大学普通物理学 中国农业出版社 参考答案

练习题一解答

1-2 某质点作直线运动，其运动方程为241t t x -+=，其中x 以m 计，t 以s 计。求：（1）第3s 末质点的位置；（2）前3s 内的位移大小；（3）前3s 内经过的路程。

解 （1）第3s 末质点的位置为

()4334132=-⨯+=x （m ） （2）前3s 内的位移大小为

()()31403=-=-x x （m ）

（3）因为质点做反向运动时有()0=t v ，所以令0d d =t

x

，即024=-t ，2=t s ，因此前3s 内经过的路程为

()()()()515540223=-+-=-+-x x x x （m ）

1-3 已知某质点的运动方程为t x 2=，22t y -=，式中t 以s 计，x 和y 以m 计。试求：（1）质点的运动轨迹并图示；（2）1=t s 到2=t s 这段时间内质点的平均速度；（3）1s 末和2s 末质点的速度；（4）1s 末和2s 末质点的加速度；（5）在什么时刻，质点的位置矢量与其加速度矢量恰好垂直？

解 （1）由质点运动方程t x 2=，22t y -=，消去t 得质点的运动轨迹为

4

22

x y -=（x ＞0）

运动轨迹如图1-2

（2）根据题意可得质点的位置矢量为

()()

j i r 222t t -+=

所以1=t s 到2=t s 这段时间内质点的平均速度为

()()j i r 2r r v 321

21-=--==

t ∆∆（m ·s -1） （3）由位置矢量求导可得质点的速度为

()j i r

v t t

22d d -==

所以1s 末和2s 末质点的速度分别为

题1-3图

()j i v 221-=（m ·s -1）和()j i v 422-=（m ·s -1）

（4）由速度求导可得质点的加速度为

j v a 2dt

d -==

所以1s 末和2s 末质点的加速度为

()()j a a 221-==（m ·s -2）

（5）据题意有

0)2(22=--=⋅t a r

解得

)(2，2舍去）（-==t s t

1-5 已知质点的初始位置矢量和速度矢量为

()j r R =0，()()j i v t t v t ωωsin cos 0+=

其中R 、ω、v 0均为常数，试求质点的运动方程及轨迹方程。

解：由t

d d r

v =

，可得 dt d v r =

将上式对t 积分得

()()()()()

()[]

j i j i j i v v r r t

t

t t v t t v dt

t t dt t t t ωωω

ωωω

ωωcos 1sin cos sin sin cos 00

00

-+=

-=+==-⎰

⎰

所以

()j i r ⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=R t v v t v t ωωωωωcos sin 000

运动方程为

t v x ωω

sin 0

=

，t v R v y ωω

ω

cos 0

-

+=

将上两式中消去t 得质点轨迹方程为

2

0202

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+ωωv v R y x

1-8 一质点沿x 轴运动，其加速度与速度成正比，方向与运动方向相反，即kv a -=，初始位置、初速度分别为x 0、v 0，试求质点位移随时间变化的关系式。

解 由题意知

kv dt

dv

a -==

分离变量后做定积分

⎰

⎰

-=t v

v kdt v dv

00 得

kt v -=ln

即

kt e v v -=0

利用kt

e v dt

dx v -==0

，得 dt e v dx kt -=0

再次将上式积分

⎰⎰

-=

t

kt

x

x dt e

v dx 00

得

()

kt e k

v x x --=

-10

1-9 已知质点沿半径2.0=R m 的轨道做圆周运动，其角位置随时间变化关系为

t t t 0.40.323+-=θ，式中θ的单位是rad ，t 的单位是s ，试求：（1）0.2=t s 到0.4=t s 这

段时间内的平均角加速度？（2）0.2=t s 时，质点的加速度为多少？

解 （1）由题意知t t t 0.40.323+-=θ 所以

0.40.632+-==

t t dt

d θ

ω

当0.2=t s 时 0.40.40.20.60.2321=+⨯-⨯=ω（1s rad -⋅）

当0.4=t s 时 0.280.40.40.60.4322=+⨯-⨯=ω（1s rad -⋅）

于是

0.120

.20.40

.40.281212=--=--==

t t t ωω∆ω∆β（2s rad -⋅） （2）0.2=t s 时的速度大小

8.02.00.4=⨯==R v ω（1s m -⋅）

角加速度 0.60.60.20.60.60.6=-⨯=-==

t dt

d ω

β（2s rad -⋅） 切向加速度大小为

2.10.62.0=⨯==βR a t （2s m -⋅）

法向加速度大小为 2.32

.064.02===R v a n （2s m -⋅）

加速度大小为

42.32.12.3222

2=+=+=n t a a a （2s m -⋅）

1-10 一质点从静止出发沿半径为1=R m 的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是t t 6122-=β（2s rad -⋅），试求该质点的角速度ω和切向加速度τa 。

解 因为 t t dt

d 6122-==

ω

β 所以

()

t t t d 612d 2-=ω

积分上式有

()

⎰⎰

-=

t t t t

2

d 612d ω

ω

故质点的角速度为

2334t t -=ω（1s rad -⋅）

切向加速度为

t t R a t 6122-==β（2s m -⋅）

练习题二解答

2-1 如图所示，质量10=M kg 的物体，放在水平面上，已知物体与地面间的静摩擦系

题2-1用图