3.3.1两条直线的交点坐标PPT名师课件
3.3.1《两条直线的交点坐标》课件(新人教A版必修2)
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品质来自专业 ②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 金太阳教育网
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已知方程组
A1x+B1y+C1=0
（1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
3x+2y－1=0
y
证明：联立方程 2x－3y－5=0
x=1
解得： y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 即 M（1，- 1）
x
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
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上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
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A1 B1 时，两条直线相交，交点坐标为 当——≠ —— A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1 A1 B1 C1 当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行； A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2
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④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B ）
高中数学必修二两条直线的交点坐标公开课教案课件教案课件
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究 提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.几何元素及关系代数表示 点A A(a ，b) 直线l l ：Ax+By+C=0点A 在直线上 直线l 1与l 2的交点A关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行， ∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
两直线的交点坐标
都经过一定点，求这个定点的坐标。
（2）不论λ 取何实数，直线(2λ -1)x+(λ +3)y-(λ -3)=0 都经过一定点，求这个定点的坐标。
拓展问题：
求过两直线3x+4y－2=0和2x+y+2=0的交 点，且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(0, 0) (2) 和直线3x-y+5=0平行。
作业：
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交 点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
（1）x+y=0 (2)3x-y+8=0
A x B1 y C1 0 1 1 、 方程组的解即两条直线的交点坐标 A2 x B2 y C2 0
①方程组有唯一解 ②方程组无解 ③方程组有无数解
两直线相交 两直线平行 两直线重合
2、求直线系A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C ) 0 所过定点的方法。
y=2.
3x+4y －2= 0 ，
2x+y+2 = 0.
∴l1
、 l2
的交点是（-2，2）.
(1) l
结论2：
相交
l1‖l2
l2 : x 2 y 4 方程组有唯一 36 4 解( 7 , 7 ) (2) l1 : y 3x 4 方程组无解 l2 : 6 x 2 y 1
(3) l1 : 3x 4 y 5 l2 : 6 x 8 y 10
方程组有 无数解
3.3.1两条直线的交点坐标
在3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常 数）表示的直线集合中，如何确定经过点（-2，5） 的直线？
将坐标（-2，5）代入方程3x+2y－1+λ（2x－ 1 3y－5）=0，得到 λ . 8 1 再将 λ ，代入3x+2y－1+λ（2x－3y－ 8 5）=0，得到直线方程22x+19y-3=0.
新课导入
在平面几何中，我们对方程做定性的研究. 引入直角坐标系后，我们用方程表示直线。
y
x
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
(x0, y 0 ), k
y - y 0 k(x, x0 ) 有斜率的直线
y kx b
有斜率的直线
斜截式 k,y轴上截距b
两点式 截距式
一般式
y y1 x x1 (x1, y1 )(x2 , y 2 ) y 2 y 1 x 2 x1 x y x轴上截距a 1 a b Y轴上截距b
一元二次方程
3.3.1 两直线的交点坐标
教学目标
知识与能力
直线和直线的交点。 二元一次方程组的解。
过程与方法
学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位 置的方法。 掌握数形结合的学习法。
情感态度与价值观
通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从 而认识事物之间的内在联系。 能够用辩证的观点看问题。 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决 几何问题。
此方程即为所求。
例二 判断下面各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点的坐标： (1)l1:3x+4y－2=0， l2:2x+y+2=0； (2)l1:3x+5y-2=0, (3)l1:x-2y+3=0, l2:6x+10y+7=0; l2:3x-6y+9=0;
两条直线的交点坐标
因此，当且仅当 m≠±1 时，l1 与 l2 相交． (2)由(1)中的方程③知，m＝－1 时得 0＝2 方程无解，即方
程组无解，两直线平行．
因此，当且仅当 m＝－1 时，l1 与 l2 平行． (3)由(1)中的方程③知，m＝1 时得 0＝0，方程有无数多解，
即方程组有无数多解，两直线重合．
因此，当且仅当 m＝1 时，l1 与 l2 重合．
2021/10/10
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(3)∵m＝0 时，l1 不平行 l2， ∴l1∥l2⇔m－1 2＝m3 ≠26m，解得 m＝－1. (4)∵m＝0 时，l1 与 l2 不重合， ∴l1 与 l2 重合时，有m－1 2＝m3 ＝26m，解得 m＝3.
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例 4：若直线 x＋a2y＋6＝0 和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0 没 有公共点，则 a 的值是__________．
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(4)因为 m≠±1 时，l1 与 l2 相交； 当 m＝0 时，l1 的斜率为 0，l2 的斜率不存在，l1⊥l2；
当 m≠0 时，l1、l2 的斜率分别为－m、－m1 ， 因为(－m)·－m1 ≠－1，故 l1 与 l2 不垂直．
因此，当且仅当 m＝0 时，l1⊥l2.
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1－1.求直线 l1：3x＋4y－5＝0 与直线 l2：2x－3y＋8＝0 的 交点 M 的坐标．
解：由 l1 与 l2 的方程联立方程组
3x＋4y－5＝0 2x－3y＋8＝0
，解得xy＝ ＝－ 2 1
.
∴点 M 的坐标为(－1,2)．
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直线恒过定点问题
x＝m＋m 1 (5)由(1)知，方程组的唯一解为y＝2mm＋＋11
人教版《直线的交点坐标与距离公式》优秀PPT1
新人教版高中数学《直线的交点坐标 与距离 公式》P PT公开 课课件 2
课前探究学习
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3．两点间的距离 (1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)两点间距离公式的特殊情况 ①原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2. ②当 P1P2 与 x 轴平行时，y1＝y2， 从而|P1P2|＝|x2－x1|；当 P1P2 与 y 轴平行时，x1＝x2， 从而|P1P2|＝|y2－y1|. ③P1，P2 在直线 y＝kx＋b 上时， |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ x2－x12＋kx2＋b－kx1－b2＝ 1＋k2|x2－x1|.
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2．两个间的距离公式
两点坐标
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
距离 公式
|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12
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3.3.1两条直线的交点坐标
P120 A3
k1 k2 l1 // l2 b1 b2
l1 l2 k1 k2 1
作业
A：小结 B：P120 A3（3） A5（2） 2 C：画二次函数 y 2 x 4 x 2 的图象并 在下列情况下求其值域 （1） x R （2）x [1,5] （3）x [3,5] 技巧：遇到二次函数就求对称轴方程和顶点 坐标，并画图象。
5 5 直线l1与l2的交点是 M ( , ) 3 3
P114 例2
（2） l1 : 解：
3x 4 y 4 0 l2 : 6 x 2 y 1 0
b1 b2
3 k1 k2 4
所以l1//l2
另一方面
3x 4 y 4 0 6x 2 y 1 0
解析几何
3.3.1两条直线交点坐标
直线的方程
斜率和一点坐标
点斜式 斜截式
两点式
y y0 k ( x x0 )
斜率k和截距b
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
点斜式 两个截距 截距式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
P113 例1
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2x y 2 0
画图
两点确定一条直线
练习P114 1（1）
两点确定一条直线
y
l1
Hale Waihona Puke l21y2
x
k1 k2 l1 // l2 b1 b2
人教版高中数学必修二《3.3.1 两条直线的交点坐标》
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二：设经过两直线交点的直线方程为：
当直线斜率不存 在时，如何判断?
（ 1 ）k1 k 2 , b1 b2
（2）k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
（3）k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 ， 在直线上吗？ (2)点 2， 7 在直线上吗？ (3)点3， 8 在直线上吗？
点P(a,b)在直线l上，那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解（ : 1）解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得： 3 所以l1与l2相交， 5 y= 3 5 5 交点坐标为（ 3 ，3 ）.
3x y 4 0, （2） 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系？
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y
l2
l1
α1
α2
O
x
3.3.1两条直线的交点坐标PPT名师课 件
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利用方向向量
rr 设直线l1,l2的方向向量分别为 a , b , ① 若 a b ( 0 ) , 则 l1//l2 ；
rr ② 若 a b 0, 则 l1⊥l2 .
y
l2
l1
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B1C
2
=B2C1
A1C2
A2C1
直线 l1与l2 相交充要条件是： (A2B2 0)
A1 B2 A2 B1
直线 l1⊥l2 的充要条件是：
A1 A2 B1B2 0 .
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例1 . 求经过原点且经过以下两条直线交点
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交点
设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直 线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；
反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解， 那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.
α1
α2
O
x
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利用方向向量
rr 设直线l1,l2的方向向量分别为 a , b , ① 若 a b ( 0 ) , 则 l1//l2 ；
rr ② 若 a b 0, 则 l1⊥l2 .
y
l2
l1
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α1
α2
O
x
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练习1. 求下列各对直线的交点，并画图：
（ 1 ） l1:2x3y1,2l2:x2y4;
(2 )l1:x2,
l2:3x2y1 2 0 .
解:
（1）2xx23yy412
x y
36 7 4
7
交点
36 (
,
4 ).
77
(2)
3xx22y120
x2 y3
交 点 (2 , 3).
的直线方程： l1: x-2 y +2=0 ,l2: 2x- y -2=0.
解：解方程组 x 2y 2 0，
2x y 2 0，
得
x y
22， . l1与 l2的交 是 (2， 点 2).
由已知可设经过原点的直线方程为 y kx
把交(点 2， 2)代入此方 ,得程 k 1
故所求直线方程y为 x .
若直线l1和l2为一般式方程：
l1: A1x+B1y + C1=0 , l2: A2x+B2y+C2=0 ，
直线 l1∥l2 的等价条件是： (A2B2C2 0)
A1 B2 B1C 2
A2 B1 B2 C1或 A1 C 2
A2C1
直线
l1与l2
重合的等价条件是： (A2B2C2 0)
A1B2 A2 B1
若直线l1和l2为一般式方程： l1: A1x+B1y + C1=0 , l2: A2x+B2y+C2=0 ，
直线 l1∥l2 的充要条件是： (A2B2C2 0)
直线 l1与l2 重合的充要条件是： (A2B2C2 0)
直线 l1与l2 相交充要条件是： (A2B2 0)
直线 l1⊥l2 的充要条件是：
A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
方程组有无数解 l1与l2重合
A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
方程组有唯一解 l1与l2相交
A1 B1 . A2 B2
特别地，l1 ⊥l2 A1 A2 B 1 B 2 0
3.3.1两条直线的交点坐标PPT名师课 件
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(3) l1:3x5y10,l2:4x3y50.
解：(1 ) 7 2 1
14 4 2
l1与l2重合 .
(2)
3 1
2 1
3
7
2 6
l1与l2平行 .
(3) 3 5 43
l1与l2 相交 .
3x5y10
4x3y5
x y
2， 1 .
交是 点 (2， 1).
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3.3.1两条直线的交点坐标PPT名ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课 件
例2.判 定 下 列 各 对 直 线 的 位置 关 系，若 相 交， 则 求 交 点 .
(1) l1:7x2y 10, l2:1x 4 4y 20.
(2 ) l1:(32 )xy 7 0,l2:x (32 )y 6 0.
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练习2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点.
（ 1）l1:2xy7, l2:4x2y1; (2) l1:2x6y40, l2:y3x32； (3) l1:( 21)xy3, l2:x( 21)y2.
这两条直线是否有交点
方程组 A1x+B1 y +C1=0 是否有唯一解。 A2x+B2 y +C2=0
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交点 设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0.
这两条直线是否有交点
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一般地，对于直线
l1: A1x+B1 y +C1=0和 l2: A2x+B2 y +C2=0，
方程组：
A1x+B1 A2x+B2
y y
+C1=0，( +C2=0.
A1B1C1≠
0
,
A2B2C2≠
0
)
则方程组无解 l1∥l2
方程组 A1x+B1 y +C1=0， 是否有唯一解。 A2x+B2 y +C2=0.
说明：若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交 ； 若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合 ； 若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行 。
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3.3.1 两条直线的交点坐标
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已知两直线 l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时， 则直线 l1∥l2 k1=k2且b1≠b2
直线 l1 ⊥l2 k1 ·k2= –1