现代资产组合理论

现代资产组合理论杨长汉1投资环境是一个不确定的世界，投资者可以在证券市场中获得可观的收益，也有可能在市场中遭受严重的损失，在这一不确定的环境中，如何有效的对资产进行组合和配置？如何确定有效的证券投资组合使投资者在既定的风险条件下获得最大的收益，或在既定的收益水平上承担最低的风险？长期以来一直是困扰证券投资者和基金经理的重大难题。

虽然著名慈善家安德鲁·卡内基认为要使投资组合预期收益最大化，就必须把所有的资金投放在预期收益最高的证券上2，但“不要将所有的鸡蛋都放在一个篮子里”这一格言一直是证券投资界普遍接受的公理。

虽然“不要将所有的鸡蛋都放在一个篮子里”这一格言已经被广大证券投资者所接受，但其在理论上却没有一个严密的论证，在实证研究中也由于缺少科学合理的模型公式导致定量分析无法顺利进行。

一、现代资产组合理论概述现代资产组合理论是由1990年诺贝尔经济学奖获得者、美国著名经济学家马克维兹(Harry Markowitz)提出，他于1952年在美国《金融学学刊》上发表的《证券组合选择》(Portfolio Selection)一文中第一次系统的提出了资产组合理论，同时在1959年出版了自己的专著《投资组合选择：投资有效分散化》(Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments)，使自己的资产组合理论得到进一步的完善。

在马克维兹的理论模型中，以均值来代表证券资产组合的预期收益，以方差来代表证券资产组合收益的变动性，即风险，投资者可以根据原有单个资产的均值和方差，对证券资产组合的收益和风险进行简化的分析。

马克维兹认为所有的投资者均是风险厌恶者，投资者的投资目标是在均值—方差空间中寻找效用最大化的一点，并确定了投资者风险资产组合的有效边界。

马克维兹是第一个将“不要将所有的鸡蛋都放在一个篮子里”的思想进行定量分析的经济学家，他认为通过投资分散化，可以在不改变投资组合预期收益的情况下降低风险，也可以在不改变投资组合风险的情况下增加收益。

美国经济学家詹姆斯·托宾于1958年发表在《经济研究评论》上的《流动性偏好作为影响风险的行为》3一文中也提出了自己的资产组合理论。

马克维兹的资产组合理论主要是1文章出处：《中国企业年金投资运营研究》杨长汉著杨长汉，笔名杨老金。

师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA教育中心教师、金融学博士。

中央财经大学证券期货研究所研究员、中央财经大学银行业研究中心研究员。

2(美)鲁宾斯坦著.张俊生等译.投资思想史[M].北京：机械工业出版社，2009年.3Tobin,James,1965, Liquidity Preference as Behavior Towards Risk, Review of Economics Studies,65-86.考虑投资者在风险资产之间进行选择和组合，而托宾在研究中将无风险资产考虑进来，讨论了无风险资产和风险资产之间的选择和组合，因此他的资产组合理论是对马克维兹理论的延续和拓展。

托宾认为风险厌恶型投资者在均值—方差空间里的无差异曲线必定有一定的曲率，其是呈凸状的，而马克维兹的有效边界是呈凹状的，因此在均值—方差空间里，投资者的最优风险资产组合就是他的无差异曲线与马克维兹有效边界的切点。

另外，马克维兹的资产组合模型假定所有投资者对资产的预期收益、收益的方差以及资产收益之间的协方差有一致的看法，因此所有投资者具有相同的投资界面和相同的有效组合，同时也具有相同的风险资产组合。

托宾在研究中纳入了无风险资产，并认为投资者在进行风险资产构成比例的选择中是不考虑风险规避度的，因此在均值—方差界面中，所有的有效组合都在由一条通过无风险收益率并与马克维兹有效边界相切的直线中，这样投资者的最优组合选择问题可以分为以下两个步骤：第一步，投资者先选择最优的风险投资组合，这一风险投资组合在马克维兹有效边界上，而通过无风险收益率并与有效边界相切的直线的切点就是最优风险资产组合，连接无风险利率和切点的直线就是投资者面临的有效组合的集合，同时投资者在选择这一最优风险资产组合时是不考虑他的风险规避度的；第二步，每个投资者在自己风险规避度和财富的约束下都会形成一个基于均值和方差的无差异曲线，同时投资者会将自己所拥有的财富在无风险利率和最优风险组合之间进行分配，这一最优组合就是上述无差异曲线和有效组合的切点。

因此，托宾将投资者的资产组合决策分解成了两个步骤，首先是最优风险资产组合的选择，其次是投资者最优投资组合的选择，并且这两个选择是互相独立的，因此这也叫做两基金分离定理。

二、现代资产组合理论的基本模型(一) 模型的基本假设1、所有的资产是可以无限细分的；2、每个资产或资产组合的分析都是在单一时期进行；3、资产收益率的概率分布是由均值表示，资产收益率风险的概率分布是由方差(或标准差)表示，并且这两个参数是可知的，所有投资者都以此为投资依据；4、在投资决策中不考虑交易费用、个人所得税等额外费用的影响，市场是无摩擦的；5、市场中没有通货膨胀出现；6、所有的投资者都是理性的，也就是说所有的投资者在既定的风险水平上，追求最大的收益率，或在既定的收益水平上，追求最小的风险。

(二) 模型中风险和收益的度量1、单一证券资产收益率的度量我们在这里以股票为例，以一年为投资期限，在股票投资中，投资收益率等于在这一时期内，股票红利收益和差价收益之和，用公式可以表示为：100%r +=⨯红利期末市价总值-期初市价总值期初市价总值在实际研究中，由于证券的收益率受到许多不确定因素的影响，从而它是一个随机变量，因此服从一个概率分布，我们假设每一个收益率出现的概率如下表：因此该证券的期望收益率或预期收益率为：1()ni i i E r r p ==∑在实际操作中，我们通常根据证券收益率概率分布的历史信息来估计该证券的预期收益率。

2、单一证券风险的度量我们知道，证券的收益率是一个随机变量，其实际收益率与期望收益率往往存在一定的偏差，实际收益率往往分散在预期收益率周围。

如果实际收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度越高，投资者承担的风险也就越大。

因此，证券风险的大小可由实际收益率与预期收益率的偏离程度来反映，在数学上这一偏离程度叫做方差，即：221()[()]ni i i r r E r p σ==-∑对上式求平方根，就是证券收益率的标准差。

3、证券组合收益和风险的度量 （1）两种证券组合收益和风险的度量我们令两种证券为A 和B ，投资者将一笔资金中的A x 比例投资于证券A ，B x 比例投资于证券B ，且1A B x x +=，允许卖空，并在到期时，假定证券A 的收益率为A r ，证券B 的收益率为B r ，则这一证券组合的期望收益率()p E r 和收益率的方差2p σ可表示为：22222()()()2p A A B B p A A B BA B A B ABE r x E r x E r x x x x σσσσσρ=+=++其中，AB ρ为相关系数，A B AB σσρ为协方差，记为COV(A ，B)。

（2）多种证券组合收益和风险的度量在这里我们把两个证券的组合拓展到多个证券的情形。

假定有N 种证券，记为1A 、2A 、3A ……N A ，证券组合为123(,,........)N p x x x x =，里面的系数表示投资于证券1A 、2A 、3A ……N A 的权重，允许卖空，设证券的收益率(1,2,3,4,.......)i r i N =，则投资组合的期望收益率和方差为：121111()()cov(,)Np i i i NNpi j i j i j NNi j i j iji j E r x E r x x x x x x σσσρ========∑∑∑∑∑由此可见，资产组合的收益是各种资产预期收益的加权平均，而资产组合的风险不仅依赖各资产的风险以及权重，还取决于个证券资产收益率之间的协方差，或者资产收益率之间的相关系数。

投资分散化的基本原则就是选择相关系数比较低的证券组合，从而达到降低风险的目的。

(三) 马克维兹资产组合理论的基本模型马克维兹资产组合选择的原则是：在既定的风险水平上选择最大的收益，或者在既定的收益水平上选择最小的风险，根据他的这一思路，对于任意给定的期望收益率水平()p E r ，选择具有最小方差水平的资产组合就是最优的资产组合。

我们建立一个以均值作为纵轴，标准差为横轴的均值—标准差平面，每一个最优资产组合收益率所对应的均值(预期收益率)和标准差(风险)都是该平面中的一点，这些点组成的集合构成了资产组合的有效边界，如下图所示：如图所示，FG 就是一个最优的或有效的资产组合边界。

同时，马克维兹也提出了一个标准的均值—方差模型来对其理论进行模型说明。

1、 马克维兹标准的均值—方差模型4该模型是由马克维兹在1954年提出，除了包括上述基本假设以外，还包括无风险借贷和不允许卖空两个假定条件，模型表示如下：2111min ..N Npi j iji i Ni i pi x x s t x u u σσ=====∑∑∑其中，i x 均为正数。

在这里，p u 是给定的期望收益率水平，运用一定的线性规划方法可以得到最优资产组合的权数i x (i=1，2，……，N)，然后根据单个资产的收益和风险来计算出最优资产组合的收益和风险。

2、允许约束条件变化的均值—方差模型 (1) 允许卖空的均值—方差模型在允许卖空的情况下，模型可以修改如下： 21111min ..1NNpi j iji i Ni i pi Nii x x s t x u u xσσ=======∑∑∑∑4马克维兹著.欧阳向军译. 资产组合选择和资本市场的均值-方差分析[M].上海：上海人民出版和，2006年3月.均值其中，i x 可以为正数，也可以为负数。

这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解，即：12212121111(,,.....,,,)()(1)N N N Ni j ij i i p i i j i i L x x x x x x u u x λλσλλ=====+-+-∑∑∑∑对上式求偏导，可以得到最优资产组合的权数i x (i=1，2，……，N)，然后根据单个资产的收益和风险来计算出最优资产组合的收益和风险。

(2) 限制买空卖空的均值—方差模型21111min ..1(1,2,......,)N Npi j iji i Ni i pi Nii i i i x x s t x u u xl x h i N σσ=======≤≤=∑∑∑∑其中，i l 和i h 分别是针对资产i 卖空和卖空的限制。