椭圆的几何性质2(第二定义)
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的几何性质2(第二定义)-PPT
2
x
y
＋ ＝1上的点,P
100 36
2.已知P是椭圆
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点
的距离为_________.
x 2 y2
3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到
两准线的距离.
4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴
端点与最近的焦点相距为1、与相近的一
x
∵ |MF2| =e
|MB|
∴ |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0
a2
x
c
注:所用焦点要与准线同侧,
焦点在y轴的同理可得.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
椭圆中的特殊三角形及通径
y
D (0, b)
A
(a, 0)
b a
Oc F
在Rt⊿OFD中，
常数e是椭圆的离心率.
y
x2 y2
对于椭圆 2 2 1(a b 0)
M
a b
(, 0)
相应与焦点 2
的准线方程是
x
2
2 =
a
c
0
(0
2
< a
<x1)
=
c
“三定”：
定点是焦点；
定直线是准线；
定值是离心率。
2
2
x 由椭圆的对称性,相应与焦点
2
=
′ (−, 0)
椭圆的几何性质2(第二定义)
标准方程
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b
3.1.2椭圆的简单几何性质(第二课时)(教学课件(人教版))
其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之 和与两根之积后代入公式可求得弦长． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
四.直线与椭圆的位置关系
（二）弦长及弦的中点问题
例 3（1）已知直线 y＝x＋1 与椭圆x2＋y2＝1 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的长． 4
＝1＋4m＋ n ＋4＝5＋4m＋n ≥5＋2 4m·n ＝9，
nm
nm
nm
四.直线与椭圆的位置关系
（一）直线与椭圆位置关系及判定
跟踪训练（2）已知椭圆的方程为 x2＋2y2＝2.①判断直线 y＝x＋ 3与椭圆的位置关系； ②判断直线 y＝x＋2 与椭圆的位置关系；③在椭圆上找一点 P，使 P 到直线 y＝x＋2 的距离 最小，并求出这个最小距离．
两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴34xy00＝－yx11－ －yx22＝－kPQ.
∵kPQ＝－14，∴y0＝3x0.代入直线
y＝4x＋1，得 2
x 0＝－12， y0＝－32
则直线 PQ 的方程为 y＋3＝－1(x＋1)即 2x＋8y＋13＝0. 2 42
|
2a,所以
a
1 2
(|
F1B
|
|
F2 B
|)
4.1,
b a2 c2 3.4.
所以，所求的椭圆方程为
x2 4.12
y2 3.42
1.
二.和椭圆有关的实际问题
跟踪练习1(多选)嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡查 探测的航天器.202X年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的 着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发 表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入 以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距， 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
3_1_2 椭圆的简单几何性质2 课件——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
所以直线的方程为 = 2 + 1或 = − 2 + 1.
=−
1
.
2 +2
6 中点弦问题
2
例8.已知椭圆
4
+
2
2
= 1的弦的中点P坐标为(1,1)，求直线的方程.
法 1(方程组法)：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y－1＝k(x－1)，
弦的两端点为 A(x1，y1 )、B(x2，y2 )，
y－1＝kx－1，
由 x2 y2
消去 y 得：(2k2 ＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k 2－2k－1)＝0，
＋ ＝1，
4 2
4kk－1
∴x1＋x2 ＝
，
2
2k ＋1
4kk－1
1
又∵x1＋x2 ＝2，∴
＝2，得 k＝－ ．
2
2k2＋1
1
故弦所在直线方程为 y－1＝－ (x－1)，即 x＋2y－3＝0．
2
+ 2 = 1.
故设直线的方程为 = + 1，联立椭圆方程，化简，
得( 2 + 2) 2 + 2 − 1 = 0.
= 1( > > 0) ，
5 弦长问题
练2.已知椭圆有两个顶点(−1,0)，(1,0),过其焦点(0,1)的直线与椭圆交于，
两点，若|| =
4 2
②-①可得
1 −��2
∴
1 −2
=
x1 ＋x2x 1－x2 y1＋y2y1－y2
＋
＝0，
4
2
1 +2
−
2(1 +2 )
=
1
− ，即
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
椭圆第二定义的证明推导
椭圆第二定义的证明推导【摘要】本文通过引角法证明了椭圆的第二定义，探讨了椭圆的几何性质，推导了椭圆方程，并证明了焦半径关系和焦半径与半长轴的关系。
通过这些推导和证明，我们对椭圆的定义和性质有了更深入的了解。
椭圆是几何学中重要的曲线之一，对于理解和应用椭圆曲线在数学和工程领域起着重要作用。
本文总结了椭圆第二定义的证明推导过程，希望为读者提供清晰的逻辑结构和直观的理解。
通过本文的阐述，我们可以更加深入地探讨椭圆的相关问题，拓展数学知识的应用范围。
【关键词】椭圆，第二定义，证明推导，引角法，几何性质，方程，焦半径，半长轴，总结1. 引言1.1 椭圆第二定义的证明推导所谓椭圆的第二定义，指的是一个点到椭圆上两焦点距离之和等于常数2a的性质。
这个性质可以通过引角法进行证明。
我们可以考虑椭圆的一个特殊情况，即圆的情况。
对于圆来说，两焦点到圆上的任意一点的距离之和永远等于直径的长度，这是因为圆的定义就是两焦点之间距离相等的特殊椭圆。
接着，我们可以考虑将圆延伸成一个椭圆，同样可以证明椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和等于常数2a。
这个证明可以通过一系列几何推理和三角学知识来完成。
通过这种方式，我们可以更深入地理解椭圆的性质，而不仅仅是通过数学公式来描述。
椭圆的几何性质还包括焦半径关系的证明和椭圆方程的推导等等，这些内容将在接下来的正文部分详细讨论。
通过对这些内容的理解和证明，我们可以更加全面地了解椭圆这一数学概念。
2. 正文2.1 引角法证明椭圆第二定义椭圆是平面几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆有两种定义方式，一种是通过焦点和两焦距之和不变的性质进行定义，另一种则是通过引角法进行定义。
在本篇文章中，我们将重点讨论椭圆的引角法证明。
引角法证明椭圆的定义是一种几何证明方法，通过引角的角度关系来证明椭圆的性质。
我们可以通过引角法证明椭圆的定义：在平面直角坐标系中，设椭圆的焦点分别为F1、F2，焦距为2c，且椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
(2021年整理)椭圆的第二定义(含解析)
(完整版)椭圆的第二定义(含解析)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)椭圆的第二定义(含解析)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)椭圆的第二定义(含解析)的全部内容。
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课题:椭圆的第二定义【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-半长轴、b —半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系: ac e b a c =-=,222 (2）。
基本点:顶点、焦点、中心（3).基本线： 对称轴二．椭圆的第二定义的推导问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a >>,求点M 的轨迹．解:设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，由此得c a=． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中，有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程），有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质（如:距离\角）,要注意区别。
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设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成 4x-5y+k=0 ①
4x 5y k 0
由方程组
x2 25
y2 9
1
消去y，得 25x2+8kx+k2-225=0 ②
令方程②的根的判别式⊿＝0，得 64k2-4×25(k2-225)=0
解方程③得 k1=25,或k2=-25
y
由图可知，当时直线m与椭圆的交点
到直线l的距离最近，此时直线m的方
程为。直线m与直线l间的距离
d
40 25 15 41 42所以52,最小4距1 离是
15 41
41
lm
m
·
F1
O
·
F2
x
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
相离
相切
相交
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法：d>r
d=r
d<r
代数法：∆<0
∆=0
∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？
3
定值是离心率。
椭圆的焦半径公式 （焦半径：椭圆上任意点到焦点的距离）
(1)点M(x0，y b2
1(a b 0) 上，
左焦半径为|MF1|= a+ex0，右焦半径为|MF2|= a-ex0
(2)点p(x0 ,y0 )的在椭圆
x2 b2
y2 a2
1(a b 0)上,
1
a2 b2
b
0)
的关系:
(2)点P在椭圆上,则 x02 a2
y02 b2
1
(3)点P在椭圆外,则 x02 y02 1 a2 b2
例7、已椭知圆椭与圆直2x线52
y2 9
1，直线l:4x-5y+40=0，椭圆最上大是距否离存是在
一的点关，系它？到直线l的距离最小？最小距离是多少？多少？
解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，
相离
相切
相交
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。
例1、已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2
4 5
x2
1 5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
弦长公式：
| AB | 1 k 2 | xA xB | 1 k2 （xA xB )2 4xAxB
小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法
例2：已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），
点C（1，3/2）在椭圆E上。 （1）求椭圆E的方程；
（2）若点P在椭圆E上，且满足PF1× PF2=t,求实数t的取值范围。
解：（1）法1：依题意,设椭圆E的方程为 x2 a2
y2 b2
1a
b
0
由已知半焦距c=1 ∴a2-b2=1 ①
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
∆>0
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。
小结：直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
l 2d r
2、直线与其它二次曲线相交的弦长
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）利用弦长公式:
|AB| = 1 k 2 • （x1 x2）2 4x1x2
标准方程
图形
范围 顶点坐标 焦点坐标
对称性 半轴长 离心率
准线方程 a,b,c的关系
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y
M
F1 o F2 x
x2 b2
y2 a2
1(a b 0)
y
F2 M
ox
F1
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)
∵点C（1，3/2）在椭圆E上, 解①②得a2=4,b2=3
∴
1 a2
9 4b2
1
②
∴椭圆E的方程为 x2 y2 1
43
（1）法2： 依题意,设椭圆E的方程为 x2 a2
y2 b2
1a
b
0
∵点C（1，3/2）在椭圆E上, ∴2a=|CF1|+|CF2|=4 即a=2
由已知半焦距c=1
∴b2 =a2-c2=3 ∴椭圆E的方程为
即x02+y02=t+1 ③
∵点P在椭圆上, 由③得y02=t+1-x02
∴ x02 y02 1 ④
43
代入④，并整理得x02=4(t-2) ⑤ 由④知，0≤x0≤4 ⑥
结合⑤⑥解得，2≤t≤3 ∴实数t的取值范围国[2，3]
应用：
1、求下列椭圆的准线方程： ①x2＋4y2＝4 ② x2 ＋ y2 ＝1
2b2
AB= a
复习点与圆的位置关系
点P(x0 ,y0 )与圆C: (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有：
>r2
(x-a)2+(y-b)2 =r2
点在圆C外 点在圆C上
P
P
C
<r2
点在圆C内
P
8.点Ｐ(x0 ,y0 )和椭圆
(1)点P在椭圆内,则
x2 y2 1(a
ax202
b
2
y02
25 4
解： 设d是点M到直线l：x 25 的距离，
4 根据题意，点M的轨迹就是集合 P
M
由此得
x 42 y2 4
MF d
4
5
y
l
25 x
5
4
M
·H
将上式两边平方，并化简得
9x2 25 y2 225
O
·
F
x
即 x2 y2 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。（如图）
x a2 注:所用焦点要与准线同侧, c 焦点在y轴的同理可得.
椭圆中的特殊三角形及通径
y
D (0, b)
A
ba
(a, 0)
Oc F
B
a2
(0, b)
x
c
椭圆的通径：
x
(a, 0)
x a2 c
在Rt⊿OFD中，
a2 b2 c2
过焦点且垂直于焦点所在的轴的直线被椭圆所截得
的线段长度。如图的AB
通法
=
1
1 k2
•
（y1
y2）2 4 y1 y2
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得 |x1-x2 | 与 | y1-y2|
A（x1,y1）
B（x2,y2） 设而不求
补例1：如图，等腰RtΔAPB的一条直角边AP在y轴上，A点
在x轴下方，B点在y轴右方，斜边AB的边长为3√2，
且A
B两点均在椭圆C：
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)上
若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C
解: 由题意可得 |PB|=|PA|=3,
∴B(3,1),A(0,-2),
代入椭圆方程可得
32 a2
12 b2
1
02
a2
(2)2 b2
1
解得a2 12, b2 4
∴所求椭圆C的方程为 x2 y2 1 12 4
下焦半径|PF1|=a+ey0 ,上焦半径为|PF2|=a-ey0
y
由椭圆第二定义知
|MF1| =e |MA|
A
x a2 c
M (x0, y0 ) B ∴ |MF1|=e|MA| =e[x0- (-a2/c)]=a+ex0
F1 O F2
x
∵ |MF2| =e |MB|
∴ |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0
观察画图，你能得到什么结论？ 信息技术画图1 信息技术画图2
当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数
e
c a
(0
e
1)
时,这个点的轨迹是椭圆,这叫做椭圆的第二定义,
定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.
y M
F(c, 0) 0 F(c,0)
x a2 c
16 81
2.已知P是椭圆
x2 100
＋
y2 36
＝1上的点,P
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点
的距离为_________.
3、已知P点在椭圆
x 2 ＋ y 2 ＝1 25 16
上，且P到
椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到
两准线的距离.
4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴 端点与最近的焦点相距为1、与相近的一 条准线距离为 5 的椭圆标准方程。
x2 y2 1 43
例2：已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），
点C（1，3/2）在椭圆E上。 （1）求椭圆E的方程；
（2）若点P在椭圆E上，且满足PF1× PF2=t,求实数t的取值范围。
解: (2) 设P(x0,y0),由 PF1 PF2 t
得 (-1-x0 ,-y0) ×(1-x0 ,-y0)=t,