√AC2+CM2=√(2√3)2+12=√13,故答案为√13.17.在△ABC中,已知AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点,以点P为圆心,3 cm为半径画⊙P,则点A与⊙P的位置关系是____.【答案】点A在⊙P内【解析】【试题解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,点和圆的位置关系的应用,关键是求出AP 的长.连接AP,求出AP⊥BC,求出BP,根据勾股定理求出AP,和半径比较即可.【解答】解:如图,连接AP,∵AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点,∴BP=CP=3cm,AP⊥BC,∴∠APB=90∘,∴在Rt△APB中,由勾股定理得:AP=√AB2−BP2=√42−32=√7(cm),∵√7<3,∴点A在⊙P内.故答案为:点A在⊙P内.18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D、E分别是AC、BC上的一点,且DE=3,若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为_____.【答案】125【解析】略19.已知△ABC内接于半径为2的⊙O.若BC=2√3,则∠A=________.【答案】60∘或120∘【解析】【分析】本题考查的了含30°角直角三角形的性质,圆周角定理等内容,掌握圆周角定理是解题的关键.作直径BD,连接CD,根据圆周角定理得到∠BCD=90°,根据勾股定理求出CD的长,进而求得∠D,根据圆周角定理解答.【解答】解:作直径BD,连接CD,则∠BCD=90∘,∵半径为2,∴BD=4,在Rt△BCD中,CD=√BD2−BC2=2,CD=1BD,2∴∠DBC=30°,∴∠D=60∘,由圆周角定理得,∠A=∠D=60∘,当点A在劣弧BC⏜上时,∠A=180∘−∠D=120∘,故答案为60∘或120∘.20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则AD的长为________,DF的长为________.【答案】95,5485【解析】略21.以下图形为杭州国际会议中心,是全国最大的球形建筑,如图是球体的轴截面,已知这个球体的高度为86米,球的半径为50米,则这个国际会议中心建筑的占地面积为______.(结果保留π)【答案】1204π平方米【解析】【分析】本题考查勾股定理以及圆的面积公式的实际应用,关键是根据勾股定理求出AD的值.首先根据勾股定理求出AD的值,然后根据圆的面积公式求出这个国际会议中心建筑的占地面积.【解答】解:连接OA,∵OA2=AD2+OD2∴AD2=OA2−OD2=502−(86−50)2=1204米,∴S=πAD2=1204π平方米.答:这个国际会议中心建筑的面积为1204π平方米.故答案为1204π平方米22.如图,AB是半圆O的直径,D是半圆O上一点,C是BD⏜的中点,连结AC交BD于点E,连结AD,若BE=4DE,CE=6,则AB的长为______.【答案】4√10【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考常考题型.如图,连接OC交BD于K.设DE=k,BE=4k,则DK=BK=2.5k,EK=1.5k,由AD//CK,推出AE:EC=DE:EK,可得AE=4,由△ECK∽△EBC,推出EC2=EK⋅EB,求出k即可解决问题.【解答】解:如图,连接OC交BD于K,连结BC.∵CD⏜=BC⏜,∴OC⊥BD,∵BE=4DE,∴可以假设DE=k,BE=4k,k>0,则DK=BK=2.5k,EK=1.5k,∵AB是直径,∴∠ADK=∠DKC=∠ACB=90∘,∴AD//CK,∴AE:EC=DE:EK,∴AE:6=k:1.5k,∴AE=4,∵△ECK∽△EBC,∴EC2=EK⋅EB,∴36=1.5k×4k,∵k>0,∴k=√6,∴BC=√BE2−EC2=√96−36=2√15,∴AB=√AC2+BC2=√102+(2√15)2=4√10.故答案为4√10.23.在ΔABC中,已知AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点,以点P为圆心,3cm为半径画⊙P,则点A与⊙P的位置关系是.【答案】A在⊙P内【解析】【分析】本题主要考查点与圆的位置关系,熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法是解决问题的关键.连接AP,根据等腰三角形的性质推出AP⊥BC,然后用勾股定理求出AP的长,最后根据点A到圆心P的距离与半径的关系即可做出判断.【解答】解:连接AP,∵AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点,BC=3cm,AP⊥BC,∴BP=12在Rt△ABP中,由勾股定理得:AP=√AB2−BP2=√42−32=√7cm,∵⊙P的半径为3cm,√7<3,∴点A与⊙P的位置关系是A在⊙P内.故答案为A在⊙P内.三、解答题(本大题共21小题,共168.0分)24.如图,在正方形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠EAF=45°,交BC,CD于点E,F,交BD于点H,G.(1)求证:AG为BG,HG的比例中项.(2)求AD+FDDH的值.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABG=45°,∵∠EAF=45°,∴∠ABG=∠EAF,∵∠AGB=∠AGH,∴ΔABG∽ΔHAG,∴AGHG =BGAG,∴AG2=HG·BG,∴AG为BG,HG的比例中项.,,,,,∽,∴FDHO =ADAO,在Rt△AOD中,cos∠OAD=cos45°=AOAD =√22,∴ADAO=√2,∵AD=√AO2+OD2=√2OD,即FD=√2HO,∴AD+FDDH =√2OD+√2OHDH=√2(OD+OH)DH=√2.【解析】本题考查的是正方形的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,勾股定理有关知识.(1)利用正方形的性质得出∠ABG=45°,再根据∠EAF=45°得出∠ABG=∠EAF,然后结合∠AGB=∠AGH得出三角形相似,然后利用相似三角形的性质得出结论;(2)根据题意得出∽得出FDHO =ADAO,然后再利用锐角三角函数的定义求出ADAO=√2,再利用勾股定理得出AD,最后再进行解答即可.25.如图,已知AB,CD为⊙O的直径,过点A作弦AE垂直于直径CD于F,点B恰好为DE⌢的中点,连接BC,BE.(1)AE=BC.(2)若AE=2√3,求⊙O的半径.(3)在(2)的条件下,求BE⌢的长,并求出图中阴影部分的面积.【答案】(1)证明:连接BD,∵AB,CD为⊙O的直径,∴∠CBD=∠AEB=90°,∵点B恰好为DE⏜的中点,∴BD⏜=EB⏜,∴∠A=∠C,∵∠ABE=90°−∠A,∠CDB=90°−∠C,∴∠ABE=∠CDB,∴AE⏜=BC ⏜, ∴AE =BC ;(2)解:∵过点A 作弦AE 垂直于直径CD 于F ,∴AC⏜=EC ⏜, ∵AE⏜=BC ⏜, ∴AC ⏜=BE ⏜=12AE ⏜, ∴∠A =12∠ABE , ∴∠A =30°,在Rt △ABE 中,cos∠A =AE AB ,∴AB =AE cos30∘=2√3√32=4,∴⊙O 的半径为2.(3)连接OE ,∵∠A =30°,∴∠EOB =60°,BE ⌢的长=2π3,∴△EOB 是等边三角形,∵OB =OE =2,∴S △EOB =12×2×2×√32=√3,∴S 阴=S 扇形−S △EOB =60π×22360−√3=2π3−√3.【解析】略26. △ABC 内接于⊙O ,AB 是直径,∠ABC =30°,点D 在⊙O 上.(1)如图,若弦CD 交直径AB 于点E ,连接DB ,线段CF 是点C 到BD 的垂线段. ①问∠CDF 的度数和点D 的位置有关吗?请说明理由.②若△DFC的面积是△ACB的面积的910倍,求∠CBF的正弦值.(2)若⊙O的半径长为2,CD=2√2,直接写出BD的长度.【答案】解:(1)①∠CDF的度数和点D的位置无关,∠CDF=60°,理由如下:当点D在弦BC上方的圆弧上时,如下图:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵∠ABC=30°,∴∠CAB=60°,∴∠CDF=∠CAB=60°;当点D在弦BC下方的圆弧上时,如下图:∵∠CAB=60°,∴∠CDB=180°−∠CAB=120°,∴∠CDF=60°;②∵CF⊥BD,AB为直径,∴∠ACB=∠CFD=90°,由①得:∠CDF=∠CAB=60°,∴AC=BCtan60∘=√3BC3;DF=CFtan60∘=√3CF3;∵S△ABC=12AC⋅BC=√3BC26;S△CDF=12CF⋅DF=√3CF26;∴S△CDFS△ABC =CF2BC2=910,∴sin∠CBF=CFBC =3√1010(负值舍去);(2)∵⊙O的半径长为2,CD=2√2,连接OC、OD,则△COD是等腰直角三角形,∴弧CD所对的圆心角∠COD=90°,①当点D在直径AB下方的圆弧上时:如图,连接OD,过D作DG⊥AB于G,由题意知∠ABC=30°,∠CAB=60°,∴∠AOC=60°,∠BOD=180°−60°−90°=30°,∵OD=2,∴DG=1,OG=√3,BG=2−√3;∴BD=√BG2+DG2=√12+(2−√3)2=√8−4√3=√6−√2;②当点D在直径AB上方的圆弧上时.如图,连接OD,过点D作DH⊥AB于H,此时∠DOA=90°−60°=30°,∴DH=1,OH=√3,BH=2+√3,∴BD=√BH2+DH2=√12+(2+√3)2=√8+4√3=√6+√2;综上所述,BD的长为√6−√2或√6+√2.【解析】本题考查了圆中的相关计算,圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理等知识点,牢固掌握相关性质定理并正确计算,是解题的关键.(1)①根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的性质解答即可;②利用锐角三角函数的定义求出AC与BC、DF与CF的关系,利用三角形的面积公式得出S△CDFS△ABC =CF2BC2=910,然后根据正弦的定义可求出∠CBF的正弦值;(2)分两种情况求解:①当点D在直径AB下方的圆弧上时;②当点D在直径AB上方的圆弧上时,利用勾股定理,分别求解.27.如图,已知点A,B,C,M在一条直线上,P为直线AB外一点,连结PA,PB,PC,PM.若PA2:PC2=AB:BC,则称PB为AC边上的“平方比线”.(1)当AB=6,AC=8,PA=2√15,PC=2√5时,试说明PB为AC边上的“平方比线”;(2)当AB=6,AC=8,CM=4,PM=4√3时,①若∠A=25°,求∠CPM的度数;②求证:PB为AC边上的“平方比线”.【答案】解:(1)∵PA=2√15,PC=2√5,∴PA2=(2√15)2=4×15=60,PC2=(2√5)2=4×5=20,∴PA2PC2=6020=3,∵AB=6,AC=8,∴BC=AC−AB=2,∴ABBC =62=3,∴PA2PC2=ABBC,∴PB为AC边上的“平方比线”;(2)①∵AC=8,CM=4,∴AM=AC+CM=12,∴AM×CM=12×4=48,∵PM=4√3,∴PM2=(4√3)2=48,∴PM2=CM×AM,即PMCM =AMPM,∵∠M=∠M,∴△PMC∽△AMP,∴∠MPC=∠MAP=25°,②如图,过点P作PG⊥AM,交AM的延长线于G,设MG=a,在Rt△PMG中,PM=4√3,∴PG2=PM2−MG2=48−a2,在Rt△PCG中,CG=CM+MG=a+4,根据勾股定理得,PC2=CG2+PG2=(a+4)2+48−a2=64+8a=8(a+8),在Rt△PAG中,AG=AC+CM+MG=8+4+a=a+12,根据勾股定理得,PA2=AG2+PG2=(a+12)2+48−a2=192+24a=24(a+8),∴PA2PC2=24(a+8)8(a+8)=3,∵AB=6,BC=AC−AB=2,∴ABBC =62=3,∴PA2PC2=ABBC,∴PB为AC边上的“平方比线”.【解析】此题是三角形综合题,主要考查了勾股定理,相似三角形的判定和性质,新定义的理解,解(2)①的关键是判断出△PMC∽△AMP,解(2)②的关键是求出PA2PC2=3.(1)利用“平方比线”的定义直接得出结论;(2)①先判断出PM2=CM×AM,进而得出△PMC∽△AMP,即可得出∠MPC=∠MAP=25°;②设出MG=a,进而利用勾股定理得出PG2=PM2−MG2=48−a2,PC2=8(a+8),PA2=AG2+PG2=24(a+8),即可得出PA2PC2=ABBC,结论得证.28.如图1,在矩形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP交对角线BD于点E,BP=BE.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F,N.(1)求证:∠BAP=∠BGN;(2)若AB=6,BC=8,求PEEF;(3)如图2,在(2)的条件下,连接CF,求tan∠CFM的值.【答案】(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴∠BAP+∠APB=90°∵BP=BE,∴∠APB=∠BEP=∠GEF,∵MN垂直平分线段AP,∴∠GFE=90°,∴∠BGN+∠GEF=90°,∴∠BAP=∠BGN.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABP=90°,AD//BC,AD=BC=8,∴BD=√AB2+AD2=√62+82=10,∵AD//BC,∴∠DAE=∠APB,∵∠APB=∠BEP=∠DEA,∴∠DAE=∠DEA,∴DE=DA=8,∴BE=BP=BD−DE=10−8=2,∴PA=√AB2+BP2=√62+22=2√10,∵MN垂直平分线段AP,∴AF=PF=√10,∵PB//AD,∴PEAE =PBAD=28=14,∴PE=15PA=2√105,∴EF=PF−PE=√10−2√105=3√105,∴PEEF =2√1053√105=23.(3)解:如图3中,连接AM,MP.设CM=x.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADM=∠MCP=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,∵MN垂直平分线段AP,∴MA=MP,∴AD2+DM2=PC2+CM2,∴82+(6−x)2=62+x2,∴x=163,∵∠PFM=∠PCM=90°,∴P,F,M,C四点共圆,∴∠CFM=∠CPM,∴tan∠CFM=tan∠CPM=CMCP =1636=89.【解析】(1)利用等角的余角相等证明即可.(2)利用勾股定理求出BD,证明AD=DE=8,推出BP=BE=2,再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.(3)如图3中,连接AM,MP.设CM=x.利用勾股定理求出x,再证明P,F,M,C四点共圆,推出∠CFM=∠CPM,推出tan∠CFM=tan∠CPM=CMCP即可解决问题.本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是证明AD=ED,学会利用参数构建方程解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.29.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F.(1)求证:BE⏜=DE⏜;(2)过点C作CG⊥BF于G,若AB=5,BC=2√5,求CG,FG的长.【答案】(1)证明:连接AE,∵AB 是直径, ∴∠AEB =90°, ∴AE ⊥BC , ∵AB =AC , ∴∠EAB =∠EAC , ∴BE⏜=DE ⏜; (2)解:∵BF ⊥AB ,CG ⊥BF ,AE ⊥BC , ∴∠CGB =∠AEB =∠ABF =90°,CG//AB ∵∠CBG +∠ABC =90°,∠ABC +∠BAE =90°, ∴∠CBG =∠BAE , ∴△BCG∽△ABE , ∴CGBE =BCAB , ∴√5=2√55, ∴CG =2, ∵CG//AB , ∴CFAF =CGAB , ∴CFCF+5=25, ∴CF =103,∴FG =√CF 2−CG 2=√(103)2−22=83.【解析】本题属于相似形综合题,考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.(1)连接AE ,利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠EAB =∠EAC 即可解决问题. (2)证明△BCG∽△ABE ,可得CGBE =BCAB ,由此求出CG ,再利用平行线分线段成比例定理求出CF ,利用勾股定理即可求出FG .30.如图,在⊙O中,过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点,且AB=6.(1)求OD的长;(2)计算阴影部分的面积.【答案】解:(1)连接OB,∵AB⊥OD,AB=6,∴∠OCB=90°,AC=BC=12AB=3,∵点C为OD的中点,∴OC=12OD=12OB,在Rt△OCB中,∵OC2+BC2=OB2,∴OC2+9=4OC2,∴OC=√3(负值舍去),∴OD=OB=2√3;(2)∵∠OCB=90°,OC=12OB,∴∠OBC=30°,∴∠BOC=60°,∴阴影部分的面积=S扇形BOD−S△COB=60×π×(2√3)2360−12×√3×3=2π−3√32.【解析】本题考查了扇形面积的计算公式,垂径定理,勾股定理,三角形的面积有关知识.AB=3,再利用勾股定理求出OC的长,即可得到(1)根据垂径定理得到AC=BC=12OD的长;(2)根据扇形的面积公式,利用阴影部分的面积=S扇形BOD−S△COB进行计算.31.如图,⊙O的直径AB=5,弦AC=4,连接BC.(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与点B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.【答案】解:(1)如图,线段CD即为所求.(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴BC=√AB2−AC2=√52−42=3,∵BC=CD,∴BC⏜=CD⏜,∴OC⊥BD于E.∴BE=DE,∵BE2=BC2−EC2=OB2−OE2,∴32−(52−x)2=(52)2−x2,解得x=710,∵BE=DE,BO=OA,∴AD=2OE=75,∴四边形ABCD的周长=3+3+5+75=625.【解析】本题考查作图−复杂作图,圆周角定理,垂径定理,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数,构建方程解决问题.(1)以C为圆心,CB为半径画弧,交⊙O于D,线段CD即为所求.(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x,构建方程求出x即可解决问题.32.如图,⊙O的直径AB为20cm,弦AC为12cm.(1)如图1,∠ACB的平分线交AB于E,交⊙O于D,弦长AD长度为___________;(2)如图2,若AF平分∠CAB,且AF交⊙O于点F,AF的长是____________;(3)如图3,点P为弧BĈ上动点,连接AP,作CH⊥AP,垂足为H,线段BH的最小值是_____________.【答案】解:(1)10√2cm;(2)8√5cm;(3)2√73−6cm.【解析】【分析】本题考查圆周角定理,勾股定理、点与圆的位置关系等知识,解题的关键是确定点H的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动,属于中考填空题中的压轴题.(1)如图1,连接BD,根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°,由CD平分∠ACB,推出AD⏜=BD⏜,得到AD=BD,解直角三角形即可得到结论;(2)如图2,连接OF,过F作FE⊥AB于E,根据勾股定理得到BC=√AB2−AC2=16cm,,根据角平分线的定义得到∠CAB=2∠FAB,由圆周角定理得到∠FOB=2∠FAB,等量代换得到∠CAB=∠FOE,根据相似三角形的性质得到OE=6,EF=8,根据勾股定理即可得到结论;(3)以AC为直径作圆O′,连接BO′、BC.在点P移动的过程中,点H在以AC为直径的圆上运动,当O′、H、B共线时,BH的值最小,最小值为O′B−O′H,利用勾股定理求出BO′即可解决问题.【解答】解:(1)如图1,连接BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∵CD平分∠ACB,∴AD⏜=BD⏜,∴AD=BD,∵AB为20cm,AB=10√2cm;∴AD=√22(2)如图2,连接OF,过F作FE⊥AB于E,∵∠C=90°,AB=20,AC=12,∴BC=√AB2−AC2=16cm,∵AF平分∠CAB,∴∠CAB=2∠FAB,∵∠FOB=2∠FAB,∴∠CAB=∠FOE,∵∠C=∠OEF=90°,∴△ABC∽△EFO,∴OEAC =EFBC=OFAB=12,∴OE=6,EF=8,∴AE=AO+OE=16,∴AF=√AE2+EF2=8√5cm;(3)如图3,以AC为直径作圆O′,连接BO′.∵CH⊥AP,∴∠AHC=90°,∴在点P移动的过程中,点H在以AC为直径的圆上运动,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,∵AB=20cm,BC=16cm,AC=12cm.在Rt△BCO′中,BO′=√BC2+O′C2=√162+62=2√73,∵O′H+BH≥O′B,∴当O′、H、B共线时,BH的值最小,最小值为O′B−O′H=2√73−6cm.故答案为(1)10√2cm;(2)8√5cm;(3)2√73−6cm.33.如图所示,△ABD内接于半径为5的⊙O,连结AO并延长交BD于点M,交⊙O于点C,过点A作AE//BD,交CD的延长线于点E,AB=AM.(1)求证:△ABM∽△ECA.(2)当CM=4OM时,求BM的长.(3)当CM=k⋅OM时,设△ADE的面积为S1,△MCD的面积为S2,求S1的值.(用含S2 k的代数式表示)【答案】证明:(1)∵AE//BD,∴∠AMB=∠CAE,又∵∠ABD=∠ACD,∴△ABM∽△ECA;(2)解:∵AB=AM,△ABM∽△ECA,∴AE=CE,∵CM=4OM,∴可以假设OM=k,CM=4k,∴OA=OC=5k=5,∴k=1,∴AM=6,CM=4,∵DM//AE,∴DM:AE=CM:CA=4:10,设DM=4m,则EA=EC=10m,∵AB=AM,∴∠ABM=∠AMB,∵∠AMB=∠DMC,∠B=∠C,∴△AMB∽△DMC,且∠DMC=∠C,∴DM=DC=4m,∴DE=EC−DC=6m,∵AC是直径,∴∠ADE=∠ADC=90°,∴AD=√AE2−DE2=√(10m)2−(6m)2=8m,∵AD2+CD2=AC2,∴(8m)2+(4m)2=102∵m>0,∴m=√52,∵△AMB∽△DMC,∴BMCM =AMDM,∴BM4=4×√52,∴BM=12√55.(3)设△CDM的面积为x.∵CM=kOM,∴OM=51+k ,CM=5k1+k,AM=5+51+k=10+5k1+k,∴AC:CM=(2+2k):k,∴△ACD的面积=2+2kk⋅x,∵DM//AE,∴CD:DE=CM:AM=k:(2+k),∴△ADE的面积=2+kk ⋅2+2kk⋅x,∴S1S2=2k2+6k+4k2.【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断.(2)首先证明EA=EC,DM=DC,利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可.(3)设△CDM的面积为x.利用等高模型以及平行线分线段成比例定理,求出△ADE的面积(用x表示)即可.本题属于圆的综合题,考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.34.如图,△ABD内接于半径为5的⊙O,连结AO并延长交BD于点M,交⊙O于点C,过点A作AE//BD,交CD的延长线于点E,AB=AM.(1)求证:△ABM∽△ECA.(2)当CM=4OM时,求BM的长;(3)当CM=k⋅OM时,设△ADE的面积为S1,△MCD的面积为S2,求S1S2的值.(用含k的代数式表示).【答案】解:(1)∵AE//BD,∴∠EAC=∠AMB,∵∠B和∠C都是AD⏜所对的圆周角∴∠B=∠C,∴△ABM∽△ECA;(2)∵r=5,CM=4OM,∴OM=1,CM=4,∴AB=AM=6,连结BC,由勾股定理得BC=√AC2−AB2=√102−62=8,过B作BF⊥AC,则BF=4.8,AF=√AB2−BF2=√62−4.82=3.6,∴FM=6−3.6=2.4,∴BM=√4.82+2.42=125√5;(3)∵CM=k·OM,∴OC=OA=(k+1)OM,AM=(k+2)OM,∵AE//BD,∴△ACE∽△MCD,∴AMMC =EDDC=k+2k,∵S 1S△ADC=ED DC =k+2k,∴S 1=k+2kS △ADC , ∵S 2S△ADC=MC AC=k2k+2,∴S 2=k2k +2S△ADC,∴S 1S 2=k+2k:k 2k+2=2(k+1)(k+2)k 2.【解析】本题考查圆周角定理,平行线的性质,相似三角形的判定,勾股定理,平行线分线段成比例,三角形的面积.关键是掌握圆周角定理,平行线分线段成比例和三角形面积.难度一般.(1)根据平行线的性质和圆周角定理得∠EAC =∠AMB 和∠B =∠C 即可解答;(2)连结BC ,过B 作BF ⊥AC ,先求得OM ,CM ,BC ,AM 的长,再利用勾股定理即可解答;(3)先利用平行线分线段成比例得AMMC =EDDC =k+2k,再根据同高的三角形面积的比等于底的比得S 1=k+2kS △ADC,S 2=k2k+2S △ADC即可解答 .35. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 分别交BC ,AC 于点D ,E ,连接EB ,交OD 于点F .(1)求证:OD ⊥BE .(2)若DE =√5,AB =8,求AE 的长. (3)若△CDE 的面积是△OBF 面积的34,求BCAC 的值.【答案】解:(1)连接AD,∵AB是⊙O直径,∴∠AEB=∠ADB=90°,∵AB=AC,∴BD⏜=ED⏜,∴OD⊥BE;(2)∵∠AEB=90°,∴∠BEC=90°,∵BD=CD,∴BC=2DE=2√5,∵四边形ABDE内接于⊙O,∴∠BAC+∠BDE=180°,∵∠CDE+∠BDE=180°,∴∠CDE=∠BAC,∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB,∴CECB =DEAB,即CE2√5=√58,∴CE=54∴AE=AC−CE=AB−CE=8−54=274;,∴设S△CDE=3k,S△OBF=4k,∵BD=CD,∴S△CDE=S△BDE=3k,∵BD=CD,AO=BO,∴OD//AC,∵△OBF∽△ABE , ∴S △OBF S △ABE=(OB AB)2=14, ∴S △ABE =4S △OBF , ∴S △ABE =4S △OBF =16k ,∴S △CAB =S △CDE +S △BDE +S △ABE =22k , ∵△CDE∽△CAB ,,∴CD CA=√3√22=√6622, ∵BC =2CD , ∴BC AC=√6611. 【解析】略36. 如图,AB 是⊙O 的直径,点C 为BD⏜的中点,CF 为⊙O 的弦,且CF ⊥AB ,垂足为E ,连接BD 交CF 于点G ,连接CD ,AD ,BF .(1)求证:△BFG≌△CDG ; (2)若AD =BE =2,求BF 的长. 【答案】证明:(1)∵C 是BD ⏜的中点, ∴CD⏜=BC ⏜, ∵AB 是⊙O 的直径,且CF ⊥AB , ∴BC⏜=BF ⏜, ∴CD⏜=BF ⏜, ∴CD =BF ,在△BFG 和△CDG 中,∵{∠FGB =∠DGC ∠F =∠CDG BF =CD, ∴△BFG≌△CDG(AAS);(2)如图,连接OC,交BD于H,∵点C是BD⏜的中点,∴OC⊥BD,∴DH=BH,∵OA=OB,∴OH=1AD=1,2∵OC=OB,∠COE=∠BOH,∠OHB=∠OEC=90°,∴△COE≌△BOH(AAS),∴OH=OE=1,∴OB=OE+BE=3,∴CE=EF=√32−12=2√2,∴BF=√BE2+EF2=2√3.【解析】此题考查了勾股定理,圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理,三角形全等的性质和判定.第二问有难度,注意掌握辅助线的作法.(1)先证CD=BF,然后根据AAS证明△BFG≌△CDG;(2)连接OC,交BD于H,根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH=1,证明△COE≌△BOH,得到OH=OE=1,则OB=3,再利用勾股定理求得CE=EF=√32−12=2√2,进而可得结论.37.如图,⊙O的直径AB=26,P是AB上(不与点A,B重合)的任一点,点C,D为⊙O上的两点.若∠APD=∠BPC,则称∠DPC为直径AB的“回旋角”.。

八年级勾股定理易错题总结(含答案)

八年级勾股定理易错题总结(含答案)

八年级勾股定理易错题总结(含答案)一、选择题(本大题共9小题,共27.0分)1.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8,AD=17,折叠纸片使点B落在边AD上的E处,折痕为PQ.当E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随着移动.若限定P,Q分别在边BA,BC上移动,则点E在边AD上移动的最大距离为()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】解:如图1,当点P与点A重合时,根据翻折对称性可得AE=AB=8,如图2,当点C与点Q重合时,根据翻折对称性可得QE=BC=17,在Rt△ECD中,EC2=DE2+CD2,即172=(17−AE)2+82,解得:AE=2,所以点E在AD上可移动的最大距离为8−2=6.故选:A.分别利用当点P与点A重合时,以及当点C与点Q重合时,求出AE的长进而得出答案.本题考查了翻折变换及勾股定理,求出特殊位置的AE值是本题的关键.2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,CD,若BC=5,CD=6.5,则△BCE的周长为()A. 16.5B. 17C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,直角三角形斜边中线的性质和勾股定理,首先由线段垂直平分线的性质得到AE=BE,再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半,求出AB的长,然后由勾股定理求出AC的长,再将△BCE的周长转化为BC+AC进行求解即可.【解答】解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,AD=BD,∵∠ACB=90°,CD=6.5,∴AB=2CD=13,∵BC=5,∴AC=√AB2−BC2=12,∴△BCE的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=5+12=17.故选B.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点D在AB边上,AD=AC,AE⊥CD,垂足为F,与BC交于点E,则BE的长是()D. 3A. 1.5B. 2.5C. 83【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质,属于中档题.连接DE,由勾股定理求出AB=5,由线段垂直平分线的性质得出CE=DE,由SSS证明△ACE≌△ADE,得出∠ADE=∠ACB=90°,设CE=x,则DE=x,BE=4−x,在Rt△BDE中,由勾股定理,即可得解.【解答】解:如图所示,连接DE,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=√AC2+BC2=5,∵AD=AC=3,AE⊥CD,∴AE垂直平分CD,BD=AB−AD=2,∴CE=ED,在△ACE和△ADE中,{AC=AD AE=AE CE=DE,∴△ACE≌△ADE,∴∠ADE=∠ACB=90°,∴∠EDB=90°,设CE=x,则DE=x,BE=4−x,在Rt△BDE中,由勾股定理得:DE2+BD2=BE2,即x2+22=(4−x)2,解得:x=1.5,∴BE=BC−CE=4−1.5=2.5.故选B.4.如图,等腰三角形ABC纸片的底和腰分别为m和n(m<n),如图,作高线BD和AE,则下列错误的结论是()A. AE=√4n2−m22B. CD=m22nC. BD=√4n2−m22nD. AD=2n2−m22n【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理等有关知识,A.根据等腰三角形的性质得到CE=12m,根据勾股定理可求AE的长;B.根据勾股定理可求CD的长;C.根据三角形面积公式可求BD的长;D.根据线段的和差关系可求AD的长.【解答】解:A.CE=12m,AE=√n2−(12m)2=√4n2−m22,正确,不符合题意;B.CD=m2−(m√4n2−m22n )2=m22n,正确,不符合题意;C.BD=m×√4n2−m22÷2×2÷n=m√4n2−m22n,原来的错误,符合题意;D.AD=n−m22n =2n2−m22n,正确,不符合题意.故选C.5.在△ABC中,AB=AC=m,P为BC上任意一点,则PA2+PB⋅PC的值为()A. m2B. m2+1C. m2+mD. (m+1)2【答案】A【解析】略6.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为()A. 95B. 125C. 165D. 185【答案】D【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质,折叠的性质,勾股定理有关知识,综合性较强. 连接BF ,根据三角形的面积公式求出BH ,得到BF ,根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°,根据勾股定理求出答案.【解答】解:连接BF ,∵BC =6,点E 为BC 的中点, ∴BE =3,又∵AB =4,∴AE =√AB 2+BE 2=5,由折叠知,BF ⊥AE(对应点的连线必垂直于对称轴)∴BH =AB×BE AE =125, 则BF =245,∵FE =BE =EC ,∴∠BFC =90°,∴CF =√62−(245)2=185.故选D .7.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,连结CE交AD于点F,连结BD交CE于点G,连结BE.下列结论:①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④S四边形BCDE =12BD⋅CE;⑤BC2+DE2=BE2+CD2.正确的结论个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质,熟记各性质是解题的关键,根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC,AD=AE,然后求出∠BAD=∠CAE,再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等,根据全等三角形对应边相等可得CE=BD,判断①正确;根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE,从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°,再求出∠BGC=90°,从而得到BD⊥CE,根据四边形的面积判断出④正确;根据勾股定理表示出BC2+DE2,BE2+ CD2,得到⑤正确;再求出AE//CD时,∠ADC=90°,判断出②错误;∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误【解答】解:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE.∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴CE=BD,故①正确.∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE,∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°,∴∠BGC=180°−(∠BCG+∠CBG)=180°−90°=90°,∴BD⊥CE,,故④正确.∵在Rt△BCG中,由勾股定理,得BC2=BG2+CG2,在Rt△DEG中,由勾股定理,得DE2=DG2+EG2,∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2.又∵在Rt△BGE中,由勾股定理,得BE2=BG2+EG2,在Rt△CDG中,由勾股定理,得CD2=CG2+DG2,∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2,∴BC2+DE2=BE2+CD2,故⑤正确.②③无法证明.综上所述,正确的结论有3个.故选C.8.若△ABC中,AB=7,AC=8,高AD=6,则BC的长是()A. 10+√13B. 2√7+√13C. 10±√13D. 2√7±√13【答案】D【解析】略9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点.若DA=DB=15,△ABD的面积为90,则CD的长是()A. 6B. 9C. 12D. √189【答案】B【解析】【分析】本题主要考查勾股定理及三角形的面积有关知识,根据Rt△ABC中,∠C=90°,可证BC是△DAB的高,然后利用三角形面积公式求出BC的长,再利用勾股定理即可求出DC的长.【解答】解:∵∠C=90,DA=15,DA⋅BC=90,∴S△DAB=12∴BC=12,在Rt△BCD中,CD2+BC2=BD2,即CD2+122=152,解得:CD=9(负值舍去).故选B.二、填空题(本大题共8小题,共24.0分)10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC=8cm,动点P从点A出发在射线AC上以2cm/s的速度运动.设运动的时间为ts.当△PAB是等腰三角形时,则t的值是__________.【答案】5或8或258【解析】【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形等知识,解答本题的关键是掌握勾股定理的应用,以及分情况讨论,注意不要漏解.当AB为底时,点P在AC上,AP=2tcm,CP=(8−2t)cm.作PD垂直平分AB,垂足为点D,交AC于点P,连接BP.可得62+(8−2t)2=(2t)2,解方程即可得解.当BP1为底时,点P1在AC的延长线上,AP1=2tcm.可得2t=10,则t=5.当AP2为底时,点P2在AC的延长线上,AP2=2tcm,P2C=(2t−8)cm,即2t−8=8,可得解.【解答】解:①如图1,当AB为底时,点P在AC上,AP=2tcm,CP=(8−2t)cm.作PD垂直平分AB,垂足为点D,交AC于点P,连接BP.可得:BC=6,∵PD垂直平分AB,∴AP=BP=2tcm.在Rt△BCP中,BC2+CP2=BP2,即62+(8−2t)2=(2t)2,36+64−32t+4t2=4t2,.解得:t=258②如图2,当BP1为底时,点P1在AC的延长线上,AP1=2tcm.∵AP1=AB,∴2t=10,解得:t=5.③如图2,当AP2为底时,点P2在AC的延长线上,AP2=2tcm,P2C=(2t−8)cm.∵P2B=AB,BC⊥P2A,∴P2C=AC(“三线合一”),即2t−8=8,解得:t=8.所以当△PAB是等腰三角形时,t的值为5或8或25.8故答案为5或8或258.11.等边△ABC边长为8.P,Q分别是边AC,BC上的点,连结AQ,BP,交于点O.以下结论:①若AP=CQ,则△BAP≌△ACQ;②若AQ=BP,则∠AOB=120°;③若AP=CQ,BP=7,则PC=5;④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发,以相同的速度向点C运动(到达点C就停止),则点O经过的路径长为4√3.其中正确的________.【答案】①④【解析】【分析】本题是道易错题,综合的考查了全等的基本知识以及分类讨论的数学思想.第①个选项直接找到对应的条件,利用SAS证明全等即可;第②③结论都有两种情况,准确画出图之后再来计算和判断;第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性或者全等)在来计算路径长.【解答】解:①在三角形△BAP和△ACQ中{AP=CQ∠BAP=ACQ=60°AB=AC,则△BAP≌△ACQ(SAS),∴①正确②如图,题中AQ=BP,存在两种情况.在P1的位置,∠AO1B=120°;在P2的位置,∠AOB的大小无法确定.∴②错误③如图,作PE垂直于BC于点E,设CP=x,∵∠C=60°,∴CE=12x,BE=8−12x,PE=√32x,PB=7,在Rt△PBE中,根据勾股定理,得PB2=PE2+BE2,化简得x2−8x+15=0,利用完全平方公式化简可得(x−4)2=1,解得x=3或5,∴PC=3或5.故③错误.④由题可得:AP=BQ,由对称性可得(或者证明△ABP和BAQ全等)O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中线,如图,延长CO交AB于点E,由AB=8,∠BCE=30°,∴BE=4,运动轨迹为CE=4√3,故答案为:①④.12.如图,长方形ABCD中,AD=8,AB=4,BQ=5,点P在AD边上运动,当△BPQ为等腰三角形时,AP的长为______.【答案】3或52或2【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,BC=AD=8,当△BPQ为等腰三角形时,分三种情况:①BP=BQ=5时,AP=√BP2−AB2=√52−42=3;②当PB=PQ时,作PM⊥BC于M,则点P在BQ的垂直平分线上,如图1所示:∴AP=12BQ=52;③当QP=QB=5时,作QE⊥AD于E,如图2所示:则四边形ABQE是矩形,∴AE=BQ=5,QE=AB=4,∴PE=√QP2−QE2=√52−42=3,∴AP=AE−PE=5−3=2;综上所述,当△BPQ为等腰三角形时,AP的长为3或52或2;故答案为:3或52或2.分三种情况:①BP=BQ=5时,由勾股定理得AP=3;②当PB=PQ时,点P在BQ的垂直平分线上,则AP=12BQ=52;③当QP=QB=5时,作QE⊥AD于E,则四边形ABQE是矩形,由勾股定理求出PE=3,得AP=AE−PE=2即可.本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识,注意分情况讨论.13.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E为垂足,连接CD,若BD=2,则AC的长是______.【答案】4√3【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理有关知识,求出∠ACB,根据线段垂直平分线求出AD=CD,求出∠ACD、∠DCB,求出CD、AD、AB,由勾股定理求出BC,再求出AC即可.【解答】解:∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=180°−30°−90°=60°,∵DE垂直平分斜边AC,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD=30°,∴∠DCB=60°−30°=30°,∵BD=2,∴CD=AD=4,∴AB=4+2=6,在Rt△BCD中,由勾股定理得:CB=√DC2−BD2=√42−22=2√3,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=√AB2+BC2=√62+(2√3)2=4√3.故答案为4√3.14.如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=6,E为BC中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内部的一点F,连结CF,则CF的长为________.【答案】185【解析】略15.等腰△ABC的腰长AB=AC=10,底边上的高AD=6,则底边BC=______.【答案】16【解析】解:在Rt△ABD中,BD=√AB2−AD2=8.∵△ABC是等腰三角形,∴BC=2BD=16.故答案为:16.根据勾股定理即可求出BD的长,根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD.本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质,解答本题的关键是掌握等腰三角形的三线合一及勾股定理在直角三角形中的表达式.16.如图,P是等边△ABC外一点,把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ,已知∠AQB=150°,QA:QC=a:b(b>a),则PB:QA=______(用含a,b的代数式表示)【答案】√b2−a2:a【解析】解:如图,连接PQ,∵把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ,∴△ABP≌△CBQ,∠PBQ=60°,∴PA=CQ,PB=BQ,∴△BPQ是等边三角形,∴PQ=PB,∠BQP=60°,∵∠AQB=150°,∴∠PQA=90°,∵QA:QC=a:b,∴设QA=ak,QC=bk=PA,∴PQ=√QC2−QA2=k⋅√b2−a2=PB∴PB:QA=√b2−a2:a,故答案为:√b2−a2:a.如图,连接PQ,由旋转的性质可得PA=CQ,PB=BQ,∠PBQ=60°,可证△BPQ是等边三角形,可得PQ=PB,∠BQP=60°,由勾股定理可求解.本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,把PB和QA转化到同一个直角三角形中是解题的关键.17.将面积为2π的半圆与两个正方形拼接成如图所示的图形,则这两个正方形面积的和为____.【答案】16【解析】【分析】此题考查的知识点是勾股定理,关键是由面积为2π的半圆求出半圆的直径,再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和.首先由面积为2π的半圆求出半圆的直径,即直角边的斜边,再根据勾股定理求出两直角边的平方和,即是这两个正方形面积的和.【解答】解:已知半圆的面积为2π,所以半圆的直径为:,即如图直角三角形的斜边为:4,设两个正方形的边长分别为:x,y,则根据勾股定理得:x2+y2=42=16,即两个正方形面积的和为16.故答案为16.三、解答题(本大题共15小题,共120.0分)18.如图,点O为线段AD上一点,CO⊥AD于点O,OA=OB,OC=OD,点M、N分别是AC、BD的中点,连接OM、ON、MN.(1)求证:AC=BD;(2)试判断的形状,并说明理由;(3)若AC=2,在图2中,点M在DB的延长线上,求△AMD的面积.【答案】(1)证明:∵CO⊥AD,∴∠AOC=∠BOD=90°,在△AOC和△BOD中,{OA=OB∠AOC=∠BOD=90°OC=OD,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD.(2)解:△MON是等腰直角三角形,理由如下:由(1)得:△AOC≌△BOD,则∠A=∠OBD,在Rt△AOC中,∵M是AC的中点,∴OM=12AC,同理可得ON=12BD,因为AC=BD,∴OM=ON,∵∠A=∠AOM,∠NBO=∠NOB,∠A=∠OBD,∴∠NOB=∠MOA,又∵∠AOC=90°,∴∠MON=90°,∵∠MON=90°,OM=ON,∴△MON是等腰直角三角形.(3)解:由(1)得:AC=BD,由(2)得:△MON是等腰直角三角形,∵点M,N分别是AC,BD的中点,且AC=2,∴AM=ND=BN=1,∵在Rt△AOC中,点M是AC的中点,AC=BD,∴OM=AM=1,∴ON=1,在Rt△MON中,OM2+ON2=MN2,1+1=MN2,∴MN=√2,∴MD=√2+1,∵△AOC≌△BOD,∴∠C=∠D,又∵∠A+∠C=90°,∴∠A+∠D=90°,∴∠AMD=90°,∴△AMD是直角三角形,∴△AMD面积为:12×1×(√2+1)=√2+12.【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定,三角形的面积,勾股定理,属于较难题.(1)欲证明AC=BD,只要证明△AOC≌△BOD即可;(2)结论:△MON是等腰直角三角形.只要证明OM=ON,∠MON=90°即可;(3)可得∠A+∠D=90°,得出△AMD是直角三角形,由此可得解.19.如图,等边三角形ABC的边长为4,E为边AB上一点,过点E作DE⊥BC,交BC于点D,在DE右侧作等边三角形DEP,记P到BC的距离为m1,P到AC的距离为m2.(1)若BD=43,试求线段DE的长,并求m1,m2的值;(2)若BD=x(1≤x≤2),用含x的代数式表示m1,m2,并求P在∠C的平分线上时x的值.【答案】解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∵DE⊥BC,∴∠BDE=90°,∵BD=43,∴DE=4√33,∵△DEP是等边三角形,∴PD=DE=4√33,∠PDE=60°,过P作PF⊥BC于F,∴∠PDF=30°,∴PF=12PD=2√33,∴m1=2√33;延长DP交AC于G,∵∠C=60°,∠CDG=30°,∴∠CGD=90°,∴PG=m2.∵BC=4,BD=43,∴CD=83,∴CG=12CD=43,∴DG=√CD2−CG2=4√33,∴PG=DG−PD=0,∴m2=0;(2)∵BD=x,同(1)可得,DE=PD=√3x,∴PF=m1=12PD=√32x,∵BC=4,BD=x,∴CD=4−x,∴CG=12CD=2−12x,∴DG=√CD2−CG2=2√3−√32x,∴PG=DG−PD=2√3−3√32x,∴m2=2√3−3√32x;当P在∠C的平分线上时,PF=PG,∴√32x=2√3−3√32x;解得:x=1.【解析】(1)根据等边三角形的性质得到∠B=60°,PD=DE=4√33,∠PDE=60°,过P作PF⊥BC于F,根据直角三角形的性质得到m1=2√33;延长DP交AC于G,根据勾股定理得到DG=√CD2−CG2=4√33,于是求得m2=0;(2)同(1)可得,DE=PD=√3x,得到PF=m1=12PD=√32x,求得CG=12CD=2−12x,根据勾股定理得到DG=√CD2−CG2=2√3−√32x,求得PG=DG−PD=2√3−3√32x,得到m2=2√3−3√32x;根据角平分线的性质即可得到结论.本题考查了等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.20.在△ABC中,点D在BC上,AB=AC=BD,点E在BC的延长线上,∠E=15°.(1)如图1,若∠BAC=80°,求∠DAE的度数;(2)如图2,若CE=CA,AD=2√2,求线段AC的长.【答案】解:(1)如图1,∵AB=AC,∠BAC=80°,(180°−∠BAC)=50°,∴∠B=∠ACB=12∵BD=AB,(180°−∠B)=65°,∴∠BAD=∠BDA=12∵∠E=15°,∴∠DAE=∠BAD−∠E=65°−15°=50°;(2)如图,作DF⊥AC于F,,∵AC=CE,∴∠CAE=∠E=15°,∵∠ACD=∠CAE+∠E=2∠E,∴∠ACD=30°,∵AB=AC=BD,∴∠B=∠ACD=30°,∠BAC=120°,∠BAD=∠ADB=75°,∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=45°,∴∠ADF=90°−45°=45°,∴AF=DF,在Rt△AFD中,∵AD=2√2,由勾股定理得:AF2+AD2=AD2,=2,∴AF=√AD22∴DF=2,在Rt△DFC中,∵∠ACD=30°,∠DFC=90°,∴DC=4,∴FC=√DC2−DF2=√16−4=2√3,∴AC=2+2√3答:AC的长为2+2√3.【解析】此题主要考查等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质,勾股定理.(1)根据等腰三角形的性质,利用三角形内角和定理求出∠B和∠BAD,再利用三角形外角的性质即可解答;(2)作DF⊥AC于F,首先利用等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质求出∠ACD=30°,∠ADF=45°,然后利用勾股定理即可求出线段AC的长.21.如图,已知,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,BC=6,AC=8.用直尺与圆规作线段AB的中垂线交AC于点D,连接DB.并求△BCD的周长和面积.【答案】解:如图所示:设AD=x,则DC=8−x,则62+(8−x)2=x2,解得x=6.25,即AD=6.25.则CD=1.75,×6×1.75=5.25.所以△BCD的周长为6+8=18,面积为12【解析】根据中垂线的作法作图,设AD=x,则DC=8−x,根据勾股定理求出x的值,继而依据周长和面积公式计算可得.此题考查了复杂作图及中垂线的性质,熟悉勾股定理的性质是解题的关键.22.已知∠α,线段a,b,请按要求作图并回答问题;(1)作△ABC,使∠C=α,AC=b,BC=a;(2)已知∠α=45°,a=4√2,b=7,求△ABC的面积.【答案】解:(1)如图所示,△ABC即为所求;(2)如图,作BE⊥AC于E,∵∠α=45°,a=4√2,b=7,BE=CE,∴Rt△CBE中,BE2+CE2=(4√2)2,BE=4,∴S△ABC=1×7×4=14.2【解析】(1)先作出∠ACB=∠α,然后在边CB上截取BC=a得到点B,在边CA上截取AC=b得到点A,即可得到符合要求的图形.(2)先过B作BE⊥AC于E,则根据已知条件可求得BE长,进而得出△ABC的面积.本题主要考查了三角形面积的计算以及作一个角等于已知角,作一条线段等于已知线段的作法,都是基本作图,需要熟练掌握.23.已知:△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90º,探究并解决下列问题:(1)如图①,若点P在线段AB上,且AC=√2.①若P为AB中点,则线段PB=;②猜想:连结BQ,则BQ与AB的位置关系为;PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为;(2)如图②,若点P在AB的延长线上,在(1)中所猜想的结论是否仍然成立,请你利用图②给出证明过程.【答案】解:(1)1;AB⊥BQ;PA2+PB2=PQ2;(2)结论仍然成立,理由如下:如图②:过点C作CD⊥AB,垂足为D.连接BQ,∵▵ABC和▵PCQ均为等腰直角三角形,∴AC=BC,PC=CQ,∠ACB=∠PCQ=90∘.∴∠ACP=∠BCQ,∴▵APC≌▵BQC(SAS).∴BQ=AP,∠CBQ=∠CAB=45∘,∴∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90∘,即AB⊥BQ,∴▵PBQ为直角三角形.∴PB2+BQ2=PQ2,∴PA2+PB2=PQ2.【解析】略24.如图,AD//BC,∠A=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠AED=∠ECB.(1)判断△DEC的形状,并说明理由.(2)若AD=3,AB=9,请求出CD的长.【答案】解:(1)△DEC是等腰直角三角形,理由如下:∵AB//BC,∠A=90°,∴∠B=180°−90°=90°,又∵AD=BE,∠AED=∠ECB,∴△DAE≌△BEC(AAS),∴DE=EC,∠BEC=∠ADE,∴∠AED+∠BEC=90°,∴∠DEC=90°,∴△DEC为等腰直角三角形;(2)由(1)可知:△DAE≌△BEC,又∵AD=3,AB=9,∴AE=BC=6,∴ED=EC=√9+36=3√5,∵△DEC为等腰直角三角形∴CD=√2ED=3√10.【解析】(1)由“AAS”可证△DAE≌△BEC,可得DE=EC,∠BEC=∠ADE,由余角的性质可得∠DEC=90°,可得结论;(2)由勾股定理可求DE的长,由等腰直角三角形的性质可求解.本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,证明△DAE≌△BEC是本题的关键.25.在下列4×4网格中分别画出一个符合条件的直角三角形,要求三角形的顶点均在格点上,且满足:(1)三边均为有理数.(2)其中只有一边为无理数.【答案】解:(1)如图①,三边长分别为:3,4,5.(2)如图,三边长分别为:2,4,2√5.【解析】(1)根据网格即可画出三边均为有理数的直角三角形;(2)根据网格即可画出其中只有一边为无理数的直角三角形.本题考查了作图−复杂作图,解决本题的关键是利用勾股定理及其逆定理.26.已知,DA,DB,DC是从点D出发的三条线段,且DA=DB=DC.(1)如图①,若点D在线段AB上,连结AC,BC.试判断△ABC的形状,并说明理由.(2)如图②,连结AC,BC,AB,且AB与CD相交于点E.若AC=BC,AB=16,DC=10,求CE和AC的长.【答案】解:(1)△ABC是直角三角形,理由:∵DA=DB=DC,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形;(2)∵DA=DB,∴点D在线段AB的垂直平分线上,∵AC=BC,∴点C在线段AB的垂直平分线上,∴CD垂直平分AB,∴∠AEC=∠AED=90°,∵AB=16,DC=10,∴AE=8,AD=CD=10,∴DE=√AD2−AE2=6,∴CE=CD−DE=4,∴AC=√AE2+CE2=√82+42=4√5.【解析】略27. 如图,已知:ΔABC 中,∠ABC =∠ACB =45∘.(1)如图1,D 是△ABC 内一点,B 、D 、E 在同一直线上,∠ADE =∠AED =45°,探究CE 和BD 的关系(数量关系与位置关系).(2)如图2,D 是ΔABC 外一点,且AD =5,CD =3,∠ADC =45∘,求BD 的长.【答案】解:(1)结论:BD =CE ,BD ⊥CE ,理由:∵∠ABC =∠ACB =45°,∠ADE =∠AED =45°,∴∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC ,AD =AE ,∴∠BAD =∠CAE ,在△BAD 和△CAE 中,{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE, ∴△BAD≌△CAE ,∴BD =CE ,∠ADB =∠AEC =135°,∵∠AED =45°,∴∠BEC =90°,即BD ⊥CE ,(2)如图:以AD 为直角边在AD 的上方作等腰直角三角形ADE ,连接CE ,∵∠ADE =45°,∠DAE =90°,AD =5,∴DE =√2AD =5√2,∵∠ADC =45°,∴∠CDE =∠ADC +∠ADE =90°,∵CD =3,∴CE =√CD 2+DE 2=√32+(5√2)2=√59,∵∠BAC =∠DAE =90°,∴∠BAD =∠CAE ,在△ABD 和△ACE 中,{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE, ∴△BAD≌△CAE ,∴BD =CE =√59.【解析】本题主要考查了等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质以及勾股定理,本题综合性强,证明三角形全等是解题的关键.(1)先根据全等三角形的判定定理证明△BAD≌△CAE ,再根据全等三角形的性质即可得出结论;(2)以AD 为直角边在AD 的上方作等腰直角三角形ADE ,连接CE ,则∠ADE =45°,∠DAE =90°,AD =5,进而得出DE =√2AD =5√2,由∠ADC =45°,可得∠CDE =∠ADC +∠ADE =90°,根据勾股定理可得CE 的长,然后证明△BAD≌△CAE ,最后利用全等三角形的性质即可得出结论.28. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,点E 是BC 延长线上的一点,且BD =DE.点G 是线段BC 的中点,连结AG ,交BD 于点F ,过点D 作DH ⊥BC ,垂足为H .(1)求证:△DCE 为等腰三角形;(2)若∠CDE =22.5°,DC =√2,求GH 的长;(3)探究线段CE ,GH 的数量关系并用等式表示,并说明理由.【答案】证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=12∠ABC=12∠ACB,∵BD=DE,∴∠DBC=∠E=12∠ACB,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=12∠ACB=∠E,∴CD=CE,∴△DCE是等腰三角形(2)∵∠CDE=22.5°,CD=CE=√2,∴∠DCH=45°,且DH⊥BC,∴∠HDC=∠DCH=45°∴DH=CH,∵DH2+CH2=DC2=2,∴DH=CH=1,∵∠ABC=∠DCH=45°∴△ABC是等腰直角三角形,又∵点G是BC中点∴AG⊥BC,AG=GC=BG,∵BD=DE,DH⊥BC∴BH=HE=√2+1∵BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH=√2+1∴1+2GH=√2+1∴GH=√2 2(3)CE=2GH理由如下:∵AB=CA,点G是BC的中点,∴BG=GC,∵BD=DE,DH⊥BC,∴BH=HE,∵GH=GC−HC=GC−(HE−CE)=12BC−12BE+CE=12CE,∴CE=2GH【解析】本题是三角形综合题,考查了角平分线的定义,等腰三角形的性质,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.(1)根据题意可得∠CBD=12∠ABC=12∠ACB,由BD=DE,可得∠DBC=∠E=12∠ACB,根据三角形的外角性质可得∠CDE=12∠ACB=∠E,可证△DCE为等腰三角形;(2)根据题意可得CH=DH=1,△ABC是等腰直角三角形,由等腰三角形的性质可得BG=GC,BH=HE=√2+1,即可求GH的值;(3)CE=2GH,根据等腰三角形的性质可得BG=GC,BH=HE,可得GH=GC−HC=GC−(HE−CE)=12BC−12BE+CE=12CE,即CE=2GH.29.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,点E、D为垂足,CF=CB.(1)求证:BE=FD;(2)若AC=10,AD=8,求四边形ABCF的面积.【答案】解:(1)证明:∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴CE=CD,在Rt△BCE与Rt△FCD中,{CE=CDCB=CF,∴Rt△BCE≌Rt△FCD(HL),∴BE=FD;(2)∵在Rt△ACD中,AC=10,AD=8,CD⊥AD,∴CD=√102−82=6,∵CD⊥AD,CE⊥AB,∴∠ADC=∠AEC=90°,在Rt△ADC与Rt△AEC中,{CD=CEAC=AC,∴Rt△ADC≌Rt△AEC(HL),∴S△ACD=S△ACE 又∵Rt△BCE≌Rt△FCD,∴S四边形ABCF =S四边形AECD=2S△ACD=2×12×6×8=48.【解析】略30.定义:如图1,等腰△ABC中,点E,F分别在腰AB,AC上,连结EF,若AE=CF,则称EF为该等腰三角形的逆等线.(1)如图1,EF是等腰△ABC的逆等线,若EF⊥AB,AB=AC=5,AE=2,求逆等线EF的长;(2)如图2,若直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点,且点E,F分别在AB,AC上,求证:EF为等腰△ABC的逆等线;(3)如图3,边长为6的等边三角形△AOC 的边OC 与X 轴重合,EF 是该等边三角形的逆等线.F 点的坐标为(5,√3);试求点E 的坐标。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

勾股定理中的易错题辨析
江苏省通州市刘桥中学 吴锋 226363
一、审题不仔细,受定势思维影响
例1 在△ABC 中,,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ,且2()()a b a b c +-=,则( )
(A )A ∠为直角 (B )C ∠为直角 (C )B ∠为直角 (D )不是直角三角形 错解:选(B )
分析:因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为C ∠,因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=,即222a b c =+,因根据这一公式进行判断.
正解:222a b c -=,∴222a b c =+.故选(A )
例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.
错解:5==.
分析:因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法,即意味着两直角边为3和4时,斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,但也可能为直角边.
正解:(1)当两直角边为3和4时,第三边长为
5==;
(2)当斜边为4,一直角边为3时,第三边长为
=二、概念不明确,混淆勾股定理及其逆定理
例3 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )
(A )1、2、3 (B )2223,4,5 (C (D 错解:选(B )
分析:未能彻底区分勾股定理及其及逆定理,对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时,应将所给数据进行平方看是否满足222a b c +=的形式.
正解:因为222
+=,故选(C ) 例4 在B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M 岛,乙船到P 岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
错解:甲船航行的距离为BM=8216⨯=(海里),
乙船航行的距离为BP=15230⨯=(海里).
34=(海里)且MP=34(海里)
∴△MBP 为直角三角形,∴90MBP ∠=︒,∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.
分析:虽然最终判断的结果也是对的,但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形,而本题需对三角形做出判断,判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若222
+=,
a b c 则90
C
∠=︒.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念,导致错误运用.
正解:甲船航行的距离为BM=8216
⨯=(海里),
乙船航行的距离为BP=15230
⨯=(海里).
∵222
+==,∴222
16301156,341156
+=,
BM BP MP
∴△MBP为直角三角形,∴90
∠=︒,∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.
MBP。

相关文档
最新文档