椭圆的几何性质(解析版)

第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________． 【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

考点二 椭圆离心率的范围例2、(2020·福州模拟)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎤0，55【解析】 (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c .由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3c ，|BF 2|＝c ，故|AB |＝a ＋c ＋c ＝a ＋2c ，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3c a ＋2c ＝36，解得a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14.(2)由题设知，直线l ：x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤ b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0＜e ＜1，所以0＜e ≤55.变式1、设F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°，则椭圆离心率e 的取值范围是____． 【答案】[32，1) 【解析】 (方法1)易知P 点在短轴端点时∠F 1PF 2取最大值，∴只要在此情况下椭圆变得扁就行了，点P 在短轴端点时，若∠F 1PF 2＝120°，则e ＝c a ＝sin 60°＝32.∴e ∈[32，1)．(方法2)若∠F 1PF 2＝120°，则有PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°＝F 1F 22，且PF 1＋PF 2＝2a ，∴4a 2－PF 1·PF 2＝4c 2，∴PF 1·PF 2＝4b 2，又PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝a 2，∴a 2≥4b 2.∴3a 2≤4c 2即e 2≥34，∴e ∈[32，1)．(方法3)也可利用焦半径公式结合余弦定理将P 点横坐标表示出来，再解不等式－a ≤x 0≤a 即可．变式2、(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________． 【答案】：105【解析】由题意知c ＝1，离心率e ＝ca，因为P 在直线l ：y ＝x ＋2上移动， 所以2a ＝|P A |＋|PB |.点A 关于直线y ＝x ＋2的对称点C ，设C (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋1＝－1，12n ＝12(m －1)＋2解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1即有C (－2,1)，则2a ＝|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |≥|BC |＝10， 当C ，P ，B 共线时，a 有最小值102， 对应的离心率e 有最大值105. 变式3、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e . (1)若e ＝32，求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤32，求k 的取值范围．【解析】(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx 得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k 2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2.因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)， F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a 2a 2－91＋k 2a 2k 2＋a 2－9＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.变式4、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．（1）若椭圆的离心率为12，短轴长为23．① 求椭圆的方程；（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使O F P Q ，，，四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【思路分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解出,a b 值，从而求得椭圆的方程； （2）设出00()Q x y ，，求出P 坐标，,,P Q F 三点确定以PQ 为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O 在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点O 坐标代入圆方程，思路2，OF 的中垂线经过圆心，求出2a x cc ，根据点P ，Q 均在x 轴上方，得到2a a c c c -<-<，转化为e 的不等式，求出范围. 规范解答 （1）①设椭圆的焦距为2c ，由题意，得222122c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，，所以2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以椭圆的方程为22143y x +=． ②由①得，焦点(10)F ，，准线为4x =，（2）解法1 设2()a P t c，，00()Q x y ，， 因为FP ⊥FQ ，则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆200()()()()0a x x x y t y y c--+--=．由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以20020()()00ac c x ty c a x ty c ⎧--+=⎪⎨⎪+=⎩，，消去0ty 得2200()()0a a c c x x c c ---=，所以20a x c c=-， 因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以2a a c c c -<-<，即220c ac a +->，所以210e e +->，又因为01e <<，1e <<．解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2c x =上，所以圆心M 的横坐标为2M c x =，所以点Q 的横坐标为222Q M a a x x c c c=-=-．（以下同方法1）求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。