吉林省2020届高考数学椭圆曲线的知识总结

个动点 P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注意：若 PF1 + PF2 = F1F2 ，则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ；若 PF1 + PF2 F1F2 ，则
动点 P 的轨迹无图形.
（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆 x2 + y 2 = 1上有不同的两点关于直线 y = 4x + m 对称； 43
越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。⑥
（2）.点与椭圆的位置关系：①点 P(x0 , y0 ) 在椭圆外
x02 a2
+
y02 b2
1；
2.椭圆标准方程中的三个量 a, b, c 的几何意义
椭圆标准方程中， a, b, c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：
a2 b2
例 3.已知 P 为椭圆 x2 + y2 = 1 上的一点， M , N 分别为圆 (x + 3)2 + y2 = 1 和圆 25 16
(x − 3)2 + y2 = 4 上的点，则 PM + PN 的最小值为
x2 + y 2 = 1 (m −b2 ) ，此类问题常用待定系数法求解。 a2 + m b2 + m
a
a
椭圆形状越趋近于圆。
题型 1:椭圆定义的运用
题型 5：焦点三角形问题
例 1.已知 F1, F2 为椭圆
x2 9
+
y2 4
= 1的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知 P, F1, F2 为一个直角三
角形的三个顶点，且
PF1
PF2
,求
PF1 PF2
的值.
例
2.已知 F1, F2 为椭圆
C:
x2 8
+
两点，求⊿ABF2 的面积； 题型 9：中点弦问题
例1. 求以椭圆 x2 + y2 = 1内的点 A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。 85
定义：平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离的差的绝对值是常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫
双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
M MF1 − MF2 = 2a (2a ) F1F2
,且离心率
e
=
1 2
上,且 PF1 − PF2 = 1 ,求 cos F1PF2 .
① 求椭圆的方程; ② 设点 P 在椭圆
例 2.如果方程 x2 + ky2 = 2 表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是____________.
2/7
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
y2 4
= 1的两个焦点，在
C
上满足 PF1
⊥
PF2 的点的个数为
.
x2 y2 例 1.已知 F1, F 为椭圆 25 + 9 = 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点若
F2 A + F2B = 12 ，则 AB = ______.
例
3.已知椭圆的焦点是
F1 (0,−1),
F2
(0,1)
题型 6: 三角代换的应用
例 1.椭圆 x2 + y2 = 1上的点到直线 l: x + y − 9 = 0 的距离的最小值为___________． 16 9
3.椭圆 x2 + y2 = 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是
36 9 4. 若 F1, F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 PF1F2 : PF2F1 : F1PF2 = 1: 2 : 3 , 则此椭
看 x 2 ， y 2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程 Ax 2 + By 2 = C( A, B, C均不为零）是表示椭圆的条件
5.弦长公式：若直线 y = kx + b 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 x1, x2 分别为 A、B 的横坐标，
则 AB ＝
1+ k 2 x1 − x2 ，若 y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB ＝
例 1、 ABC 中， A = 30o , AB = 2, SVABC = 3, 若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ，则椭圆的
离心率为 .
例 2、过椭圆的一个焦点 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭
圆的离心率为 题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
yy F2
xx P
F1
巩固训练
1. 如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且 BDB1=90o ,
则椭圆的离心率为
2.设
F1, F2
为椭圆
x2 4
(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 －4.
② 若把曲线方程中的 y 换成 − y ，方程不变，则曲线关于 x 轴对称；
题型 3:求椭圆的离心率
③ 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成 − x 、 − y ，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？
过点 ( a2 , 0) 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e =
．
c
例 2.若直线 y = kx + 1(k R) 与椭圆 x2 + y 2 = 1恒有公共点，求实数 m 的取值范围； 5m
双曲线
题型 8：弦长问题
例 1.求直线 y = 2x − 4 被椭圆 4x2 + y2 = 1所截得的弦长. 99
(a b 0) ， (a c 0) ，且 (a 2 = b2 + c 2 ) 。
可借助右图理解记忆：
②点 P(x0 , y0 ) 在椭圆上
x02 a2
+
y02 b2
＝1；③点 P(x0 , y0 ) 在椭圆内
x02 a2
+ y02 b2
1
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交： 0 直线与椭圆相交；（2）相切： = 0 直线与椭圆相切；
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是 坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
为参数），焦点在
y
轴上时
y2 a2
+
x2 b2
＝1（ a
b
0 ）。
2. 椭圆的几何性质：
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 a, b ；一个定位条件焦点坐标，由焦
例 2.已知椭圆 x2 + y2 = 1的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1 的直线交椭圆于 A,B 2
基本知识点
双曲线
标准方程（焦点在 x 轴） x2 y2
− = 1(a 0,b 0) a2 b2
标准方程（焦点在 y 轴） y2 x2
− = 1(a 0,b 0) a2 b2
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
高中数学椭圆的知识总结
（2）已知直线
y=－x+1
与椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在
直线 L：x－2y=0 上，则此椭圆的离心率为_______；
1.椭圆的定义：
平面内一个动点 P 到两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数（ PF1 + PF2 = 2a F1F2 ），这
特别提醒：因为 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称 问题时，务必别忘了检验 0 ！
椭圆知识点的应用
1.如何确定椭圆的标准方程？
（1）椭圆：焦点在
x
轴上时
x a
2 2
y2 +
b2
= 1（ a2
= b2 + c2 ）
x y
= =
a b
cos sin
（参数方程，其中
=
长 轴 与 短 轴 的 长 短 关 系 决 定 椭 圆 形 状 的 变 化 。 离 心 率 e = c (0 e 1) ， 因 为 a
c2 = a 2 − b2 ， a c 0 ，用 a、b 表示为 e = 1 − (b )2 (0 e 1) 。 a
显然：当 b 越小时， e(0 e 1) 越大，椭圆形状越扁；当 b 越大， e(0 e 1) 越小，
点坐标的形式确定标准方程的类型。
（1）椭圆（以 x2 + y 2 = 1（ a b 0 ）为例）：①范围： −a x a, −b y b ；②焦点： a2 b2
两个焦点 (c, 0) ；③对称性：两条对称轴 x = 0, y = 0 ，一个对称中心（0,0），四个顶点
(a, 0), (0, b) ，其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ； ④离心率：e = c ，椭圆 0 e 1，e a
例 1.已知实数 x, y 满足 x2 + y2 = 1,则 x2 + y2 − x 的范围为 42
PF1 + PF2 、 PF1 PF2 之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
例
2.已知点
A,
B
是椭圆
x2 m2
+
y2 n2
=1（m
0, n
uuur 0 ）上两点,且 AO
uuur = BO ,则
（3）相离： 0 直线与椭圆相离；