行程多次相遇问题

行程多次相遇问题——秒杀技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。

相对来讲，直线型出题的模型更加复杂。

环型只是单纯的周期问题。

现在我们分开一一进行讲解。

首先，来看直线型多次相遇问题。

一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。

“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

现在分开向大家一一介绍：（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。

题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。

1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。

而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。

即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2… … …n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。

则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。

我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。

同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。

依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。

（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。

1、迎面碰头相遇：如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。

2、背面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了14份，两人在b处相遇。

第一次相遇，两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，可以得出：当第n次追及相遇时，两人的路程差为2ns。

“直线型”总结（熟记）①两岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是（2n-1）S。

第n次背面追及相遇，两人的路程差是（2n-1）S。

②单岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。

第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。

下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：{模型一}：根据2倍关系求AB两地的距离。

【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B 60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。

A、B相距多少米A、150B、170C、180D、200【答案及解析】B。

如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab 的距离为10。

以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。

{模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。

【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游米，乙每分钟游米。

两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。

如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次A、2B、3C、4D、5【答案及解析】B。

题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。

分开讨论，如是是迎面相遇，则走的全程的个数为个，根据迎面相遇n次，走的全程为2n-1=5，求得n=3；如果是背面相遇，则走的全程数为，故在1分50秒内，不能背面相遇。

所以共相遇3次。

{模型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。

【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。

甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B相距多少千米A、95B、100C、105D、110【答案及解析】C。

走相同时间内，甲乙走的路程比为20：50=2：5。

将全程看成7份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。

以甲为研究对象（也可以以乙），第10次迎面相遇走的全程数为2×10-1=19个，甲走1个全程走2份，则走19个全程可走19×2=38份。

7份是一个全程，则38份共有38÷7=5…3份（当商是偶数时从甲的一端数，0也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端）从乙端数3份。

同理当第18次相遇，甲走的份数为（2×18-1）×2=70份。

共有70÷7=10个全程，10为偶数在甲的端点。

如下图：则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为千米。

w点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。

【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。

甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B相距多少千米A、90B、180C、270D、110【答案及解析】A。

法一：同上题。

相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成9份。

则一个全程时甲走5份，乙走4份。

以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，则从乙端数6份。

第3次相遇走的份数为（2×3-1）×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，则从甲端数7份。

如下图：由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距=90千米。

法二：在此引入“沙漏模型”。

利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。

将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。

s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。

本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5。

如下图：根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O，根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比例为S/3，同理DO:ON=7：2，则第3次相遇距A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为为40千米，则S=90千米。

w点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。

用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。

用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。

{模型四}：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。

【例5】A、B两地相距950米。

甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。

甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。

则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近。

A、1B、2C、3D、4【答案及解析】B。

利用“沙漏模型”。

甲乙走到端点用的时间比为150：40=15：4，半小时两人共走的全程数为个。

对于单岸型，相遇6个全程，则是迎面第三次相遇（由前边公式推出）画出s-t图：观察上图可知，可第3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇（交点由同一点引出）。

而在三次迎面相遇中第2次相遇离B地最近，并且可根据三角形相似求出离B地的距离。

【例6】河道赛道长120米，水流速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船静水速度为4米/秒。

比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇A、48B、50C、52D、54【答案及解析】C。

由题知，得出如下关系：顺流逆流甲8（15）4（30）乙6（20）2（60）注：（）中为走完全程的时间。

假设A到B是顺流，由上表可知甲、乙两人第2次迎面相遇共有4个全程。

由于甲的速度快，则第2次相遇前甲已走了2个全程。

共15+30=45秒。

当第45秒时乙走了一个顺流全程20秒和25秒的逆流，走的路程为25×2=50米，则在剩余的70米内，甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为t，则有70=（8+2）×t，求得t=7秒，则共用时间45+7=52秒。

本题同样可用“沙漏模型”解决。

根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间关系如下：顺流逆流甲 3 6乙 4 12根据时间的关系，得出s-t图像，如下：观察上图，可看出第二次迎面相遇在P点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺流，一个逆流，另外EP段为顺流，根据三角形相似可求出走EP用的时间EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走EP用的时间为，则甲共走的时间为15+30+7=52。

二、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇（不可能背面相遇），一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。

分开讨论如下：（一）甲、乙两人从A地同时反向出发：如下图，一个周长分成4份，假设甲是顺时针每分钟走1份到B，乙是逆时针每分钟走3份到B，则第一次相遇两人走了1个周长，则再过1分仲，甲再走1份到C，同样乙走3份也到C，则第二次相遇共走了2个周长，依次类推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈。

（二）甲、乙两人从A地同时同向出发：如下图，全程分成4份。

假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走1份，乙每分钟走5份，则1分钟后两人在B处第一次背面追及相遇，两人走的路程差为1个周长。