微积分复习附解题技巧
高等数学微积分学习方法及联系题汇总
01：函数概念五要素，定义关系最核心。
02：分段函数分段点，左右运算要先行。
03：变限积分是函数，遇到之后先求导。
04：奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。
05：单调增加与减少，先算导数正与负。
06：正反函数连续用，最后只留原变量。
07：一步不行接力棒，最终处理见分晓。
08：极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。
09：幂指函数最复杂，指数对数一起上。
10：待定极限七类型，分层处理洛必达。
11：数列极限洛必达，必须转化连续型。
12：数列极限逢绝境，转化积分见光明。
13：无穷大比无穷大，最高阶项除上下。
14：n项相加先合并，不行估计上下界。
15：变量替换第一宝，由繁化简常找它。
16：递推数列求极限，单调有界要先证，两边极限一起上，方程之中把值找。
17：函数为零要论证，介值定理定乾坤。
18：切线斜率是导数，法线斜率负倒数。
19：可导可微互等价，它们都比连续强。
20：有理函数要运算，最简分式要先行。
21：高次三角要运算，降次处理先开路。
22；导数为零欲论证，罗尔定理负重任。
23：函数之差化导数，拉氏定理显神通。
24：导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。
25：寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。
26：寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。
27：端点、驻点、非导点，函数值中定最值。
28：凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。
29：数字不等式难证，函数不等式先行。
30：第一换元经常用，微分公式要背透。
31：第二换元去根号，规范模式可依靠。
32：分部积分难变易，弄清u 、v 是关键。
33：变限积分双变量，先求偏导后求导。
加日志标题 34：定积分化重积分，广阔天地有作为。
35；微分方程要规范，变换，求导，函数反。
36：多元复合求偏导，锁链公式不可忘。
37：多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。
38：多重积分的计算，累次积分是关键。
39：交换积分的顺序，先要化为重积分。
40：无穷级数不神秘，部分和后求极限。
41：正项级数判别法，比较、比值和根值。
微积分复习
o
D
r = ϕ (θ )
β
α
图2
A
∫∫
D
f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
β ϕ (θ )
= ∫ dθ ∫
α
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
（3）区域如图 ）区域如图3
r = ϕ (θ )
π 0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
D
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图3
= ∫ dθ ∫
0
2π
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
微积分口诀
——无穷级数
10：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 ：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 11：正项级数判别法，比较比值和根值。 ：正项级数判别法，比较比值和根值。
α ≤θ ≤ β,
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
r = ϕ1 (θ)
D
α
β
o
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图1
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
（2）区域如图 ）区域如图2
α ≤θ ≤ β,
级数（1） un , 级数（2） vn敛散性判别法 ∑ ∑
n =1 n =1
∞
∞
级数的收敛性 名 称 条 件 收 敛 Ι 比较判别法 ΙΙ 发 散 若级数(2)收敛， 若级数(1)发散，则级 则级数(1) 数(2)发散 收敛 当0<A<+ 时， 当A=+ 时，若级数 若级数(2)收敛， (2)发散，则级数 则级数(1)收敛 (1)发散 当0≤r<1时 当r>1时
微积分复习及解题技巧.docx
《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量X的取值范围（集合）主要根据：①分式函数：分母H0②偶次根式函数：被开方式20③对数函数式：真数式>0④反正（余）弦函数式：自变量W1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题Z1补充：求y=、巨的定义域。
（答案：-2<^<|）]ll-2x 2三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章极限与连续式（用罗彼塔法则）求极限主要根据:1、常见的极限：lim 占=（）（。
>0）X->COXlimlim/（x）= /（x o ） XT%初等函数在其定义域上都连续。
例:lim*TXT1兀3、求极限r ‘⑴ 1 lim —- = 1—a gO ）的思路：lim/W= ci （ci 工0常数）X —可考虑以下9种可能:00①彳型不定式（用罗彼塔法则）④5=00⑦汁limgU ） x->a②冷⑤牙<C 2（C 2^O 常数）③2=000@ —=000⑨丝型不定00X丿特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见 教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、81砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿补充4：2型一匚 limf = iXT1 丄（此题用了 “罗彼塔法则”）补充1： 洛lim x-»lsin 2(x-l)广 + ax+补充厶 limX —>00 \2x^lim 12/? +1 丿lim XT1lnxx-1贝 ij a= ~2X 4- Px — \)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:典型例题：《综合练习》第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主耍方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则:教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y z dx即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.解：岛…右話十，丿 / X 2arctgx、右+K)dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题:典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2第五章不定积分第六章定积分I理论内容复习：1、原函数：F f(x) = /(x)则称F (x)为f (x)的二±原函数。
微积分复习及解题技巧
《微积分》复习及解题技巧第一章 函数一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题之1补充：求y=xx 212-+的定义域。
（答案：212<≤-x ）三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章 极限与连续求极限主要根据： 1、常见的极限：2、利用连续函数：初等函数在其定义域上都连续。
例：3、求极限的思路：可考虑以下9种可能：①00型不定式（用罗彼塔法则） ②20C =0 ③∞0=0④01C =∞ ⑤21C C ⑥∞1C =0⑦0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞∞型不定式（用罗彼塔法则）1sin lim 0=→x xx e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim )0(01lim >=∞→ααxx )()(0lim 0xf x f x x =→11lim 1=→x x 1)()(lim =→x g x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8补充1：若1)1(sin 221lim =++-→bax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21221211111lim lim e x x x x xx x xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∙-∞→∞→补充3：21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：1ln lim 1-→x xx 111lim 1=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）型0第三章 导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则：教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵222212111221121x arctgxxx x arctgx x x y +++=+⋅+⋅+⋅=' ∴dy=)121(22xarctgx x x dx y +++=⋅'dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：《综合练习》第二大题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2第五章 不定积分 第六章 定积分Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。
高考数学一轮总复习微积分应试技巧总结
高考数学一轮总复习微积分应试技巧总结微积分是高考数学中的重要内容之一，也是考生们容易出现困惑的部分。
为了帮助大家更好地复习微积分，下面将总结一些应试技巧，希望能对大家备战高考有所帮助。
一、掌握基础概念和公式在应试中，掌握基础的微积分概念和公式是非常重要的。
首先要熟悉微积分的基本定义和常用的公式，如导数的定义、反函数的导数关系、积分的定义和性质等。
只有对这些基础知识牢记于心，才能够更好地理解和解决微积分题目。
二、多做题，掌握解题方法做题是学习微积分的重要环节，通过大量的练习可以加深对知识点的理解和掌握解题的方法。
在做题过程中，要注意每一步的推导和计算，尽量做到简洁清晰。
可以先从简单的题目开始，循序渐进地提高解题能力。
三、注意函数的可导性和连续性在应试中，经常会涉及到函数的可导性和连续性的问题。
要注意判断函数在某一点的可导性和连续性，可以通过导数的定义和极限的性质来进行推导。
同时，还需要掌握一些常见函数的可导性和连续性的特点，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
四、熟悉微积分的应用微积分的应用题是高考中常见的题型之一。
在应试过程中，要熟悉微积分的应用，如求函数的极值、最值、曲线的切线方程、区间的积分等。
熟练掌握这些应用技巧，可以帮助解答一些实际问题。
五、重点复习典型例题在复习微积分的过程中，可以选择一些典型的例题进行重点复习。
通过分析和解答这些典型例题，可以更好地掌握微积分的知识点和解题技巧。
可以结合教材或者相关的复习资料进行选择。
总之，复习微积分需要有持之以恒的学习态度，多做题、多思考，在解题过程中逐渐提高解题能力和应对考试的技巧。
希望以上的技巧总结能够对广大考生在高考数学微积分复习中有所帮助，实现优异的成绩。
祝愿大家都能取得好成绩，实现理想的高考目标！。
高中解决复杂的微积分问题
高中解决复杂的微积分问题微积分作为高中数学的重要组成部分，涉及到了函数、导数、积分等概念和计算方法。
在学习微积分的过程中，我们会遇到各种各样的问题，其中有些问题相对较为复杂和具有挑战性。
本文将介绍一些解决复杂微积分问题的方法和技巧。
一、函数图像与导数法为了解决复杂的微积分问题，首先需要熟练掌握函数的图像和导数的概念。
通过观察函数的图像和导数的变化规律，我们可以得到一些有价值的信息，从而更好地解决复杂问题。
举例来说，假设有一个函数f(x)，我们需要求解它在给定区间上的最值。
首先，我们可以通过分析函数的图像，找出函数在该区间上的极大值和极小值点。
其次，我们可以计算函数在这些点处的导数，通过对导数的符号进行分析，进一步确定最值点的位置。
这样就可以有效解决这类复杂问题。
二、利用积分解决几何问题在几何问题中，我们经常会遇到需要计算曲线的长度、曲线所围成的面积或体积等问题。
这时，我们可以利用积分的概念来解决这些复杂的问题。
以计算曲线长度为例，我们可以将曲线分成若干小段，在每个小段上建立直角坐标系。
然后求解每个小段的长度，并将这些长度进行累加，最终得到整个曲线的长度。
类似地，我们可以利用积分的性质计算曲线所围成的面积或体积。
三、微分方程的应用微分方程是微积分的一个重要应用领域，它涉及到函数与其导数之间的关系。
解决复杂微积分问题时，我们常常需要运用微分方程来建立模型，并通过求解微分方程来得到问题的解析解。
举例来说，假设一个物体的运动满足某种特定的规律，我们想要知道物体的位置随时间的变化情况。
这时，我们可以运用微分方程来描述物体的运动规律，并通过求解微分方程得到问题的解析解，从而准确地描述物体的运动情况。
四、数值计算方法对于一些复杂的微积分问题，无法通过解析方法得到精确解。
这时，我们可以利用数值计算方法来逼近解。
常见的数值计算方法包括牛顿法、二分法、梯度下降法等。
通过这些方法，我们可以获得数值解，并且可以通过控制迭代精度来提高计算结果的准确性。
高三数学微积分与数列的应用与解题技巧总结
高三数学微积分与数列的应用与解题技巧总结微积分和数列是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的题型。
它们在实际生活中有着广泛的应用，掌握了解题技巧可以帮助我们更好地解决实际问题。
本文将总结高三数学中微积分与数列的应用以及解题技巧。
一、微积分的应用微积分是研究极限、导数和积分的数学分支，它在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
下面将从极限、导数和积分三个方面总结微积分的应用。
1. 极限的应用极限是微积分的基础，它在数列、函数和数学模型等方面都有着重要的应用。
例如，在物理学中，速度可以看作是位移对时间的极限；在生物学中，种群数量的变化可以通过极限来进行模拟和预测。
掌握极限的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用各种数学模型。
2. 导数的应用导数是微积分中的重要概念，它表示函数在某一点的变化率。
导数在各个学科领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度可以通过位置函数的导数求得；在经济学中，成本函数和收益函数的导数可以帮助我们分析生产和销售策略。
熟练掌握导数的计算和应用方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。
3. 积分的应用积分是微积分中的另一个重要概念，它表示函数在区间上的累积效果。
积分在几何学、物理学和经济学等领域都有着广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过积分计算曲线与坐标轴所围成的面积；在物理学中，可以通过积分计算物体的质量和能量；在经济学中，可以通过积分计算生产和消费的总量。
掌握积分的计算和应用方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。
二、数列的应用与解题技巧数列是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的题型。
下面将总结数列的应用与解题技巧。
1. 等差数列的应用与解题技巧等差数列是数列中的一种特殊形式，它的公差恒定。
在实际生活中，等差数列常常出现在财务管理、工程规划和人口统计等方面。
解决等差数列相关问题的关键是找到数列的通项公式，然后利用该公式进行计算。
如果无法直接找到通项公式，可以通过计算前几项的差值来推测数列形式，并进行验证。
微积分常见题型与解题方法归纳(1)中级版
微积分常见题型与解题方法归纳(1)中级版微积分是数学中的重要学科，常见的题型主要包括函数求导、函数积分和曲线拟合等。
通过研究和掌握常见的解题方法，可以帮助我们更好地理解微积分的概念和应用。
函数求导题型1. 常函数求导：常函数的导函数为零，即 $y = c$，导数 $y' =0$。
常函数求导：常函数的导函数为零，即 $y = c$，导数 $y' = 0$。
2. 一次函数求导：一次函数 $y = ax + b$，导数 $y' = a$。
一次函数求导：一次函数 $y = ax + b$，导数 $y' = a$。
3. 幂函数求导：对幂函数 $y = x^n$，当 $n \neq 0$ 时，导数$y' = nx^{n-1}$。
幂函数求导：对幂函数 $y = x^n$，当 $n \neq0$ 时，导数 $y' = nx^{n-1}$。
4. 指数函数求导：对指数函数 $y = a^x$，导数 $y' = a^x \ln(a)$。
指数函数求导：对指数函数 $y = a^x$，导数 $y' = a^x \ln(a)$。
5. 对数函数求导：对对数函数 $y = \log_a{x}$，导数 $y' =\frac{1}{x\ln(a)}$。
对数函数求导：对对数函数 $y = \log_a{x}$，导数 $y' = \frac{1}{x\ln(a)}$。
函数积分题型1. 常函数积分：常函数的积分为常数乘以自变量加上一个常数，即 $\int{c}dx = cx + C$。
常函数积分：常函数的积分为常数乘以自变量加上一个常数，即 $\int{c}dx = cx + C$。
2. 一次函数积分：一次函数的积分为一次函数的系数乘以自变量的平方再除以2，即 $\int{ax + b}dx = \frac{a}{2}x^2 + bx + C$。
一次函数积分：一次函数的积分为一次函数的系数乘以自变量的平方再除以2，即 $\int{ax + b}dx = \frac{a}{2}x^2 + bx + C$。
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《微积分》复习及解题技巧
第一章 函数
一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2
二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）
对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0
④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1
在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题之1
补充：求y=x
x 212-+的定义域。
（答案：2
12<≤
-x ）
三、判断函数的奇偶性：
典型例题：《综合练习》第一大题之3、4
第二章 极限与连续
求极限主要根据： 1、常见的极限：
2、利用连续函数：
初等函数在其定义域上都连续。
例：
3、求极限
的思路：
可考虑以下9种可能：
①0
0型不定式（用罗彼塔法则） ②
2
0C =0 ③∞
0=0
④01
C =∞ ⑤21C C ⑥∞
1C =0
⑦
0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞
∞
型不定
式（用罗彼塔法则）
1sin lim 0
=→x x
x e x x
x =⎪⎭⎫
⎝
⎛+∞→11lim )0(01
lim >=∞→αα
x
x )
()(0
lim 0
x
f x f x x =→11
lim 1
=→x x 1)
()
(lim =→x g x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0
)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α
特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！
典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8
补充1：若1)
1(sin 2
21lim =++-→b
ax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21
221211111lim lim e x x x x x
x x x
x =⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→
补充3：
21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=
⎪⎭⎫
⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：
1ln lim 1
-→x x
x 1
11
lim 1
=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）
型0
第三章 导数和微分
一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：
1、求导的基本公式：教材P123
2、求导的四则运算法则：教材P110—111
3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）
4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可
典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵2222
1211122112
1
x arctgx
x
x x arctgx x x y +++=+⋅
+⋅+⋅=' ∴dy=)121(2
2
x
arctgx x x dx y ++
+=⋅'dx
第四章中值定理，导数的应用
一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：
典型例题：《综合练习》第一大题之16、19
二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：
典型例题：《综合练习》第二大题之5
二、函数的单调性（增减性）及极值问题：
典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2
第五章 不定积分 第六章 定积分
Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='
则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。
2、不定积分：
⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。
⎰+=C x F dx x f )()(
注意以下几个基本事实：
())()(x f dx x f ='⎰ ⎰+='C x f dx x f )()(
⎰=dx x f dx x f d )()(
⎰+=C x f x df )()(
⑵性质：⎰⎰≠=⋅)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ⑶基本的积分公式：教材P206 3、定积分： ⑴定义 ⑵几何意义
⑶性质：教材P234—235性质1—3 ⑷求定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 Ⅱ习题复习：
一、关于积分的概念题：
典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14
二、求不定积分或定积分： 可供选用的方法有——
⑴直接积分法：直接使用积分基本公式
⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法 ⑶分部积分法
典型例题：《综合练习》第五大题之2、3、5、6 关于“换元积分法”的补充题一：
⎰⎰++=++=+C x x d x x dx 12ln 21
)12(1212112 关于“换元积分法”的补充题二：⎰-3
x xdx
解：设x －3=t 2，即3-x =t ， 则dx=2tdt.
∴⎰
-3
x xdx
=⎰⋅+dt t t t 2)3(2=C t t +++⋅+612121
2 =C t t ++63
23=C x x +-+-36)3(3
23
关于“换元积分法”的补充题三：
⎰+8
031x
dx
解：设x=t 3，即
t =3
x ，则dx=3t 2
dt.
当x=0时，t=0； 当x=8时，t=2. 所以
⎰+8
031x dx =0
21ln )1(21313)1(313202
202⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+t t dt t t t dt t =3ln3
（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x 换成变量t 后，其上、下限也从0、8变为0、2） 关于“分部积分法”的补充题一：
⎰⎰⎰
+-=-==C e x dx e xe xde dx xe x
x x x x )1( 关于“分部积分法”的补充题二：
C x arctgx dx x
x xarctgx arctgxdx ++-=+⋅
-=⎰⎰2
2
1ln 2111 关于“分部积分法”的补充题三：
⎰
e
xdx x 1
ln
=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰121211ln 21ln 1ln 21ln 21221212212e x e xdx e x x x d x e x x xdx e
e e =)1(41)2121(211212122222+=+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-e e e e x e （此题为定积分的分部积分法）
三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）： 典型例题：《综合练习》第六大题之4
注意：此题若加多一条直线y=3x ，即求三线所围平面图形的面积，则解法为——（草图略）
S=⎰⎰-+-312
10)3()3(dx x x dx x x =⎰⎰-+3
1210)3(2dx x x dx x
=13312301212322⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+3123273192
31
=3
13
（平方单位）
使用指南——本复习参考资料应当与人手一册的《综合练习题》配套使用并服从于《综合练习题》。
另外，请注意如下几点：
①本复习参考资料中的蓝色字体的“补
充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年
9月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。
②《综合练习题》是我们复习重点中的重点，请
对照答案将所有
．．题目
．．完整地做一遍（使题目与答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查
找的速度和准确度）。
③请将上述做好的
．．．《综合练习题》随身携带，经常复习、记忆，为应试作好准备；
④考试时请注意审题，碰到实在不会做的大题，
如果你发现只是《综合练习题》上的题目改变
了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题
目的解法步骤完整地写出来，也能获得该题一
部分的分数。
对于填空、选择这样的小题，尽
你所能去做，不要留下空白！。