清华大学微积分期中试题
清华大学微积分A(1)期中考试样题
一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。
21 3. 31 4。
34 5. 1 6．第一类间断点 7。
()dx x x x ln 1+ 8。
22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。
0 10。
11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。
13 13。
0 14。
)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。
…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。
…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。
微积分(秋冬)期中自测题参考答案
微积分（秋冬）期中自测题参考答案一、 填空：1． 2ε ； 2. 3=n ； 3. )2,(-∞； 4. 2=a ，2)12(2-=b ； 5. 1个； 6． 2+=x y ； 7. 3-； 8. 4-=a ，2=b ； 9. 2)!1(+n n 。
二、 计算与证明：1．解：。
1)(lim )()121()1(lim)())(!4!2))((1(2lim )1ln()cos 1(2lim 3330322220224420220-=-+=-+--+=--+-++=---→→→→x x o x x x o x xx x x x x x o x x x o x x x x x e x x x x x2．解：x xx x xxx e x e ecot arc 1ln cot arc lim 1lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，而， 1111lim ln )1ln(lim 1arctan 1ln lim cot arc 1ln lim =--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→+∞→+∞→x e e x x e x x e x x e xx x x x x x x x故e xx x x e =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→cot arc 1lim 。
3．解：()()()()()()[]()()(),cot ln 3)csc (cot 1cot cot ln cot ln cot cot ln cot 23232313233133cot ln cot ln 1333dx x x x x x xx x dx x x xd x xx d d xd xxxx xx xee -⋅-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡[],1)(arcsin 1)()(arcsin )(arcsin )(arcsin )(arcsin 22dx eee f e e d e f e d e f e f d xx x xx xx x x -'=-'='=以及 0)(=e d π。
清华大学一元微积分期中考题
一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1. 已知52lim 22=-++→x b ax x x ，则=+b a 。
2. 设0)()1ln(lim 20=+-→x x xf x x ，则=-→xx f x 1)(lim 0 。
3. 已知0→x 时，x x a x x f sin cos 34)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=为x 的5阶无穷小量，则=a 。
4. 2cos )(x e x f =，则=')(x f 。
5.)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f 。
6. 函数x x x x x f 2)(23-+=的不可导点的个数为 。
7. 曲线12+-+=x x x y 当+∞→x 时的渐近线方程为 。
8.设x x f arctan )(=，则='')(x f 。
9. 已知函数)(x y y =由0=+--xy e e x y 确定，则曲线)(x y y =在0=x 点处的切线方程为 。
10. 函数x x y sin 2+=的反函数的导数 =dydx 。
二．计算题（每题10分，共40分）1. 已知 ⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2，求 22,dx y d dx dy 。
2. 写出函数 2)(2--=x x x x f 在00=x 处的带有Lagrange 余项的n 阶泰勒公式。
3. 根据n 的奇数偶数不同情况分别讨论函数x n e x x f -=)(（n 为正整数）的单调性，求它在实数范围的最值并画出其图像。
4. 已知)(x f 为),(+∞-∞上的连续可导函数，()x x f x g =)(， (I) 求证：)(x g 为),(+∞-∞上的可导函数；(II) 计算)(x g '。
三．证明题1. (8分) 设),0[)(+∞∈C x f ，0)0(=f ，且当0>x 时，)(x f '存在且单调增，证明：当0>x 时，xx f )(单调增。
第一学期第二次微积分期中考试参考答案
北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、()()ln 101.arcsin x x x+<<<证明：设()()ln 1f x x x =-+，则()00f =。
又因为()()'11001f x x xx x =+=<<<所以01x <<时，()()ln 10,f x x x =-+<()ln 1.arcsin x x+< 二、设0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的范围。
解：设()()2110f x kx x x =+->，则()'32.f x k x=-（1）0k <时，()()()'0,,0,f f f x +=+∞+∞=-∞<所以0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解；（2）0k =时，显然0x >时方程211kx x+=有且仅有一个解； （3）0k >时，()()0,,f f +=+∞+∞=+∞当x ⎛∈ ⎝时，()'0,f x <当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0,f x >所以1f =为其最小值，只有当其为零时方程211kx x +=有且仅有一个解；此时得k = 总之，k 的范围为(]23,0.⎧⎫⎪⎪-∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 三、设函数32,1x y x =-求（1）y 的定义域；（2）y 的单调区间和极值，图形的凹凸区间及拐点；（3）y 图形的渐近线方程。
解：（1）y 的定义域为 1.x ≠± （2）()()()()222'"2322323,.11x x xx y y xx-+==--所以(,-∞为单增区间，()1-为单减区间，()1,1-为单减区间，(为单减区间，)+∞为单增区间。
清华大学微积分考试真题7
作者：闫浩
2011 年 9 月
10．若 f ( x) ∈ D 2 ( −∞, +∞ ), 证明对任意的 a < c < b ,都存在 ξ ∈ ( a, b) ,使得
f ( a) f (b) f (c ) 1 + + = f ′′(ξ ) ． (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b) 2
个实根． 3.设 f ( x ) ∈ C[ a, b] ，在 ( a, b) 内可导， f ( a) = f (b) = 0 。求证： ∀α ∈ R, ∃ξ ∈ ( a, b) 使得
α f (ξ ) = f ′(ξ ) .
4． 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上一阶可导， 在 ( a, b) 内二阶可导，f ( a) = f (b) = 0 ，f ′( a ) f ′(b) > 0 ， 证明： （1）存在 ξ ∈ ( a, b) ，使 f (ξ ) = 0 ； （2）存在η ∈ ( a, b) ，使 f ′′(η ) = f ′(η ) ； （3）存在 ζ ∈ ( a, b) ，使得 f ′′(ζ ) = f (ζ ) ． 5．设函数 f ( x), g ( x ), h( x) 在 [ a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导，试证存在 ξ ∈ ( a, b) ，使得
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作者：闫浩
2011 年 9 月
微积分 B(1)第七次习题课题目参考答案 （第九周）
1．证明方程 2 x + 2 x 2 + x − 1 = 0 至多有两个不同实根． 证明 （罗尔定理） 设 2 x + 2 x 2 + x − 1 = 0 有三个不同实根，则
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
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3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
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．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
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考试课程
系名
一元微积分
班级
(A)
姓名
2010 年 11 月 12 日
学号
一．填空题（每空 3 分，共 15 题） （请将答案直接填写在横线上！ ）
1.
⎛ 1+ x ⎞ lim⎜ ⎟ = x →∞ 2 + x ⎝ ⎠
lim
x →0
x
。
2.
sin 2 x − x = arcsin x + x
x
( x > 0) ，则其反函数 x = x( y ) 的导数
dx = dy
。
11. 函数 f ( x ) = xe 的 n 阶导函数 ( n ≥ 1) f
x
( n)
( x) =
。
12. 函数 f ( x) = x − 2 x + 5 在区间 [−2,2] 上最大值为
4 2
。
13. 设 f ( x ) = x − sin x ，则 f ′(0) =
4．求 f ( x) = x − 2 x + x 的所有最大单调区间，上凸下凸区间，极大值点和极小值点，并画
3 2
出 y = f ( x) 的图像示意图。
三．证明题（请写出详细的证明过程！ ） 1． （8 分）证明：当 x > 0 时， ( x − 1) ln x ≥ ( x − 1) 。
2 2
2． （7 分）设 f ( x) ∈ C (−∞,+∞) 为下凸函数。
(1)
（1）证明： ∀x0 , x ∈ (−∞,+∞) ， f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) ； （2）证明：若存在常数 M > 0 使得 ∀x ∈ (−∞,+∞) ，均有 f ( x ) ≤ M ，则 f ( x) 为常数函数。
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。
7.
设y=x
x
( x > 0) ，则其微分 dy =
。
8.
f ( x ) = esin( x
2
+1)
，则 f ′( x) =
。
9. 设由 x = 2t + sin t , y = cos t 决定 y = f ( x) ，则在 x = 0 ，即( t = 0 )点 f ′(0) =
。
10. 设 y = e + ln x
1
x≤0 ⎧ sin ax 在 (−∞,+∞) 内可导。 ⎩ln(1 + x) + b x > 0
⎛π ⎞ ln x 2.计算 lim ⎜ − arctan x ⎟ 。 x → +∞ 2 ⎝ ⎠
3. 设 f ′′( x) 存在，且 f ′( x) ≠ 1, ∀x ∈ (−∞,+∞) ，函数 y = y ( x ) 由方程 y = f ( x + y ) 确定， 求 y′ 与 y′′ 。
。
14. 曲线 y = ( x + 1) 3 3 − x 在其上一点 ( −1, ห้องสมุดไป่ตู้) 的法线方程为
(
)
。
15. 曲线 y =
3
x3 + x 2 + x + 1 的渐近线方程为
。
二．计算题（每题 10 分，共 4 题） （请写出详细计算过程和必要的根据！ ）
1．确定 a, b 值使函数 f ( x) = ⎨
ln(1 + x ) = ln(1 + x 3 )
。
3.
x → +∞
lim
。
4.
lim
x→4
1 + 2x − 3 = x −2
。
5.
当 x → 0 时， f ( x) =
1 1 − 为 x k 的同阶无穷小量，则 k = sin x x
。
6.
函数 f ( x) =
1 1− e
x 1− x
在 x = 1 处间断点的类型为