最新三次参数样条曲线
三次样条插值算法详解
S(x0)M0 S(xn)Mn
M0 Mn 0时，称为自然边界条件
故得：
S(x0)h602 (y1y0)h40 m 0
2 h0
m1
M0
S(xn)h6n21(ynyn1)
2 hn 1
mn 1
4 hn 1
mn
Mn
19
稍加整理得
2m0m13y1h0y0h20M0 g0 m n12m n3ynh n y 1n1hn 21M n gn
4
（1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多 项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法 定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用 边界条件给出！
5
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件:
i0,1,2,....n..1,
称为三次样条插 值问题三转角公
式！
23
例1. 对于给定的节点及函数值
xk 1 2 4 5 f (xk ) 1 3 4 2
求满足自然 S(x0边 )S界 (xn)条 0的件 三次样 插值S函 (x)并 ,数f求 (3)的近似值
解: 这是自然边界条件下的样条问题。
k
hk
x l im x iS (x ) S (x i 0 ) h 6 i2(y i 1 y i) h 4 im i h 2 im i 1 x l im x i S (x ) S (x i 0 ) h i2 6 1 (y i y i 1 ) h 2 i 1 m i 1 h 4 i 1 m i
14
由于在内部节点处二阶导数连续条件：
三次样条插值函数的求法
一种参数三次样条曲线光顺优化算法
满意 ，这样 ，对 曲线或 曲面 进行 光顺 ，就 显得 至
关重要。就 曲线而言，光顺法可以分为优化法和
点” 然后生成光顺曲线； ， 但是， 这种光顺法也有
收稿 日期 ：２０ — １１ ０９ １—０
基 金项 目：陕 西省 教育 厅基 金资助 项 目 （８Ｋ ３ ；０Ｊ ７ ８ ０ Ｊ ４ ５ ９Ｋ ２ ）
一
偏差尽量小，此算法简单易行，计算量较小。
的ｃｆ， （ 在本文中， ） 采用自 端点条 由 件，即
＝ ＝
１ 参数 三次样条 曲线及其求解
令ｃｆ是插值点（， ） ： ，…，） （ ） ｔｅ （ ０ ， 的参三 ｉｉ ｉ ｌ
次数样 条 曲线 ，这 里采 用弦 长参 数化
，
０，相应的曲线ｃ（ 称为自然样条曲 ｆ ）
％
（ ） ６
１
Ｃｎ ／
一
１
２ ２ ｈ １ ｎ
一
ｂ ｌ
—
Ｍ ＂１
一
３
一
一
１
一
４
ｈ １
一
Ｍｎ
２
有皇， 式 的 ，… ２ 点 的 别 唯 解墨嘉到 ， 坏 ，判 一 求 （把 解 ６得 ） ， ，
有唯
、 日． ｕ力 Ｉ Ｊ Ｊ
，
代 入式 （） 可求出ｃｔ。 ２， （ ）
对曲 进行 线 光顺， 必须 具体的 顺 首先 给出 光
第３ 期
章虎冬 ：一种参数三次样条 曲线光．优化算 法 １ ｌ ｌ 页
来找 出坏 点 。
３ 算法原理
（ ） Ｋ ｅｌ ｄ ｒ １ ｊｌ ｎ ｅ 方法 ａ 设 Ｐ（） ｔ 是插 值 于 型值 点 列 （ ０１… ，） ，， ／ ／ ／
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。
那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。
要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。
简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。
您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。
如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。
但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。
三次样条曲线有几个重要的特点。
首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。
这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。
其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。
这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。
比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。
桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。
通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。
再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。
它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。
回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。
每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。
总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。
怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
Opencv三次样条曲线（CubicSpline）插值
Opencv 三次样条曲线（CubicSpline ）插值本系列⽂章由 @YhL_Leo 出品，转载请注明出处。
⽂章链接：1.样条曲线简介样条曲线()本质是分段多项式实函数，在实数范围内有：，在区间上包含个⼦区间，且有：对应每⼀段区间的存在多项式： ，且满⾜于：其中，多项式中最⾼次项的幂，视为样条的阶数或次数（Order of spline ），根据⼦区间的区间长度是否⼀致分为均匀（Uniform ）样条和⾮均匀（Non-uniform ）样条。
满⾜了公式的多项式有很多，为了保证曲线在区间内具有据够的平滑度，⼀条次样条，同时应具备处处连续且可微的性质：其中 。
2.三次样条曲线2.1曲线条件按照上述的定义，给定节点：三次样条曲线满⾜三个条件：1. 在每段分段区间上，都是⼀个三次多项式；2. 满⾜;3. 的⼀阶导函数和⼆阶导函数在区间上都是连续的，从⽽曲线具有光滑性。
则三次样条的⽅程可以写为：其中，分别代表个未知系数。
曲线的连续性表⽰为：其中。
曲线微分连续性：其中。
曲线的导函数表达式：令区间长度，则有：S:[a,b]→R [a,b]k [,]t i−1t i a =<<⋯<<=bt 0t 1t k−1t k (1)i :[,]→R P it i−1t i S(t)=(t) , ≤t <,P 1t 0t 1S(t)=(t) , ≤t <,P 2t 1t 2⋮S(t)=(t) , ≤t ≤.P k t k−1t k (2)(t)P i [,]t i−1t i (2)S n ()=();P (j)i t i P (j)i+1t i (3)i =1,…,k −1;j =0,…,n −1t :z :a =t 0z 0<t 1z 1<⋯⋯<t k−1z k−1<t k z k=b(4)[,],i =0,1,…,k −1t i t i+1S(t)=(t)S i S()=,i =1,…,k −1t i z i S(t)(t)S ′(t)S ′′[a,b](t)=+(t −)+(t −+(t −,S i a i b i t i c i t i )2d i t i )3(5),,,a i b i c i d i n ()=,S i t i z i (6)()=,S i t i+1z i+1(7)i =0,1,…,k −1()=(),S ′i t i+1S ′i+1t i+1(8)()=(),S ′′i t i+1S ′′i+1t i+1(9)i =0,1,…,k −2=+2(t −)+3(t −,S ′i b i c i t i d i t i )2(10)(x)=2+6(t −),S ′′i c i d i t i (11)=−h it i+1t i(6)1. 由公式，可得：；2. 由公式，可得：；3. 由公式，可得：;； ；4. 由公式，可得：； ； ；设，则：A.；B.将代⼊；C.将代⼊2.2端点条件在上述分析中，曲线段的两个端点和是不适⽤的，有⼀些常⽤的端点限制条件，这⾥只讲解⾃然边界。
三次B样条曲线
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
计算机图形学 抛物及三次样条曲线
第六章 曲线
一为什么要学习曲线? (用曲线能作什么?) 应用很广泛: 汽车制造,多媒体应用,飞机外形设计, 计算机辅助设计等方面被大量使用. 如: 用B样条曲线绘制汽车. 用抛物样条曲线绘制鱼(靠型值点来画)
二 汽车的传统设计方法和计算机辅助设计方法的比较: 汽车的制造过程: 1 素描车身草图，挑选其中的最佳方案。
6.2 曲线表示的基础知识:
一 曲线的表示方法:
1．显示方式：
一条平面曲线的一般式：
y=f (x)
如正弦曲线:f=sin(x)
一条直线的一般式：
y=m*x+b
特点：一个x表示一个y.
2．隐式方式：
一条平面曲线的一般式：
f (x, y)=0
一条直线的一般式:
ax+by+c=0
一个圆心在原点的圆：
x2+y2+1 =0
特点：与坐标轴无关，仅与参数有关，易于编程。
例如：圆的参数方程：x=cosθ, y=sinθ 绘制的1/4圆的各点弧长相等，见下图a。 以显示方式绘制的1/4圆的各点弧长不等，见下图b。
a
b
用参数方程可以非常均匀地画出来 即:参数方程控制形状的能力强
X等分取,y值不均匀
分析： 参数方程与非参数方程的比较：
和Δc（弧长变化量）， 通常使用|Δφ/Δc来衡量弯曲程度。 曲线P(c)在r点的曲率为：k=lim|Δφ/Δc| 曲率半径：ρ= 1/ k
曲率大，则曲率半径小，曲线弯曲得厉害，如A点； 曲率小，则曲率半径大，曲线弯曲得不厉害，如B点。 圆的曲率半径等于它的半径。
B
A
(四) 型值点和控制点:
型值点: 通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状 的数据(如:鱼)
三次H-Cardinal样条曲线及曲面
ｐ ａ ｔｒ ． ｒ ａ ｍｅｅ ｓ
ａ ｄ ｔｅ ｌ ｔ ｇ ｃ ｓ ｏ ｎ ｈ ｉ ｉ ａｅ ｆ ｍｉ ｎ
０ ｓ Ｃａｄｎ ｌｓ ｌ ｅ ｕｖ ｓ ｕ ｆｃ ｓ ｒｅ ｉ ｒ ｉａ ｐｉ ｃ ｒ ｅ ．Ｓ ｒａ ｅ ａ ｎ
ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ｗｉ ｅ ｏ ｒ ｄ ｃ ｔ ｏ ｎ ｔ ｒ ｐ ｒｉ ｓａｅ ａ ｌ ｇ ｔ ｈ ｕ ｅ ． ｎ ｅ ｔ ｅ ｏ ｓｒ ｃｅ ｔ ｔｎｓ ｒｐ ｏ ｕ ｔｍｅ ｄ ａ ｄ ｉｓｐ ｏ ｅ ｔｅ ｎａｏ ｙ ｗｉ ｔｅ ｃ ｒ ｓ Ｈｅ ｃ ， ｈ ｈ ｈ ｒ ｈ ｖ
２０ ｏ ８年
工 程 图 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＧＲＡＰ ＣＳ ＨＩ
２０ ０ ８
ＮＯ． ５
第 ５期
三 次 Ｈ． ａｄｎ ｌ 条 曲线及 曲面 Ｃ ｒ ｉａ 样
吴晓勤 ， 韩旭里２ 罗善 明 一 ，
（． １ 湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南 湘潭 ４ １０ ；２ 中南大学数学科学与计算技术学院，湖南 长沙 ４０ ８ １２ １ ． １０ ３ ３ ．湖南科技大学机 电工程学院，湖南 湘潭 ４ １０ ） １２ １
ｄ ｓｒ ｄ ｃ ｒ ｅ ｎ ｉ ｈｔ ｅ ｓ ｓｅ ｆＨ— ｕ ｖ ｓ ｅ ｉｅ ｕ ｖ ｓｅ ｒｃ ｈ ｙ ｔｍ ｏ ｃ ｒ ｅ ．
Ｋｅ ｒ ： ｏ ｕ ｅ ｐ ｌｃ ｔ ｎ； － ｒ ｔ ｏ ｙ ｏ ａｓ Ｈ－ ｒｄｉａ ｐ ｉｅ ｉ ｔｒ ｏ ａｉ ｎ ｙｗｏ ｄｓ ｃ ｍｐ ｔｒａ ｐ ｉ ａｉ Ｈ・ ｍｉｅｐ ｌ ｎ ｍｉｌ； － ｏ Ｈｅ Ｃａ ｎ ｌ ｌ ； ｎ ｅｐ ｌ ｔ ｓ ｎ ｏ
三次 Ｃ 曲线是用 ｛ｉ ｔ Ｏ ｔ ， 为基底构 一 ｓ ， Ｓ， １ ｎ ｃ ｆ）
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解决问题的思路
插值 三次样条曲线 三次参数样条曲线
________________________________ __________________
三次样条曲线-定义
对于给定的n个型值点Pi(xi,yi),且hi=xi+1-xi>0, i=1,2,…,n， 若y=S(x)满足下列条件： (1) 在Pi(xi,yi)点上有yi=S(xi)； (2) S(x)在[x1 , xn]上二阶连续可导； (3)在每个子区间[xi , xi+1]上，S(x)是x的三次多项式； 则称S(x)为过型值点的三次样条函数，由三次样条函数 构成的曲线称为三次样条曲线。
M - M =0; n-1
n
________________________________
__________________
三次样条曲线-程序
程序演示
________________________________ __________________
三次参数样条曲线
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条三次参数样条曲线插值
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1;
λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
M + 2M =6[ y -( y - y )/ h ]/ h ; '
n-1
n__________n_________n______n__-_1____ n-1
y1" =y2" ，yn-1" =yn" S1" (x1)=2c1= S2" (x2)= 2c2
=>M1= M2 Sn-2" (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1" (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1
=>Mn-1= Mn 得方程组：
M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
M1=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
Mn=0;
________________________________ __________________
三次样函数的端点条件
(3)抛物端：
曲首线尾的两首段尾曲两即曲线在
三次参数样条曲线
________________________________ __________________
问题提出
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条曲线光滑连接
p2
pn
p3 p1
p4
________________________________ __________________
p2
pn
p3 p1
p4
________________________________ __________________
n-1
__________________
三次样函数的端点条件
(2)自由端：
端点处曲线二阶导数为零
即S1" (x1)=y1"=0 , Sn-1" (xn)=yn"=0 亦即 S1" (x1)= 2c1=0；=>M1=0
Sn-1" (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0；=> Mn=0 得方程组：
________________________________ __________________
三次样函数的形式推导
从而有：
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
(3)要求曲线在二阶连续可导，则有
Si' (xi+1)= Si+1' (xi+1) Si" (xi+1)= Si+1" (xi+1) 从而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1
2ci+6di hi=2ci+1 (求di) (4)令Mi=2ci; 则有：
ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6)
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
Sn-1' (xn)=yn' 亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6)
Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1 得方程组为：
________________________________ __________________
三次样函数的形式推导
由定义可知在[xi , xi+1]上，Si(x)可写成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3
ai, bi, ci, di为待定系数
(1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = ai ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（用于求bi）
(2)由Si' (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有 Si' (xi)= bi
由Si" (x)= 2ci+6di(x-xi) 有 Si" (xi)= 2ci
________________________________ __________________
三次样函数的形式推导
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
________________________________ __________________
三次样函数的端点条件
(1)夹持端： 端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6)