协方差与相关系数公式详解了解变量之间的关联程度
协方差和相关系数的关系
协⽅差和相关系数的关系
⽅差：
度量单个随机变量的离散程度，公式如下：
⽅差表⽰⼀位数据数据的离散程度，数值越⼤说明离均值的差距越⼤，越离散
协⽅差：
度量两个随机变量（变化趋势）的相似程度，定义如下：
协⽅差表⽰⼆维数据，表⽰两个变量在变化的过程中是正相关还是负相关还是不相关
正相关，你变⼤的同时，我也变⼤，说明变量是同向变化，这时候协⽅差就是正的
负相关，你变⼤的同时，我变⼩，说明变量两个变量是反向变化的，这时候协⽅差就是负的从数值来看，协⽅差的数值越⼤，两个变量的同向程度也就越⼤，反之亦然
相关系数。
由协⽅差的概念相关系数，其定义如下:
就是⽤X、Y的协⽅差除以X的标准差和Y的标准差。
相关系数与协方差
相关系数与协方差一、引言在统计学中，相关系数和协方差是两个常用的概念，它们用于度量两个变量之间的关系强度和方向性。
在实际应用中，相关系数和协方差常常用于分析数据之间的关联性，帮助我们理解和解释数据的变化规律。
二、相关系数相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向性。
常见的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）用于度量两个连续变量之间线性关系的强度和方向性。
它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示无相关关系。
计算公式如下：ρ=∑(x−x‾)(y−y‾)√∑(x i−x‾)2∑(y i−y‾)2其中，ρ为皮尔逊相关系数，x i和y i分别为两个变量的第i个观测值，x‾和y‾分别为两个变量的平均值。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rank corre lation coefficient）用于度量两个变量之间的单调关系强度和方向性。
它的取值范围也在-1到1之间，可以用于描述非线性关系。
计算公式如下：ρ=1−6∑d i2 n(n2−1)其中，ρ为斯皮尔曼相关系数，d i为变量在排序中的差异，n为样本个数。
三、协方差协方差用于度量两个变量之间的总体误差。
它可以表征两个变量的变化趋势是同向还是反向，但无法直接比较两个变量之间的关系强弱。
计算公式如下：Cov(X,Y)=∑(X−X‾)(Y−Y‾)N−1其中，Cov(X,Y)为X和Y的协方差，X和Y分别为两个变量的观测值，X‾和Y‾分别为两个变量的平均值，N为样本个数。
四、相关系数与协方差的比较4.1 相同点•相关系数和协方差都用于度量两个变量之间的关系性。
•相关系数和协方差的取值范围都是-1到1之间。
•相关系数和协方差都是对称的，即Cov(X,Y)=Cov(Y,X)，ρXY=ρYX。
协方差cov与相关系数公式
协方差cov与相关系数公式协方差（covariance）和相关系数（correlation coefficient）是统计中常用于描述两个随机变量之间关系的概念。
协方差度量了两个变量的变动趋势是否一致，而相关系数则更进一步地衡量了两个变量的线性相关程度。
1.协方差:协方差是用来衡量两个随机变量的变动程度是否相似。
假设有两个随机变量X和Y，其协方差定义为：cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[]表示期望值。
协方差的正负号表示了X和Y之间的线性关系的方向，具体解释如下：-当协方差为正时，表示X和Y的变动趋势是一致的，即X增加时Y也增加，或者X减少时Y也减少。
-当协方差为负时，表示X和Y的变动趋势是相反的，即X增加时Y减少，或者X减少时Y增加。
-当协方差接近于0时，表示X和Y之间没有线性关系，即X和Y之间的变动趋势是独立的。
2.相关系数:相关系数是衡量两个随机变量之间线性关系强弱的度量。
相关系数的取值范围是[-1,1]，其定义为：ρ(X,Y) = cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))，其中σ(表示标准差。
相关系数衡量了两个变量之间的线性关系程度，具体解释如下：-当相关系数接近于1时，表示X和Y之间存在强正向线性关系，即X增加时Y也增加，或者X减少时Y也减少。
-当相关系数接近于-1时，表示X和Y之间存在强负向线性关系，即X增加时Y减少，或者X减少时Y增加。
-当相关系数接近于0时，表示X和Y之间没有线性关系，即X和Y 之间的变动趋势是独立的。
相关系数的计算可以通过协方差和标准差来获得。
相关系数是对协方差进行标准化的产物，因此可以消除量纲对结果的影响。
3.协方差和相关系数的关系:相关系数是协方差的一种标准化形式，通过除以两个变量的标准差来消除量纲。
相关系数一定在[-1,1]的范围内取值，而协方差的范围很大，因此相关系数更容易从其值直观地判断两个变量之间的关系。
协方差和相关系数之间的关系可以使用下面的公式表示：ρ(X,Y) = cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y)) = cov(X,Y) /(sqrt(var(X))sqrt(var(Y)))，其中var(表示方差。
相关系数和协方差的计算公式
相关系数和协方差的计算公式
相关系数和协方差是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关联程度。
相关系数是一个介于-1到1之间的数值，用来衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
协方差则是一个描述两个变量之间关系的统计量。
相关系数的计算公式如下：
相关系数 = 协方差 / (变量1的标准差 * 变量2的标准差)
其中，协方差的计算公式如下：
协方差= Σ((变量1的值 - 变量1的均值) * (变量2的值 - 变量2的均值)) / 样本数
相关系数和协方差的计算公式可以帮助我们衡量两个变量之间的关联程度。
相关系数的取值范围为-1到1，当相关系数接近1时，表示两个变量之间存在强正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量之间存在强负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
协方差的取值范围为负无穷到正无穷，协方差的正负表示了两个变量之间的关系方向。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
通过计算相关系数和协方差，我们可以得出两个变量之间的关联程度。
这些概念和计算公式在统计学和数据分析中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解释变量之间的关系，从而做出更准确的预测和决策。
无论是在科学研究、经济分析还是市场营销等领域，相关系数和协方差都是非常重要的工具。
通过运用相关系数和协方差的计算公式，我们可以更好地理解数据背后的规律和趋势，从而做出更明智的决策。
相关系数计算公式
相关系数计算公式
一、概念
相关系数（correlation coefficient），又称作相关系数，是衡量
两个变量之间相互关系紧密程度的一种统计量，其取值范围位于-1与1
之间。
它是由两个变量的协方差（covariance）除以它们各自的标准差（standard deviation）得到的。
二、定义
相关系数（correlation coefficient）的定义为：
设X和Y是有关联的两个随机变量，其均值分别为μX和μY，标准
差分别为σX和σY，协方差为rXY，其相关系数定义为：
rXY=r(X,Y)=frac{r_{XY}}{sigma_X sigma_Y}=frac{E[left(X-mu_X ight)(Y-mu_Y)]}{sigma_X sigma_Y}
三、性质
1.当相关系数rXY取值为1时，说明X、Y呈完全正相关，此时，当
X增大时，Y也增大；
2.当相关系数rXY取值为0时，说明X、Y之间没有显著的相关关系；
3.当相关系数rXY取值为-1时，说明X、Y呈完全负相关，此时，当
X增大时，Y减小；
4.相关系数rXY取值越大，表明X、Y之间相关关系越紧密；
5.相关系数rXY有有效范围，即[-1，1]；
6.相关系数rXY是一致的，不受X、Y变量变化的时间顺序而改变；
7.相关系数rXY取值只反映X、Y变量的线性关系，而对于非线性关系，其取值不符合实际情况；
8.相关系数rXY只衡量两变量之间的线性相关性，但不能揭示它们之间的因果关系。
四、公式
相关系数rXY的计算公式是：。
相关系数与协方差的关系
现得越来越强烈。就有 lim Cov(X,Y)= ，X 与 Y 间是完全负相关的。 n
又由于 Corr( X ,Y ) =－1，表明 X 与 Y 间是完全负相关的。其实，这个结论早就蕴含在
线性关系式 X+Y=n 之中了。 综上，就说明：在某种情况下，协方差和相关系数在反映 X 与 Y 间的关联程度时保持
一致性。若是这样的话，研究相关系数似乎有点多余了。因为，我们已经有一个可以反映 X 与 Y 间的关联程度的量了（即协方差），那我们能否找出相关系数更优秀的地方呢？ 3 协方差与相关系数的“矛盾性”
Corr(X ,Y ) 越接近 1，则线性相关程度越高； Corr(X ,Y ) 越接近 0，则线性相关程度
·当 Cov(X,Y)=0 时，称 X 与 Y 不相关。 也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量 X 与 Y 相互关联程度的一个特征数。协 方差 Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如 X 表示人的身高，单位是米(m)，Y 表示人的体重，单 位是公斤(kg)，则 Cov(X,Y)带有量纲(m·kg)。为了消除量纲的影响，对协方差除以相同 量纲的量，就得到一个新的概念—相关系数，它的定义如下：
设（X ，Y）是一个二维随机变量，且Var( X ) >0,Var(Y ) >0.则称
Cov( X ,Y )
Cov( X ,Y )
Corr( X ,Y ) =
=
Var( X ) Var(Y ) x y
为 X 与 Y 的（线性）相关系数。
利用施瓦茨不等式我们不难得到-1 Corr( X ,Y ) 1.也就是说相关系数是介于-1 到 1
当程度的正相关；但从相应的协方差 Cov( X ,Y ) =0.0471 看，X 与 Y 的相关性很微弱，几
协方差公式 相关系数
协方差公式相关系数
协方差(covariance)定义为：
cov（x,x）=var（x）协方差是对x与y之间联动关系的一种测度，即测量x与y的同步性。
当x与y同时出现较大值或者较小值时，cov>0,二者正相关。
若x出现较大值时y出现较小值，cov<0，二者负相关。
该相关关系并不意味着因果关系
计算方式：
e为期望算子，\mu 为总体平均值。
从该式中我们可以发现，cov的大小与x、y的大小有关。
为
了无量纲化，要对其进行标准化。
就有了相关系数的概念。
相关系数定义为：
就是协方差除了xy各自的标准差，这样才能刻画xy之间联动性的强弱。
这里需要注意的是，相关系数应该叫线性相关系数，它只能反映线性关系。
为何只能是线性关系的测度？
证明：
给出一个线性函数，y=a+bx (b \ne0 ,x的方差存在）
则，
所以，当x与y完全线性的时候，总有相关系数为1或者为-1.
扩展到一般线性模型：y=a+bx+ \varepsilon
其中， \varepsilon满足e（\varepsilon）=0，var （\varepsilon）=\sigma^{2}
同理可证，
这里，相关系数与1之间的偏离程度就受
\sigma_{\varepsilon}^{2}/\sigma_{x}^{2} 的影响。
所以它衡量的只是线性关系，绝对值不会超过1。
随机变量的协方差和相关系数
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij量时,
cov( X , Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy.
存在，称它为X的k阶中心矩. 注：均值 E(X)是X一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
l
k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l } 存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. 注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
n2
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 i i
cov( X i , X i ) 1, D( X i ) D( X i )
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
协方差与相关系数公式详解了解变量之间的
关联程度
协方差与相关系数公式详解：了解变量之间的关联程度
在统计学中，协方差和相关系数是了解变量之间关联程度的重要指标。
它们能够帮助我们判断两个或多个变量之间的关系以及它们对彼此的影响程度。
本文将详细解释协方差和相关系数的公式以及如何使用它们来进行分析。
一、协方差
协方差用于衡量两个变量的总体误差。
它的公式如下：
协方差= Σ[(Xi- X均) * (Yi - Y均)] / N
其中，Xi和Yi是样本的观测值，X均和Y均是样本的均值，N是样本量。
协方差具有以下几个性质：
1. 如果两个变量的协方差大于0，则它们正相关；如果协方差小于0，则它们负相关；如果协方差等于0，则它们不相关。
2. 协方差的绝对值大小不能反映出变量之间的强度和方向。
3. 协方差受到变量单位的影响，不便于比较不同数据集之间的关联程度。
二、相关系数
相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向，它可以消
除变量单位的影响。
最常用的是皮尔逊相关系数，其计算公式如下：相关系数 = 协方差 / (X标准差 * Y标准差)
其中，X标准差和Y标准差分别是X和Y的标准差。
相关系数取
值范围在-1到1之间，具有以下特点：
1. 相关系数为1时，表示两个变量完全正相关，即存在着线性关系。
2. 相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关，即一个变量的增加
与另一个变量的减小呈线性关系。
3. 相关系数接近0时，表示两个变量之间关系较弱，接近随机关系。
4. 若相关系数为0，表示两个变量之间不存在线性关系。
通过计算相关系数，我们可以了解到变量之间关联程度的强弱。
然而，需要注意的是相关系数只能衡量线性关系，若变量之间存在非线
性关系，则相关系数可能无法准确刻画它们之间的关系。
三、协方差和相关系数的应用
协方差和相关系数广泛应用于金融学、经济学、社会科学等领域。
它们能够提供关于变量之间关系的重要信息，有助于数据分析和决策
制定。
在金融领域，协方差和相关系数可用于评估资产之间的风险和收益
关系。
通过计算相关系数，可以分析股票、债券、基金等之间的相关性，从而构建更加多样化和稳健的投资组合。
在经济研究中，协方差和相关系数可用于分析不同经济指标之间的关系，例如GDP与通货膨胀率、利率与投资等。
通过对相关系数的计算，可以发现经济变量之间的相互依赖性，为宏观经济政策的制定提供理论和实证依据。
此外，在社会科学中，协方差和相关系数也被广泛应用于研究问卷调查数据、心理学实验数据等。
通过计算相关系数，可以了解变量之间的关联程度，进而发现变量之间的模式和趋势。
总结起来，协方差和相关系数是重要的统计工具，可以帮助我们了解变量之间的关联程度。
协方差衡量了两个变量的总体误差，相关系数则消除了变量单位的影响，更直观地反映了变量之间的线性关系。
它们的应用范围广泛，不仅在金融和经济领域有着重要作用，也在其他学科中发挥了重要的研究和分析价值。
通过深入理解和灵活运用协方差和相关系数，我们可以更好地掌握数据分析的方法，为决策和研究提供有力支持。