用频率估计概率和用列举法求概率
概率初步知识点总结
1 概率初步知识点总结
一、随机事件
1. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，概率：0<P(A)<1.
2. 必然事件：在一定条件下,必然发生的事件，概率：P(A)=1.
3. 不可能事件：在一定条件下,一定不会发生的事件，概率：P(A)=0.
二、用列举法求概率
1. 列举法求概率：
三、与面积有关的概率
1. 与面积有关的概率：积（长度）
全部结果构成的区域面长度）发生对应的区域面积（事件A A P =
)( 四、用频率估计概率
1. 用频率估计概率：在大量重复实验条件下，事件发生的频率在某一常数附近摆动可用其频率估计概率.。
北师大版九年级数学上册第三章 概率的进一步认识用频率估计概率
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
n
00
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
n
(1)请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近
0.6 （精确到 0.1）； (2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) =
0.6 .
的概率是多少? 口袋中有 3 个红球、7 个白球，共 10 个球，则随机 摸出红球的概率是 3 .
10
一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果， 事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的 概率为：P A m
n
(2)一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜 色外都相同. 如果不将球倒出来数，那么你能设计一 个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？ 方案：每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球 放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理 论概率.
练一练
1. 判断正误
（1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全
部是正面，则正面向上的概率是 1.
错误
（2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5
附近.
正确
（3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取
1000 只灯泡，一定有 10 只次品.
错误
想一想 (1) 一个口袋中有 3 个红球、7 个白球，这些球除颜色 外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球
抽屉原理：把 m 个物品任意放进 n 个空抽屉里( m >
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题38 概率 (解析版)
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选 D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
变式 1-2（2022·四川德阳·统考中考真题）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．明天太阳从东方升起
C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【答案】B
【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答．
【详解】A．抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；
B．太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；
数与总情况数之比． 考查题型二 判断事件发生可能性的大小
典例 2（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，一张圆桌共有 3 个座位，甲、乙，丙 3 人随机坐到这 3 个座
位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A． 1 3
【答案】D
B．
Hale Waihona Puke 1 2C．2 3
D．1
【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的选项．
包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为
（
），
其中 P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件)。 利用列举法求概率 １）直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。 ２）列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常 采用列表法。 ３）树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用树状图法求概率。 利用频率估计概率
人教版九年级数学上册教案《用频率估计概率》
《用频率估计概率》《用频率估计概率》是《概率初步》这一章的最后一节内容，它是在学习了概率和用列举法求概率的基础上，进一步探究用试验的方法利用频率来估计非等可能事件的概率，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。
本节教材一开始设置了一个投币试验，首先要求学生亲自动手试验获得数据，从数据中发现规律；同时又给出历史上投币试验的众多数据，为学生发现规律提供帮助。
通过学生的亲手试验和历史数据，学生可以用已有的统计知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率大小。
可以发现，在重复投掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0。
5左右摆动，随着投掷次数的增加，频率会呈现出一定的稳定性，这个稳定值与用古典概型求出的概率是一致的，从而说明用频率估计概率方法的合理性。
由于用频率估计概率不受随机试验中结果种数有限和各种结果发生等可能的限制，所以它的适用的范围比列举法求概率要大得多。
【知识与能力目标】1、能够通过随机试验，获得事件发生的频率；2、知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了解频率与概率的区别与联系。
【过程与方法目标】通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法。
【情感态度价值观目标】利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。
【教学重点】通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
【教学难点】对大量重复试验得到频率的稳定值的分析。
多媒体课件、教具等。
一、创设情境，引入新课 问题1 回答下列问题：（1）用列举法求概率的条件是什么？ （2）用列举法求概率的方法是什么？ （3）在P (A )＝nm，P (A )的取值范围是什么？ （4）常用的列举试验结果的方法有哪些？归纳：（1）用列举法求概率的条件是：①每次试验中，可能出现的结果是有限的；②每次试验中，各种结果发生的可能性相等。
（2）每次试验中，有n 种可能结果（有限个），发生的可能性相等；事件A 包含其中m 种结果，则P (A )＝nm 。
义务教育课程标准实验教科书九年级 上册利用频率估计概率
369 662 1335
0.923
0.883 0.890
400 750 1500
360 641 1275
0.9 0.855
0.850
3500
3203
0.915 3500
2996
0.856
7000 14000
6335 12628
0.905 0.902
7000 14000
5985 11914
0.855 0.8510.来自03 0.101400
39.24
0.098
450
44.57
0.099
500
51.54
0.103
某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘,
如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元,那么在出售
柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比
较合适?
某水果公司以2元/千克的成本新进了 柑橘总质 损坏柑橘质 柑橘损坏
• 3.在有一个10万人
的小镇,随机调查 • 解:
了2000人,其中有 • 根据概率的意义,可以
250人看中央电视 认为其概率大约等于
台的早间新闻.在 250/2000=0.125.
该镇随便问一个人, • 该镇约有
他看早间新闻的概 100000×0.125=12500
率大约是多少?该
人看中央电视台的早间
知识应用
2、如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏, 如果随机掷中长方形的300次中，有100次是落在不规则图 形内. (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150,试估计不规则图形的面积.
【拓展】 你能设计一个利用频
率估计概率的实验方法估 算该不规则图形的面积的 方案吗?
(人教版)九年级数学：v 用频率估计概率
三、研学教材
知识点二
概率的综合应用
问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条 件的移植成活率，就采用什么具体做法？
分析：幼树移植成活率是实际问题中的 一种 概率 ，成活率要由 频率 去估计.
三、研学教材
解：在同样的条件下，对这种幼树进行大 量移植随着移植数n会越来越大，频率 会越来越 稳定 .于是就可以把频率 . 作为 成活率 的估计值。
三、研学教材
0.94 0.923 0.883 0.905 0.897
通过左边的 模拟统计表 ，估计幼学教材
知识点三
问题2 某水果公司以2元/kg的成本价 新进10 000kg柑橘.如果公司希望这些 柑橘能够获得利润5000元，那么在出 售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千 克大约定价为多少元比较合适？
三、研学教材
练一练 1. 从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质 量检查，结果发现有5个是次品，那么从中 任取一个是次品的概率约为（ B ） A B C D
2.某农科所在相同条件下做某作物种子发 芽率的实验，结果如下表所示 （结果保留小数点后三位）：
广东省怀集县连麦镇初级中学 文丽嫦
三、研学教材
广东省怀集县连麦镇初级中学
文丽嫦
分析：用什么办法估计柑橘的损坏率？ 随着统计的频率越来越稳定，柑橘的损坏 率为 0.1 ，则柑橘的完好概率为 0.9 。 实际成本 解：设每千克柑橘的售价为x元， 0.9 2.8 答：出售柑橘时，每千克定价为大约 2.8 元 可获利润5000元
广东省怀集县连麦镇初级中学 文丽嫦
三、研学教材
知识点一
试验 把全班同学分成10组，每组同学 抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的 试验数据，并完成下表.
三、研学教材 请根据试验所得的数据想一想：“正面向 上”的频率有什么规律？ 实验结论: 当抛硬币的次数很多时，出现正面向上 的频率值是稳定的,接近于常数 0.5 ,在 它附近摆动。 思考 随着抛掷次数的增加，“正面向上” 的频率的变化趋势是什么？
《用频率估计概率》教案
《用频率估计概率》教案教学目标知识与技能1.理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.2.了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.过程与方法通过做抛掷硬币试验，让学生体会到为什么可以用频率来估计概率.情感态度通过本节课学习，让同学们体会到科学来源于实践的道理，激发他们动手、动脑、探究、归纳的兴趣和欲望.教学重点了解用频率估计概率的必要性和合理性.教学难点大量重复试验得到频率值的分析，对频率与概率之间关系的理解.教学过程一、情境导入，初步认识同学们口答下列几个问题.(1)用列举法求概率的条件是什么？(2)用列举法求概率的公式是什么？(3)常用的列举法有哪几种方法？二、思考探究，获取新知1.用频率估计概率活动探究1①将学生分小组完成教材P134“做一做”活动具体做法是：将全班学生分成几个小组，每小组里面选定两名同学抛硬币，其余的同学记录试验结果，完成“教材做一做”中的统计表和统计图.②将各小组完成的统计表和统计图进行交流或展示，让同学们从中发现有什么共同点，从而完成“做一做”中的(3)、(4).归纳：①随着掷硬币次数的增加，“正面朝上”的频率稳定在12左右.②通过大量的重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.2.用模拟试验求各种可能结果发生的可能性不相等事件的概率.【教学说明】①对于掷硬币试验，它的所有可能结果是有限的，只有两个，而且出现两种结果的可能性相等，可以用前面所学的方法求概率.②对于一般的随机事件，当试验所有的可能结果不是有限个，或者各种结果发生的可能性不相同的，就不能用前面所学的方法求其概率.活动探究2教材P135做一做——抛瓶盖试验【教学说明】①问：瓶盖与硬币有什么不同？②试验的方法和过程与［活动探究1］一样分小组完成.归纳：在同样条件下，大量重复实验时，如果事件A发生的频率mn稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P(A)=P.【教学说明】频率与概率的区别和联系.1.频率和概率都是刻画随机事件发生可能性大小的量.2.频率与试验次数及具体试验有关，具有随机性.3.概率是刻画随机事件发生可能性大小的，是一个固定值，不具有随机性.4.每次试验的可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率.3.例题讲解例:瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”.由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计.例2一粒木质中国象棋“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：(1)请将数据表补充完整；(2)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【分析】利用“频率=事件发生的次数÷实验次数”完成表格，将表格对应转化成折线图，结合折线图估计事件概率.解：(1)18，0.52，0.55.(2)频率分布折线图如下：(3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，即P(“兵”字面朝上)=0.55.三、运用新知，深化理解1.关于频率与概率的关系，下列说法中正确的是( )A.频率等于概率B.当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D.试验得到的频率与概率不可能相等2.在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种球共20只，某学习小组做摸球实验，每次摸完再把它放回袋中，不断重复，下表是一次摸球实验的一组统计数据：(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少？假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=________.(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有_______只，________只.【教学说明】学生自主完成以上题目.【答案】1.B2.(1)0.6 (2)812练习题：如课本图是一个能自由转动的转盘，盘面被分成8个相同的扇形，颜色分为红、黄、蓝三种.转盘的指针固定，让转盘自由转动，当他停止后，记下指针指向的颜色.如此重复50次，把结果记录在表中.(1)是估计当圆盘停下时，指针指向黄色的概率是多少？(2)如果自由转动圆盘240次，那么指针指向黄色的次数大约是多少？四、师生互动，课堂小结1.本节课主要学习了用频率估计概率的条件和方法.2.通过本节课的学习你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.课后作业1.教材P138练习.2.完成同步练习册中本课时的练习.。
树状图和表格法求概率
树状图和表格法求概率知识点一利用频率估计概率1、在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.2、我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.注意：（1）在试验时应注意试验的随机性；（2）要保证足够多的试验次数，随着试验次数的增加，频率的“波动”就会越小，即趋于相对稳定的状态；（3）得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值.我们可以用频率来估计概率，但是不能说频率等与概率，区别在于：频率是通过多次试验而得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性.3、频率与概率的联系：利用频率估计概率：在进行大量试验时，随着试验次数的增加，一个不确定事件的发生的频率逐渐稳定到某一个数值，在这个数值附件摆动，这个数值便是，因此可以用平稳时的频率来估计这个事件发生的概率。
利用概率指导频率：频率的合理性和科学性依赖于概率理论的严密性。
4、频率与概率的区别：1）概念不同：每个对象出现的次数与总次数的比值称为。
刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的。
2）意义不同：频率所描述对象可以是确定事件，也可以是不确定事件。
概率所描述对象通常为不确定事件。
3）性质不同：频率是试验统计值，是随着试验次数的变化而不断变化的。
概率是不确定事件本身所固有的特性，是不确定事件的一种内部规律，其数值是固定的，不随着试验次数的变化而变化。
注意：频率是变化的，概率是固定的。
二者存在一定的偏差，频率的值无限接近于概率的值。
5、利用频率估计概率可以估算数学或实际生活中的不能或不易直接获得的数值。
6、用抽取法估计数目两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录其中某一个颜色的球出现的次数，利用频率估计概率估算这一颜色球的数量。
依据：重复多次试验时，试验频率约等于概率。
（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一个颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复上述过程，摸一定的次数，求出这个颜色球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数量。
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(1)计算表中优等品的各次频率；
(2)估计该厂生产的电视机优等品的概率是多少？ 【解析】(1)各次优等品的频率为: 0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954. (2)估计优等品的概率是0.95.
4.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数(n) 击中靶心次数(m) 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455
体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
例.在有一个10万人的小镇,随机调查了2 000人,其中有
250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他 看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新
闻的大约是多少人?
【解析】根据概率的意义,可以认为其概率大约等于 250/2 000=0.125.
该镇约有100 000×0.125=12 500（人）看中央电视台的早
成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870
0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
m n
)
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微 小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量
重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦
称大数定律.
间新闻.
1.经过大量试验统计,香樟树在我市的移植的成活率为95%. (1)吉河镇在新村建设中栽了4000株香樟树,则成活的香樟 树大约是________株. 3 800 (2)双龙镇在新村建设中要栽活2850株香樟树,需购幼树 ______株. 3 000
2.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球各若干 个,每个球除了颜色外没有任何区别.
用频率估计概率
某林业部门要考查某种幼树在一定条件下 的移植成活率,应采用什么具体做法? 观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈你的看法．
移植总数（n） 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
(1)计算表中击中靶心的各个频率； (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？ 0.9
ห้องสมุดไป่ตู้
弄清了一种关系——频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,某一事件
发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用某 一事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 了解了一种方法——用多次试验频率去估计概率
7000
9000 14000
6335
8073 12628
做
7
0.5 则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率为＿＿
0.9 则估计油菜籽发芽的概率为＿＿＿
一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能 结果发生的可能性相等时,可以用
Ｐ(Ａ)＝
m n
的方式得出概率.当试验的所有可能结果不是有限 个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是 通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重 复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估 计这个事件发生的概率.
成活的频率 ( 0.8
m n
)
50 47 0.94 900 1.林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活_______棵. 270 235 0.870 2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少 0.923 400 369 556 向林业部门购买约_______棵. 0.883 750 662 1500 3500 1335 3203 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
(1)小王通过大量反复试验(每次取一个球,放回搅匀后再取)
发现,取出黑球的概率稳定在25％左右,请你估计袋中黑 球的个数； 5个
(2)若小王取出的第一个是白球,将它放在桌上,从袋中余下 的球中再任意取一个球,取出红球的概率是多少?
6 19
3.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下： 抽取台数 优等品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1 000 954
频率稳定性定理
由频率可以估计概率是由瑞士数学 家雅各布·伯努利（1654－1705）
最早阐明的，因而他被公认为是概
率论的先驱之一．
0.9 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆 动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．
移植总数（n） 10 成活数（m） 8