成才之路选修2-2之1-1-2
【成才之路】2020版高中数学 1-1-2同步练习 新人教B版选修2-2
选修2-2 1.1.2一、选择题1．已知物体做自由落体运动的方程为s (t )＝12gt 2，若Δt →0时，s1＋Δt －s 1Δt无限趋近于9.8m/s ，则正确的说法是( )A ．9.8m/s 是物体在0～1s 这段时间内的速度B ．9.8m/s 是物体在1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 [答案] C[解析] 由瞬时速度的定义可知选C ，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念． 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 [答案] B[解析] 由导数的定义可知选B.3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．1 B.18 C.12 D.14 [答案] C[解析] Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，Δs Δt ＝12＋18Δt ，则s ′|t ＝2＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18Δt ＝12.故选C.4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 [答案] A[解析] f ′(1)＝lim x →1f x －f 1x －1＝lim x →1a ＝a ＝2.故选A. 5．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f x 0－k －f x 02k等于( )A ．－1B ．－2C ．1 D.12 [答案] A [解析] lim k →0f x 0－k －f x 02k＝－12·lim k →0 f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－1.故选A.6．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C7．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.448．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 [答案] B [解析] lim h →0 f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．9．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．1 [答案] D[解析] ∵Δs ＝－3(0＋Δt )2＋(0＋Δt )－(－3×02＋0) ＝－3(Δt )2＋Δt .Δs Δt ＝－3Δt ＋1.∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3Δt ＋1)＝1. 10．设f (x )＝x ·(1＋|x |)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 [答案] B[解析] f ′(0)＝lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 Δx 1＋|Δx |Δx＝lim Δt →0 (1＋|Δx |)＝1.故选B.11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________.lim x →x 0f x －f x 02x 0－x＝________.[答案] －11 －112[解析] lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；lim x →x 0f x －f x 02x 0－x ＝－12lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．已知函数y ＝x 3，当x ＝2时，lim Δx →0 Δy Δx ＝________. [答案] 12[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2＋Δx 3－23Δx＝lim Δx →0Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋12]＝12. 13．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－11＝Δx －1＋11＋Δx ＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx1＋Δx， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx1＋Δx＝0. 14．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. [答案] 1 [解析] lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 7t 0＋Δt 2－13t 0＋Δt ＋8－7t 20＋13t 0－8Δt＝lim Δt →07Δt 2＋14Δt ·t 0－13ΔtΔt＝lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0－13) ＝14t 0－13 令14t 0－13＝1， ∴t 0＝1. 三、解答题15．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t ＝1时的瞬时速度．[解析] (1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)质点在t ＝1时的瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－6－3Δt )＝－6. 16．利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数． [解析] 因为Δy ＝x ＋Δx2＋1－x 2＋1＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1x ＋Δx 2＋1＋x 2＋1 ＝2x Δx ＋Δx2x ＋Δx2＋1＋x 2＋1， 所以Δy Δx＝2x ＋Δxx ＋Δx2＋1＋x 2＋1.所以f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x x 2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 17．已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．[解析] 当t ＝1时，Δs ＝3(Δt ＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴Δs Δt＝3Δt ＋6，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝6， 即当t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，Δs ＝29＋3(Δt ＋4－3)2－29－3(4－3)2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴ΔsΔt＝3Δt ＋6， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝6， 即当t ＝4时的瞬时速度为6.18．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)的x 0值． [解析] 由导数的定义可知f ′(x 0)＝lim Δx →0＝x 0＋Δx 2－x 2Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20，因为f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)，所以2x 0＋5＝3x 20， 即3x 20－2x 0－5＝0 解得：x 0＝－1或x 0＝53.。
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第二章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n＋(n －1)(n ∈N *) D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2) [答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n(n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( ) A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc ， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq ＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案]12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 [解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ； ③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得 a n ＝2－1a n －1， 代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0 则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .②∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0. 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1 a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫a2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋a n＋1－a na n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a1－1a2＋⎝⎛⎭⎫1a2－1a3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a1－1a n＋1＝1da n＋1－a1a1a n＋1＝na1a n＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设a k＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＝k－1a1a k，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1②将①代入②，得k－1 a1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1，在该式两端同乘a1a k a k＋1，得(k－1)a k＋1＋a1＝ka k.将a k＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得a k＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有a n＝a1＋(n－1)d，所以{a n}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 2.1.2
第二章
2.1
2.1.2
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(2)人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取 经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理， 使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节 中扮演着重要角色．
(3)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系
理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以
供学生扩展知识面． (3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推 理规则．
第二章
2.1
2.1.2
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牛刀小试 1 ． (2014· 微山一中高二期中 )关于下面推理结论的错误： “因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，又 y＝log1 x 是对
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，
结论：水会沸腾． (2)大前提：一切奇数都不能被2整除， 小前提：2100＋1是奇数， 结论：2100＋1不能被2整除．
第二章 2.1 2.1.2
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(3)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，
的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合 情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．
第二章
2.1
2.1.2
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3．三段论
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 一般原理 ； ①大前提——已知的__________ 特殊情况 ； ②小前提——所研究的__________ 判断 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________ ．
成才之路选修2-2之1-1-2 (39)
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
[点评] 用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩
法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出 要证明的目标不等式．
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1 1 1 本例中用 < 放缩是关键一步，有时也常用k2 (k＋1)2 k(k＋1) 1 > 放缩． k(k＋1)
－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[点评] ①对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项 式，那么A能被B整除．②在推证n＝k＋1时，为了凑出归
*
1 1 ＋„＋ . 2n n＋2
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
[证明]
1 1 1 1 (1)当 n＝1 时， 左边＝1－ ＝ ， 右边＝ ＝ . 2 2 1＋1 2
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左边＝右边． 1 1 1 1 (2)假设 n＝k 时等式成立， 1－2＋3－4＋„＋ 即 － 2k－1 1 1 1 1 2k＝k＋1＋k＋2＋„＋2k，
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[例3] 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除， n∈N*，a∈R. [分析] 证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用 增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，
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从而利用归纳假设使问题得以解决．
第二章 推理与证明
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成才之路·人教A版数学选修课件2-2 1.2.2 第1课时
1)，切线方程过原点，则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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6．求下列函数的导数． (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x· tanx； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； x－1 (4)y＝ . x＋1
导数公式的应用
求下列函数的导数： 1 1x 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝(3) .
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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新知导学
5．设函数f(x)、g(x)是可导函数，则： f ′(x)±g′(x) ； [f(x)±g(x)]′＝________________ f ′(x)· g(x)＋f(x)· g′(x) ． [f(x)·g(x)]′＝______________________
重点：导数公式和导数的运算法则及其应用．
难点：1.幂函数导数公式规律的探究发现．
2．y＝ax与y＝xα的导数公式的区分． 3 ．指数函数、对数函数的导数公式及导数运算法则的应
用．
Hale Waihona Puke 第一章1.21.2.2
第1课时
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基本初等函数的导数公式
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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Fx＋Δx－Fx 则 Δx fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gx ＝ Δx fx＋Δx－fx gx＋Δx－gx ＝ ＋ ， Δx Δx ∴ lim →
数学 人教B版 选修2-2 成才之路 课后强化作业1-1-1 详解答案
选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y ＝f (x )，当自变量从x 0到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率[答案] A2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt[答案] A4．函数y ＝1x在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为( ) A ．－1B ．－12C ．－2D ．2[答案] B5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.115B ．－115C ．2D ．－2[答案] C[解析] Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (1)5－1＝2. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx＋2 B ．Δx －1Δx－1 C ．Δx ＋2D ．Δx －1Δx＋2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－12－1Δx＝Δx ＋2. 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4[答案] D[解析] Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt＝－2Δt －4. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x[答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx ＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C. 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－23＋2Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时平均变化率为________． [答案]6－2 [解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2.13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr[解析] ΔS Δr ＝(1＋Δr )2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr . 14．函数y ＝cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时的变化率为________；在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时的变化率为________．[答案] 33－6π －3π[解析] 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，Δy Δx ＝cos π6－cos0π6－0＝33－6π； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cos π2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π. 因此，y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π. 三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2. 16．过曲线f (x )＝x 3上两点P (2,8)和Q (2＋Δx,8＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )3－8＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝Δx 3＋6Δx 2＋12Δx Δx＝Δx 2＋6Δx ＋12. 设Δx ＝0.1时割线的斜率为k 1，则k 1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)； 第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 18．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t (单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s 内的平均速度；(2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt ＝3s ，Δs ＝s (3)－s (0)＝24，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝243＝8m/s. (2)由题意知，Δt ＝3－2＝1s ，Δs ＝s (3)－s (2)＝12m ，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝12m/s.。
2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.2 第3课时 Word版含解析
第一章 1.2 第3课时一、选择题1．函数f (x )＝a 4＋5a 2x 2－x 6 )A ．4a 3＋10ax 2－x 6 10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．以上都不对答案] C解析] f ′(x )＝(a 4)′＋(5a 2x 2)′－(x 6)′＝－6x 5＋10a 2x .2．函数y ＝2sin x cos x ) A ．y ′＝cos xB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )D ．y ′＝－sin2x 答案] B解析] y ′＝(2sin x cos x )′＝2(sin x )′·cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .3 ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案] B解析] 根据对数函数的求导法则可知B 正确．4．曲线f (x )＝x ln x 在x ＝1 ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1 D ．y ＝x ＋1 答案] C解析] ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1. 5．(2015·锦州期中)下列结论： (1)若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x . (2)若y ＝1x ，则y ′＝12x x(3)若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227.) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案] C解析] (1)若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x 正确， (2)若y ＝1x＝x －12，(x >0)，则y ′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12×1x 3＝－12x x，故(2)错误．(3)若f (x )＝1x 2＝x －2，则f ′(x )＝－2x 2－1＝－2x －3＝－2x 3，则f ′(3)＝－227正确．故正确的命题的个数为2个．6．函数f (x )＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0 )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案] B解析] 解法1：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′ ＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x2，∴f ′(x 0)＝x 20－a2x 20＝0，得：x 0＝±a .解法2：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 2x ′＝1－a2x 2， ∴f ′(x 0)＝1－a 2x 20＝0，即x 20＝a 2，∴x 0＝±a . 故选B.7．(2015·青岛市胶州市高二期中)已知函数f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(0)＝)A ．2B ．－2C ．3D ．4答案] B解析] ∵f (x )＝(x －3)e x ， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x ， ∴f ′(0)＝(0－2)e 0＝－2，故选B.8．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是)A ．f (x )＝a xB ．f (x )＝log a xC ．f (x )＝x e xD ．f (x )＝x ln x答案] D解析] 若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝(a x )′＝a x ln a ，x ∈R ，不满足题意，排除A ；若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a (a >0，a ≠1)，x ≠0，不满足题意，排除B ；若f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝e x ＋x e x ，x∈R ，不满足题意，排除C ，故选D.二、填空题9．函数y ＝2x 3－3x 2＋4x －1的导数为____________答案] 6x 2－6x ＋4解析] y ′＝(2x 3)′－(3x 2)′＋(4x )′＝6x 2－6x ＋4.10．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案] (e ，e )解析] 本题主要考查求导公式及导数的几何意义，∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，∵P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，∴y |x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，将x 0＝e 代入y ＝x ·ln x 得y 0＝e ，∴P 点坐标为(e ，e )，解答本题的关键在于掌握曲线在某点处的切线斜率为此点处的导数值．11．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 05300177答案] 1－ln2解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))． 则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.三、解答题12(1)y ＝3x －lg x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝－sin x ＋e x .解析] (1)y ′＝(3x )′－(lg x )′＝3x ·ln3－1x ln10. (2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)＝x 3＋x 2＋x ＋1， ∴y ′＝3x 2＋2x ＋1. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x 2＋3′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(－sin x )′＋(e x )′＝－cos x ＋e x .一、选择题1．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为)A ．3B ．2C ．1D ．12答案] A解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.故选A.2．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为)A.π22 B ．π2 C ．2π2 D ．12(2＋π)2答案] A解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22.故选A.3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案] D解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义． 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝)A ．9B ．6C ．－9D ．－6 答案] D解析] y ′＝4x 3＋2ax ，y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，∴a ＝－6. 二、填空题5．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝答案]1ln3解析] ∵f ′(x )＝log 3(x －1)]′ ＝1(x －1)ln3(x －1)′＝1(x －1)ln3，∴f ′(2)＝1ln3.6．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________答案] 4x －y －3＝0解析] 本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法．y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0.在求过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式．7．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是________答案] 22－1解析] y ′|x ＝1＝－1(2x －1)2|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1. 三、解答题8．设y ＝8sin 3x ，求曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1解析] ∵y ′＝(8sin 3x )′＝8(sin 3x )′ ＝24sin 2x (sin x )′＝24sin 2x cos x ， ∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1处的切线的斜率 k ＝y ′|x ＝π6＝24sin 2π6·cos π6＝3 3.∴适合题意的曲线的切线方程为y －1＝33⎝⎛⎭⎫x －π6，即63x －2y －3π＋2＝0. 9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过(1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1①∵y ′＝2ax ＋b ，y ′|x ＝2＝4a ＋b ， ∴4a ＋b ＝1②又曲线过(2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1③解由①②③组成的方程组，得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.。
成才之路选修2-2之1-1-2 (110)
选修2－3综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·山东临沂一中期末)下列四个命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；④在推断H ：“X 与Y 有关系”的论述中，用三维柱形图，只要主对角线上两个柱形高度的比值与副对角线上的两个柱形高度的比值相差越大，H 成立的可能性就越大．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] ①r 有正负，应为|r |越大，相关性越强，②正确，③R 2越大，拟合效果越好，④应为高度积的差的绝对值越大，H 成立的可能性就越大，故选A.2．下列各式正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．P (A ∩B |A )＝P (B ) C.P (AB )P (B )＝P (B |A ) D ．P (A |B )＝P (AB )P (B )[答案] D[解析] 由条件概率公式知P (B |A )＝P (AB )P (A )，P (A |B )＝P (AB )P (B )，P (A ∩B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (AB )P (A )，故A ，B ，C 都不正确，D 正确，故选D. 3．(2010·全国Ⅰ文，5)(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( ) A ．－6 B ．－3 C ．0D ．3[答案] A[解析] 该题考查求展开式的特定项，用生成法．∵(1－x )3的有理项为1和3x ，故要出现x 2，需从(1－x )4因式中找x 2项和x 项，即C 24(－x )2和－C 14x ，∴x 2项为C 24(－x )2·1－C 14·x ·3x ＝－6x 2，∴选A. 4．随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.56[答案] D[解析] 因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54.因为P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56，故选D. 5．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][答案] C[解析] 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．6．(2010·重庆理，9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，也不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种[答案] C[解析] 不考虑丙、丁的情况共有A 22A 66＝1 440(种)排法，在甲乙相邻的条件下丙排10月1日有A 22A 55＝240(种)排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日，有A 22A 44＝48(种)排法，则满足条件的排法有A 22A 66－2A 22A 55＋A 22A 44＝1 008(种)．7．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A ．K 2>3.841 B ．K 2<3.841 C ．K 2>6.635 D ．K 2<6.635[答案] A[解析] 比较K 2的值与临界值的大小，当K 2>3.841时有95%的把握认为A 与B 有关，当K 2>6.635时有99%的把握认为A 与B 有关．8．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则(D (X ))2(E (X ))2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[答案] B[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )2]，(E (X ))2＝(np )2，所以(D (X ))2(E (X ))2＝[np (1－p )]2(np )2＝(1－p )2.故选B.9．(2010·湖北理，8)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )A ．152B ．126C ．90D ．54[答案] B[解析] 先安排司机：若有一人为司机，则共有C 13C 24A 33＝108中方法，若司机有两人，此时共有C 23A 33＝18中方法，故共有126种不同的安排方案．10．对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n(n ∈N *),4位同学作出了4种判断：①存在n ∈N *，使展开式中没有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，使展开式中有x 的一次项．上述判断中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④ D ．①与④[答案] D[解析] 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫1x n －r (x 3)r ＝C rn x 4r －n .若4r －n ＝0，即n 是4的倍数时，展开式中存在常数项，所以①正确；②错误；若4r －n ＝1，即n ＝4r －1，即n 被4除余1时，展开式中有x 的一次项，所以④正确；③错误．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫0，23 D.⎝⎛⎭⎫0，13 [答案] B[解析] 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，必有13<p <1. 12．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 项的系数绝对值的和为243，不含y 项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 [答案] D[解析] 考查二项式定理的灵活运用．不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋b )n ，故(1＋b )n ＝243， 同理，不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋a )n ＝32.即⎩⎪⎨⎪⎧(1＋b )n ＝243＝35(1＋a )n ＝32＝25， 所以a ，b ，n 的可能取值为a ＝1，b ＝2，n ＝5.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2009·安徽理，11)若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________. [答案] 12[解析] 本题考查正态分布的图象的对称性，如下图，由图象可知p (x ≤μ)＝12.14．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.[答案] 0.49[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.15．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组4人，分别进行单循环赛，每组决定前两名，再由每一组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，大师赛共有________场比赛．[答案] 16[解析] 分四类：第一类，进行单循环赛要2C 24＝2×4×32＝12场；第二类，进行淘汰赛需要2场；第三类，角逐冠、亚军需要比赛1场；第四类，角逐第三、四名需要比赛1场，所以大师赛共有2C 24＋2＋1＋1＝16场比赛．16．(2010·四川文，13)(x －2x )4的展开式中的常数项为________．(用数字作答)[答案] 24[解析] 本题考查二项式展开式的通项的应用． 设展开式中第r ＋1项是常数项， T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2x )r ＝C r 4(－2)r x 4－2r， ∴4－2r ＝0.∴r ＝2，T r ＋1＝C 24(－2)2＝24.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人． (1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？ (2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？[解析] (1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可易位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以易位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．18．(本题满分12分)已知(x －124x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·(124x)r ·(－1)r ，∴前三项系数的绝对值分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由题意知C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， ∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－124x)k＝C k 8·(－12)k ·x 16－3k 4，k ≠163，k ∈N *， ∴无常数项．(2)要使16－3k4为整数，且0≤k ≤8，∴k ＝0或k ＝4或k ＝8，∴展开式中的有理项为：x 4；C 48·124·x ； C 88·128·x －2. 即x 4；358x ；1256x 219．(本题满分12分)(2010·重庆理，17)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．[分析] 本题考查了离散型随机变量的期望，(1)可通过对立事件解决，对于(2)根据古典概型逐一求出概率，从而列出分布列，求得期望．[解析] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ有分布列所以，Eξ＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.20．(本题满分12分)(2009·辽宁文，20)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：甲厂(2)由于以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，[解析] 2×2(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)χ2＝1000×(360×180－320×140)500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．21．(本题满分12分)(2010·黄冈高二检测)已知高二年级的某6名学生，独立回答某类问题时答对的概率都是0.5，而将这6名同学平均分为甲、乙、丙3个小组后，每个小组经过两名同学讨论后再回答同类问题时答对此类问题的概率都是0.7，若各个同学或各个小组回答问题时都是相互独立的．(1)这6名同学平均分成3组，共有分法多少种？(2)求分组后，3个小组中恰有2组能答对此类问题的概率是多少？(3)若要求独立回答，则这6名学生中至多有4人能答对此类问题的概率是多少？[解析] (1)所求的方法数是C 26C 24C 22A 33＝15种． (2)由独立重复试验知，这3个小组中恰有2组答对此类问题的概率 P 1＝C 23⎝⎛⎭⎫7102⎝⎛⎭⎫1－710＝4411000.(3)由对立事件的概率，至多4人答对此类问题的概率为1减去至少5人答对此类问题的概率，即P 2＝1－C 56(0.5)5×0.5－C 66(0.5)6.22．(本题满分14分)(2010·天津理，18)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
成才之路选修2-2之1-1-2 (17)-50页文档资料
又圆柱的体积 V＝πr2h＝rS－22πr3，V′＝S－26πr2，
人
教
令 V′＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，
A 版
数
学
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为
6πS 3π .
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[例2] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸
当0<x<10时，V′(x)>0，
当10<x<30时，V′(x)<0.
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的
最大值．
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的
体积最大．
人
教
A
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内
版 数
只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还 学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x
＝20(km)．
∴供水站建在A，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ之间距甲厂20km处，可使水管费
用最省．
人
教
A
版
解法 2：设∠BCD＝θ，则 BC＝s4in0θ，
数 学
CD＝40·cotθ0<θ<π2. ∴AC＝50－40·cotθ.
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时 圆柱的高h的值．
2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.2 第2课时
第一章 1.2 第2课时一、选择题1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为导学号05300134( )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4答案] C解析] f (x )＝cos π4＝22，∴f ′(x )＝0.2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为导学号05300135( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案] A解析] f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3．给出下列命题： ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为导学号05300136( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案] C解析] 由求导公式知②③④正确．4．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝导学号05300137( )A. 2B ．－ 2C ．0D ．22答案] A解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.5．设函数f (x )＝cos x 则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′等于导学号05300138( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0， ∴⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝0′＝0，故选A. 6．设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于导学号05300139( ) A ．1 B ．－1C ．0D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ， ∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A.7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是导学号05300140( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12答案] D解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为导学号05300141( ) A.12 B ．－12C ．1eD ．－1e答案] C解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 二、填空题9．函数f (x )＝sin x 在x ＝π3处的切线方程为________．导学号05300142答案] x －2y ＋3－π3＝010．(2021·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.导学号05300143答案] 8解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y ＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，明显a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是______________．导学号05300144 答案] y ＝x －1解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) ∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1， 所求切线方程为：y ＝x －1. 三、解答题12．(1)y ＝e x在点A (0,1)处的切线方程；导学号05300145 (2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程． 解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1x，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1. ∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.一、选择题1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为导学号05300146( )答案] D解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D.2．下列函数中，导函数是奇函数的是导学号05300147( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12答案] D解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2021(x )的值是导学号05300148( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x答案] D解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ， f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f2021(x)＝f3(x)＝－cos x，故选D.4．(2022·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是导学号 05300149()A ．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3答案] A解析]设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cos x，cos x1cos x2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不行能为－1，故选A.二、填空题5．过原点作曲线y＝e x的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．导学号05300150答案](1，e)y＝e x解析]设切点为(x0，e x0)，又y′＝(e x)′＝e x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝e x0，∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．又切线过原点，∴－e x0＝－x0·e x0，即(x0－1)·e x0＝0，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e，∴切线方程为y＝e x.6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.导学号05300151答案] 2解析]y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k1＝y′|x＝a＝1x ln2|x＝a＝1a ln2.已知直线斜率k2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k1k2＝－2a＝－1，∴a＝2.7．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．导学号05300152答案](2，＋∞)解析]由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x＝2·x2－x－2x＝2·(x＋1)(x－2)x，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．三、解答题8．设点P是y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号05300153解析]依据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝e x上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(e x)′＝e x，∴由题意得e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22.9．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．导学号05300154解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线相互垂直，必需cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不行能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．。
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选修2-2 1.1 第2课时
一、选择题
1．函数在某一点的导数是( )
A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B ．一个函数
C ．一个常数，不是变数
D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx
无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( )
A ．6
B ．18
C ．54
D ．81
[答案] B
[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，
∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32
＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt
＝18＋3Δt . 当Δt →0时，Δs Δt
→18，故应选B. 3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )
A ．2x
B ．2
C ．2＋Δx
D ．1 [答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，
∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2
∴Δy Δx ＝2＋Δx 当Δx →0时，Δy Δx
→2 ∴f ′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )
A ．37
B ．38
C ．39
D ．40
[答案] D
[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3
Δt ＝40＋4Δt ，
∴s ′(5)＝li m Δt →0 Δs
Δt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D.
5．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( )
A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量
B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率
C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′
D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.
6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( )
A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]
C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
D ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.
7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于(
) A ．4a B ．2a ＋b
C ．b
D ．4a ＋b
[答案] D
[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c
Δx
＝4a ＋b ＋a Δx ，
∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 (4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D.
8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A ．圆
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．直线
[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.
9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )
A ．0
B ．3
C ．－2
D ．3－2t [答案] B
[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2Δt
＝3－Δt ， ∴s ′(0)＝li m Δt →0 Δs Δt
＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a
等于( ) A ．－1a
B.2a C ．－1a 2 D.1a 2 [答案] C
[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a
＝li m x →a 1x －1a x －a ＝li m x →a a －x (x －a )·xa
＝－li m x →a 1ax ＝－1a 2. 二、填空题
11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则
li m Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________； li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )
＝________. [答案] －11，－112
[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx
＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx
＝－f ′(x 0)＝－11； li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )
＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝－12f ′(x 0)＝－112
. 12．函数y ＝x ＋1x
在x ＝1处的导数是________．
[解析] ∵Δy ＝⎝⎛⎭
⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1＋11
＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1， ∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1
＝0. 13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______．
[答案] 2
[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx
＝a ， ∴f ′(1)＝li m Δx →0 Δy Δx
＝a .∴a ＝2. 14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0
f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f (x )x －3的值是________．
[答案] 8
[解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3
＝lim x →3 2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3
. 由于f (3)＝2，上式可化为
li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3
＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题
15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．
[解析] 由导数定义有f ′(x 0)
＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0
Δx (2x 0＋Δx )Δx ＝2x 0，
16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－
3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解析] 位移公式为s ＝12
at 2
∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12
a (Δt )2 ∴Δs Δt ＝at 0＋12
a Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝
⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，
∴at 0＝800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)Δy Δx
(2)f ′(1)．
[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx
＝2＋Δx . (2)f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →
0 (2＋Δx )＝2. 18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．
[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 2 (x ≥0)－x －x 2 (x <0) Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )
＝⎩⎪⎨⎪⎧
Δx ＋(Δx )2 (Δx >0)－Δx －(Δx )2 (Δx <0) ∴lim x →0
＋ Δy Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1， lim Δx →0－
Δy Δx ＝lim Δx →0－ (－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－ Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy Δx
无极限． ∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x 从大于0的一边
无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)。