系统函数的零极点分布决定时域特性
由系统函数的零极点决定时域特性
(3): 由因果关系决定：
完全解= z.i.r +z.s.r z.i.r: 没有外加的激励信号，只由起 始状态（起始时刻系统储能）所产生 的响应。 z.s.r: 不考虑起始时刻系统的储能（起 始状态为零），由系统外加激励信号产 生的响应。
*自由响应与强迫响应
R( s ) E ( s ).H ( s )
h ( t ) 2e
t t 3t
rzi (t ) c1e c2 e
例：求下列各系统函数的z-p点分布及h(t)的 波形。
s 1 1. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 s 2. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 3. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2
2.极-零图(见p209所示图) 二.零极点与时域波形的对应关系 1.左半开平面的极点(在负实轴上，一，二，m阶)； 不在负实轴上（复数共 轭成对。)
极 零图
a0 e t
a0 s
( 2)
a1 s a0 t [(a0 a1 )t a1 ]e ...... t 0 2 (s )
z-p点都受约束。 i1
4个转移函数：
u1
System
i2
u2
I 2 ( s) u 2 ( s) YT ( s) , Z T ( s) u1 ( s) I 1 ( s) u 2 ( s) I 2 ( s) k u ( s) , k i ( s) u1 ( s) I1 ( s)
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋势 • 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣势 • 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点 • 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案
） 。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
） 。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
） 。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、 已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换 为（ B ） 。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ） 。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s
信号与系统ch6
转移阻抗
Z 21 t ( s )
U 2 (s) I1 (s)
转移导纳
Y 21 t ( s )
I 2 (s) U 1 (s)
电压传输系数 电流传输系数
T u 21 ( s )
T i 21 ( s )
U 2 (s) U 1 (s)
I 2 (s) I1 (s)
3.系统函数表示系统激励与响应之间的因果关系
H i (s) (s a) 0
2
a j 0
at
ω0
-ω0 σ
hi ( t ) e
Cos 0 t
－a 0 ×
(二) 极点在虚轴上 1． 在原点 p a 0
i
——减幅的余弦振荡
H i (s)
1 s
hi (t ) (t )
2． 不在原点上
N (s) 0
a n s a n 1 s
N (s)
z1 的根： , z 2 , , z m称为函数 H ( s ) 的零点，使 H ( s ) 0
极零图：把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就 成为极点零点分布图，简称极零图。 ( s 2 )( s 4 ) H (s) 例
令 复因式 ( j z i ) 矢量 j 与 z i 之差＝ z i点至 j 的矢量 ＝ B i e j i ( A k , B i 模 ) 令 j k （差矢量） ( k , i 辐角 ) ( j p k ) 矢量 j 与 p k 之差＝ p k 点至 j 的矢量 ＝ A k e
0 : B 1 0 , Z 0 , 1 2 0 , ( ) 90 : A1 , A 2 , B1 , Z 0 , 1 2 180 , ( ) 90 0 : Z 最大值 , 90 , ( ) 0 （谐振）
信号与系统课程设计报告傅里叶变换的对称性和时移特性
信号与系统课程设计报告--傅里叶变换的对称性和时移特性课程设计任务书2沈阳理工大学摘要本文研究的是傅里叶变换的对称性和时移特性，傅里叶变换的性质有：对称性、线性（叠加性）、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分特性、卷积特性（时域和频域）；从信号与系统的角度出发,给出了激励信号的具体模型；应用Matlab软件进行仿真，将研究的信号转化成具体的函数形式，在Matlab得到最终变换结果。
使用傅里叶变换的方法、卷积的求解方法以及函数的微分等方法研究题目。
关键词: 傅里叶变换;对称性;时移特性;Matlab3沈阳理工大学目录1、Matlab介绍........................... 错误!未定义书签。
2.利用Matlab实现信号的频域分析—傅里叶变换的对称性与时移特性设计 (5)2.1.傅里叶变换的定义及其相关性质 (5)2.2.傅里叶变换的对称性验证编程设计及实现 (7)2.3.傅里叶变换的时移特性验证编程设计及实现 (11)3.总结 (13)4.参考文献 (13)4沈阳理工大学1、Matlab介绍MATLAB作为一种功能强大的工程软件，其重要功能包括数值处理、程序设计、可视化显示、图形用户界面和与外部软件的融合应用等方面。
MATLAB软件由美国Math Works公司于1984年推出，经过不断的发展和完善，如今己成为覆盖多个学科的国际公认的最优秀的数值计算仿真软件。
MATLAB具备强大的数值计算能力，许多复杂的计算问题只需短短几行代码就可在MATLAB中实现。
作为一个跨平台的软件，MATLAB已推出Unix、Windows、Linux和Mac等十多种操作系统下的版本，大大方便了在不同操作系统平台下的研究工作。
MATLAB软件具有很强的开放性和适应性。
在保持内核不变的情况下，MATLAB 可以针对不同的应用学科推出相应的工具箱(toolbox)，目前己经推出了图象处理工具箱、信号处理工具箱、小波工具箱、神经网络工具箱以及通信工具箱等多个学科的专用工具箱，极大地方便了不同学科的研究工作。
拉普拉斯变换§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性
jω z
m
jω p
i 1 i
j 1 n
令分子中每一项 j ω z j N j e
分母中每一项
jψ j
j ω Pi M i e jθi 将 j ω z j、 j ω - pi 都看作两矢量之差，将 矢量图画于复
t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴： 拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
X
H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s ，激励源e t Em sinω0t 系统的稳态响应 rmm t Em H0 sinω0 t 0
平面内。
X
画零极点图
零点 ： jω N j e z j
jω
jψ j
极点 ： j ω M i e jθi pi
jω
θi
Mi
pi
Nj
ψj
σ
O
Nj
zj
j
σ
O
zj
jω 是滑动矢量， jω 矢量变, 则N j、ψ j 和 M i、θ i 都 发生变化。
X
由矢量图确定频率响应特性
N1 e jψ1 N 2 e jψ2 N m e jψm H jω K M1 e jθ 1 M 2 e jθ 2 M n e jθ n
X
通带
O
阻带
c 截止频率
H j
O
c
带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c 2
O
c1
c 2
X
三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H jω H s s jω K
系统函数与系统特性
j
a
j
a-b
|a-b|
b
b
0
0
j
系统函数零极点的向量表示
j
Di
( j pi ) Die ji pi
i
0
Nj
(j z j ) N je j j
j
zj
例：已知系统函数 H(s) 1 ，求系统的频率响应。
s 1
解：
H(j) 0
H ( j)
1 1 D0
H(s)
sj
1
j 1
(j)
0 0 0 0
所以该因果LTI系统不稳定。
综合题：已知某连续时间LTI系统的零状态响应 yzs (t) (0.5 et 1.5e2t )u(t) ,激励信号x(t)=u(t), 试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图， 写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、 并判断系统是否因果、稳定。
解：零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为
H(j) 1 1
1 D1 2
H(j) 1 0
D
j
H ( j)
1
ja
0.8
(j) 1 0 1 arctan1 45
(j) 0 0 90
(j)
0
5
10
Db D1 j1
(1)
-1
0
0.6
0.4
0.2
-90o
01
5
10
3. 系统函数与系统的稳定性
※ 连续时间LTI系统稳定的充要条件：
系统函数H(s)的收敛域(ROC)包含s平面j轴。
包含s平面j轴。
例：判断下述因果连续LTI系统是否稳定。
(1)H1(s)
(s
系统函数零极点分布决时域特性课件
总结词
零点位置影响系统瞬态响应的速度和幅 度，极点位置影响系统阻尼和振荡特性 。
VS
详细描述
零点位置影响系统输出的初始状态。如果 存在接近虚轴的零点，系统的输出会迅速 达到稳定值。极点位置影响系统的阻尼特 性和振荡频率，靠近虚轴的极点会导致系 统阻尼慢，振荡时间长。
零极点分布与系统稳态误差的关系
总结词
零点位置对系统稳态误差的影响
总结词
零点位置影响系统稳态误差，靠近虚轴的零点导致稳态误差 增大。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的稳态误差。如果零点靠 近虚轴，系统的稳态误差会增大。这是因为这些零点使得系 统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的稳态误差增大。
04
极点分布对时域特性的影响
极点位置远离虚轴
系统瞬态响应较慢，因为远离虚轴的 极点会导致系统具有较小的时间常数 ，从而减缓瞬态响应。
极点位置对系统稳态误差的影响
极点位置靠近虚轴
系统稳态误差较小，因为虚轴附近的极点会导致系统具有较大的增益，从而减 小稳态误差。
极点位置远离虚轴
系统稳态误差较大，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的增益，从而增 大稳态误差。
零点位置对系统瞬态响应的影响
总结词
零点位置影响系统瞬态响应，靠近虚轴的零点导致瞬态响应速度变慢。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的瞬态响应特性。如果零点靠近虚轴，系统的瞬态响应速度 会变慢。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的动态响应速度变慢。
稳态误差
系统在输入信号的作用下，实际 输出与理想输出之间的偏差。
误差类型
包括静态误差和动态误差，静态误 差是指系统在稳态下的误差，动态 误差是指系统在过渡过程中产生的 误差。
数字信号处理实验离散时间 LTI 系统的时域分析与 Z 域分析
实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析一、实验目的1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。
二、实验原理1、离散时间系统的时域分析（1）离散时间系统的零状态响应离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter的语句格式为：y=filter(b,a,x)其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
（2）离散时间系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。
MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。
impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。
（3）离散时间系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。
MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。
stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。
2、离散时间系统的Z域分析(1)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即如果系统函数H(z)的有理函数表示式为那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。
roots的语法格式为：Z=roots(b)%计算零点b=[b1b2…bmbm+1]P=roots(a)%计算极点a=[a1a2…anan+1]tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(b,a)其中，b与a分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。
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摘要本文详细分析了系统函数零极点的分布与冲击响应时域特性之间的关系。
首先论述了如何通过MATLAB软件绘制出系统函数的零极点分布图。
然后根据系统函数极点的不同分布情况，通过MATLAB软件绘制出冲击响应的时域函数，通过对图像的观察和比较，得出了极点的类型决定时间函数的时间连续形式，极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点。
最后，在极点相同，但零点不同的情况下，通过比较时域函数的波形，得出零点分布与时域函数的对应关系，即零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位。
关键词：系统函数的零极点；时域特性；MATLAB软件目录1课程设计目的 (1)2实验原理 (1)3实现过程 (1)3.1MATLAB简介 (1)3.2系统函数极点分布情况 (2)3.2.1极点为单实根 (2)3.2.2极点为共轭复根 (2)3.2.3极点为重根 (2)3.2.4用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图 (2)3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系 (6)3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数 (6)3.3.2极点的类型决定时间函数的时间连续形式 (19)3.3.3极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点 (19)3.3.4零点分布与时域函数的对应关系 (19)4设计体会 (23)5参考文献 (24)1 课程设计目的1.掌握系统函数的零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系。
2.学习MATLAB 软件知识及应用。
3.利用MATLAB 编程，完成相应的信号分析和处理。
2 实验原理拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为s 域函数F(s)；反之，拉普拉斯逆变换将F(s)变换为相应的f(t)。
由于f(t)与F(s)之间存在一定的对应关系，故可以从函数F(s)的典型形式透视出f(t)的内在性质。
当F(s)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了F(s)零点和极点的位置，显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。
设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则⎰+∞-=0)()(dt e t h s H st显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。
对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。
3 实现过程3.1 MATLAB 简介MALAB 译于矩阵实验室（MATrix LABoratory ），是用来提供通往 LINPACK 和EISPACK 矩阵软件包接口的。
后来，它渐渐发展成了通用科技计算、图视交互系统和程序语言。
MATLAB 的基本数据单位是矩阵。
它的指令表达与数学、工程中常用的习惯形式十分相似。
比如，矩阵方程Ax=b ，在MATLAB 中被写成A*x=b 。
而若要通过A ，b 求x ，那么只要写x =A \b 即可，完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。
因此，用MATLAB 解算问题要比用C 、Fortran 等语言简捷得多。
MATLAB 发展到现在，已经成为一个系列产品：MATLAB “主包”和各种可选的toolbox “工具包”。
主包中有数百个核心内部函数。
迄今所有的三十几个工具包又可分为两类：功能性工具包和学科性工具包。
功能性工具包主要用来扩充MATLAB 的符号计∏∏11)-()-()()()(Ni i Mj j p sq sCs A s B s H ====算功能、图视建模仿真功能、文字处理功能以及硬件实时交互功能。
这种功能性工具包用于多种学科。
而学科性工具包是专业性比较强的，如控制工具包（Control Toolbox ）、信号处理工具包(SignalProcessing Toolbox )、通信工具包(Communication Toolbox )等都属此类。
开放性也许是MATLAB 最重要、最受人欢迎的特点。
除内部函数外，所有MATLAB 主包文件和各工具包文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改或加入自己编写文件去构成新的专用工具包。
MATLA B 已经受了用户的多年考验。
在欧美发达国家，MATLAB 已经成为应用线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。
在设计研究单位和工业部门，MATLAB 被广泛地用于研究和解决各种具体工程问题。
3.2 系统函数极点分布情况3.2.1 极点为单实根若系统函数的N 个极点是单极点，则可将)(s H 进行部分分式展开为：3.2.2 极点为共轭复根若系统函数的N 个极点包含共轭复数极点，则可将)(s H 进行部分分式展开为：3.2.3 极点为重根若系统函数的N 个极点有多重极点，则可将)(s H 进行部分分式展开为：3.2.4 用MATLAB 绘制系统函数的零极点分布图绘制系统函数零极点分布图的函数如下：∑1-)(Ni iip s k s H ==))()(()()(βαβαj s j s s D s A s H +++=)()()()1(s D s A s H p s k =function [p,q]=sjdt(A,B)%绘制连续系统零极点图程序%A:系统函数分母多项式系数向量%B:系统函数分子多项式系数向量%p:函数返回的系统函数极点位置行向量%q:函数返回的系统函数零点位置行向量p=roots(A); %求系统极点q=roots(B); %求系统零点p=p';%将极点列向量转置为行向量q=q';%将零点列向量转置为行向量x=max(abs([p q])); %确定纵坐标范围x=x+0.1;y=x;%确定横坐标范围clfhold onaxis([-x x -y y]);%确定坐标轴显示范围axis('square')plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴plot(real(p),imag(p),'x') %画极点plot(real(q),imag(q),'o')%画零点title('连续系统零极点图') %标注标题text(0.2,x-0.2,'虚轴')text(y-0.2,0.2,'实轴')（1）首先打开MATLAB软件，如图1所示。
图1 MATLAB界面（2）点击File-->New-->Function，创建M文件，用于建立一个求解系统函数零极点的函数。
（3）在编辑窗口中输入绘制系统函数零极点分布图的函数，如图2所示。
图2 M文件编辑窗口（4）点击Debug-->Save File and Run设置其保存路径为MATLAB的工作路径，如图3所示。
图3 设置保存路径（5）输入在MATLAB的命令窗口中输入计算系统零极点的具体程序：例如某连续系统的系统函数为：则输入的程序为：a=[10 8 6 4 2];b=[5 4 3];[p,q]=sjdt(a,b)运行结果如图4所示。
图4 绘制系统零极点分布图的运行结果3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数函数impulse()将绘出由向量a和b表示的连续系统在指定时间范围内的冲击响应h(t)的时域波形图，并能求出指定时间范围内冲击响应的数值解。
Impulse()函数有如下几种调用格式：（1）impulse(b,a)该调用格式以默认方式绘出向量a和b定义的连续系统的冲击响应的时域波形图。
（2）impulse(b,a,t)该调用格式以默认方式绘出向量a和b定义的连续系统在0~t时间范围冲击响应的时域波形图。
（3）impulse(b,a,t1:p:t2)该调用格式以默认方式绘出向量a和b定义的连续系统在t1~t2时间范围内，且以时间间隔p均匀抽样的冲击响应的时域波形。
（4）y= impulse(b,a,t1:p:t2)该调用格式并不绘出系统冲击响应的波形，而是求出向量a和b定义的连续系统在t1~t2时间范围内以时间间隔p抽样的系统冲击响应的数值解。
在MATLAB中分别输入以下各程序，分别绘制出极点在S域的不同分布其对应的时域函数波形。
a.极点为单实根，且在原点处，即绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 0];b=[1];impulse(b,a)运行结果如图5-1所示。
图5-1 时域函数波形图b. 极点为单实根,且落于原点左侧，即令a=10绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 10];b=[1];impulse(b,a)运行结果如图5-2所示。
图5-2 时域函数波形图c. 极点为单实根,且落于原点右侧，即令a=10绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 -10];b=[1];impulse(b,a)运行结果如图5-3所示。
图5-3 时域函数波形图d.极点为一阶共轭复根，且在虚轴上，即令β=5绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 0 25];b=[1];impulse(b,a,10)运行结果如图5-4所示。
图5-4 时域函数波形图e. 极点为一阶共轭复根，且在虚轴左侧，即令α=0.2，β=5绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 0.4 25.04];b=[1];impulse(b,a,10)运行结果如图5-5所示。
图5-5 时域函数波形图f. 极点为一阶共轭复根，且在虚轴右侧，即令α=-0.2，β=5绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 -0.4 25.04];b=[1];impulse(b,a,10)运行结果如图5-6所示。
图5-6 时域函数波形图g. 极点为二阶重根，且在原点处：绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 0 0];b=[1];impulse(b,a)运行结果如图5-7所示。
图5-7 时域函数波形图h. 极点为二阶重根，且在原点左侧:令a=10绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 20 100];b=[1];impulse(b,a)运行结果如图5-8所示。
图5-8 时域函数波形图i. 极点为二阶重根，且在原点右侧:令a=10绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 -20 100];b=[1];impulse(b,a)运行结果如图5-9所示。
图5-9 时域函数波形图j. 极点二阶共轭复根，且在虚轴上：令β=5绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 0 50 0 625];b=[1];impulse(b,a)运行结果如图5-10所示。