椭圆的标准方程及几何性质
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。
总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。
椭圆的几何性质(解析版)
第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________． 【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
椭圆总结(全)
椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
二、 方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
3.2.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
椭圆标准方程及几何性质
解：设动圆 M 的半径为 r，圆心 M(x，y)，两定圆 －3），半径 r1＝8，r2＝2. 圆心 C1(0,3)，C2(0， 则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2. ∴|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10. 又|C1C2|＝6，∴动圆圆心 M 的轨迹是椭圆，且焦 点为 C1(0,3)，C2(0， －3)，且 2a＝10， ∴ a＝5，c＝3， 2 2 2 ∴b ＝a －c ＝25－9＝16. y2 x2 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程是25＋16＝1.
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
2 2 x y 两焦点距离的和等于10； + =1 25 9 变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 + =1 25 9 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
知识总结
探究定义 P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
y M
y F2
M x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
y
M F 1
o
y
F2
F2 x
F1（-c，0）、F2（c，0）
焦点在y轴：
y 2 x2 + 2 = 1(a b 0) 2 a b
M
o
F1
x
F1（0，-c ）、F2（0，c）
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准公式可以通过几何性质和代数方程两种方式来描述。
下面我们将详细介绍椭圆的标准公式及其相关性质。
首先，我们来看椭圆的几何性质。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴，焦距为2c。
点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，根据勾股定理可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
其次，我们来看椭圆的代数方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
根据椭圆的定义可得。
PF1+PF2=2a。
根据点到定点的距离公式可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
椭圆的标准方程中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴，a>b。
椭圆的离心率e的计算公式为e=c/a，其中c为椭圆的焦距。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当e<1时，椭圆的形状更加扁平；当e=1时，椭圆的形状为椭圆；当e>1时，椭圆的形状为双曲线。
椭圆的标准方程可以通过平移、旋转和缩放来得到不同形式的椭圆方程。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地求得椭圆的焦点、离心率、焦距、长轴、短轴等重要参数，从而更好地理解和研究椭圆的性质和特点。
总之，椭圆的标准公式是描述椭圆几何性质和代数方程的重要工具，通过标准公式我们可以更加深入地理解椭圆的形状、性质和特点，为进一步研究椭圆提供了重要的数学基础。
第1节 椭圆标准方程和几何性质ppt课件
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 焦点位置
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在x轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 对称性
顶点 性质 轴长
焦距 离心率 a,b,c的
关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a -b≤y≤b
a5 两个焦点分别为F1(3, 0)和F2 (3, 0), 四个顶点的坐标分别为A1(5, 0), A2 (5, 0), B1(0, 4)和B2 (0, 4).
【变式1-1】(2019新课标II卷,文)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是
椭圆 x2 y2 1的一个焦点,则p=( ) 3p p
A.2
B.3
C.4
D.8
【答案】 D 【解析】 由题意可得:3 p p ( p )2,解得p 8.故选D.
2
【变式1-2】 (2018新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆C:
x2 a2
y2 4
1的一
个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2 2
3
2
2
3
【答案】 C 【解析】 根据题意,可知c 2,因为b2 4, 所以a2 b2 c2 8, 即a 2 2,所以椭圆C的离心率为e 2 2 ,故选C.
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称轴:x轴、y轴; 对称中心:(0,0)
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
椭圆的标准方程及其几何性质
圆心Q(3，0)， ，所以P在定圆内 设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 ， ，故动圆圆心M的轨迹方程是：
题7。△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是- ，求顶点A的轨迹方程.
[解析] 的周长为 ， =8
2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
解析：椭圆方程化为 + =1.
焦点在y轴上，则 >2，即k<1.
又k>0，∴0<k<1.
答案：0＜k＜1
3.椭圆 + =1的离心率是____________，准线方程是____________.
所以，以线段 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
题11。已知椭圆的焦点是 ，Ｐ为椭圆上一点，且｜ ｜是｜ ｜和｜ ｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠ ＝120°，求 .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.
解：(1)由题设｜ ｜＋｜ ｜＝２｜ ｜＝4
∴ ， 2c=2， ∴ｂ＝
∴椭圆的方程为 .
（２）设∠ ，则∠ ＝60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
整理得： 故
题12.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ，求椭圆方程.
解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设 = + ，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.
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几点补充：1、一般方程：221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠且11122=+⇒By A x .由一般式如何求a,b 及确定焦点的位置？ 2、椭圆的参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x3、统一定义：椭圆是平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l ()F l ∉的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹，其中定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率.4、221ab ac e -== ,ba=.离心率越大,椭圆越扁长.¤求椭圆的方程 1．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 . 2．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．3．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于 ． 4．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．5.设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右两个焦点，若椭圆上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标¤椭圆的标准方程7.椭圆5522=+ky x的一个焦点是（0，2），那么k 等于 。
8、若椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m=¤椭圆的第一定义与焦点三角形9.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上， 则△ABC 的周长是10.在平面直角坐标系xoy 中,已知△ABC 的顶点(4,0),(4,0)A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则s i n s i n s i n A C B+= 。
11.已知12,F F 是椭圆C ：221259x y +=左右两个焦点，若P 为椭圆的的一点，且12PF PF ⊥，求12F PF ∆的面积。
12.已知椭圆的方程为22143x y +=，点P 在椭圆上，12,F F 是椭圆的两个焦点，且01260F PF ∠=，求三角形12PF F ∆的面积。
¤中点弦问题13.过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使得弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程.14.焦点在x 轴上的椭圆与直线2321+-=x y 交于点A,B,且AB 中点为M(1,1),求椭圆的离心率.¤轨迹问题 直接法 定义法 相关点法 设参消参法 交轨法15.△ABC 周长为16cm ,BC=6cm ,固定点B,C,建立适当的坐标系,求点A 的轨迹方程.16.已知动圆M 和圆C 1：(x+1)2+y 2=36内切，并和圆C 2：(x-1)2+y 2=4外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
17.点P 是圆F 1:()8122=++y x 上任意一点,点F 2(1,0) , P F 2的中垂线交线段PF 1 于点M,求点M 的轨迹方程.18点P 是圆822=+y x 上的动点,PG 垂直于x 轴,求PG 中点M 的轨迹方程.19.斜率为2的动直线l 交椭圆2214x y +=于A,B 两点,求弦AB 中点的轨迹方程.20变式;已知点P()0,5及圆C:22412240x y x y ++-+=（1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为求l 的方程；（2）求过点P 的圆C 的弦的中点的轨迹方程。
21.已知点A,B 是椭圆1222=+y x 上的动点,且OA,OB 的斜率之积为21-,点P 满足向量等式2+=,试求点P 的轨迹方程.¤二次曲线的弦长公式, ()212212212411x x x x k x x k AB -++=-+=22.已知倾斜角为450的直线过椭圆2214x y +=的右焦点,交椭圆于A, B 两点,求弦AB 的长.23.如图，在直角坐标系xoy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 且与x轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的一个顶点为(0,)B b -，直线2BF 交椭圆于另一点N ，求1F BN ∆的面积。
24.已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0） 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的两点M,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 时，求k 的值¤离心率25.两个正数n m ,的等差中项是5,等比中项是4, 若n m >,则椭圆122=+ny m x 的离心率的大小为 . 26.设F 1 , F 2分别是椭圆11222=+++k y k x 的左右焦点,弦AB 过F 1 , 若∆AB F 2的周长为8, ,则该椭圆的离心率为 .27.设F 1 , F 2分别是椭圆22221()x y a b a b+=>>0的左右焦点,点P 在椭圆上,若021=⋅PF ,21tan 21=∠F PF ,则该椭圆的离心率为 .28.设椭圆22221()x y a b a b +=>>0的焦距为c 2,以点O 为圆心,a 为半径作圆M.若过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a 所作圆M 的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为 .29..设F 1 , F 2分别是椭圆22221()x y a b a b +=>>0的左右焦点,若在直线ca x 2=上存在点P 使线段P F 1的中垂线过点F 2,则椭圆离心率的取值范围是 .30.椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（A）⎛⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )1,1 （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ¤二次曲线中的函数值域31.设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求1·2PF 的最大值和最小值;（求最值三种思路） （2）过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，∠A O B为直角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k .(3)若(2)中的∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.32.已知直线)22(:+=x k y l 与圆C:422=+y x 交于A,B 两点.(1)试将∆AOB 的面积表示为k 的函数S(k ),并求函数定义域;(2)求S(k )的最大值.33.已知圆C 1:422=+y x,椭圆C 2:1922=+y x ,过点C()2,0-作两条互相垂直的直线1l ,2l ,其中1l 交椭圆于A,B,2l 交圆于C,D,求三角形ABD 面积的取值范围.¤二次曲线上的动点问题34.已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y ，Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积S=2其中Q 为坐标原点。
（1）证明2212x x +和2212y y +均为定值 （2）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得S △ODE =S △ODG =S △OEG 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由。
35.过椭圆22:184x y C +=上一点00(,)P x y 向圆22:4O x y +=引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅，求P 点坐标； （2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．36.已知圆O :222xy +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；（3）)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.¤参数与定值问题37.斜率为k 的直线与椭圆14922=+y x 交于两点P,Q,且OP ⊥OQ. 求证:直线PQ 与定圆相切.38.椭圆12222=+ay b x 经过点⎪⎭⎫⎝⎛3,21,离心率为23,直线l交椭圆于A()11,y x ,B ()22,y x 两点向量()11,by ax =,()22,by ax =,且⊥,O 为坐标原点,求证:∆S AOB 为定值.39.（5调文）已知椭圆2211612x y +=上两点M （2，3）,N （2，－3）.直线AB 斜率为12，交椭圆于A,B 两点,且A,B 分别在直线MN 左右两侧。
（1）求AMBN S 四边形的最大值； （2）证明AMBM k k +为定值。
40.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，过点M （2，1），长轴为短轴的2倍。
（1）求椭圆的方程（2）直线l 平行于OM ，且与椭圆交于不同两点A,B. （Ⅰ）若AOB ∠为钝角，求直线在y 轴上的矩m 的取值范围；（Ⅱ）求证：直线MA,MB 与x 轴围成等腰三角形。
41.已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，其一个顶点恰为抛物线2x=的焦点。
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）P （2，3），Q （2，－3）是椭圆上的两点，A,B 是椭圆上位于PQ 两侧的两点， （Ⅰ）若AB 的斜率为12，求APBQ S 最大值；（Ⅱ）当A,B 运动时，APQ BPQ ∠=∠,试问AB 的斜率是否为定值？42.椭圆焦点为F ()2,0,1:2:=b a (1)求椭圆方程;(2)椭圆上一象限内有点P(1,?),PA,PB 分别交椭圆于A,B,且0=+PB PA k k .求证:直线AB 的斜率为定值,并求∆PAB 面积的最大值.43.直线l 与椭圆1422=+y x 交于点M,N.点B 为椭圆的上顶点,是否存在这样的直线l ,使得椭圆的右焦点2F 成为∆BMN 的垂心?。