计算机图形学_三次参数样条曲线
计算机图形学 曲线和曲面 算法
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值是一种插值方法，用于通过一组离散点的数据生成连续的曲线。
三次样条插值算法可以通过三转角方程来实现。
三转角方程是指在每个节点处，曲线的一阶导数和二阶导数与相邻插值段的一阶导数和二阶导数相等。
该方程可以用来计算插值段的系数，从而得到连续的曲线。
三次样条插值的算法设计包括以下步骤：
1. 确定插值节点，即给定一组数据点{x_i, y_i}。
2. 计算相邻插值段的一阶导数和二阶导数。
3. 根据三转角方程，计算每个节点的插值段系数。
4. 通过插值段系数，得到连续的三次样条曲线。
三次样条插值算法的优点是可以减少插值误差，同时保持曲线的平滑性。
该算法在数值分析、计算机图形学和工程设计等领域得到广泛应用。
在实现三次样条插值算法时，需要注意以下问题：
1. 插值节点的选择会影响插值曲线的精度和平滑性。
2. 计算导数时需要使用数值差分或解析方法。
3. 三转角方程的求解可能存在线性方程组求解的问题。
总之，三次样条插值算法是一种重要的插值方法，可以用来生成平滑的曲线，具有广泛的应用前景。
Bezier曲线和样条曲线的生成算法
计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。
2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。
3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。
4、用三次B样条函数绘制曲线。
二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。
1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。
2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。
三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。
2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
origin里利用三次次样条曲线插值的方法
origin里利用三次次样条曲线插值的方法
原点（origin）是数学中的一个概念，表示一个坐标轴上的起点或者一个坐标
系的原点。
使用三次样条曲线插值的方法可以用于近似计算原点的位置。
三次样条曲线插值是一种在给定数据点之间创建光滑曲线的方法。
它通过在每
个数据点之间插入三次多项式，以使得曲线在这些点上具有连续的一阶和二阶导数。
这样可以得到一条平滑的曲线，可以用来近似原点。
三次样条曲线插值的方法可以应用于各种领域，如数学建模、计算机图形学和
信号处理等。
在数值计算中，三次样条插值可以通过插值函数的性质来保持数据的平滑性，并能够以较高的精度逼近原点的位置。
要使用三次样条曲线插值的方法来计算原点，首先需要确定要插值的数据点。
然后，使用插值算法计算出三次样条曲线的解析表达式或数值近似。
最后，通过对解析表达式或数值近似进行求解，可以获得原点的位置。
需要注意的是，三次样条曲线插值是一种近似方法，得到的原点位置可能会存
在一定的误差。
因此，在实际应用中，需要综合考虑误差范围和计算复杂度等因素。
总之，利用三次样条曲线插值的方法可以近似计算原点的位置。
这种方法在数
学和计算领域有广泛应用，并且可以通过合适的数据点和插值算法来提高近似的精度。
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。
那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。
要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。
简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。
您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。
如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。
但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。
三次样条曲线有几个重要的特点。
首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。
这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。
其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。
这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。
比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。
桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。
通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。
再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。
它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。
回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。
每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。
总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。
怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。
三次b样条曲线rrt算法详解
三次b样条曲线rrt算法详解三次B样条曲线是一种常用于曲线插值和平滑的数学方法。
而RRt 算法是一种基于树结构的路径规划算法。
本文将详细介绍三次B样条曲线和RRt算法的原理及应用。
我们先来了解一下三次B样条曲线。
B样条曲线是一种由多个控制点确定的曲线，它具有良好的局部性质和平滑性。
而三次B样条曲线是指B样条曲线中每个控制点的自由度为3，即可以确定一个点的位置和两个方向。
这使得三次B样条曲线更加灵活和精确。
三次B样条曲线的构造过程可以简单描述为以下几步：首先，根据给定的控制点，确定每个控制点的位置和方向。
然后，通过插值或逼近的方法，计算出曲线上的所有点的坐标。
最后，根据需要，可以对曲线进行平滑处理或者进行局部调整。
三次B样条曲线的应用非常广泛。
在计算机图形学中，它常用于曲线的绘制和形状的变形。
在工程设计中，它常用于曲线的建模和路径规划。
在动画制作中，它常用于曲线的运动轨迹生成。
总之，三次B样条曲线是一种非常重要和实用的数学工具。
接下来，我们来介绍一下RRt算法。
RRt算法是一种基于树结构的路径规划算法，它通过不断扩展树结构来搜索最优路径。
RRt算法的基本思想是从起点开始，随机采样一个点，然后通过最近邻搜索找到树中离该点最近的节点。
然后，利用运动模型或者其他方法，将该点与最近节点连接起来，形成一条新的路径。
不断重复这个过程，直到找到终点或者达到搜索次数的限制。
RRt算法的优点是可以在高维空间中搜索最优路径，适用于复杂环境和非线性约束。
它也可以用于动态环境下的路径规划，通过不断更新树结构来适应环境的变化。
此外，RRt算法还具有较好的实时性能，可以在较短的时间内找到可行路径。
RRt算法的应用非常广泛。
在机器人领域，它常用于自主导航和路径规划。
在无人机领域，它常用于航迹规划和避障。
在虚拟现实和游戏开发中，它常用于角色行为的规划和控制。
总之，RRt算法是一种非常重要和实用的路径规划算法。
三次B样条曲线和RRt算法是两种不同领域的数学方法，分别用于曲线插值和路径规划。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
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三次样条函数曲线的端点条件 (2)自由端： 端点处曲线二阶导数为零 即S1" (x1)=y1"=0 , Sn-1" (xn)=yn"=0 亦即 S1" (x1)= 2c1=0；=>M1=0 Sn-1" (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0；=> Mn=0 得方程组： M1=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn=0;
三次样条函数曲线的形式推导
从而有： ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1] 可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di， 其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
三次样条曲线
问题提出
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条曲线光滑连接
p2 p3 p1 p4
pn
解决问题的思路
插值 •三次样条曲线插值 •三次参数样条曲线插值
三次样条曲线-定义
对 于 给 定 的 n 个 型 值 点 Pi(xi,yi), 且 hi=xi+1-xi>0, i=1,2,…,n，若y=S(x)满足下列条件： (1) 在Pi(xi,yi)点上有yi=S(xi)； (2) S(x)在[x1 , xn]上二阶连续可导； (3)在每个子区间[xi , xi+1]上，S(x)是x的三次多项式； 则称 S(x) 为过型值点的三次样条函数，由三次样条函 数构成的曲线称为三次样条曲线。
Di=6/(hi-1+hi) *[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
λi+μi=1
(1)夹持端： 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1; (2)自由端： M1=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn=0; 3)抛物端： M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1 - Mn=0;
？？？？
• OK?!
三次参数样条曲线
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条三次参数样条曲线插值
p2 p3 p1参数样条曲线的表达式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0<=t<=tm 在两点p1,p2之间定义一条该曲线（参数形 式） 令p1t=0; p2t=t2; 已知： p’1， p’2 代入方程可得方程系数B1\B2\B3 \B4
三次参数样条曲线
求三次参数样条曲线的表达式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0<=t<=tm (1)给点pi（i=1,…,n） (2)给端点条件 (3)解方程求各点切矢量； (4)计算各段系数（取ti+1为第i段直线段长） (5)根据参数给各段曲线
p2 p3 p1 p4 p5
三次样条函数曲线的求解条件
已知: (1)n个数据点Pi(xi,yi),i=1,…,n (2)每一段都是三次的多项式函数曲线 (3)节点达到二阶连续 (4)两个端点的特性(固定端\抛物端\自由端) 根据给定点求每段曲线的具体表达式
三次样条函数曲线的形式推导
由定义可知在[xi , xi+1]上，Si(x)可写成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3 ai, bi, ci, di为待定系数 (1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = a i ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（用于求bi） (2)由Si' (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有 Si' (xi)= bi 由Si" (x)= 2ci+6di(x-xi) 有 Si" (xi)= 2ci
三次样条函数曲线的求解方法
已知: (1)n个数据点 Pi(xi,yi),i=1,…,n (2) 每一段都是三次的多项 式函数曲线 (3)节点达到二阶连续 曲线: Si(x)=ai+bi(x-xi) +ci(x-xi)2+di(x-xi)3 Mi=2ci: ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi - hi(Mi/3+ Mi+1/6)
三次样条函数曲线的端点条件
(3)抛物端： 曲线的首尾两段S1(x) 和Sn-1(x)为抛物线。即曲线在 首尾两段曲线上二阶导数为常数。 y1" =y2" ，yn-1" =yn" S1" (x1)=2c1= S2" (x2)= 2c2 =>M1= M2 Sn-2" (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1" (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1 =>Mn-1= Mn 得方程组： M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1 - Mn=0;
三次样条函数曲线的形式推导
(3)要求曲线在二阶连续可导，则有 Si' (xi+1)= Si+1' (xi+1) Si" (xi+1)= Si+1" (xi+1) 从而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1 2ci+6di hi=2ci+1 (求di) (4)令Mi=2ci; 则有： ai = y i ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6)
连 续 的 三 次 参 数 样 条 曲 线
ti1 ti2 令: B 3( ( pi2 pi1) ( pi1 pi )) ti2 ti1 有 pi i [ti2 2(ti2 ti|1) ti1] pi1 B i 1,, n 2 pi2
三次样条函数曲线的端点条件
(1)夹持端： 端点处一阶导数已知，即 S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1 Sn-1' (xn)=yn' 亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6) Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1 得方程组为： 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1;
三 次 参 数 样 条 曲 线 推 导
对pi , pi1段有
3( pi1 pi ) 2 pi pi1 2 pi (t) pi pit [ ]t 2 ti1 ti1 ti1 2( pi pi1) pi pi1 3 [ 2 2 ]t 3 ti1 ti1 ti1 0 t ti1
i
式中： p’i 第i点的切矢量为未知 数，(i=1,…，n) 求解n个未知数，要n个方程
连续的三次参数样条曲线端点条件
(1)夹持端 pn 已知 p1 方程为 : [ti2 pi Bi i 1,, n 2 2(ti2 ti|1) ti1] p i1 pi2
p1 p2
三 次 参 数 样 条 曲 线 推 导
p ( 0 ) p1 B1 p ( 0 ) B 2 p1 2 3 p ( t 2 ) p 2 B1 B 2 t 2 B 3 t 2 B4t 2 2 p ( t 2 ) B 2 2 B 3 t 2 3 B 4 t 2 p2 p2 3 ( p 2 p1 ) 2 p1 B3 2 t2 t2 t2 p2 2 ( p1 p 2 ) p1 B4 2 2 3 t2 t2 t2 从而有 ： p2 2 3 ( p 2 p1 ) 2 p1 t [ ]t p ( t ) p1 p1 2 t2 t2 t2 p2 3 2 ( p1 p 2 ) p1 [ 2 2 ]t 3 t2 t2 t2
三 次 参 数 样 条 曲 线 端 点 条 件