《应用计算方法教程》matlab作业二
《应用计算方法教程》MatLab作业
6-1 试验目的 计算特征值，实现算法试验内容：随机产生一个10阶整数矩阵，各数均在-5和5之间。
（1） 用MATLAB 函数“eig”求矩阵全部特征值。
（2） 用幂法求A 的主特征值及对应的特征向量。
（3） 用基本QR 算法求全部特征值（可用MATLAB 函数“qr ”实现矩阵的QR 分解）。
原理幂法：设矩阵A 的特征值为12n ||>||||λλλ≥⋅⋅⋅≥并设A 有完全的特征向量系12,,,n χχχ⋅⋅⋅(它们线性无关)，则对任意一个非零向量0n V R ∈所构造的向量序列1k k V AV -=有11()lim ()k j k k jV V λ→∞-=，其中()k j V 表示向量的第j 个分量。
为避免逐次迭代向量k V 不为零的分量变得很大（1||1λ> 时）或很小（1||1λ< 时），将每一步的k V 按其模最大的元素进行归一化。
具体过程如下：选择初始向量0V ，令1max(),,,1kk k k k k kV m V U V AU k m +===≥，当k 充分大时1111,max()max()k k U V χλχ+≈≈。
QR 法求全部特征值：11111222111,1,2,3,k k k k k A A Q R R Q A Q R k R Q A Q R +++==⋅⎧⎪⋅==⋅⎪=⋅⋅⋅⎨⋅⋅⋅⎪⎪⋅==⋅⎩ 由于此题的矩阵是10阶的，上述算法计算时间过长，考虑采用改进算法——移位加速。
迭代格式：1k k k kk k k k A q I Q R A R Q q I +-=⎧⎨=+⎩ 计算k A 右下角的二阶矩阵()()1,11,()(),1,k k nn n n k k n n n n a a a a ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值()()1,k k n n λλ-，当()()1,k k n n λλ-为实数时，选k q 为()()1,k k n n λλ-中最接近(),k n n a 的。
matlab课后习题解答第二章doc
f=A*((1+t/tao)*(heaviside(t+tao)-heaviside(t))+(1-t/tao)*(heaviside(t)-heaviside(t-tao)));
（2）数值计算复验
xx=-10*pi:pi/100:1.7*pi;
sn=trapz(exp(-abs(xx)).*abs(sin(xx)))*pi/100
sn =
1.0877
110
〖目的〗
变上限二重积分的符号计算法。
〖解答〗
syms x y
f=x^2+y^2;
r=int(int(f,y,1,x^2),x,1,2)
d =
1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)
16
〖目的〗
symsum, subs的应用。
从实例中，感受指令所给出的关于 符号解的含义。
〖解答〗
symsx k
f=x^(k);
y3d =
1.2935547796148951782413405453553
113
〖目的〗
符号离散卷积直接法和变换法。
〖解答〗
（1）直接法
syms a b kn
x=a^k;
h=b^k;
w=symsum(subs(h,k,n)*subs(x,k,k-n),n,0,k)%据定义
y1=simple(w)
w =
〖解答〗
syms x
syms n positive
matlab程序设计与应用第二版习题答案
matlab程序设计与应用第二版习题答案Matlab程序设计与应用第二版习题答案Matlab是一种强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析和工程设计等领域。
《Matlab程序设计与应用》是一本经典的教材，对于学习和掌握Matlab编程语言具有重要的意义。
本文将为大家提供《Matlab程序设计与应用第二版》中部分习题的答案，帮助读者更好地理解和应用Matlab。
第一章：Matlab基础1.1 基本操作1. a = 3; b = 4; c = sqrt(a^2 + b^2); disp(c);2. x = linspace(-pi, pi, 100); y = sin(x); plot(x, y);3. A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; B = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]; C = A + B; disp(C);1.2 控制结构1. for i = 1:10disp(i);end2. n = 0; sum = 0; while sum < 100n = n + 1;sum = sum + n;enddisp(n);3. x = 5; if x > 0disp('x is positive');elseif x < 0disp('x is negative');elsedisp('x is zero');end第二章：向量和矩阵运算2.1 向量运算1. A = [1 2 3]; B = [4 5 6]; C = A .* B; disp(C);2. A = [1 2 3]; B = [4 5 6]; C = A ./ B; disp(C);3. A = [1 2 3]; B = [4 5 6]; C = dot(A, B); disp(C);2.2 矩阵运算1. A = [1 2 3; 4 5 6]; B = [7 8; 9 10; 11 12]; C = A * B; disp(C);2. A = [1 2 3; 4 5 6]; B = [7 8; 9 10; 11 12]; C = B * A; disp(C);3. A = [1 2 3; 4 5 6]; B = [7 8; 9 10; 11 12]; C = A .* B; disp(C); 第三章：函数和脚本文件3.1 函数1. function y = myfunc(x)y = x^2 + 3*x + 2;end2. function [y1, y2] = myfunc(x1, x2)y1 = x1^2 + 3*x1 + 2;y2 = x2^2 + 3*x2 + 2;end3. function [y1, y2] = myfunc(x)y1 = x^2 + 3*x + 2;y2 = sin(x);end3.2 脚本文件1. x = linspace(0, 2*pi, 100); y = sin(x); plot(x, y);2. x = linspace(-10, 10, 100); y = x.^2 + 3*x + 2; plot(x, y);3. x = linspace(0, 2*pi, 100); y1 = sin(x); y2 = cos(x); plot(x, y1, x, y2);通过以上习题的答案，读者可以对Matlab程序设计的基本语法和常用函数有一个初步的了解。
MATLAB综合应用二：线性代数问题的计算机求解.ppt
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
30
解
【例4-10】
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
31
解
4.2.1.4 矩阵范数
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
32
解
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
33
解
矩阵的范数定义：
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
34
解
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
35
解
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
36
解
4.2.1.5 特征多项式
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
37
解
【例4-11】
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
3
解
4.1.1 数值矩阵的输入
4.1.1.1 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
4
解
【例4-1】
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
5
解
4.1.1.2 随机元素矩阵
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
6
解
4.1.1.3 对角元素矩阵
42
解
【例4-16】
2020/4/7
高等应用数学问题的 MATLAB 求
43
解
【例4-17】
2020/4/7
计算方法作业2
《计算方法》上机指导书实验1 MATLAB 基本命令1．掌握MATLAB 的程序设计实验内容：对以下问题，编写M 文件。
(1) 生成一个5×5矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。
(2) 编程求∑=201!n n 。
(3) 一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。
求它在第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹有多高？2．掌握MATLAB 的绘图命令实验内容：对于自变量x 的取值属于[0，3π]，在同一图形窗口画出如下图形。
（1）1sin()cos()y x x =⋅；（2）212sin()cos()3y x x =-；实验2 插值方法与数值积分1. 研究人口数据的插值与预测实验内容：下表给出了从1940年到1990年的美国人口，用插值方法推测1930年、1965年、2010年人口的近似值。
美国人口数据1930年美国的人口大约是123,203千人，你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度如何？2．最小二乘法拟合经验公式实验内容：某类疾病发病率为y ‰和年龄段x (每五年为一段，例如0~5岁为第一段，6~10岁为第二段……)之间有形如bx ae y =的经验关系，观测得到的数据表如下（1）用最小二乘法确定模型bx ae y =中的参数a 和b 。
（2）利用MATLAB 画出离散数据及拟合函数bx ae y =图形。
3. 复化求积公式实验内容：对于定积分⎰+=1024dx x xI 。
（1）分别取利用复化梯形公式计算，并与真值比较。
再画出计算误差与n 之间的曲线。
（2）取[0，1]上的9个点，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算，并比较精度。
实验3 非线性方程与线性方程组1．矩阵的范数与条件数 实验内容：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111A 求1A ，2A ，∞A 和)(2A cond 。
2．研究高斯消去法的数值稳定性 实验内容：设方程组b Ax =，其中（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⨯=-11212592.1121130.6291.51314.59103.0151A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2178.4617.591b （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=201015152699990999999999.23107102A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1500019000000000.582b 分别对以上两个方程组（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的？ （2）用列主元消去法求得L 和U 及解向量421,R x x ∈；（3）用不选主元的高斯消去法求得L 和U 及解向量421~,~R x x ∈； （4）观察小主元并分析对计算结果的影响。
wodezuoye2
基于MA TLAB的数值分析编程上机作业（2）姓名：王其学号： S090020798班级：六班院系：石油与天然气工程任课老师：支丽霞编程任务：用MA TLAB 语言编写求解线性方程组Au=f 的算法程序，采用下列三种方法，并比较三种方法的计算速度。
一、用SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子（1）基本原理松驰法是一种线性加速方法。
这种方法将前一步的结果)(k ix 与高斯――赛得尔方法的迭代值)1(~+k ix 适当进行线性组合，以构成一个收敛速度较快的近似解序列。
改进后的迭代方案是：迭代⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑+=+-=+)(1)1(11)1(1~k j ni j ij k ji j ij i ii k i x a xa b a x 加速),,2,1(~)1(1)()1(n i x x x k ik ik i=+-=++ωω所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=∑∑+=+-=+)(1)1(11)()1()1(k j ni j ij k ji j ij i ii k ik ix a xa b a xxωω（4.7）这种加速法就是松驰法。
其中系数ω称松驰因子。
可以证明，要保证迭代格式（4.7）收敛必须要求 20<<ω松驰法的矩阵形式的迭代格式为：ωωF xB xk k +=+)()1(其中 ()UIL I B ωωωω+--=-)1()(1bL I F 1)(--=ωωω当ω = 1时，即为高斯――赛得尔迭代法，为使收敛速度加快，通常取1>ω，即为超松驰法。
松驰因子的选取对迭代格式（4.7）的收敛速度影响极大。
实际计算时，可以根据系数矩阵的性质，结合经验通过反复计算来确定松驰因子ω。
（2）算法给出A，b，ω，允许误差界ε，最大迭代次数K，计算步骤如下：）（max(1) x(i)=0 (i=1,2,…,n)(2)对k =1,…,Kmax,循环计算到第(7)步(3)置ER=0对i=1，2，…，n，循环执行到第（6）步（4）sum=0()()j i a⨯sum,= (j=1,2,…，n)+jxsum(5)Dx=ω(b(i)-sum)/a(i,i)(6)如果ERER=Dx>则Dx()()Dx←x+iix如果εER,停机。
matelab作业2参考答案
matelab作业2参考答案Matlab作业2参考答案Matlab作业2是一项综合性的任务，要求学生运用Matlab编程语言解决一系列数学问题。
本文将为大家提供一份参考答案，帮助学生更好地理解和完成这项作业。
首先，我们将讨论作业的第一个问题，即给定一个矩阵A，求解其特征值和特征向量。
在Matlab中，可以使用eig函数来实现这一功能。
例如，假设我们有一个3×3的矩阵A，可以按照以下方式计算其特征值和特征向量：```A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];[eigenvectors, eigenvalues] = eig(A);```在上述代码中，变量eigenvectors将存储A的特征向量，而变量eigenvalues 将存储A的特征值。
通过打印这两个变量的值，我们可以得到矩阵A的特征值和特征向量。
接下来，我们将探讨作业的第二个问题，即求解线性方程组。
假设我们有一个3×3的系数矩阵A和一个3×1的常数向量b，我们需要求解方程组Ax=b。
在Matlab中，可以使用backslash运算符来求解线性方程组。
例如，假设我们有以下方程组：```A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];b = [10; 20; 30];x = A \ b;```在上述代码中，变量x将存储方程组的解。
通过打印变量x的值，我们可以得到方程组的解。
此外，作业的第三个问题要求学生使用Matlab绘制函数图像。
在Matlab中，可以使用plot函数来实现这一功能。
例如，假设我们要绘制函数y=sin(x)，其中x的取值范围为0到2π，可以按照以下方式绘制函数图像：```x = 0:0.1:2*pi;y = sin(x);plot(x, y);```在上述代码中，变量x将存储x的取值范围，变量y将存储对应的函数值。
通过调用plot函数，我们可以将函数y=sin(x)的图像绘制出来。
数值计算方法matlab 第二章 求根
1第二章作业问题描述：不同温度的两种流体进入混合器混合，流出时具有相同的温度。
流体A 和B 的热容（单位：cal/(mol ·K)）分别为：2623.381 1.80410 4.30010pA c T T --=+⨯-⨯ 1528.592 1.29010 4.07810pB c T T --=+⨯-⨯焓变（单位：cal/mol ）为21T p T H c dT ∆=⎰。
A 进入混合器的温度为400℃，B 进入混合器的温度为700℃，A 的量（mol ）是B 的量（mol ）的两倍，试确定流体离开混合器的温度。
问题分析： 初始情况下，气体A 的温度比气体B 的温度低，故在混合过程中，气体A 温度升高，气体B 温度降低。
由于没有外界加热或者做功，混合气体整体的焓变应该为零。
设A 有2mol ，B 有1mol ，根据焓变公式计算得到：21-262400-22632= 6.762+3.608108.60010)6.762 1.80410 2.867105407.712T TA pA T H c dT T T dTT T T --∆=⨯-⨯=+⨯-⨯-⎰⎰（21-152700-1253=+1.29010 4.07810)0.64510 1.3591032958.030T TB pB T H c dT T T dTT T T --∆=⨯-⨯=+⨯-⨯-⎰⎰（8.5928.592而0A B H H ∆+∆=，故该问题最后变成求解方程2263()15.3548.2541016.4571038365.742f T T T T --=+⨯-⨯-的根的问题。
接下来将采用二分法、试位法以及牛顿法进行改方程的求解。
方程保存为f.m ，可在压缩文件中找到。
一、 二分法二分法的基本思想为，确定有根区间，然后不断将区间二等分，通过判断f(x)的符号，逐步将区间缩小，直到有根区间足够小，便可满足精度要求的近似根。
本例中，可以清楚的得到有根区间为(400,700)。
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6-1 试验目的计算特征值，实现算法
试验容：随机产生一个10阶整数矩阵，各数均在-5和5之间。
（1） 用MATLAB 函数“eig ”求矩阵全部特征值。
（2） 用幂法求A 的主特征值及对应的特征向量。
（3） 用基本QR 算法求全部特征值（可用MATLAB 函数“qr ”实现矩阵的QR 分解）。
原理
幂法：设矩阵A 的特征值为12n ||>||||λλλ≥⋅⋅⋅≥并设A 有完全的特征向量系12,,,n χχχ⋅⋅⋅(它们线性无关)，则对任意一个非零向量0n V R ∈所构造的向量序列1k k V AV -=有11()lim ()k j k k j
V V λ→∞
-=，
其中()k j V 表示向量的第j 个分量。
为避免逐次迭代向量k V 不为零的分量变得很大（1||1λ>时）或很小（1||1λ<时），将每一步的k V 按其模最大的元素进行归一化。
具体过程如下：
选择初始向量0V ，令1max(),,,1k
k k k k k k
V m V U V AU k m +===≥，当k 充分大时1111,max()max()
k k U V χλχ+≈
≈。
QR 法求全部特征值：
111
11222
111
,1,2,3,k k k k k A A Q R R Q A Q R k R Q A Q R +++==⋅⎧⎪⋅==⋅⎪=⋅⋅⋅⎨
⋅⋅⋅⎪⎪⋅==⋅⎩ 由于此题的矩阵是10阶的，上述算法计算时间过长，考虑采用改进算法——移位加速。
迭
代格式如下：
1
k k k k
k k k k A q I Q R A R Q q I +-=⎧⎨
=+⎩ 计算k A 右下角的二阶矩阵()
()
1,1
1,()
(),1
,k k n
n n n k k n n n n a a a a ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值()()1,k k n n λλ-，当()()1,k k n n λλ-为实数时，选k q 为()()1,k k n n λλ-中最接近(),k n n a 的。
程序
界面(1)
(2)
(3)
作业七
7-1 试验目的：熟悉代数插值
试验容：已知在f(x)在7个点的函数值如下表所示，分别使用拉格朗日插值法和牛顿插值法
拉格朗日插值多项式：
01110011100()()()()()
()()()()()()()n
j j n n j
j j j j j j j j n n
n
i
j
j i j i
i j
x x x x x x x x x x L x y x x x x x x x x x x x x y x x -+=-+==≠-
-⋅⋅⋅
--⋅⋅⋅-=--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--=-∑
∑∏
牛顿插值多项式：
001001201001()()[,]()[,,]()()[,,]()()
n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x -=+-+--+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-
其中00011()
[,,]()()()()
k
j k j j j j j j j k f x f x x x x x x x x x x =-+⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-∑。
程序
界面
作业八
8-1 试验目的：熟悉最小二乘法拟合多项式 试验容：给定数据点(
x ,y )， 用3次最小二乘多项式拟合数据，并求平方误差。
原理
要作三次最小二乘拟合，令00112233()()()()(),()j j S x a x a x a x a x x x ϕϕϕϕϕ=+++=，计算法方程
Ga d =，其中000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪=
⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，01n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，12n d d d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
0(,)()()(),(,0,1,,),()1(,)()()(),(0,1,,)
m j k i j i k i i i m
k k i i k i
i x x x j k n x d
f x f x x k n ϕϕωϕϕωϕωϕ==⎧==⋅⋅⋅⎪⎪=⎨⎪===⋅⋅⋅⎪⎩∑∑。
其平方误差为20
()[()()]m
i i i i s x S x f x ω==-∑。
程序
界面
作业九
9-1 试验目的：熟悉数值积分公式，掌握数值计算定积分的方法 试验容：采用不同方法数值计算积分
1
0ln(1)x dx x +⎰
编写复合梯形公式和复合Simpson 公式通用子程序，分别采用4，8，16，32，64等分区间计算。
原理
复合梯形公式：将区间[a,b]作n 等分，b a
h n
-=，结点(0)i x a ih i n =+≤≤，
1
1
101
[()()][()2()()]22n n n i i i i i h h
T f x f x f a f x f b --+===+=++∑∑
复合Simpson 公式：将区间[a,b]作2n 等分，记2b a
h n
-=
，
111
222122212001
[()4()()][()4()2()()]33n n n n i i i i i i i i h h
S f x f x f x f a f x f x f b ---+++====++=+++∑∑∑
作业十
10-1 试验目的：学会用Euler 法、改进Euler 法、经典的4阶Runge-Kutta 法求解常微分方程初值问题。
试验容：分别用
1) Euler 法（步长h=0.025） 2) 改进Euler 法（步长h=0.05） 3) 4阶Runge-Kutta （步长h=0.1） 求解下面的初值问题： (1)(3),02y y y x '=-++≤≤ 比较公共节点解的误差。
精确解为2132(1)x y e --=-++。
原理
Euler 法：令(,())()f x y x y x '=，1(,)n n n n y y hf x y +=+（b a
n h
-=
）。
改进Euler法（梯形公式）：
1
21 112
(,)
(,)
()
2
n n
n n
n n
k f x y
k f x h y hk
h
y y k k
+
⎧
⎪=
⎪
=++
⎨
⎪
⎪=++
⎩
4阶Runge-Kutta：
1
21
32
43
11234
(,)
1
(,)
22
1
(,)
22
(,)
1
(22)
6
n n
n n
n n
n n
n n
k hf x y
h
k hf x y k
h
k hf x y k
k hf x h y k
y y k k k k +
=
⎧
⎪
⎪=++
⎪
⎪⎪
=++
⎨
⎪
=++
⎪
⎪
⎪=++++
⎪⎩
程序
界面。