人教A版高中数学选修福建省西山双曲线简单的几何性质学案第课时新
高中数学 双曲线几何性质学案 新人教A版选修1
2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）双曲线的几何性质：以焦点在x 轴为例，标准方程：1、范围2、对称性3、顶点 叫做双曲线的顶点，顶点坐标是4、轴 叫做双曲线的实轴，实轴长是 ， 叫做虚轴，虚轴长是 ， 叫做等轴双曲线。
5、渐近线 直线 叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线。
特别地，当a b =时，双曲线的方程为 ，实轴长和虚轴长都等于 ，双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程为 ，它们互相 。
6、离心率 双曲线的 叫做双曲线的离心率，即e = ，因为c ＞a ＞0，所以 。
又222c a b =+，所以c e a==标准方程22221x y a b -= （a ＞0,b ＞0） 22221y x a b -= （a ＞0,b ＞0）图形性 质焦点焦距 范围对称性 顶点轴长 离心率 渐近线（二）双曲线的几何性质的简单应用 1、已知方程求其几何性质例1 （1）求双曲线22916144y x -=的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程，并作出草图。
（2）（2020北京卷）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ，渐近线方程为 。
（3）（2020新课标全国卷）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()4,2-，则它的离心率为（ ） 6 5 C.62 D.52练习：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标，离心率和渐近线方程（1）22194x y -= （2）22249y x -= （3）224x y -= （4）222x y -=-2、由几何性质求方程 例2 （1）求与双曲线2212516x y -=共渐近线，且通过点()5,2P -的双曲线的标准方程。
归纳：与双曲线22221x y a b-=渐近线的双曲线方程可设为（2）已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为10.，求双曲线方程。
高中数学新人教版A版精品教案《双曲线的简单几何性质（一）》
教学设计在教师的组织引导下，从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程。
使学生真正成为学习的主体。
通过阅读教材，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，让学生在参与中获得知识，发展思维，感悟数学。
七、教学过程：一欣赏美图，引出课题提问：在以上图片中，有没有我们所熟悉的数学图形？要想运用双曲线的知识做出精美的物品或建造如此宏伟的建筑物，光掌握双曲线的定义和标准方程是远远不够的，我们还有了解更多双曲线的知识，这节课我们就一起来学习《双曲线的简单几何性质》。
（板书课题）（二）复习旧知，设疑引路1、复习（1）双曲线的定义和标准方程？（2）椭圆有哪些简单几何性质？（填表）2、引入类比椭圆的简单几何性质，猜想双曲线有哪些简单几何性质？（三）类比探究 ，研究性质以方程12222=-by a x 为例研究双曲线的简单几何性质1、范围：提问：类比椭圆如何研究其范围？（幻灯片）2、对称性：提问：看图可知其有怎样的对称性？（幻灯片）对称性：双曲线关于轴、轴和原点都是对称的 轴、轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心.-所表示的区域内与范围：双曲线在不等式a x a x ≥≤3、顶点：提问：类比椭圆，哪些点是双曲线的顶点，顶点坐标分别是什么 （幻灯片）顶点：双曲线与对称轴的交点，顶点坐标12(,0),(,0)A a A a - 双曲线的实轴：，长为,实半轴长为 双曲线的虚轴: ，长为，虚半轴长为 4、离心率：ace =提问：（1）双曲线的离心率范围是什么？（2）椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性？ 《几何画板》演示 5、渐近线：x aby ±= 从学生曾经学习过的反比例函数入手，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与、轴无限接近，此时、轴是xy 1=的渐近线。
提问：双曲线12222=-by a x 有没有渐近线？渐近线方程是什么？《几何画板》演示类比12222=-b y a x 几何性质的研究方法，让学生得出 的几何性质（四）练习研究，运用性质),b (a bx a y 00 1 >>=-2222双曲线的简单几何性质范围例1对称性顶点标准方程离心率例2渐近线。
新课标人教A版高中数学选修2 1232双曲线的简单几何性质第一课时学案
行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。
学案：2.3.2双曲线的简单几何性质(第一课时)授课类型:新授课学习目标：①知识与技能：知道双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题培养学生分析，归纳，推理的能力。
②过程与方法：与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的方法③情感态度与价值观：通过类比的方法探索新知识，培养学生学习数学的兴趣。
教学方法：本节课主要通过数形结合，类比椭圆的几何性质，运用现代化教学手段，通过观察，分析，归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。
教学重难点：重点：双曲线的几何性质及其运用。
难点:双曲线渐近线的导出，离心率的讲解。
一、知识回顾：思考：焦点在x轴上的椭圆的几何性质有哪些？二、学习探究（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程22221(0,0)xyabab ，研究它的几何性质。
①范围：________②对称性：_______③顶点：________________.④离心率：e =________（二）画一画，想一想22-194xy?类比椭圆的作图过程请画出双曲线的草图。
⑤双曲线特有性质——渐近线2222-1xyab?双曲线（a>0，b>0）的渐近线方程为____行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。
（三）、合作探究，展示交流。
1）整合前面的探究结果，类比得出焦点在y轴上的双曲线的几何性质，并完成下表。
21(0,0)abab????221(0,0)abab????几何图形范围 x的范围y的范围对称性对称轴 x轴，y轴，线段A1A2为_实轴_,线段B1B2为_虚轴对称中心原点顶点a,b,c的等量关系222abc??离心率e(1)ceea??渐近线方程2）想一想思考：①双曲线的焦点能在虚轴上吗？②双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？讨论并给出答案.③等轴双曲线的定义及离心率是什么？④离心率可以刻画椭圆的扁平程度，离心率e的变化对双曲线图形有什么影响？行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。
高中数学 双曲线教案 新人教A版选修1
2.2.2 双曲线的简单几何性质（第一课时）教学目标知识与技能 使学生了解双曲线的几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能确定双曲线的形状特征。
过程与方法 进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比，提高类比、分析、归纳的能力。
情感态度与价值观 通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神。
教学重点及难点重点 双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质。
难点 有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用。
教学过程一、 复习引入：1、复习椭圆的几何性质；2、复习双曲线的标准方程。
二、新授内容：（一）双曲线的几何性质：（以焦点在x 轴为例）1、范围 由标准方程22221x y a b-=推导出,x a a y R ≤-≥∈或x2、对称性 双曲线关于x 轴、y 轴及原点对称。
3、顶点 双曲线与它的对称轴的交点即为双曲线的顶点。
双曲线仅有两个顶点：()()12,0,,0A a A a -4、轴 线段12A A 叫做双曲线的实轴，实轴长是2a ，a 叫实半轴长。
()()120,,0,B b B b -，线段12B B 叫做双曲线的虚轴，虚轴长是2b ，b 叫虚半轴长。
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
5、渐近线 直线00x y x ya b a b+=-=或叫做双曲线的渐近线。
特别地，当a b =时，双曲线的方程为222x y a -=，实轴长和虚轴长都等于2a ，双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程为y x y x ==-或，它们互相垂直。
6、离心率 双曲线的焦距与实轴长的比值叫做双曲线的离心率，即c e a=，因为c ＞a ＞0，所以1e ＞。
又222c a b =+，所以c e a ==1、已知方程求其几何性质例1 （1）求双曲线22916144y x -=的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程，并作出草图。
高二数学《双曲线的简单几何性质》学案新人教版选修
2.3.2双曲线的简单几何性质一、课标要求：知道双曲线的有关性质。
二、学习目标：1.通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质2.了解双曲线的渐进性，并能解决一些简单的问题。
3.进一步体会数形结合的思想。
三、自主学习：问题1：类比椭圆几何性质的研究方法，如何得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？（以焦点在x轴上的双曲线为例）1. 范围①双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示的区域内.②怎么由双曲线方程求出它的范围？（即从代数的角度验证结论）2. 对称性①双曲线关于______对称，关于______对称，关于_______对称。
②如何用定义证明双曲线的这种对称性？3.顶点①指出右图中的顶点：、②实轴：实轴长：实半轴长：③虚轴：虚轴长：虚半轴长：4.渐近线①两条直线_____________________叫做双曲线的渐近线。
思考：由双曲线标准方程如何求渐近线方程？②等轴双曲线：5.离心率①离心率的概念：②离心率的范围：③离心率刻画双曲线的什么特征？问题2:等轴双曲线的渐近线、离心率：焦点在x 轴和在y 轴上的双曲线的两种标准方程的几何性质比较例1:求双曲线 14416922=-x y 的范围、实半轴长与虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程.变式：求双曲线14416922-=-x y 的范围、实半轴长与虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程，并画出草图例2．已知双曲线的渐近线是 02=±y x ，并且双曲线过点 )3,4(M ，求双曲线方程.变式：已知双曲线渐近线是 04=±y x ，并且双曲线过点)5,4(N ，求双曲线方程.解题反思：例3．已知双曲线的焦距为16，离心率是34，求双曲线的标准方程。
解题反思：例4:求下列双曲线的标准方程：⑴与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(3,-；⑵与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点解题反思：五、拓展提高：已知动点M （x,y ）与一个定点F(5,0)的距离和他到一条定直线L:x=516的距离的比是常数45,求点M 的轨迹。
2.3.2双曲线的简单几何性质(第1课时)学案
2.3.2双曲线的简单几何性质（第1课时）【学习目标】1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。
【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。
【学习难点】渐近线方程的导出。
一、课前预习要求及内容回顾：1、双曲线的定义：2、双曲线的标准方程：3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？二、预习整理（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，研究它的几何性质。
①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22by 从而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和所表示的区域内。
22ax = 从而得y 的范围为 。
②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明所以双曲线关于 对称。
同理，以y -代y ，方程不变得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。
在方程12222=-by a x 里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。
线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。
④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。
（二）想一想1、根据上述四个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线191622=-y x 的图象。
2、渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线，。
叫做等轴双曲线，它的渐近线为，离心率为。
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？三、合作探究四、小组展示例题1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率，渐近线方程。
人教A版高中数学选修福建省西山双曲线简单的几何性质学案第课时新(1)
§2.2.1双曲线简单的几何性质 ( 第1课时)[自学目标]:掌握双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。
[重点]:双曲线几何性质[难点]:双曲线几何性质的应用[教材助读]:双曲线12222=-by a x 的简单几何性质 1、范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得： ，或 ．这说明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域；2、对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 和为对称轴， 为对称中心；3、顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点（ ），（ ），由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做 ，长为 ，焦点不在的对称轴叫做 ，长为 ；4、渐近线：直线 叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； 5、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）．[预习自测]1、双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x2、中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（ ）A 、192522=-y xB 、192522=-y x 或192522=-x y C 、13610022=-y x D 、13610022=-y x 或13610022=-x y3、下列曲线的离心率为26的是（ ） A 、14222=-y x B 、12422=-y x C 、16422=-y x D 、110422=-y x 4、双曲线204522-=-x y 的实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ，离心率为 。
上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：双曲线简单几何性质例1：求双曲线14491622=-y x 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
人教A版高中数学选修高二新课程双曲线的简单几何性质教案新(1)
潮阳市西元中学数学科教案上课时间第周星期第节课型课题 2.2.2双曲线的几何性质（二）教学目的理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．教学设想教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的几何性质的理解撑握教学过程一、复习准备：1、回顾双曲线的范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线；2、已知双曲线的方程为221914x y-=，写出其顶点和焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率、渐近线方程。
二、讲授新课：1. 双曲线的几何性质：对双曲线的相关问题，要紧扣定义及相关概念。
例1、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程。
分析引导：求双曲线的方程只需求出a,b即可，题目是个典型的求曲线方程问题，引导学生建立坐标系、找出关系式求解。
练习：已知双曲线的焦点在x轴上，方程为22221x ya b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A，试求此双曲线的方程。
例2、过双曲线22136x y-=的右焦点，倾斜角为30o的直线交双曲线于,A B两点，求,A B两点的坐标。
（变训练：求AB及1ABF∆的周长，）（解几问题，求两曲线的交点，一般是通过联立方程组求解）练习：1、求到两定12(5,0),(5,0)F F-的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程。
2、点(,)M x y到定点(5,0)F距离和它到定直线16:5l x=的距离的比是常数54，求点M的轨迹方程。
（双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数a>1）。
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§2.2.1双曲线简单的几何性质 ( 第2课时)
[自学目标]:
掌握双曲线的定义,标准方程,几何性质，并运用有关性质解决实际问题。
[重点]:直线与双曲线问题。
[难点]:相关弦长、中点问题。
[教材助读]:
1、直线与双曲线位置关系
代数法：由直线方程与双曲线的方程联立消去y 得到关于x 的方程．
(1)△ 0 ⇒直线与双曲线相交。
(2)△ 0 ⇔直线与双曲线相切。
(3)△ 0 ⇔直线与双曲线相离。
2、若设直线与双曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入双曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
3、若直线b kx y l +=:与双曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++=
[预习自测]
1、已知双曲线方程为1422=-y
x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共
点，则L 的条数共有（ ）
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
2、过点(2，－2)且与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程是( )
A.y 22－x 24＝1
B.x 24－y 22＝1
C.y 24－x 22＝1
D.x 22－y 24
3、双曲线13
622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r 等于（ ）
A 、3
B 、2
C 、3
D 、6
4、已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.
上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]
探究一：弦长问题
例1已知直线1+=x y 与双曲线14
:2
2
=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长。
探究二：中点问题 例2、过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14
22=-y x 的弦所在直线方程。
[当堂检测]
1、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线116422=-y x 上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为 。
2、已知双曲线12222=-b y a x
（0,0>>b a ）的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个
焦点为（4,0），则双曲线的方程为 。
3、点M （x,y)到定点F （5, 0）的距离和它到定直线l ：5
16=x 的距离的比是常数4
5，求点M 的轨迹。
★4、已知双曲线122
2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
[拓展提升]
1、以043=±y x 为渐近线的双曲线经过点（3，-4），则该双曲线的离心率为 。
2、经过点（)2,2
1且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线方程为 。
3、已知双曲线)0(1222
2>=-b b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则12PF PF •u u u r u u u u r 等于 。
4、已知双曲线方程为19
42
2=-y x 与直线方程1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
★★5、已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).
(1)求双曲线C 的方程;
(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B,且OA OB u u u r u u u r g >2(其中O
为坐标原点),求k 的取值范围.。