第五章 参数样条曲线曲面
样条曲线的使用方法
5.5创建高级曲线曲线作为构建三维模型的基础，在三维建模过程中有着不可替代的作用，尤其是在创建高级曲面时，使用基本曲线构造远远达不到设计要求，不能构建出高质量、高难度的三维模型，此时就要利用UG NX中提供的高级曲线来作为建模基础，具体包括样条曲线、双曲线、抛物线、螺旋线等。
5.5.1样条曲线样条曲线是指通过多项式曲线和所设定的点来拟台曲线，其形状由这些点来控制。
样条曲线采用的是近似的创建方法，很好地满足了设计的需求，是一种用途广泛的曲线。
它不仅能够创建自由曲线和曲面，而且还能精确表达圆锥曲面在内的各种几何体的统表达式。
在UG NX 中，样条曲线包括般样条曲线和艺术样条曲线两种类型。
1．创建一般样条曲线一般样条曲线是建立自由形状曲面（或片体）的基础。
它拟合逼真、彤状控制方便，能够满足很人一部分产品设计的要求。
一般样条曲线主要用来创建高级曲面，广泛应用于汽车、航空以及船舶等制造业。
在“曲线”工具栏中单击“样条”按钮～，打开“样条”对话框，如图5-30所示。
在该对话框中提供了以下4种生成一般样条曲线的方式。
■根据极点该选项是利用极点建立样条曲线，即用选定点建立的控制多边形来控制样条的形状，建立的样条只通过两个端点，不通过中问的控制点。
选择“根据极点”选项，在打开的对话框中选择生成曲线的类型为“多段”，并在“曲线阶次”文本框中输入曲线的阶次，然后根据“点”对话框在绘图区指定点使其生成样条曲线，最后单击“确定”按钮，生成的样条曲线如图5-31所示。
■通过点该选项是通过设置样条曲线的备定义点，生成一条通过各点的样条曲线，它与根据极点生成曲线的最大区别在于生成的样条曲线通过各个控制点。
利用通过点创建曲线和根据极点创建曲线的操作方法类似，其中需要选择样条控制点的成链方式，创建方法如图5-32所示。
■拟合该选项是利用曲线拟合的力式确定样条曲线的各中间点，只精确地通过曲线的端点，对于其他点则在给定的误差范围内尽量逼近。
样条曲线的使用方法完整版
样条曲线的使用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】创建高级曲线曲线作为构建三维模型的基础，在三维建模过程中有着不可替代的作用，尤其是在创建高级曲面时，使用基本曲线构造远远达不到设计要求，不能构建出高质量、高难度的三维模型，此时就要利用UG NX中提供的高级曲线来作为建模基础，具体包括样条曲线、双曲线、抛物线、螺旋线等。
样条曲线是指通过多项式曲线和所设定的点来拟台曲线，其形状由这些点来控制。
样条曲线采用的是近似的创建方法，很好地满足了设计的需求，是一种用途广泛的曲线。
它不仅能够创建自由曲线和曲面，而且还能精确表达圆锥曲面在内的各种几何体的统表达式。
在UG NX中，样条曲线包括般样条曲线和艺术样条曲线两种类型。
1．创建一般样条曲线一般样条曲线是建立自由形状曲面（或片体）的基础。
它拟合逼真、彤状控制方便，能够满足很人一部分产品设计的要求。
一般样条曲线主要用来创建高级曲面，广泛应用于汽车、航空以及船舶等制造业。
在“曲线”工具栏中单击“样条”按钮～，打开“样条”对话框，如图5-30所示。
在该对话框中提供了以下4种生成一般样条曲线的方式。
■根据极点该选项是利用极点建立样条曲线，即用选定点建立的控制多边形来控制样条的形状，建立的样条只通过两个端点，不通过中问的控制点。
选择“根据极点”选项，在打开的对话框中选择生成曲线的类型为“多段”，并在“曲线阶次”文本框中输入曲线的阶次，然后根据“点”对话框在绘图区指定点使其生成样条曲线，最后单击“确定”按钮，生成的样条曲线如图5-31所示。
■通过点该选项是通过设置样条曲线的备定义点，生成一条通过各点的样条曲线，它与根据极点生成曲线的最大区别在于生成的样条曲线通过各个控制点。
利用通过点创建曲线和根据极点创建曲线的操作方法类似，其中需要选择样条控制点的成链方式，创建方法如图5-32所示。
■拟合该选项是利用曲线拟合的力式确定样条曲线的各中间点，只精确地通过曲线的端点，对于其他点则在给定的误差范围内尽量逼近。
参数样条曲线和曲面
yi′′( x) = −2mi −1
代入样条函数二阶导数表达式，整理 得： ⎡ hi+1 yi − yi −1 hi hi+1
hi + hi+1 hi
hi +1 ⎧ ⎪λi = h + h i i +1 ⎪ ⎪μ i = 1 − λi 令⎨ ⎡ ⎤ ⎪Ci = 3⎢λi yi − yi −1 + μ i yi +1 − yi ⎥ ⎪ hi hi +1 ⎦ ⎣ ⎪i = 1,2,L, n − 1 ⎩
⎧ yi ( xi −1 ) = ai + bi xi −1 + ci xi2−1 + d i xi3−1 = yi −1 ⎪ yi ( xi ) = ai + bi xi + ci xi2 + d i xi3 = yi ⎪ ⎨ yi′( xi −1 ) = bi + 2ci xi −1 + 3d i xi2−1 = mi −1 ⎪ ⎪ yi′( xi ) = bi + 2ci xi + 3d i xi2 = mi ⎩
i = 1,2,L, n
令hi = xi − xi −1，解方程组得： ⎧ (mi xi −1 + mi −1 xi ) xi xi −1 yi xi2−1 (3xi − xi −1 ) + yi −1 xi2 ( xi − 3xi −1 ) + ⎪ai = − 2 hi hi3 ⎪ ⎪b = mi −1 xi ( xi + 2 xi −1 ) + mi xi −1 (2 xi + xi −1 ) − 6( yi − yi −1 ) xi xi −1 ⎪ i ⎪ hi2 hi3 ⎨ ⎪ci = − mi ( xi + 2 xi −1 ) + mi −1 (2 xi + xi −1 ) + 3( yi − yi −1 )( xi + xi −1 ) ⎪ hi2 hi3 ⎪ m +m 2( yi − yi −1 ) d i = i 2 i −1 − ⎪ ⎪ hi hi3 ⎩
第五章Bezier曲面与B样条曲面
西安工程大学数学系
5
5.3 曲面的参数表示
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
v
u
图 曲面片
r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u, v)]
2020年5月18日星期一
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6
5.3 曲面的参数表示
r(u, v) [x(u, v), y(u,v), z(u, v)]
(0 u, v 1)
上式中 a是沿母线方向的常矢量。
a
直线段
v
u
空间曲线 r1(u)
柱面
r(u, v )
2020年5月18日星期一
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11
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面
一、Bezier（贝塞尔）曲面
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7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
2020年5月18日星期一
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
第五章Bezier曲面与B样条曲面
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
11 01
v
00 u
10
图 曲面片
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
5.3 曲面的参数表示
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
r ( u ,v ) [ x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( , u ,v )]
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui ,vj ) ，即：
r ( u i,v j) [ x ( u i,v j)y ( ,u i,v j)z ( , u i,v j)]
5.3 曲面的参数表示
❖ 例如：如下图的平面片方程为：
r ( u ,v ) r 0 a b uv ( 0 u ,v 1 )
❖ 上式中矢量 r0为平面上
一点的位置矢量，a和 b
为常矢量，且a不平行
b r(1 , 1)
于b ，该平面片是由矢
v
32
量a和 b张成的四边形。
r(u, v)
Z r0
ua
O
Y
X
平面片
eg: 当u=1/3,v=1/2时对应平 面片中一点：
u
线 r(u,v j )，即一条u线。
图-参数曲面
即参数v为定值的曲面 上的线。
5.3 曲面的参数表示
r(ui ,v)
v
r(u, v j )
r(ui ,vj )
rr(u,v)
u
图-参数曲面
❖ 上述两条参数曲线 r(ui ,v) 和 r(u,v j )的交点则是r(ui ,vj )。事 实上，用uui,vvj 代入式子
样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1) 特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2) 不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
E样条曲线的数学表达式为：nR,n(U)R* N k』(U)k^0在上式中，0 w u w 1 ; i= 0, 1,2, …,m所以可以看出：E样条曲线是分段定义的。
如果给定m+n+1个顶点Pi ( i=0, 1,2, …,m+n)，则可定义m+1段n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N,n(u)为n次B样条基函数，也称E样条分段混合函数。
其表达式为：1 n _kN k,n (u^-Z (—1)j C n j+ (u + n—k—j)nn! T式中：0 w u w 1k = 0, 1,2, …,n1 .均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点(i = 0, 1,…，n)定义n段一次(k = 0,1, n=1)均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i(u),其定义表达为：-..r . 1 ,_1 11 |Pi4 I .. -,,.R(u) = u 1II I i=1,..., n; 0 兰u 兰1]1 0」P i」=(1 - u) P i—1+ u R=N°, 1 (u) P i-1 + N1, 1 (u) P i第i段曲线端点位置矢量：Pi(0) = P s P (1) = P i，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量(i=0, 1,…，n)定义n-1段二次(k= 0,1,2, n=2)均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i (u ) (i=1 ,…，n —1),其定义表达为:匀B 样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段P i (u ) (i=1 ,。
Bezier曲线B样条曲线
是一种特殊情况
Y
0 X
5.1 曲线的参数表 示
• 向量P与时间t有关: P=P(t),就是说P是时 间t的函数。用坐标表示为 :
• 若把参数t 换成一个普通意义的参数u， 则曲线的参数形式为:
• 例如:
是一条空
• 间曲线的参数形式。
• 注: 这是一条以点(0,1,3)为起点，
(3,2,5)为终点的线段
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
• 3）三次Bezier曲线 • 当n=3时为三次Bezier曲线，此时P(t)为三
次多项式，有四个控制点，由于三次Bezier 曲线是用3根折线定义的3阶曲线，则有:
用矩阵表示为:
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最
后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处
的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形
的n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空
间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方
程其式中参(插数t的值取值公范式围为)[是 0,1]: ,i是有序集0~n中的一个整数值，表示 顶点顺序号。
但从计算机图形学和计算几何的角度来看, 还
是使用参数表示较好, 因为采用参数方法表示
曲线和曲面, 可以将其形状从特定坐标系的依
附性中解脱出来, 很容易借助计算机得以实现。
• 一个动点的u轨1 迹可以用位置向量P来描述，
如• 注下:图这所里示讨: 论的动点轨u2 迹是
Z
u
在三维空间中所表示的 曲线, 平面轨迹曲线只
是一个Bezier曲线特征多边形顶点的
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第五章参数样条曲线曲面第一节 C 1 分段三次Hermite插值2009- 08- 29 2一、参数连续性1、参数连续性与曲线光滑度对于显式函数表示的曲线，函数的可微性与曲 线的光滑度是紧密联系的。
例如：y ax b=+ 一次函数表示的直线2=++ 二次曲线y ax bx c32=+++ 三次曲线y ax bx cx d对于显示曲线，函数的C 0 ，C 1 和C 2 连续分别表 示函数的图形、切线方向、以及曲率连续。
2009- 08- 29 32009- 08- 29 4 一、参数连续性但是对于CAGD中大量涉及到的参数曲线，参数 方程的可微性与曲线的光滑性却没有必然的联系。
例如：如图的两条首尾相连的n次Bezier曲线：(1)(1)(2) 10n n b b b - == r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 1 连续的，但显然该点是个尖点，切线方向是不连续的。
2009- 08- 29 5一、参数连续性同理，如果让首尾相连的两条n次Bezier曲线的最 后三个控制顶点和最前面三个控制顶点重合，即：(1)(1)(1)(2)(2)(2) 21012n n n b b b b b b -- ===== r r r r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 2 连续的，但显然在该点处曲率是不连续的。
一、参数连续性上两个例子说明，曲线的参数连续性并不 能保证曲线的光滑性。
反过来，曲线的光滑性 也不一定需要相应的参数连续性。
例如曲线的 二阶几何连续可以保证曲线的曲率是连续的， 但这时曲线甚是连C 1 连续也不一定满足。
另外，参数曲线的参数连续性也是与曲线 的参数化有关的，同一条曲线采用不同的参 数，参数的连续性情况可能不同。
2009- 08- 29 6一、参数连续性2、组合（composite）曲线与组合曲面1）C k 连续组合曲线：分段（piecewise）连续曲 线段若在公共连接点处达到k阶参数连续，则称 该曲线具有k阶参数连续性（k－order piecewis e continuity）。
2）C k 连续组合曲面：分片（piecewise）连续曲 面片（patch）若沿曲面片的公共边界上关于一 个参数跨界达到k阶参数连续，则称该曲面线沿 该参数方向具有k阶参数连续性（k－order piec ewise continuity）。
2009- 08- 29 72009- 08- 29 8一、参数连续性3、C k连续组合曲线的含义1）C 0 连续：位置连续2）C 1 连续：位置连续及切矢连续。
3）C 2 连续：从位置连续直到二阶切矢连续。
2009- 08- 29 9二、C 1 分段三次Hermite插值1、问题：,0,1,, ,0,1,,C Herm ite i ip i n p i n = = r L r & L 1 给定数据点 以及相应的切矢，构造一条 分段三次 插值曲线，插值上述数值点及相应切矢。
解决方法：首先，要根据某种参数化方法对数据点进行 参数化，确定每一个数据对应的参数，这 样，插值条件就成为：(),()0,1,, i i i i p u p p u p i n ¢ === r r r r & L2009- 08- 29 10 二、C 1 分段三次Hermite插值[ ] 11 ,Hermite i i+ i ip p u u + r r 然后，在每两个数据点 和 之间构造参 数域 上的三次 插值曲线如下： [ ] 1 01011 1 1 ()()()()() , i i i i i i i i i i i i ip p p u F t F t G t G t u u u p pu u u u t = + + + + éù êú êú =D D ££ êú êú ëû D =- D r r r r & r & 其中： 上式即为C 1 分段三次Hermite插值曲线。
2009- 08- 2911二、C 1 分段三次Hermite插值2、C 1 参数化在上述构造C 1 分段三次Hermite插值曲线的过程中，需要提供每个数据点的位置及切矢。
但 在很多情况下，都只给出数据点的坐标，切矢需要用户提供，如何给出切矢的过程，就称为C 1 参数化。
1）方法1（FMILL方法）： 11 11iii i i i i p tp p t p p +- +- - = - r r r rr rr 设 处的单位切矢为 ，取2009- 08- 29 12二、C 1 分段三次Hermite插值按照上式的取法，有：111i i i i i i i t t p u u -+- == D +D - r r r & 将上式代入到C 1 分段三次Hermite插值曲线的表达式中，得到的样条曲线称为Catmull-Rom样 条。
2009- 08- 2913二、C 1 分段三次Hermite插值在这种方法中首末两点的切矢如何给出，并没有严格的规定，可以利用向前及向后差商作为 首末点的切矢，即：101 0 01 n n n n p p p p p p - - -- == D D r r r r r r && 2）方法2（Bessel方法）： 11 111 i i i ii i i i i i ip p p -- --- D D D D =×+× D +D D D +D D rrr &2009- 08- 29 14二、C 1 分段三次Hermite插值11 111 i i i i i i i i i i ip p p -- --- D D D D =×+× D +D D D +D D r r r & 在上式中，切矢是前后两点差商的重心组合。
实际上，上式是得出是首先过相邻的三点11 , i i i p p p -+ r r r 和 作一条抛物线，对应的参数分别为 11 ,, i i i u u u -+ 和 i i p p r r & 为该抛物线在 处的切矢。
01 011 01 2,2, n n n n p p p p p p - - - D D =-=- D D r r r r r r && 在端点处：2009- 08- 2915二、C 1 分段三次Hermite插值3）方法3（秋间方法）：1 1 1) i i i i i i ip p p a a -- D D =×+× D D r rr & （－ 其中：2 22 2 i i i i i i ip p pa -- -- D D =D D + D D r r r 这种方法与四个点的坐标与参数值有关。
二、C 1 分段三次Hermite插值总结：1）C 1 分段三次Hermite插值曲线实际上是一种样条曲 线，它具有局部修改性。
如果移动一个数据点，一般 只影响该点前后相邻的两段曲线形状。
2）利用C 1 分段三次Hermite插值曲线，可以在不需要 提高次数的情况下方便地实现对大量数据的插值，无 需解方程组，但是因为在连接点只能达到C 1 连续，连 续阶数不够高，还不能保证曲线足够光滑。
3）如果利用这种方法对一条曲线进行重构，随着采 样点增多，重构出的样条曲线将收敛到原曲线。
2009- 08- 29 162009- 08- 2917三、C 2 分段三次Hermite插值1、问题： ,0,1,,Hermite, 0,1,,C i ip i n pi n = = rL r & L 2给定数据点 构造一条分段三次 插值曲线，插值上述数值点。
如何给出相应的切矢 ，使得曲线段与段之间达到 连续。
2、解决方 法： 设分段三次Hermite插值曲线为：01101111 ()()()()() ,0,1,1 i i i i i i i i i ii i iip u p F t p F t G t p G t p u u u u u t u u i n +++ + =++D +D ££ - =D =-=- D r r r r r && L 其中：2009- 08- 2918三、C 2 分段三次Hermite插值在上式中 1i i p p + r r && 和 为未知量。
ip r 要求第i －1段曲线和第i 段曲线在 点达到C 2 连续 即： 1 ()() i i i p u p u u u - = r r 对 和 求二阶导，并令 得：()()i i p u p u -+ ¢¢¢¢ = r r 111111 1 2() 3[]1,2,1i i i i i i i i i i ii ip p p p p i n ---+ -- - D +D +D +D D D =+=- D D r r r &&& r r && L 三切矢连续性方程2009- 08- 2919三、C 2 分段三次Hermite插值1111 11 1 2() 3[]1,2,1i i i i i i i i i i ii i p p p p p i n ---+ -- - D +D +D +D D D =+=- D D r r r &&& r r && L 在上述三切矢连续性方程中共有n－1个方程，n＋1个未知量，还需要补充两个边界条件才能求解。
为表示方便，将上式简记为：11 1,2,1i i i i i i i a p b p c p d i n -+ ++==- r r r r &&& L2009- 08- 2920三、C 2 分段三次Hermite插值3、边界条件在处理具体问题时，常根据几何意义或物理意义设置不同形式的边界条件，常见的主要有以 下几种：1）周期条件（用于封闭曲 线）这时最后一个插值点与第一个插值点完全重 合，即：()()0 ()(),0,1,2k k n p u p u k ++ == r r2009- 08- 29 21三、C 2 分段三次Hermite插值将上式和三切矢连续方程联立，即得如下方 程： 1 111 1222 2 2 111 1 n n n n n n n d b c a p a b c p d a b c c a b p d --- éù éù éù êú êú êú êú êú êúêú êú êú = êúêú êú êúêú êú êú êú êú ëûëû êú ëûrr & r r & O O OM M M M r r & ,, i i ia b c r r r 根据 的表达式可知，上述矩阵是一个主对角占优的矩阵。