2019湖北襄阳四中、五中自主招生数学试题

2019年襄阳四中、五中自主招生考试

数学试题

考试时间：120分钟

试卷满分：150分

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的

1．下列运算结果中正确的是(▲)

A ．2

a a

= B.(

)

3

2626a

a -=- C.236a a a ⋅= D.5322

2a a a a ÷=+2．x 是1x ，2x ，…，

100x 的平均数，a 是1x ，2x ，…，30x 的平均数，b 是31x ，32x ，…，100x 平均数，则下列各式一定正确的是(▲)

A.7030100a b x +=

B.3070100

a b x +=

C.2

a b

x +=

D.x a b

=+3．若一次函数y x k =+与反比例函数k

y x

=

的图像没有．．公共点，则k 的值可以是(▲)A ．–5 B.–4 C.–2 D.24．如图，四边形AODC 是边长为1的正方形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点M 在线段AB 上，MN ⊥AB ，且MN 交CD 或交弧DB 于点N ，设AM ＝x (0≤x ≤2)，图中阴影部分表示的平面图形AMNC （或AMNDC ）的面积为y ，则y 关于x 的函数的大致图象是(▲)

A B C

D

5．如图，在半径为1，圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作

两个半圆，则图中阴影部分的面积为(▲)

A.142

π- B.184π- C.234-π D.4

3

8-π6．有下列四个命题：①若a b =，则ac bc =；②若x y <，则2

2

x y <；③命题“若2

4x ≠，则2x ≠”的逆命题；④若一元二次方程2

210

kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是1k ≥-，其中真命题的个数是(▲)A.0 B.1C .2 D.37．在函数y =

2

2

3234

x x x x x -++--+中，自变量x 的取值范围为(▲)

A.4x ≤-或2x ≥

B.41x -<<且0x ≠C .41x -≤≤且0x ≠D .41x -≤<且0

x ≠8．把一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次向上的点数之和不小于9的概率是(▲)

13.

18

A 4.

11

B 5.

18

C 1.

6

D 9．方程2

220x x --=的实数根可视为函数2y x =-的图像与函数2

y x

=的图像公共点的横坐标，则方程3210x x --=的正实数根0x 所在的范围是(▲)

2

311.0+<

231.

0<<+x B 2

6

123.0+<

6

1.

0<<+x D 10．如图，已知□ABCD ，AB ∥x 轴，AB =6，点A 的坐标为（1，–4），点D 的坐标为（–3，4），点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，若点P 为边CD 上一动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，则点P 的坐标为(▲)

A.P （65

5±

，4） B.P （32

2

±

，4）C.P （43

3

±，4）

D.P （22±，4）

二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)把答案填在答题卡的相应位置上11．

(

)

4

1

025001052

3π-⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭

▲12．某几何体的三视图如图所示,则其表面积为

▲

13．如图，已知菱形ABCD 的周长为8，面积为23，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，记PC –PE 的最大值为m ，记PC+PE 的最小值为n ，则m n

=

▲

14．如图，将□ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若0

60,2,3A AD AB ∠===，则AE 的长

为▲

15．规定：（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ]表示不大于x 的最大整数，[x ）表示最接近x

的整数（x ≠n+0.5，n 为整数），例如：()4.75=，[]4.75-=-，[)4.75=,则下列说法正确的是▲（写出所有正确说法的序号）

①当x =2.3时，（x ）+[x ]+[x ）=7；②当x =–2.3时，（x ）+[x ]+[x ）=–6；③()()()x y x y +≤+；④[][][]

x y x y -≤-（第12题图）

（第14题图）

（第13题图）

A P

E

B

C

D

16．古代数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为

()2111

222

n n n n +=+．

记第n 个k 边形数为(

),N n k ()3k ≥，则下面给出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数

()211

,322N n n n

=+四边形数()2,4N n n =五边形数()231

,522

N n n n

=-六边形数()2,62N n n n

=-……

可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()20,19N =▲

三、解答题(本大题共8个小题，共70分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内

17．(本小题满分6分)袋子中装有1个红球，2个黄球和3个绿球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出两个球．（1）求两球颜色为一黄一绿的概率；

（2）若摸到红球记1分，摸到黄球记2分，摸到绿球记3分，求得分为4分的概率．

18．(本小题满分6分)如图，AB 是⊙O 直径，AC 是⊙O 切线，BC 交⊙O 与点E ．

（1）若D 为AC 中点，求证：DE 是⊙O 切线；（2）若5OA CE =

，求tan ACB ∠的值．

19．(本小题满分8分)某公司在甲，乙两地销售同一种品牌的手机，在甲地的销售利润(单位：百元)为2

1 6.5y ax x =+，在乙地的销售利润(单位：百元)为2y kx =，其中x 为销售量(单位：部)，当5x =时，122y y =；当35x =时，12y y =．

（1）求实数a 和k 的值；（2）若该公司在两地共销售40部该种品牌的手机，求该公司获得的最大销售利润．

20．(本小题满分8分)小明根据学习函数的经验，对函数()1

1(3)

y x x =--的图象与性质进行了探究，

下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题．

（1）函数()

1

1(3)y x x =

--的自变量x 的取值范围是；

（2）当函数值0y >时，自变量x 的取值范围是；

（3）当13x <<时，函数()

1

1(3)y x x =--有最（填“大”或“小”）值，该值为

；

（4）请根据函数的解析式或结合函数的图象，写出有关函数增减性的两条性质：①

②

；

（5）如果方程

()

1

1(3)a x x =--没有实数解，那么a 的取值范围是

21．(本小题满分10分)如图，点E 为正方形ABCD 边BC 上一动点（不与B,C 重合），∠AEF=90°,AE=EF,

连接AF 交边CD 于M ，交BC 的延长线于N ，连接EM 、CF ，EF 交CM 于点P ．（1）判断线段BE 、EM 、MD 间的数量关系，并证明你的结论；（2）若正方形边长为1，且BE ：EC=1：2，求MP 和FN 的长．

22．（本小题满分10分）已知实数b a ,满足2

2

1a b +=．

（1）求t a b =-的取值范围；

（2）求1y a b ab =-+-的最大值．

23．(本小题满分10分)已知抛物线()

2

2

5163y x k x k k =-+++（1）求证：无论k 取任何实数，抛物线与x 轴总有公共点；（2）如图，若抛物线与x 轴正半轴交于B、C 两点，与y 轴交于点A ．是否存在实数k ，使得AB=BC ，

且∠ABC=150 ．若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．

24．(本小题满分12分)如图，已知抛物线2

45y x x =-++与x 轴交于B、C 两点．（1）求抛物线的顶点A 的坐标及B ，C 两点的坐标；

（2）在x 轴上是否存在一点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在,求出满足条件的所有点P 的坐标；（3）如题图，连接AB 、AC ，点M 为线段BC 上一动点，过点M 作直线MN ∥AC 交线段AB 于点N ，求△AMN 面积的最大值．

A

M

C

B

D F

E

N

P